第24讲-平面向量的基本定理与坐标表示-专项训练【原卷版】
1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋e2
2．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝( )
A．－ B．－＋
C．－ D．－＋
3．已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝，b＝，则＝( )
A．a＋b B．a－b
C．－a＋b D．a－b
5．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( )
A． B．
C． D．
6．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B．
C．1 D．－1
7．(多选)给出以下说法，其中不正确的是( )
A．若b＝λa(λ∈R)，则a∥b
B．若a∥b，则存在实数λ，使b＝λa
C．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0 λ＝μ＝0
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底
8．已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，则实数m的值为__________．
9．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．
10．已知向量a＝(1,3)，b＝(sin α，cos α)，若a∥b，则tan＝________．
11．如图，四边形ABCD为正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，点P在线段CD上运动．设＝x＋y，则x＋y的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,3]
C．[2,3] D．[2,4]
12．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
13．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________．
第24讲-平面向量的基本定理与坐标表示-专项训练【解析版】
1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋e2
解析：B 由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D，2e1＋e2＝2，故2e1＋e2，e1＋e2共线，不满足题意．故选B．
2．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且＝2，则＝( )
A．－ B．－＋
C．－ D．－＋
解析：B 如图，可知＝＋＝－＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－ ))－＝－．故选B．
3．已知p：x＝－1，q：向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：A 若向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则x＝x(x＋2)，解得x＝0或x＝－1，所以p：x＝－1是q的充分不必要条件．故选A．
4．如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝，b＝，则＝( )
A．a＋b B．a－b
C．－a＋b D．a－b
解析：D 取a＝，b＝作为基底，则＝a＋b．因为BF＝3FE，所以＝＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－b＝a－b，故选D．
5．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则角C的大小为( )
A． B．
C． D．
解析：B 因为向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即c2－a2－b2＋ab＝0，所以cos C＝＝，因为06．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B．
C．1 D．－1
解析：ABD 各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形，故选A、B、D．
7．(多选)给出以下说法，其中不正确的是( )
A．若b＝λa(λ∈R)，则a∥b
B．若a∥b，则存在实数λ，使b＝λa
C．若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0 λ＝μ＝0
D．平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底
解析：BCD A项，由向量的数乘运算的几何意义，正确；
B项，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在实数λ，使b＝λa，错误；
C项，若a，b为相反向量，则a＋b＝0，此时λ＝μ＝1，错误；
D项，由平面向量的基本定理，作为基底的两向量是不共线的非零向量，错误．故选B、C、D．
8．已知a＝(－2，m)，b＝(1,2)，a∥(2a＋b)，则实数m的值为__________．
解析：∵向量a＝(－2，m)，b＝(1,2)，∴2a＋b＝(－3，2＋2m)．∵a∥(2a＋b)，∴－2(2＋2m)＝－3m，解得m＝－4．
答案：－4
9．设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为________．
解析：不妨设向量b的坐标为b＝(－3m,4m)(m<0)，则|b|＝＝10，解得m＝－2(m＝2舍去)，故b＝(6，－8)．
答案：(6，－8)
10．已知向量a＝(1,3)，b＝(sin α，cos α)，若a∥b，则tan＝________．
解析：由a∥b可得，3sin α＝cos α，得tan α＝，所以tan＝＝＝2．
答案：2
11．如图，四边形ABCD为正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，点P在线段CD上运动．设＝x＋y，则x＋y的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,3]
C．[2,3] D．[2,4]
解析：C 以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，E(－1,1)，设P(t,1)(0≤t≤1)，则(t,1)＝x(1,0)＋y(－1,1)，所以t＝x－y，且y＝1，故x＋y＝t＋2∈[2,3]．故选C．
12．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
解析：因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2,2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以解得所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
13．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|a－b|＝|a＋b－c|＝1，则|c|的最大值M＝________，|c|的最小值m＝________．
解析：因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，所以a，b，a－b可构成等边三角形，且|a＋b|＝ ，因为|a＋b－c|＝1，所以如图所示，c的终点在以a＋b的终点为圆心，半径为1的圆上，故M＝＋1，m＝－1．
答案：＋1 －1(共49张PPT)
第24讲 平面向量的基本定理与坐标表示
第五章
平面向量与复数
1．在下列各组向量中，可以作为基底的是 ( )
激 活 思 维
【解析】
【答案】B
对于A，因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量不可以作为基底；
对于B，e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)对应坐标不成比例，两向量不共线，可以作为基底；
【解析】
A
3．当x＝_______时，a＝(2，3)与b＝(x，－6)共线．
－4
【解析】
因为a＝(2，3)，b＝(x，－6)，a∥b，所以2×(－6)－3x＝0，解得x＝－4，所以当x＝－4时，a与b共线．
4．已知a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则－2a＋4b＝______________，4a＋3b＝___________．
(－6，－8)
【解析】
因为a＝(3，2)，b＝(0，－1)，所以－2a＋4b＝－2(3，2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)，4a＋3b＝4(3，2)＋3(0，－1)＝(12，8)＋(0，－3)＝(12，5).
(12，5)
【解析】
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足_________________，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底．
2．向量的坐标运算
(1) 向量加法、减法、数乘及向量的模
a＝λ1e1＋λ2e2
聚 焦 知 识
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(2) 向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线 ______________．
x1y2＝x2y1
平面向量基本定理的应用
举 题 说 法
1
【解析】
【答案】D
1
【解析】
C
【解析】
B
【解析】
【答案】C
B
【解析】
向量的坐标表示及运算
2
【解答】
(2) 在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的位置如图所示，已知|a|＝4，|b|＝3，且∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，分别求向量a，b的坐标．
2
【解析】
变式 (1) 如图，{e1，e2}是一个正交基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为 ( )
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
A
【解析】
由图可知a＝e1＋3e2，又e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，所以a＝(1，3).
【解析】
(1) 已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，若a＋2b与2a－b平行，则实数m＝( )
向量共线的坐标表示
3
B
【解析】
(2) 如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC和OB的交点P的坐标为__________．
3
【解析】
(3，3)
【解析】
因为a∥b，所以sin α＋cos α＝－cos α，即sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2.
C
随 堂 内 化
1．若{e1，e2}是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是 ( )
A．e1－e2，e2－e1 B．e1－e2，e1＋e2
C．2e2－e1，－2e2＋e1 D．2e1＋e2，4e1＋2e2
B
【解析】
C
【解析】
【答案】D
【解析】
对于B，若a⊥b，则a·b＝0，所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2，则|a＋b|2＝|a－b|2，所以|a＋b|＝|a－b|，B正确；
对于D，由向量模的三角不等式可得|a－b|≥||a|－|b||＝4，D正确．
BD
配套精练
A组 夯基精练
一、 单项选择题
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
C
【解析】
【答案】ABC
【解析】
【答案】AC
三、 填空题
7．已知平面向量a＝(－1，2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，
则实数m＝______．
【解析】
【解析】
－3
【解析】
(3，1)或(1，－1)
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
B组 滚动小练
12．设函数f(x)＝ln (2ax－x2)在区间(3，4)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，3) B．(－∞，3]
C．(2，3] D．[2，3]
D
【解析】
y＝ln t在(0，＋∞)上单调递增，故t＝2ax－x2在(3，4)上单调递减，则a≤3.又因为t＝2ax－x2＞0在(3，4)上恒成立，则8a－16≥0，故a≥2，所以2≤a≤3.
【解析】
14．在△ABC中，D为BC上一点，满足BD＝2CD，且∠BAC＋∠DAC＝π.
(1) 求证：AB＝3AD；
【解答】
14．在△ABC中，D为BC上一点，满足BD＝2CD，且∠BAC＋∠DAC＝π.
(2) 若BC＝3AC，求cos ∠BAC.
【解答】
由(1)知AB＝3AD，设AD＝m，则AB＝3m.又因为BC＝3AC，D为BC上一点，BD＝2CD，设CD＝n，则BD＝2n，AC＝n.
谢谢观赏
