2025年新高考数学一轮复习-2-2-2直线的两点式方程-专项训练【原卷版】
1．直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．30° D．150°
2．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m＝( )
A． B．－
C．－2 D．2
3．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
4．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( )
A．1 B．
C．－ D．－3
5．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
6．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是( )
A．l的倾斜角等于150°
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
7．(多选)已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是( )
8．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________．
9．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________________．
10．已知直线x＋m2y－2＝0(m∈R)的倾斜角为α，求α的取值范围．
11．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．8 D．6
12．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示．则直线AB的方程为________；旅客最多可免费携带行李________千克．
13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，________．
14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
15．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
16．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2025年新高考数学一轮复习-2-2-2直线的两点式方程-专项训练【解析版】
1．直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是( )
A．45° B．135°
C．30° D．150°
解析：B 由题意得直线的斜率k＝2sin 210°＝－2sin 30°＝－1，故倾斜角为135°．故选B．
2．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m＝( )
A． B．－
C．－2 D．2
解析：A 因为A(－2,3)，B(3，－2)，故kAB＝＝－1，因为A，B，C三点共线，故kAB＝kAC＝＝－1，故m＝，故选A．
3．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：A 直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2．∴直线l的方程为y＝x＋2．
4．已知A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( )
A．1 B．
C．－ D．－3
解析：C 设Q(3,0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－，∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是，则的最大值为－，故选C．
5．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
解析：D 由f＝f知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为，故选D．
6．(多选)已知直线l的一个方向向量为u＝，且l经过点(1，－2)，则下列结论中正确的是( )
A．l的倾斜角等于150°
B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线x－3y＋2＝0垂直
D．l上不存在与原点距离等于的点
解析：CD 由已知得直线l的斜率k＝＝－，设其倾斜角为θ，则tan θ＝－，所以θ＝120°，故A选项错误；直线l的方程为y＋2＝－(x－1)，即x＋y＋2－＝0，所以它在x轴上的截距等于1－，故B选项错误；直线x－3y＋2＝0的斜率为，×(－)＝－1，所以两直线垂直，故C选项正确；原点到直线l的距离d＝1－>，即l上的点与原点的最小距离大于，故l上不存在与原点距离等于的点，故D选项正确．故选C、D．
7．(多选)已知直线l1：ax－y－b＝0，l2：bx－y＋a＝0，当a，b满足一定的条件时，它们的图形可以是( )
解析：AC 直线l1：ax－y－b＝0可化为y＝ax－b，斜率为a，在y轴上的截距为－b．直线l2：bx－y＋a＝0可化为y＝bx＋a，斜率为b，在y轴上的截距为a．当a＝b≠0时，直线l1与l2平行，故A正确．选项B中，由直线l2在y轴上的截距可得a＞0．与直线l1的斜率a＜0矛盾，故B不正确．在选项C中，由直线l2的斜率为b＜0，而直线l1在y轴上的截距－b＞0．直线l2在y轴上的截距为a＞0，直线l1的斜率为a＞0，故C正确．选项D中，两直线斜率a＞0，b＜0．与直线l1在y轴上的截距－b＜0，b>0相矛盾，故D不正确．故选A、C．
8．过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________．
解析：由题意可设直线方程为＋＝1．则解得a＝b＝3或a＝4，b＝2．故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0．
答案：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
9．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________________．
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，即4x－3y－4＝0．
答案：4x－3y－4＝0
10．已知直线x＋m2y－2＝0(m∈R)的倾斜角为α，求α的取值范围．
解：当m＝0时，直线为x＝2，斜率不存在，倾斜角α＝；
当m≠0时，直线x＋m2y－2＝0(m∈R)化为直线的斜截式方程y＝－x＋，
斜率k＝－＜0，即tan α＜0，所以＜α＜π．
综上可知，倾斜角α的取值范围是．
11．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数，则＋的最小值为( )
A．2 B．4
C．8 D．6
解析：B 已知直线kx－y＋2k－1＝0，整理得y＋1＝k(x＋2)，由直线恒过定点A，得A(－2，－1)．因为点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，所以2m＋n＝2，整理得m＋＝1，由于m，n均为正数，则＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当即时取等号．故选B．
12．如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示．则直线AB的方程为________；旅客最多可免费携带行李________千克．
解析：由题图知点A(60,6)，B(80,10)，代入直线方程的两点式得＝，整理得直线AB的方程是x－5y－30＝0．依题意，令y＝0，解得x＝30，即旅客最多可免费携带30千克的行李．
答案：x－5y－30＝0 30
13．若正方形一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，________．
解析：正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3，建立如图所示直角坐标系，设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝3，由正方形性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝＝＝．kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－2．
答案： －2
14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B(0,1＋2k)．又－<0且1＋2k>0，∴k>0．
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
15．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
解析：BD 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确．
16．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，
所以点B的坐标为(1，－1)．
设点P的坐标为(x，y)．
由题意，得·＝－，
化简，得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
(2)法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M，N的坐标分别为(3，yM)，(3，yN)．
则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)，
直线BP的方程为y＋1＝(x－1)．
令x＝3，得yM＝，yN＝．
于是△PMN的面积为S△PMN＝|yM－yN|(3－x0)＝．
又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝2，
点P到直线AB的距离d＝．
于是△PAB的面积为S△PAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|．
当S△PAB＝S△PMN时，得|x0＋y0|＝．
又|x0＋y0|≠0，
所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝．
因为x＋3y＝4，所以y0＝±．
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为或．
法二：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)，
则|PA|·|PB|sin∠APB＝|PM|·|PN|·sin∠MPN．
因为sin∠APB＝sin∠MPN，
所以＝，所以＝，
即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝．
因为x＋3y＝4，所以y0＝±．
故存在点P，使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为或．(共40张PPT)
第二章
直线和圆的方程
2．2 直线的方程
2.2.2 直线的两点式方程
