2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （共2课时） 课件（共32张PPT）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

(共32张PPT)
2.3二次函数与一元二次方程、
不等式
1 三个“二次”的关系
目录
2 解一元二次不等式
3 题型
00
前情回顾
目录
1 三个“二次”的关系
01
新知1——三个二次的关系
概 念
一般地，我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的不等式，叫做一元二次不等式.
一般形式



一元二次不等式的定义
“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母
“二次”指的是未知数的最高次数必须是2，且最高次项系数不为0
01
新知探究
探究1 从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，三者之间有什么样的内在联系.
y=x+1
-1
1
方程x+1=0的解为x=-1； 函数图像与X 轴相交
不等式x+1>0的解为x>-1； 函数图像在X轴上方
不等式x+1>1的解为x>0； 函数图像在X轴下方
二次函数
一元二次方程
一元二次不等式
它们的联系又是怎样的呢？
02
新知探究



01
新知1——三个二次的关系


二次函数的零点

注意：零点不是点，是交点的横坐标，是数值
y=x2－12x＋20
01
新知1——三个二次的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根
ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集
ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集
有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
{x|x＜x1，或x＞x2}
{x|x≠－ }
R
{x|x1＜x＜x2}


x1
x2
x
y
O
x
y
O
x1=x2
y
x
O
练一练
例1.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2则方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为________.
－2,3
解　不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2所以方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别－2,3.
练一练
∴a＝－2，b＝3，
ax2＋bx－1>0可变为－2x2＋3x－1>0，
目录
2 解一元二次不等式
02
新知2——解一元二次不等式
问题1.解不等式：x2－2x－3>0.
解　方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.
函数y＝x2－2x－3的图象（开口向上）与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示.
观察图象可得不等式的解集为
{x|x<－1或x>3}.
02
新知2——解一元二次不等式



02
新知2——解一元二次不等式


－3
x
1
y
不画图你能写出不等式的解集吗
开口向上时：大于取两边,小于取中间

总结
①化正:化为ax2+bx+c>0(a>0)
③求根:求方程ax2+bx+c=0的根
④画图:画函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
因式分解or求根公式
大于取两边,小于取中间
②判别:判别△确定有无实数根
⑤写解:由图象写出不等式的解集
解一元二次不等式的步骤:
例1：解下列不等式：
(1)x2－5x－6>0； (2)(2－x)(x＋3)<0.
练一练
解　(1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}.
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}.
02
新知2——解含参一元二次不等式
问题3.解关于x的不等式(a－x)(b＋x)>0的不等式。
解　(a－x)(b＋x)>0可化为(x－a)(b＋x)<0
方程(a－x)(b＋x)＝0的两根为a，－b，
当a>－b时，原不等式的解集是{x|－b当－b>a时，原不等式的解集是{x|a讨论两根的大小
02
新知2——解含参一元二次不等式
问题4　解关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≥0.
解　①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
讨论两根的大小
讨论方程的类型
总结
解含参一元二次不等式的步骤:
练一练
例2　解关于x的不等式[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0.
解　方程[x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0的根：X1＝a＋1，X2＝2(a－1)；
(1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，不等式的解为x>a＋1或x<2(a－1).
(2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，不等式的解为x≠4.
(3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a－1)或x综上所述，
当a<3时，不等式的解集为{x|x>a＋1或x<2(a－1)}，
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠4}，
当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a－1)或x讨论a＋1与2(a－1)的大小
目录
3 题型
03
题型1－三个二次的理解
D
03
题型1－三个二次的理解
例2　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2.
代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
03
题型1－三个二次的理解
变式1.　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|-10的解集.

03
题型2－解一元二次不等式
B
03
题型2－解一元二次不等式
03
题型2－解一元二次不等式
03
题型2－解一元二次不等式
例6. 解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
解　原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a②当a＝0时，原不等式化为x2<0，无实根；
③当a<0时，x1综上所述，
当a>0时，原不等式的解集为{x|－a当a＝0时，原不等式的解集为 ；
当a<0时，原不等式的解集为{x|2a课堂小结
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根
ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集
ax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集
有两个不等实根x1，x2（x1＜x2）
有两个相等实根
x1＝x2＝－
没有实数根
{x|x＜x1，或x＞x2}
{x|x≠－ }
R
{x|x1＜x＜x2}


x1
x2
x
y
O
x
y
O
x1=x2
y
x
O
课堂小结
①化正:化为ax2+bx+c>0(a>0)
③求根:求方程ax2+bx+c=0的根
④画图:画函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
因式分解or求根公式
大于取两边,小于取中间
②判别:判别△确定有无实数根
⑤写解:由图象写出不等式的解集
解一元二次不等式的步骤:
本课结束
课后要记得巩固哦!