5.6 函数的y=Asin(ωx+φ) 课件（共28张PPT） - 2024-2025学年人教A版（2019）同步课件

(共28张PPT)
5.6 函数y=Asin（ωx+φ）
教学目标
1.了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义,理解参数φ、ω、A对的图象的影响,理解y=sinx的图象与的图象之间的变换关系;
2.能用“五点法”作出函数在一个周期内的图象;
3.会利用图象或换元法求函数y=Asin(ωx+φ)的周期、奇偶性、单调性、对称性及值域等函数的性质;
4.通过本节的学习体验研究数学问题的基本方法:从具体到抽象,从特殊到一般;
5.学会用运动变化的观点看待数学问题之间的内在联系.
（一）知识复习
1.“五点法”作函数y=sinx的简图的步骤，其中“五点”是指什么？
①列表
x 0 π 2π
y=sinx 0 1 0 -1 0
②描点、连线
2.正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx的基本性质是什么？
（二）情境导入
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如右图)．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如右图)．
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？
如图，将筒车抽象为一个几何图形，设筒车转轮的中心O到水面的距离为h，筒车的半径为r，筒车转动的角速度为ω，盛水筒的初始位置为P0以及所经过的时间为t.
如图，以O为原点，以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系．设t＝0时，盛水筒M 位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x，y)，所以以Ox为始边，OP为终边的角为ωt＋φ，并且有y＝rsin(ωt＋φ)，①
所以盛水筒M 距离水面的高度H与时间t的关系是H＝rsin(ωt＋φ)＋h.②
（三）新知探索
问题一、函数的图象y=Asin(ωx+φ)与y=sinx的图象有何关系？
问题1、φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图象有何影响？
O
x
y
1
-1
结论1
一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位而得到.
O
x
y
1
-1
问题2、ω对函数y=Asin(ωx+φ)的图象有何影响？
y=sinx
y=sin2x
x
y
O
结论2
一般地,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)而得到的.
问题3、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象有何影响？
x
y
o
3
-3
结论3
一般地,函数
y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0问题二、如何通过正弦函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)（A＞0，(ω＞0）的图象？
作y=sinx（长度为2的某闭区间）的图象
得y=sin(x+φ) 的图象
得y=sinωx的图象
得y=sin(ωx+φ) 的图象
得y=sin(ωx+φ)的图象
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上
沿x轴平 移|φ|个单位
横坐标伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短
沿x轴平移| |个单位
纵坐标伸长或缩短
纵坐标伸长或缩短
例题
方
法
一
O
1
x
y
-1
π
2π
伸缩变换
方
法
二
五点作图法
X 0 π 2π
x
y 0 2 0 -2 0
x
y
-2
2
变式练习
画出下列函数在长度为一个周期的简图
D
变式练习
C
B
C
问题三、函数y=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0）的周期、单调区间、对称轴、对称中心分别是什么？
x
y
-1
问题1、例题1我们画出了如下简图，你能根据函数图象说出它的最小正周期、值域、单调区间、对称轴、对称中心吗？
x
y
-1
最小正周期：
值域：
对称轴：
对称中心：
单调区间：
问题2、如果不利用图象，你能求出 函数的性质吗？
解：
最小正周期为：
值域为：
例题
例题3、如图，求出函数 的解析式，并求出函数的最小正周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心
解：
由图知A=3
变式练习
如图，求出函数 的解析式，并求出函数的周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心
例题
例题4、求出函数 的周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心
解：
最小正周期为：
值域为：
变式练习
求出函数 的周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心
解：
最小正周期为：
值域为：
（四）课堂小结
1、φ、ω、A对函数图象的影响
3、函数y=Asin（ωx+φ）的图象与函数y=sinx的图象的关系
4、函数y=Asin（ωx+φ）的性质
2、五点作图法画函数y=Asin（ωx+φ）的图象
（五）课后作业
完成A、B两组，C组选做
谢谢！