4.2.1等差数列的概念及通项公式 课件（共31张PPT）- 2024-2025学年人教A版（2019）
文档属性
| 名称 | 4.2.1等差数列的概念及通项公式 课件（共31张PPT）- 2024-2025学年人教A版（2019） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-01 15:02:34 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
人教A版2019--选择性必修第二册
第四章 数列
4.2等差数列
4.2.1等差数列的概念及通项公式（1）
1.通过生活实例，理解等差数列的概念，培养数学抽象的素养；
2.通过归纳推理推导等差数列的通项公式，培养逻辑推理的素养；
3.体会等差数列与一次函数之间的关系；在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
学习目标
通过上节课的学习我们知道，数列是一种特殊的函数. 在函数的研究中,我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性、奇偶性)后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。
复习引入
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
复习引入
新知学习
请看下面几个问题中的数列
1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. （1）
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48. （2）
3. 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次
25.0， 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 （3）
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=a/12n)万元，每月支付给银行的利息(单位：万元)依次为：
ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,… （4）
思考：你能通过运算发现以上数列的规律吗？
对于（1），我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用 表示数列（1），
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列（1）有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列（2）—（4）也有这样的取值规律。
等差数列的概念
1、概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
例如数列（1）（2）（3）（4）的公差依次为 9, 2, -0.6, -br.
注意：①公差d必须为“同一个常数”
②公差d可正、可负、也可为0，它是一个与n无关的常数
练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
巩固概念
问题 抢答：在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。
（1）2，___, 8 （2）－6，____, 0 （3）a, ___, b
5
-3
2、若a,A,b组成等差数列，则称A为a与b的等差中项.
等差数列的概念
练习2 写出下列等差数列中的未知项：
(1) 3，a，5，则a＝________；
(2) 3，b，c，9，则b＝________，c＝________.
7
4
5
巩固概念
探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得
an+1－an = d
等差数列的递推公式
所以 a2－a1 = d，
a3－a2 = d，
a4－a3 = d，
于是 a2= a1＋d，
a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ，
a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ，
an= a1＋(n－1)d，(n≥2)
当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立.
这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.
思考2：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？
+
n-1个式子
等差数列的通项公式
方法一：累加法
等差数列的通项公式
方法二(迭代法)：
因为{an}是等差数列，所以
an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d.
方法三(逐差法)：
因为{an}是等差数列，所以
an＝an－an－1＋an－1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋an－2＝…＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝a1＋(n－1)d.
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
an= a1＋(n－1)d.
首项为 , 公差为 的等差数列 的通项公式为
an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .
等差数列通项公式的一般形式
思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
（1）公差 的等差数列 的图象
是点 组成的集合, 这些点均匀
分布在直线 上.
等差数列的通项公式是关于n的一次式，与一次函数有关，其图象是一条直线上均匀分布的点．
（2）任给一次函数 , 则 ，
…, ,构成一个等差数列 , 其首项为________，公差为____.
(k＋b)
k
例题应用
例1 (1)已知等差数列 的通项公式为 ，求数列 {的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2,···，的第20项；
分析:（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由 ，即可求出公差d，
（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.
例题应用
例1 (1)已知等差数列 的通项公式为 ，求数列 {的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2,···，的第20项；
解：(1)当n≥2时，由{an}的通项公式an =5－2n , 可得
an-1 =5－2(n-1)=7-2n ,
于是，d=an-an-1 =(5－2n )–(7－2n )= -2,
把n=1代入通项公式an =5－2n, 得a1=5-2×1=3.
所以 , {an}的公差为－2 , 首项为3.
(2)由已知条件, 得d=5－8=－3.
把a1=8 , d=－3代入an=a1+(n－1)d , 得
an=8－3(n－1)=11－3n.
把n=20代入上式，得 a20=11－3×20=－49.
所以，这个数列的第20项是－49.
例2. -401是不是等差数列-5，-9，-13，···的项？如果是，是第几项？
分析:先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5,d=－9－(－5)=－4 , 得
数列的通项公式为
an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401, 解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项.
解析： 判断：从第2项起，每一项与它的前一项的差是否为同一个常数．
关键字：从第2项起、同一个常数、每一项与它的前一项的差
例3：数列 中， 求证： 是等差数列。
证明 ，由题意可得
取得倒数
是等差数列
形如 的分式递推关系，常进行取到构造：
课堂练习
1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差.
（1）95，82，69，56，43，30
（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111
（3）1，-2，3，-4，5，-6
（4）1， ， ， ， ， ，
2. 在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d的值为( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. ±2
3. 已知等差数列{an}的前三项分别为a－1,2a＋1，a＋7，则此数列的第四项为( )
A. 12 B. 13 C. 10 D. 15
C
B
4. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
a1 a3 a5 a7 d
－7 8
2 －6.5
0.5
15.5
3.75
15
－11
－24
1. 定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
2. 通项公式: an=a1+(n-1)d
推导公式:
an=am+(n－m)d
4. 图象:直线上均匀排开的一群孤立的点.
课堂小结
3. 等差中项：a, A , b 成等差数列 2A=a+b.
5. 等差数列的判断
{an}为等差数列
an-an-1=d (n≥2)或an+1-an=d (n∈N*).
课本15练习题2、4、5
作业布置
人教A版2019--选择性必修第二册
第四章 数列
4.2等差数列
4.2.1等差数列的概念及通项公式（1）
1.通过生活实例，理解等差数列的概念，培养数学抽象的素养；
2.通过归纳推理推导等差数列的通项公式，培养逻辑推理的素养；
3.体会等差数列与一次函数之间的关系；在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.
学习目标
通过上节课的学习我们知道，数列是一种特殊的函数. 在函数的研究中,我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性、奇偶性)后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型。
复习引入
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
复习引入
新知学习
请看下面几个问题中的数列
1.北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. （1）
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48. （2）
3. 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次
25.0， 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 （3）
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b(=a/12n)万元，每月支付给银行的利息(单位：万元)依次为：
ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,… （4）
思考：你能通过运算发现以上数列的规律吗？
对于（1），我们发现
18=9+9，27=18+9....81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9....81-72=9.
如果用 表示数列（1），
那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9.
这表明，数列（1）有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。数列（2）—（4）也有这样的取值规律。
等差数列的概念
1、概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
例如数列（1）（2）（3）（4）的公差依次为 9, 2, -0.6, -br.
注意：①公差d必须为“同一个常数”
②公差d可正、可负、也可为0，它是一个与n无关的常数
练习1 判断下列数列是否为等差数列，若是，求出首项和公差
（1） 1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10
（2） 3，3，3，3，3，3
（3） 3x，6x，9x，12x，15x
（4）95，82，69，56，43，30
（5） 1，1.1，1.11，1.111，1.1111
（6） 1，－2，3，－4，5，－6
a1=3，公差 d=0 常数列
a1=3x 公差 d= 3x
×
a1=95 公差 d=－13
×
×
巩固概念
问题 抢答：在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数会成为一个等差数列。
（1）2，___, 8 （2）－6，____, 0 （3）a, ___, b
5
-3
2、若a,A,b组成等差数列，则称A为a与b的等差中项.
等差数列的概念
练习2 写出下列等差数列中的未知项：
(1) 3，a，5，则a＝________；
(2) 3，b，c，9，则b＝________，c＝________.
7
4
5
巩固概念
探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得
an+1－an = d
等差数列的递推公式
所以 a2－a1 = d，
a3－a2 = d，
a4－a3 = d，
于是 a2= a1＋d，
a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ，
a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ，
an= a1＋(n－1)d，(n≥2)
当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立.
这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式.
思考2：等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是由等差数列的前几项归纳得出的，公式只是一个猜想，不算是证明，那么，如何证明？
+
n-1个式子
等差数列的通项公式
方法一：累加法
等差数列的通项公式
方法二(迭代法)：
因为{an}是等差数列，所以
an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d.
方法三(逐差法)：
因为{an}是等差数列，所以
an＝an－an－1＋an－1＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋an－2＝…＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝a1＋(n－1)d.
等差数列的通项公式
等差数列的通项公式
an= a1＋(n－1)d.
首项为 , 公差为 的等差数列 的通项公式为
an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) .
等差数列通项公式的一般形式
思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
（1）公差 的等差数列 的图象
是点 组成的集合, 这些点均匀
分布在直线 上.
等差数列的通项公式是关于n的一次式，与一次函数有关，其图象是一条直线上均匀分布的点．
（2）任给一次函数 , 则 ，
…, ,构成一个等差数列 , 其首项为________，公差为____.
(k＋b)
k
例题应用
例1 (1)已知等差数列 的通项公式为 ，求数列 {的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2,···，的第20项；
分析:（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由 ，即可求出公差d，
（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.
例题应用
例1 (1)已知等差数列 的通项公式为 ，求数列 {的公差和首项；
(2)求等差数列8，5，2,···，的第20项；
解：(1)当n≥2时，由{an}的通项公式an =5－2n , 可得
an-1 =5－2(n-1)=7-2n ,
于是，d=an-an-1 =(5－2n )–(7－2n )= -2,
把n=1代入通项公式an =5－2n, 得a1=5-2×1=3.
所以 , {an}的公差为－2 , 首项为3.
(2)由已知条件, 得d=5－8=－3.
把a1=8 , d=－3代入an=a1+(n－1)d , 得
an=8－3(n－1)=11－3n.
把n=20代入上式，得 a20=11－3×20=－49.
所以，这个数列的第20项是－49.
例2. -401是不是等差数列-5，-9，-13，···的项？如果是，是第几项？
分析:先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解.
解：由a1=－5,d=－9－(－5)=－4 , 得
数列的通项公式为
an=－5－4(n－1)=－4n－1.
令－4n－1=－401, 解得n=100.
所以，－401是这个数列的项，是第100项.
解析： 判断：从第2项起，每一项与它的前一项的差是否为同一个常数．
关键字：从第2项起、同一个常数、每一项与它的前一项的差
例3：数列 中， 求证： 是等差数列。
证明 ，由题意可得
取得倒数
是等差数列
形如 的分式递推关系，常进行取到构造：
课堂练习
1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差.
（1）95，82，69，56，43，30
（2）1，1.1，1.11，1.111，1.1111，1.11111
（3）1，-2，3，-4，5，-6
（4）1， ， ， ， ， ，
2. 在等差数列{an}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d的值为( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. ±2
3. 已知等差数列{an}的前三项分别为a－1,2a＋1，a＋7，则此数列的第四项为( )
A. 12 B. 13 C. 10 D. 15
C
B
4. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数.
a1 a3 a5 a7 d
－7 8
2 －6.5
0.5
15.5
3.75
15
－11
－24
1. 定义: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
2. 通项公式: an=a1+(n-1)d
推导公式:
an=am+(n－m)d
4. 图象:直线上均匀排开的一群孤立的点.
课堂小结
3. 等差中项：a, A , b 成等差数列 2A=a+b.
5. 等差数列的判断
{an}为等差数列
an-an-1=d (n≥2)或an+1-an=d (n∈N*).
课本15练习题2、4、5
作业布置