人教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》2024年单元测试卷（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《第七章复数》 2024年单元测试卷（5）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数为虚数单位在复平面内对应的点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.使复数z为实数的充分而不必要条件是( )
A. B. C. 为实数 D. 为实数
3.已知是虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
4.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部是( )
A. B. 1 C. i D.
5.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A. B. C. D.
6.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，那么表示的复数为( )
A. B. C. D.
7.已知复数，则( )
A. B. C. D.
8. i是虚数单位，若，则等于( )
A. 1 B. C. D.
9.若复数为虚数单位为非纯虚数，则实数m不可能为( )
A. 0 B. 1 C. D. 2
10.已知集合，i是虚数单位，Z为整数集，则集合中的元素个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
11.已知定义在复数集C上的函数满足，等于( )
A. 2 B. 0 C. D.
12.设z的共轭复数是，若，，则等于( )
A. i B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知i是虚数单位，若，则______，______.
14.已知复数，则______.
15.已知m，，若为纯虚数，复数的对应点在直线上，则__________，__________.
16.下列说法中正确的序号是______.
①若，其中，，则必有
②
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数
④若一个数是实数，则其虚部不存在
⑤若，则对应的点在复平面内的第一象限．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
已知关于x的方程有实数根，求纯虚数m的值.
18.本小题12分
实数m为何值时，复数分别是：
Ⅰ实数；
Ⅱ虚数；
Ⅲ纯虚数.
19.本小题12分
已知复数
求z的共轭复数；
若，求实数a，b的值．
20.本小题12分
已知，，，是复平面上的四点，且向量，对应的复数分别为，
若，求
若为纯虚数，为实数，求a，
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
在复平面内对应的点的坐标为，在第三象限．
故选：
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的几何意义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：；
，反之不行，例如；
为实数不能推出，例如；
对于任何z，都是实数．
复数为实数的充分而不必要条件是，
故选：
本题要求复数为实数的充分而不必要条件，这种问题可以从所给的选项入手，由选项可以推出复数为实数，反之则不成立，把四个选项挨个检验，得到结果．
本题考查复数的基本概念，是一个基础题，从共轭复数，模长几个方面来解释问题，若出现这样的问题，是一个必得分题目．
3.【答案】A
【解析】【分析】
利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得的值．
本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题．
【解答】
解：，、，则，
故选：
4.【答案】A
【解析】解：由，
得，
则
的虚部是：
故选：
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z，则答案可求．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论.
【解答】
解：A、，是实数；
B、，不是纯虚数；
C、为纯虚数；
D、不是纯虚数.
故选
6.【答案】D
【解析】解：
故选：
用，，表示出向量即可．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了共轭复数和复数的模，属于基础题．
利用共轭复数的定义和模的计算公式即可得出．
【解答】
解：，，
故选：
8.【答案】C
【解析】【分析】
利用复数的代数形式的乘除运算可求得z，再求模即可．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的求模，属于基础题．
【解答】
解：，
，
故选
9.【答案】A
【解析】解：复数
复数是为非纯虚数，
不可能时0，
故选：
首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，再进行复数的加减运算，根据复数是一个非纯虚数，得到要求的m的不可能的值．
本题考查复数的基本概念，考查复数的代数形式的加减运算和乘除运算，考查复数是一个纯虚数，本题是一个基础题．
10.【答案】C
【解析】解：集合，Z为整数集，
，
集合中有1个元素．
故选：
求出集合，Z为整数集，从而
本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
11.【答案】A
【解析】解：，
故选：
欲求的值，只需判定是否是实数，然后代入相应的解析式进行求解即可．
本题主要考查了分段函数求解，以及复数代数形式的乘法，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】解：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算．可设，由
得，选D
可设，根据即得．
本题中注意到复数与共轭复数的联系，利用这点解题，可更加简洁．
13.【答案】
【解析】解：，
，
故答案为：；
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：
故答案为：
利用复数与共轭复数的性质，结合复数模的运算性质进行求解即可．
本题考查了复数与共轭复数的应用，复数模的运算性质的应用，考查了运算能力与转化化归能力，属于基础题．
15.【答案】 ； ； ；
【解析】【分析】
本题主要考查了纯虚数的概念，考查了复数的几何意义，属于基础题．
由纯虚数的定义可知，且，求出m的值，再根据点在直线上求出n的值即可．
【解答】
解：为纯虚数，
，解得或4，
又，，
复数的对应点在直线上，
，，
故答案为：4；
16.【答案】⑤
【解析】解：对于①，，，即虚数，故不成立，故①错误；
对于②，若两个复数如果不全是实数，则不能比较大小，由于与均为虚数，故不能比较大小，故②错误；
对于③，因为除原点外，虚轴上的点表示的数都是纯虚数，故③错误；
对于④，若一个数是实数，则其虚部存在，为0，故④错误；
对于⑤，若，则，在复平面内对应的点为，在第一象限．故⑤正确；
综上所述，正确答案为：⑤，
故答案为：⑤．
①依题意知，即虚数，利用复数相等的概念可判断①的正误；
②利用虚数不能比较大小可判断②的正误；
③利用虚轴的概念可判断③的正误；
④由实数的虚部为0可判断④的正误；
⑤由，知，可判断⑤的正误；
本题考查命题的真假判断与应用，着重考查复数的概念及应用，掌握好概念是关键，属于基础题．
17.【答案】解：由关于x的方程有实数根，
设纯虚数，，
，，且，
求得 且，纯虚数
【解析】由题意，利用待定系数法和两个复数相等的充要条件建立方程，求得纯虚数m的值．
本题主要考查两个复数相等的充要条件，属于基础题．
18.【答案】解：复数
由，解得或2，或2，复数z为实数；
由，解得或2，或2，复数z为虚数；
由，解得，即时，z为纯虚数．
【解析】利用复数运算法则可得：复数
由，解得m即可得出；
由，解得即可得出；
由，解得m即可得出．
本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：
，即，
，
解得，
【解析】先化简复数z，再根据共轭复数的概念即可得出答案；
代入复数z，由复数相等的充要条件可得a，b方程组，解出即可；
该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．
20.【答案】解：，，
，，
，
即且，解得：，，
则，；
；
由题意得：是纯虚数，则，
则是实数，则，
综上：，
【解析】分别求出向量的坐标，根据对应关系得到关于a，b的方程，解出即可求出，，代入代数式化简即可；
根据纯虚数，实数的定义，得到关于a，b的方程，解出即可．
本题考查了复数的定义，运算，考查向量的运算，是一道常规题．
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