人教A版（2019）必修第二册《7.2复数的四则运算》2024年同步练习卷（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《7.2复数的四则运算》2024年同步练习卷（2）
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中三顶点对应的复数分别是，，，若复数z满足，则z所对应的点是的( )
A. 垂心 B. 外心 C. 内心 D. 重心
2.复数( )
A. B. C. D.
3.已知复数，若，则在复平面内点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.复数( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. 0 B. 1 C. D. 2
6.若复数，则( )
A. B. i C. D. 1
7.已知复数，，若是纯虚数，那么实数a的值为( )
A. 1 B. 2 C. D. 或1
8.设复数z满足，那么的最大值为( )
A. 3 B. 6 C. 7 D. 9
9.复数为纯虚数，则实数( )
A. B. C. D. 2
10.复数等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
11.已知复数z满足，则______.
12.在复平面内，O为原点，平行四边形OABC的顶点A，C对应复数分别为，，，对应的复数分别为，，则______.
13.复数、在复平面内的对应点分别为A、B，已知点A与B关于x轴对称，且，则______.
14.已知复数，且，则______.
15.若复数z满足，则z的虚部为__________.
16.设复数，满足，，则______.
17.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数为______.
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题12分
计算：
19.本小题12分
已知复数z满足，求的最大值与最小值.
20.本小题12分
是否存在复数z同时满足下列条件？
复数z在复平面内对应点位于第二象限；
若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
21.本小题12分
设是虚数，是实数，且
求的值以及的实部的取值范围．
若，求证：为纯虚数．
22.本小题12分
已知z为虚数，为实数．
若为纯虚数，求虚数z；
求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：中三顶点对应的复数分别是，，，若复数z满足，由两个复数差的绝对值的几何意义可得，z在复平面内的对应点到中三顶点的距离相等，故z所对应的点是的外心，
故选：
由两个复数差的绝对值的几何意义可得，z在复平面内的对应点到中三顶点的距离相等，故z所对应的点是的外心．
本题考查两个复数差的绝对值的几何意义，三角形的外心的定义，是一道基础题．
2.【答案】A
【解析】解：
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z对应点的坐标得答案．
【解答】
解：因为，
所以，
所以，，
复数z在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：
4.【答案】B
【解析】解：
故选：
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数的定义，复数的模，属于基础题．
根据复数的定义化简原式，并通过模长公式求解即可．
【解答】
解：，
故选：
6.【答案】B
【解析】解：因为，
则
故选：
直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为 ，且是纯虚数，
所以，解得，
故选：
直接利用复数的运算化简，然后由实部为0且虚部不为0求解a的值．
本题考查了复数的运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查复数模的几何意义，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
复数z满足是虚数单位，z是以为圆心以2为半径的圆，是到原点的距离．
【解答】
解：表示：复数z是复平面上以为圆心，
以2为半径的圆上的点，
要求最大值，即求圆上的点到原点距离的最大值，
故最大值为，
故选：
9.【答案】C
【解析】解：，
复数为纯虚数，
，且，
解得
故选：
由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由已知条件列出，且，求出a的值即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．
利用虚数单位i的幂运算性质进行准确运算是解题的关键，属于基础题．
两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质进行准确化简运算．
【解答】
解：
故选
11.【答案】
【解析】解：复数z满足，
则
故答案为：
根据复数代数形式的运算法则，计算即可．
本题考查了复数形式的代数运算问题，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
则，，
则，，
故，
故答案为：
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
点A与B关于x轴对称，，
故答案为：
据已知条件，结合复数代数形式的乘法运算和复数模的公式，求解即可．
本题考查了复数的代数表示法，以及复数的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础图．
14.【答案】
【解析】解：因为，
，
，，
故
故答案为：
先根据其除法运算求出z，进而得到a，b即可求出结论．
本题主要考查了复数的除法运算及复数相等条件实部和虚部分别相等的应用，属于基础试题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
首先求出，代入后直接利用复数的除法运算求解．
【解答】
解：
由，得，
即
的虚部为
故答案为：
16.【答案】
【解析】解：复数，满足，，所以，
，
得
又，故
故答案为：
利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可．
熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式是解题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
由题意画出图形，把复数对应的四个顶点连线为正方形转化为复数相等得答案．
【解答】
解：如图，
设第四个点对应的复数为，
则，
则，解得，
第四个顶点对应的复数为
故答案为：
18.【答案】解：，
则，

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
19.【答案】解：，
复数z的几何意义是复平面内的动点到定点的距离等于1，
对应的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆；
的几何意义是：
z对应的点P到点的距离，
当点P位于C时，取得最小值，
，
的最小值为
的最大值为
【解析】根据复数模的几何意义，将条件转化为距离问题即可得到结论．
本题主要考查复数的几何意义，利用两点间的距离公式是解题的关键，是基础题．
20.【答案】解：设，
由条件知，，，
，
则，
，
表示圆在x轴上方的部分，
，
，
，
，
故a的取值范围为
【解析】根据已知条件，结合复数的几何意义，共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
21.【答案】解：设且，
则
是实数，，，
于是有，即，
还可得由，得，解得，即的实部的取值范围．
证明：
，，
为纯虚数．
【解析】设且，则根据是实数，，可得，即可得出．还可得由，即可得出的实部的取值范围．
由，代入化简即可证明．
本题考查了复数的运算法则、复数相等、点纯虚数的定义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：为虚数，为实数．设，，
为纯虚数，，，
为实数，
，
，解得，
或
，
，
，，，
，解得，
，
，，，
，的取值范围为
【解析】设，，由为纯虚数，求出x的值，再由为实数，求出y的值，由此能求出虚数
由为实数，且，得到，根据，求出x的范围，根据复数的模的定义得到，由此能求出的取值范围．
本题考查复数的基本概念，考查复数的代数形式的乘除运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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