人教A版（2019）必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》2024年同步练习卷（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》2024年同步练习卷（2）
一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
2.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
3.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球.若，，，，则V的最大值是( )
A. B. C. D.
4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
6.已知三棱柱，底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为______.
7.棱长为3的正方体内有一个球，与正方体的12条棱都相切，则该球的体积为______.
8.如图所示，正方体的棱长为3，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为______.
9.如图，长方体的体积为60，E为的中点，则三棱锥的体积是______.
10.各棱长均为1且底面为正方形的平行六面体，满足，则______；此平行六面体的体积为______.
11.如图，正四面体ABCD的体积为，E、F是棱AD、BD靠近点D的三等分点，G是棱BC靠近点B的三等分点，H是棱AC靠近点A的三等分点，则多面体体积为______.
12.如图，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱的体积为，球O的体积为，则的值是__________.
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题12分
如图所示的绕x轴和y轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积．
14.本小题12分
四面体ABCD中，，，，求这个四面体的体积.
15.本小题12分
如图，已知E，F分别是三棱柱的侧棱和上的点，且，三棱柱的体积为m，求四棱锥的体积.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：圆台的上、下底面圆半径分别为r，R，且圆台有内切球，
圆台的母线长，
圆台的内切球的直径即为圆台的高，
故圆台的内切球的半径为，
球的表面积为
故选：
若圆台有内切球，则圆台的母线长为，进而求出圆台的高，即圆台的内切球的直径，可得球的表面积．
本题考查球的表面积，熟练掌握圆台的几何特征是解答的关键．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．
由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】
解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，
则其外接球的半径为，
球的表面积为，
故选
3.【答案】B
【解析】【分析】本题考查直三棱柱与球相切的问题，考查棱柱与球的结构特征及球的体积公式.
由题意可得若V最大，球与直三棱柱的部分面相切，当与三个侧面都相切时，可求得球的直径为4，超过直三棱柱的高，球放不进去，则球与上下底面相切，此时球的直径与棱柱高相等，该球的体积最大，利用球体积公式即可得出最大值.
【解答】解：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，
若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，
超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，
则球可与上下底面相切，此时球的半径，
该球的体积最大，
故选
4.【答案】B
【解析】解：因为正方体的体积为8，
所以正方体的棱长为2，
因为正方体的体对角线即为外接球的直径，
所以正方体外接球的直径，
所以半径为，
则该球的表面积为
故选：
利用正方体的体积求出棱长，然后利用正方体的体对角线即为外接球的直径，求出球的半径，再利用球的表面积公式求解即可．
本题考查了球的表面积的求解，涉及了正方体几何结构的应用，对于正方体外接球问题，要掌握正方体的体对角线即为外接球的直径的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的外接球的体积．
先根据已知条件得到三棱锥中PA，PB，PC两两垂直，三棱锥放到正方体中，则正方体的棱长为，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，由此得到球O的半径，进而求出体积.
【解答】
解：如图，
取AC中点G，连接PG，BG，
易证平面PBG，平面PBG，故，
又E，F分别是PA，AB的中点，故，
由，得，
故，而，
因此平面PAC，
所以，，
又因为，，是全等三角形，
所以三棱锥中PA，PB，PC两两垂直，
将三棱锥放到正方体中，如图，则正方体的棱长为，
则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，
易求得正方体的体对角线长为，故球O半径，
则球O的体积，
故选
6.【答案】
【解析】解：三棱柱外接球的半径为：r，
所以，即，所以三棱柱的高为：，
三棱柱的体积：
故答案为：
求出底面中心到底面三角形顶点的距离，求出外接球的半径，然后求出棱柱的高，即可求出所求体积．
本题是基础题，考查几何体的外接球的体积的应用，三棱柱体积的求法，考查计算能力．
7.【答案】
【解析】解：若球与这个正方体的12条棱都相切，
则球心在到12条棱的距离均相等
则球的直径等于正方体两条不相邻且平行的棱之间的距离
即当正方体的棱长为3时，则球的直径等于正方体任一面对角线的长度
则
则
故答案为：
根据长为a的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则球的直径等于正方体两条不相邻且平行的棱之间的距离结合球及正方体的几何特征得到球半径，代入球的体积公式，即可得到答案．
本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体及球的几何特征及已知条件求出球的半径，是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，
也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为
则其中一个正四棱锥的高为
该多面体的体积
故答案为：
由题意可得，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为，求出一个正四棱锥的高，再由棱锥体积公式求解．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
9.【答案】5
【解析】解：在长方体中，设，，，
由题意可得，，
为的中点，
故答案为：
设，，，由题意可得，再由棱锥体积公式求得三棱锥的体积．
本题考查棱柱与棱锥体积的求法，是基础的计算题．
10.【答案】
【解析】解：，
，
，
连接AB，CD交于点O，连接，
底面是边长是1的正方体，
，，
，连接，，则，
在中，，，
，，
，平面ABCD，
平行六面体的体积为
故答案为：；
由空间向量基本定理可得，对其两边同时平方结合数量积的定义即可求出；连接AB，CD，交于点O，连接，先证明平面ABCD，再由柱体的体积公式即可得到此平行六面体的体积．
本题考查向量坐标运算法则、向量数量积公式、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：如图，连接EG，EB，
、F是棱AD、BD靠近点D的三等分点，
且G是棱BC靠近点B的三等分点，H是棱AC靠近点A的三等分点，
，
，
又，
，
多面体体积为
故答案为：
根据题意可得多面体体积为，再分别转化这两个锥体的底面与顶点，即可求解．
本题考查多面体的体积的求解，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，属于中档题.
设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．
【解答】
解：设球的半径为R，则球的体积为，
圆柱的体积为，
则
故答案为
13.【答案】解：绕x轴旋转一周，产生的几何体是由圆台中挖去圆锥而组成的组合体
其表面由圆台的侧面、上底面圆和圆锥的侧面组成
，，，
其表面积为
绕y轴旋转一周，产生的几何体是有公共底面圆的一个大圆锥减去一个小圆锥组成的组合体，其表面由两个圆锥的侧面组成
其表面积为
答：绕x轴和y轴各旋转一周，形成几何体的表面积分别为、
【解析】根据旋转体形成的过程，可得绕x轴旋转一周，产生如图的由圆台中挖去圆锥而组成的组合体，绕y轴旋转一周，产生如图的有公共底面圆的大圆锥减去小圆锥组成的组合体．由此结合圆台、圆锥的侧面积公式，结合题中的数据加以计算，即可得到它们的表面积．
本题给出绕x轴和y轴各旋转一周，求形成的几何体的形状与表面积，着重考查了旋转体的形成过程和圆锥、圆台的表面积求法等知识，属于中档题．
14.【答案】解：作长方体，使得面对角线长分别为5，，，如图，
设长方体棱长分别是x，y，z，则，解得，

【解析】将四面体补成长方体，则四面体的体积对于长方体的体积减去4个小棱锥的体积．
本题考查了割补法求几何体体积，构造长方体是解题关键．
15.【答案】解：如图所示，
连接，因为，
所以梯形BEFC的面积等于梯形的面积．
又四棱锥的高与四棱锥的高相等，
所以，设棱柱ABC一的高为h
又，，所以，
所以
即四棱锥ABEFC的体积是
【解析】根据以及棱锥体积和棱柱体积之间的关系即可得解．
本题主要考查锥体体积的相关计算，属于基础题．
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