人教A版（2019）必修第二册《8.4 空间点、直线、平面的位置关系》2024年同步练习卷（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教A版（2019）必修第二册《8.4 空间点、直线、平面的位置关系》2024年同步练习卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直三棱柱中，，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
2.在正方体中，E，F，G分别为棱，，AD的中点，则异面直线BE与FG所成角的正切值为( )
A. B. 1 C. 2 D.
3.如图，在直三棱柱中，为等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
4.在正三棱柱，则与所成的角的大小是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
5.如图，在正四棱柱中，E，F分别是，的中点，有如下四个命题，其中真命题是( )
A. EF与垂直 B. EF与BD垂直 C. EF与CD异面 D. EF与异面
6.如图，在三棱柱中，底面三角形是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A. 直线与直线相交
B. 与AE共面
C. AE与是异面直线
D. AE与垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
7.正方体中，异面直线AB与所成角的大小为______.
8.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，，则异面直线PD和BC所成角的大小是______.
9.如图，空间四边形ABCD的对角线，M、N分别为AB、CD的中点，且，则MN等于______
四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
10.本小题12分
如图所示，等腰直角三角形ABC中，，，，，若，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．
11.本小题12分
如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线，所成的角为，求AB的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：和AC垂直且异面的直线有和
故选：
根据条件即可判断结果．
本题考查了异面直线的判定，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：正方体中，E，F，G分别为棱，，AD的中点，
，是异面直线BE与FG所成角或所成角的补角，
，
异面直线BE与FG所成角的正切值为
故选：
推导出，从而是异面直线BE与FG所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线BE与FG所成角的正切值．
本题考查异面直线、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：将直三棱柱补形为如图所示的正四棱柱：
连接BD、AD，则，
则异面直线与所成角的平面角为或其补角，
又，，
由余弦定理可得：
则异面直线与所成角的正弦值为
故选：
先补形，再作出异面直线与所成角的平面角，然后结合余弦定理即可求解．
本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题．
4.【答案】C
【解析】解：在正三棱柱中，向量不共面，
，
令，则，
而，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为
故选：
取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答．
本题考查了异面直线所成角的计算，属于中档题．
5.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，在正方体中，连接，，
E别是的中点，侧面是矩形，
则E也是的中点，
又由F是的中点，则，D错误，
对于A，面，则，必有，故A正确；
对于B，，而，则有，故B正确；
对于C，，与CD异面，则EF与CD异面，故C正确；
故选：
根据题意，连接，，分析可得，由此依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查空间直线与直线的位置关系，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
6.【答案】ACD
【解析】解：由于与都在平面内，故与相交，A正确；
由于在平面内，而AE与平面相交于E点，点E不在上，故与AE是异面直线，B错误；
同理AE与是异面直线，C正确；
AE与所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，为正三角形，所以，即AE与所成为，D正确．
故选：
根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断．
本题考查了空间中直线与直线的位置关系，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：正方体中，，
则为异面直线AB与所成角，
故答案为：
，为异面直线AB与所成角，由此即可得．
本题考查异面直线所成的角，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由四边形ABCD是平行四边形，得，
所以为异面直线PD与BC所成角，
平面ABCD，平面ABCD，
，又，
所以为等腰直角三角形，则，
所以异面直线PD与BC所成角的大小为
故答案为：
由条件可得，所以角为异面直线PD与BC所成角，计算即可．
本题考查异面直线成角的问题，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：取BC中点E，连接ME，NE，
、N分别为AB、CD的中点，
由三角形中位线性质可知，，
，，
由，得，
所以
故答案为：
取BC中点E，连接ME，NE，由三角形中位线性质可知，，，，由，得，由此能求出
本题考查空间距离的运算，考查空间直线位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．
10.【答案】解：取AC中点F，连接EF、BF，在中，E，F分别是AD，AC的中点，
，即为所求的异面直线BE与CD所成角或其补角，
在中，，，
，在中，，，
，在中，，，，
在等腰三角形EBF中，，
异面直线BE与CD所成角的余弦值为
【解析】取AC中点F，连接EF，BF，先证即为所求的异面直线BE与CD所成角或其补角，在等腰三角形EBF中解出即可．
本题考查两条异面直线所成角的定义及其余弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】解：如图，过点A作平面于点D，则AD是母线，
连接DB，底面，，，
则四边形是平行四边形，，
与所成的角就是或其补角，
当时，是等边三角形，，
在中，；
当时，在中，，
在中，
综上，或
【解析】过A作平面于点D，得出AD是母线，连接，DB，，然后可得出或，然后分别求出AB的长即可．
本题考查了异面直线所成角的定义及求法，是基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)