人教A版（2019）必修第二册《8.6 空间直线、平面的垂直》2024年同步练习卷（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《8.6 空间直线、平面的垂直》2024年同步练习卷（5）
一、单选题：本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知m，n，l是直线，，是平面，，，，，，则直线m与n的位置关系是( )
A. 异面 B. 相交但不垂直 C. 平行 D. 相交且垂直
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2.如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若，平面平面DCEF，则线段MN的长等于______.
3.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕折成四面体当四面体ABCD中满足平面平面ACD时，则
；
平面平面BCD；
为等腰直角三角形.
以上结论中正确的是______填写你认为正确的结论序号
4.如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，是边长为4的正三角形，，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为______.
5.设点P是棱长为2的正方体表面上的动点，点M是棱的中点，N为底面ABCD的中心，则下列结论中所有正确结论的编号有______.
①当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥的体积为定值；
②当点P在线段上运动时，异面直线AP与所成角的取值范围是；
③当点P在线段上运动时，平面平面；
④当点P在侧面内运动时，若P到棱的距离等于它到棱BC的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分.
三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
6.本小题12分
如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，，平面平面
求证：平面平面PAB；
若PD与平面PBC所成的角为，求三棱锥的体积.
7.本小题12分
如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别为AD，PB的中点．
求证：；
求证：平面
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为，，，，所以，
又，所以
故选：
根据面面垂直的性质，，n在内且垂直于交线，所以，即可得解．
本题考查了空间中两直线间的位置关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
取CD的中点G，连接MG，NG，
由于M，G分别是AB，CD的中点，
所以，
平面平面DCEF，
，，
所以平面DCEF，
又平面DCEF，
所以，
所以是直角三角形．
所以，
因为，所以，，所以，
所以
故答案为：
首先利用面面垂直转化成线面垂直，进一步利用勾股定理求出线段MN的长．
本题主要考查线面垂直与面面垂直之间的转化，勾股定理的应用．属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析3个命题：
对于，AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，则，
又平移后平面平面ACD，平面平面，平面ABD，
所以平面ACD，又平面ACD，
所以，正确；
对于，由已知，，且BD，面BCD，
所以面BCD，又面ABD，
所以平面平面BCD，正确；
对于，由平面ACD，且平面ACD，
所以，
所以，由，
所以≌≌，
所以为等边三角形，错误．
故答案为：
根据题意，通过面面垂直的性质可判断，通过证明面BCD可判断，通过证明可判断，综合可得答案．
本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：如图，连结CM，
因为平面平面ABC，平面平面，，
所以平面ABC，又平面ABC，
所以，则，
要使得PM的值最小，则求CM的最小值即可，
在中，当时，CM有最小值，
此时，
又，
所以PM的最小值为
故答案为：
构造，根据面面垂直以及线面垂直的性质，为直角三角形，根据点到直线的垂线段最短，当M为AB的中点时，CM的长最小，此时PM的长最小，即可得到答案．
本题考查了面面垂直的性质定义以及线面垂直的性质定理的运用，点到直线的垂线段最段的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
5.【答案】①③④
【解析】解：对于①，当点P在底面ABCD内运动时，点P到平面的距离是点P到平面的距离，为2，
所以，即①正确；
对于②，点P在线段上运动时，如图：
因为，
所以异面直线AP与所成角即为直线AP与所成角，
因为，所以为等边三角形，
当点P在线段的中点时，，此时直线AP与所成角为，
当点P向两个端点、C运动时，直线AP与所成角越来越小，
当点P与点或点C重合时，直线AP与所成角为，
所以直线AP与所成角的取值范围是，
即异面直线AP与所成角的取值范围是，故②错误；
对于③，点P在线段上运动时，如图：
因为N为底面ABCD的中心，所以，
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面PAN，所以平面平面，即③正确；
对于④，点P在侧面内运动时，
因为平面，所以P到棱的距离等于的距离，
又P到棱的距离等于它到棱BC的距离，
所以等于点P到棱BC的距离，
根据抛物线的定义，知点P的轨迹为抛物线的一部分，即④正确．
故答案为：①③④．
对于①，根据点P到平面的距离就是点P到平面的距离，再由棱锥的体积公式，计算即可；对于②，由，知直线AP与所成角即为所求，转化为在中，计算AP与所成角的取值范围，即可；对于③，由，，证得平面，再由面面垂直的判定定理，得解；对于④，由平面，知P到棱的距离等于，再结合抛物线定义，即可判断．
本题考查空间中的动点问题，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理，异面直线夹角的求法，棱锥的体积公式，抛物线的定义是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力，属于中档题．
6.【答案】解：证明：取PB的中点M，连接
所以，所以，
又平面平面PBC，平面平面，平面PAB，
所以平面PBC，
又平面PBC，
所以，
因为底面ABCD是直角梯形，且，
所以，所以，又，，
所以平面PAB，
又ADC平面PAD，
所以平面平面
取PC的中点N，连接MN、DN，则，，
所以四边形AMND是平行四边形，则，
又平面PBC，所以平面PBC，
则是PD与平面PBC所成的角，
即，
在中，易知，
在直角梯形ABCD中，易知，
所以，所以，
所以，
在中，，
所以是等边三角形，从而，
所以，
故所求三棱锥的体积为
【解析】根据已知条件得出平面PAB，再利用面面垂直的判定定理即可得证：
先证明平面PBC，再利用等体积转换法求体积即可．
本题考查了面面垂直的判定以及等体积法求锥体的体积，属于中档题．
7.【答案】证明：，且E为AD的中点，
平面平面ABCD，平面平面，
平面面ABCD，
如图，取PC中点G，连接FG，
，G分别为PB和PC的中点，，且
四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
，，且，四边形EFGD为平行四边形，
又平面PCD，平面PCD，
平面
【解析】利用等腰三角形的性质、面面垂直的性质定理即可证明出结论．
如图，取PC中点G，连接FG，利用三角形中位线定理可得：，且进而得出四边形EFGD为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论．
本题考查了等腰三角形的性质、面面垂直的性质定理、三角形中位线定理、平行四边形、线面平行的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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