人教A版（2019）必修第二册《第8章 立体几何初步》2024年单元测试卷（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《第8章立体几何初步》 2024年单元测试卷（2）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设有直线m、n和平面，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
2.若l，m，n是互不相同的空间直线，，，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )
A. 若，，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
3.如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得，则这个二面角大小是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，则图中直角三角形的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知三棱锥中，为正三角形，，且P在底面ABC内的射影在的内部不包括边界，二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，则( )
A. B. C. D.
6.已知m、l是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法：
①若l垂直于内两条相交直线，则；
②若，且，则；
③若，，则；
④若，且，则
其中正确的序号是( )
A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②④
7.空间四边形ABCD中，若，，那么有( )
A. 平面平面ADC B. 平面平面ADB
C. 平面平面DBC D. 平面平面DBC
8.在正四面体中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A. 平面PDF B. 平面PAE
C. 平面平面ABC D. 平面平面ABC
9.如图，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，沿AE将折起，使二面角为，则四棱锥的体积是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
10.如图，在长方体中，，，E，F分别在AD和BC上，且若二面角等于，则______.
11.在边长为1的菱形ABCD中，，将菱形沿对角线AC折起，使折起后，则二面角的平面角的余弦值______.
12.如图，四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：
①平面PBC；
②平面平面PBD；
③平面平面PAC；
④平面平面
其中正确的结论序号是______.
13.已知l是平面外的一条直线．给出下列三个论断：
①；
②；
③
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：______.
14.如图，二面角的大小是，线段，，AB与l所成的角为则AB与平面所成的角的正弦值是______.
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至的位置，使
求证：平面平面ABC；
求二面角的余弦值.
16.本小题12分
如图，在三棱锥中，，，，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
求证：平面平面PAC；
当平面BDE时，求三棱锥的体积.
17.本小题12分
如图，在四棱锥中，底面ABCD是且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面
求证：；
若E为BC边的中点，则能否在棱PC上找到一点F，使平面平面ABCD，并证明你的结论.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、可能相交；两条相交直线互相平行才能确定，
B、可能相交．
C、且，又，正确．
D、，，，，则垂直不正确．
故选：
我们可以通过正方体来观察和理解．A、由面面平行的判定定理判断．B、相交时也成立．C、由且得，再由面面垂直的判断定定理判断．D、由面面平行的性质定理判断．
本题主要考查面面平行的判定，性质定理，面面垂直的判定，性质定理等，借助常见的几何体来判断会更有效．
2.【答案】D
【解析】解：一直线垂直于平面内的两条相交直线，那么该直线垂直于平面，A没说明l和m相交，故A错误；
B.两平面垂直，一平面内垂直于交线的直线才垂直另一平面，故B错误；
C.垂直于同一平面的两个平面是平行或者是相交的，不一定垂直，故C错误；
D.一平面平行于某平面的垂线，则垂直于该平面，故D正确；
故选：
考查平面及直线互相平行和垂直的条件，要求大家将数学语言转化为图形进行理解
本题要求对线、面平行和垂直的判定条件掌握的比较清楚，利用数形结合思想解决问题，属于中档题
3.【答案】C
【解析】解：由题意知，，，不妨设，
因为，又因为，所以，
所以，所以，所以二面角的大小为，
故选：
先寻找二面角的平面角为，再根据勾股定理逆定理判断．
本题考查了二面角的计算问题，属于中档题．
4.【答案】D
【解析】解：AB是圆O的直径，则，
由于平面ABC，平面ABC，
则，
又，PA，平面PAC，
所以平面PAC，
因为平面PAC，
则有，则是直角三角形；
由于平面ABC，则，，则和都是直角三角形；
再由，得，则是直角三角形．
综上可知：此三棱锥的四个面都是直角三角形．
故选
利用直径所对的圆周角为直角和线面垂直的判定定理和性质定理即可判断出答案．
熟练掌握直径所对的圆周角的性质、线面垂直的判定和性质定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：如图，过P作平面ABC，垂足为O，
过O作，交AB于D，过O作，交BC于E，过O作，交AC于F，
连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，
为正三角形，，二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，
，，，
，，
，
故选：
过P作平面ABC，垂足为O，过O作，交AB于D，过O作，交BC于E，过O作，交AC于F，推导出，，得到，由此得到
本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】A
【解析】解：①若l垂直于内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知，故①正确；
②若，且，则，可能相交或平行，故②错误
③由，，根据面面垂直的判定有，③故正确；
④若，且，则或l，m异面都有可能，故④错误；
因此正确命题的序号为①③．
故选：
根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得．
本题考查线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质定理，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解，，
平面BDC
又在平面ADC内，
平面平面DBC
故选：
用判定定理先证明平面BDC，再证明平面平面DBC即可．
本题主要考察了直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力，属于基础题．
正四面体中，其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得，所以平面PDF，进而可得答案．
【解答】
解：由，平面PDF，平面PDF，可得平面PDF，故A正确;
若平面ABC，设垂足为O，由条件易知，O在AE上，
则，又，，PO、平面PAE，
故平面PAE，故B正确;
假设平面平面ABC，平面平面，平面ABC，且，
则可得平面PDF，故，
又，，且AB，平面ABC，则可得平面ABC，
显然PD与平面ABC不垂直，故假设不立，即平面平面ABC不成立，C错误；
由平面PAE，平面ABC，可得平面平面ABC，故D正确;
故选：
9.【答案】A
【解析】解：如图：作，平面ABCE，连接OF
根据题意：
在中，
在中
故选：
作出四棱锥的高，在侧面ABD上的斜高，从而构造了二面角D_AE_B，计算出高和底的面积，再用棱锥的体积公式化求解．
本题主要考查平面图形和空间图形的转化，要注意前后的不变量和改变量．
10.【答案】1
【解析】解：由长方体的性质知，平面ABCD，
，且，
，
为二面角的平面角，即，
，
为等腰直角三角形，
，
故答案为：
由长方体的性质知，平面ABCD，易证，故为二面角的平面角，于是可推出为等腰直角三角形，求得CF的长后，即可得解．
本题考查二面角的求法，理解二面角的定义以便找出二面角的平面角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：设菱形中心为O，连接OB，OD，
，，
，是正三角形，
是AC的中点，，
，，
为二面角的平面角．
在中，由余弦定理得
故答案为
取AC的中点O，连结OB，OD，则为所求二面角的平面角，求出OB，OD，在中使用余弦定理求出
本题考查了二面角的定义与计算，作出二面角的平面角是关键，属于中档题．
12.【答案】①②④
【解析】解：①由底面为正方形，可得，
平面PBC，平面PBC，
可得平面PBC；
②在正方形ABCD中，，
底面ABCD，可得，
，可得平面PAC，
平面PBD，即有平面平面PBD；
③底面ABCD，可得，，
可得为二面角的平面角，
显然，故平面平面PAC不成立；
④在正方形ABCD中，可得，
底面ABCD，可得，
，可得平面PAD，
平面PCD，即有平面平面
综上可得，①②④正确．
故答案为：①②④．
①运用正方形的性质和线面平行的判定定理，即可判断；②运用线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定定理即可判断；③运用线面垂直的性质，可得二面角的平面角，判断即可得到；④运用线面垂直的性质和判断，结合面面垂直的判定定理，即可得到结论．
本题考查线面位置关系的判断，考查线面平行、线面垂直和面面垂直的判定定理的运用，考查空间想象和推理能力，属于中档题．
13.【答案】①②③或②③①
【解析】解：若，，l是平面外的一条直线，
则由线面垂直的性质和线面平行的判定定理得
①②③是真命题；
若，，则由面面垂直的判定定理得
②③①是真命题．
故答案为：①②③或②③①．
若，，l是平面外的一条直线，则由线面垂直的性质和线面平行的判定定理得；若，，则由面面垂直的判定定理得
本题考查正确命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线．垂足为D，连接AD，从而为二面角的平面角，连接CB，则为AB与平面所成的角，在直角三角形ABC中求出此角即可．
【解答】
解：过点A作平面的垂线，垂足为C，
在内过C作l的垂线．垂足为D
连接AD，有三垂线定理可知，
故为二面角的平面角，为
又由已知，
连接CB，则为AB与平面所成的角
设，则，，
故答案为：
15.【答案】证明：取AB的中点O，连接OD、OC，
和均是以AB为斜边的等腰直角三角形，
，，
为平面ABD与平面ABC所成的角．
在中，，，
，即，
平面平面
解：由知，平面平面ABC，，
平面平面，平面ABC，
平面ABD，
过点O作于M，连接CM，则即为二面角的平面角．
是等腰直角三角形，O为AB的中点
也为等腰直角三角形，且M为BD的中点，
，
在中，，
，
故二面角的余弦值为
【解析】本题主要考查二面角的求法，熟练理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
取AB的中点O，连接OD、OC，易知，，即为平面ABD与平面ABC所成的角；在中，由勾股定理的逆定理可证得，故平面平面ABC；
由平面平面ABC，可推出平面ABD，过点O作于M，连接CM，则即为所求，而，在中，由即可得解．
16.【答案】解：证明：，，，AB，平面ABC，
平面ABC，
又平面ABC，
，又，D为线段AC的中点，
，
又，PA，平面PAC，
平面PAC，
又平面BDE，
平面平面PAC；
平面BDE，平面平面，
，
为AC中点，
为PC中点，
故三棱锥的体积为
【解析】此题考查了线面垂直，面面垂直，线面平行，转化法求锥体体积，难度适中．
通过去证BD与PA，AC垂直，证得BD垂直平面PAC，进而得面面垂直；
先证E为中点，然后通过顶点转换把的体积转化为体积的四分之一即可得解．
17.【答案】解：证明：取AD中点O，连接OP，OB，
因为侧面PAD为正三角形，O为AD中点，
所以，
又底面ABCD是且边长为a的菱形，O为AD中点，
所以，
而，平面POB，平面POB，
所以平面POB，
又平面POB，
所以；
存在棱PC上的中点F，使平面平面ABCD，证明如下：
因为，，
所以，
又E，F分别为BC，PC的中点，
则，
所以，
又底面ABCD是且边长为a的菱形，E为BC中点，
所以，
而，且平面DEF，平面DEF，
所以平面DEF，
又平面ABCD，
所以平面平面
【解析】取AD中点O，容易证明平面POB，再利用线面垂直的性质即可得证；
为棱PC的中点，容易证明平面DEF，再由面面垂直的判定即可得证．
本题考查线面垂直的判定及其性质，考查面面垂直的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．
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