第 01 讲 一元二次方程
课程标准 学习目标
①一元二次方程的定义及一般形式 1. 掌握一元二次方程的定义、一般形式及其相关系数，并能
②一元二次方程的根 够熟练解决相关题目。
③根据实际问题列出简单的一元二 2. 掌握一元二次方程的根的定义并能够熟练应用。
次方程 3. 能够从实际问题中抽象出一元二次方程。
知识点 01 一元二次方程的定义及其一般形式
1. 一元二次方程的定义：
只含有 个未知数且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次项， 是二次项
系数。 是一次项， 一次项系数。 是常数项。
【即学即练 1】
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x+1 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．
【即学即练 2】
2．若关于 x 的方程 m 1 2xm 1 4x 5 0 是一元二次方程，则 m 的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【即学即练 3】
3．方程 2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6
知识点 02 一元二次方程的根
1．一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解。
【即学即练 1】
4．已知 x＝2 是一元二次方程 x2+mx+2＝0 的一个解，则 m 的值是（ ）
A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣3
知识点 03 根据实际问题列出一元二次方程
1．根据实际问题列出一元二次方程的简单步骤：
①正确理解题目的含义；
②找出题目中的数量关系和等量关系；
③列出一元二次方程。
【即学即练 1】
5．两个连续奇数的积为 323，求这两个数．若设较小的奇数为 x，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝323 B．x（x+2）＝323
C．x（x﹣2）＝323 D．（2x+1）（2x﹣1）＝323
题型 01 判断一元二次方程及其根据定义求值
【典例 1】下列是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣ ＝2021 B．x（x+6）＝0
C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
【变式 1】下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+ ﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
【典例 2】若方程（m﹣1）x2+x＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥0
C．m≥0 且 m≠1 D．m 为任意正实数
【变式 1】已知关于 x 的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0 是一元二次方程，则 k 的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【变式 2】若关于 x 的方程（m﹣2） +x+1＝0 是一元二次方程，则 m 的值是（ ）
A．m＝3 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2
【变式 3】关于 x 的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，
（1）当 k 满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当 k 满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
题型 02 画一元二次方程的标准形式及其系数的确定
【典例 1】方程 3x2﹣6x﹣9＝0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．﹣6；3；﹣9 B．3；﹣6；﹣9 C．3；﹣6；9 D．﹣3；﹣6；9
【变式 1】把一元二次方程 x（x+1）＝3x+2 化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0
【变式 2】将一元二次方程 2x2＝3x﹣1 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2，3 B．3，1 C．2x2，﹣3x D．2，﹣3
【变式 3】将一元二次方程（x+a）2＝b，化成 x2﹣8x﹣5＝0 的形式，则 a，b 的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【变式 4】若将一元二次方程 3x2﹣1＝﹣x 化成一般式为 3x2+bx+c＝0，则 b﹣c 的值为（ ）
A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣1
题型 03 根据一元二次方程的解求未知系数
【典例 1】若 x＝2 是方程 x2﹣5x+m＝0 的一个解，则 m 的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【变式 1】若 x＝﹣1 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根，则下列式子成立的是（ ）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0
【变式 2】若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b＝0 的解，则 3a+6b＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
【变式 3】若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1＝ 0（ a≠ 0）的解是 x＝﹣ 1，则 2024﹣ a+b 的值
是 ．
【变式 4】如果关于 x 的一元二次方程（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0 有一个解是 0，那么 m 的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．0 或﹣4
【变式 5】若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为 x＝2024，则一元二次方程 a（x﹣1）2+bx
﹣b+2＝0 必有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
题型 04 列简单的一元二次方程
【典例 1】如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空
地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2．设道路的宽为 x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【变式 1】三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，
四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是 35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到
的方程是（ ）
A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4
C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4
【变式 2】如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠
成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方形的边长．设
剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x+ ＝1
2．把一元二次方程 1＝2x﹣3x2 化成 ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、
常数项分别为（ ）
A．3，﹣2，1 B．﹣3，2，﹣1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1
3．已知 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+kx﹣6＝0 的一个根，则 k 的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
4．若关于 x 的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0 的一个根是 x＝0，则 a 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2 或﹣2 D．
5．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1＝0 的一个解是 x＝1，则代数式 2024﹣a﹣b 的值为（ ）
A．﹣2024 B．2023 C．2024 D．2025
6．已知 x＝2 是一元二次方程 x2+bx﹣c＝0 的解，则﹣4b+2c＝（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
7．已知 m 是方程 3x2﹣x﹣1＝0 的一个根，则代数式 的值应（ ）
A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间
8．已知 a 是方程 x2﹣2024x+1＝0 的一个根，则 ＝（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
9．若 m 是方程 x2﹣3x﹣2＝0 的根，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
10．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长 80cm，宽 50cm 的刺绣风景
画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金
色纸边的宽度为 x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ）
A．（50+x）（80+x）＝5400
B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400
C．（50+2x）（80+2x）＝5400
D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400
11．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 ．
12．已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项
是 ．
13．如果一元二次方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0 有一个根为 0，则 m 的值为 ．
14．已知方程 x2﹣2x﹣2＝0 的一个根是 m，则代数式 3m2﹣6m+2024 的值为 ．
15．如图，在长为 28 米，宽为 10 米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设
草坪，要使得草坪的面积为 243 平方米，请列出关于 x 的方程，并化为一般式 ．
16．已知关于 x 的方程 ，试问：
（1）m 为何值时，该方程是关于 x 的一元一次方程？
（2）m 为何值时，该方程是关于 x 的一元二次方程？
17．已知 x＝1，x＝﹣3 都是方程 ax2+bx﹣3＝0 的根，求 a、b 的值和这个一元二次方程的一般形式．
18．已知 x＝1 是一元二次方程 ax2+bx﹣20＝0 的一个解，且 a≠b，求 的值．
19．求下列各式中的 x 的值：
（1）5x2﹣10＝0； （2）3（x﹣4）2＝375．
20．已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长．
（1）如果 x＝1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．第 01 讲 一元二次方程
课程标准 学习目标
①一元二次方程的定义及一般形式 1. 掌握一元二次方程的定义、一般形式及其相关系数，并能
②一元二次方程的根 够熟练解决相关题目。
③根据实际问题列出简单的一元二 2. 掌握一元二次方程的根的定义并能够熟练应用。
次方程 3. 能够从实际问题中抽象出一元二次方程。
知识点 01 一元二次方程的定义及其一般形式
1. 一元二次方程的定义：
只含有 1 个未知数且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：
2 2
一元二次方程的一般形式是 ax bx c 0 a 0 。其中 ax 是二次项， a 是二次项
系数。 bx 是一次项， b 一次项系数。 c 是常数项。
【即学即练 1】
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x+1 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个
未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、是一元二次方程，故 A 正确；
B、是二元二次方程，故 B 错误；
C、是一元一次方程，故 C 错误；
D、是分式方程，故 D 错误；
故选：A．
【即学即练 2】
2
2．若关于 x 的方程 m 1 xm 1 4x 5 0 是一元二次方程，则 m 的值是（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．±1
【分析】根据一元二次方程的定义可得 m2+1＝2 且 m+1≠0，解得 m 的值即可．
【解答】解：∵关于 x 的方程 是一元二次方程，
∴m2+1＝2 且 m+1≠0，
解得：m＝1，
故选：C．
【即学即练 3】
3．方程 2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6
【分析】要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：方程 2x2＝3（x﹣6），
去括号，得 2x2＝3x﹣18，
整理，得 2x2﹣3x+18＝0，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是 2，﹣3，18，
故选：B．
知识点 02 一元二次方程的根
1．一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边的 成立 的 未知数 的值是一元二次方程的解。
【即学即练 1】
4．已知 x＝2 是一元二次方程 x2+mx+2＝0 的一个解，则 m 的值是（ ）
A．3 B．﹣1 C．0 D．﹣3
【分析】把 x＝2 代入 x2+mx+2＝0 得 4+2m+2＝0，然后解关于 m 的方程即可．
【解答】解：把 x＝2 代入 x2+mx+2＝0 得 4+2m+2＝0，解得 m＝﹣3．
故选：D．
知识点 03 根据实际问题列出一元二次方程
1．根据实际问题列出一元二次方程的简单步骤：
①正确理解题目的含义；
②找出题目中的数量关系和等量关系；
③列出一元二次方程。
【即学即练 1】
5．两个连续奇数的积为 323，求这两个数．若设较小的奇数为 x，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝323 B．x（x+2）＝323
C．x（x﹣2）＝323 D．（2x+1）（2x﹣1）＝323
【分析】两个连续的奇数相差 2，则较大的数为 x+2，再根据两数的积为 323 即可得出答案．
【解答】解：依题意得：较大的数为 x+2，
则有：x（x+2）＝323．
故选：B．
题型 01 判断一元二次方程及其根据定义求值
【典例 1】下列是关于 x 的一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣ ＝2021 B．x（x+6）＝0
C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：A．是分式方程，故本选项不合题意；
B．是关于 x 的一元二次方程，故本选项符合题意；
C．当 a＝0 时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D．未知数是最高次数是 3，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【变式 1】下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．3x2+ ﹣1＝0 B．5x2﹣6y﹣3＝0
C．ax2﹣x+2＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；
（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，
满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、是分式方程，故 A 错误；
B、是二元二次方程，故 B 错误；
C、a＝0 时，是一元一次方程，故 C 错误；
D、是一元二次方程，故 D 正确；
故选：D．
【典例 2】若方程（m﹣1）x2+x＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≥0
C．m≥0 且 m≠1 D．m 为任意正实数
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答．
【解答】解：依题意得：m﹣1≠0，
解得 m≠1．
故选：A．
【变式 1】已知关于 x 的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0 是一元二次方程，则 k 的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个
未知数．
【解答】解：由关于 x 的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0 是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2 且 k﹣3≠0．
解得 k＝﹣3．
故选：C．
【变式 2】若关于 x 的方程（m﹣2） +x+1＝0 是一元二次方程，则 m 的值是（ ）
A．m＝3 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．m＝±2
【分析】根据一元二次方程的定义得出 m﹣2≠0 且 m2﹣2＝2，再求出 m 即可．
【解答】解：∵关于 x 的方程（m﹣2） +x+1＝0 是一元二次方程，
∴m﹣2≠0 且 m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故选：C．
【变式 3】关于 x 的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，
（1）当 k 满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当 k 满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：（1）∵关于 x 的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0 是一元二次方程，
∴k2﹣1≠0，
∴k≠±1，
所以 k≠±1 时关于 x 的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0 是一元二次方程；
（2）关于 x 的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0 是一元一次方程，
∴k2﹣1＝0 且 k﹣1≠0，
∴k＝﹣1，
∴k＝﹣1 时关于 x 的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0 是一元一次方程．
题型 02 画一元二次方程的标准形式及其系数的确定
【典例 1】方程 3x2﹣6x﹣9＝0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．﹣6；3；﹣9 B．3；﹣6；﹣9 C．3；﹣6；9 D．﹣3；﹣6；9
【分析】根据一元二次方程的一般形式求解即可．
【解答】解：方程 3x2﹣6x﹣9＝0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 3，﹣6，﹣9．
故选：B．
【变式 1】把一元二次方程 x（x+1）＝3x+2 化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【解答】解：将一元二次方程 x（x+1）＝3x+2 化为一般形式之后，变为 x2﹣2x﹣2＝0，
故选：A．
【变式 2】将一元二次方程 2x2＝3x﹣1 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．2，3 B．3，1 C．2x2，﹣3x D．2，﹣3
【分析】根据 ax2+bx+c＝0（a≠0）的二次项系数和一次项系数分别是 a，b，据此即可作答．
【解答】解：∵2x2＝3x﹣1，
∴2x2﹣3x+1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别为 2，﹣3，
故选：D．
【变式 3】将一元二次方程（x+a）2＝b，化成 x2﹣8x﹣5＝0 的形式，则 a，b 的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（x+a）2＝b，
则 x2+2ax+a2＝b，
∴x2+2ax+a2﹣b＝0，
由题意得：2a＝﹣8，a2﹣b＝﹣5，
解得：a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
【变式 4】若将一元二次方程 3x2﹣1＝﹣x 化成一般式为 3x2+bx+c＝0，则 b﹣c 的值为（ ）
A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：∵3x2﹣1＝﹣x
∴3x2+x﹣1＝0
∵一元二次方程 3x2﹣1＝﹣x 化成一般式为 3x2+bx+c＝0，
∴b＝1，c＝﹣1
∴b﹣c＝2
故选：A．
题型 03 根据一元二次方程的解求未知系数
【典例 1】若 x＝2 是方程 x2﹣5x+m＝0 的一个解，则 m 的值为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【分析】把 x＝2 代入方程求出 m 即可．
【解答】解：∵x＝2 是方程 x2﹣5x+m＝0 的一个解，
∴4﹣10+m＝0，
∴m＝6．
故选：D．
【变式 1】若 x＝﹣1 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根，则下列式子成立的是（ ）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0
【分析】将 x＝﹣1 代人方程后即可得到正确的选项．
【解答】解：∵x＝﹣1 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根，
∴a﹣b+c＝0，
故选：B．
【变式 2】若 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+ax+2b＝0 的解，则 3a+6b＝（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣6
【分析】把 x＝1 代入一元二次方程得到 a+2b＝﹣1，再把 3a+6b 变形为 3（a+2b），然后利用整体代入的
方法计算．
【解答】解：把 x＝1 代入方程 x2+ax+2b＝0 得 1+a+2b＝0，
所以 a+2b＝﹣1，
所以 3a+6b＝3（a+2b）＝3×（﹣1）＝﹣3．
故选：C．
【变式 3】若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是 x＝﹣1，则 2024﹣a+b 的值是
2025 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到 a﹣b＝﹣1，再把 2024﹣a+b 变形为 2024﹣（a﹣b），然后利
用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1＝0（a≠0）的解是 x＝﹣1，
∴a×（﹣1）2+b×（﹣1）+1＝0，即 a﹣b＝﹣1，
∴2024﹣a+b＝2024﹣（a﹣b）＝2024﹣（﹣1）＝2025，
∴2024﹣a+b 的值是 2025．
故答案为：2025．
【变式 4】如果关于 x 的一元二次方程（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0 有一个解是 0，那么 m 的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．0 或﹣4
【分析】首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不
为 0，取舍得出 m 的值即可．
【解答】解：把 x＝0 代入（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0 中，得 m2﹣16＝0，
∴m2＝16，
∴m＝±4；
∵（m﹣4）x2+3x+m2﹣16＝0 是一元二次方程，
∴m﹣4≠0，
∴m≠4．
综上，m 的值是﹣4，
故选：B．
【变式 5】若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为 x＝2024，则一元二次方程 a（x﹣1）2+bx
﹣b+2＝0 必有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】对于一元二次方程 a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝﹣2，设 t＝x﹣1 得到 at2+bt+2＝0，利用 at2+bt+2＝
0 有一个根为 t＝2025 得到 x﹣1＝2024，从而可判断一元二次方程 a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0 必有一根为 x
＝2025．
【解答】解：对于一元二次方程 a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0，
设 t＝x﹣1，
所以 at2+bt+2＝0，
而关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为 x＝2024，
所以 at2+bt+2＝0 有一个根为 t＝2024，
则 x﹣1＝2024，
解得 x＝2025，
所以一元二次方程 a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0 必有一根为 x＝2025．
故选：D．
题型 04 列简单的一元二次方程
【典例 1】如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空
地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2．设道路的宽为 x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】由道路的宽为 x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m 的矩形，
根据草坪的面积为 570m2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为 x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m 的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
【变式 1】三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，
四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是 35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到
的方程是（ ）
A．x（x+2）＝35 B．x（x+2）＝35+4
C．x（x+2）＝4×35 D．x（x+2）＝4×35+4
【分析】关键描述语为：每一个矩形的面积都是 35，相应等量关系为：矩形的长×宽＝35，把相关变量
代入即可求解．
【解答】解：由图中可以看出小矩形的长为 x+2，宽为 x，
∵小矩形的面积为 35，
∴可列方程为 x（x+2）＝35，
故选：A．
【变式 2】如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠
成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是 32cm2，求剪去的小正方形的边长．设
剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x＝32 B．10×6﹣4x2＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32 D．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
【分析】设剪去的小正方形边长是 x cm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，
根据长方形的面积公式，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设剪去的小正方形边长是 x cm，则做成的纸盒的底面长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）
cm，
依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：D．
1．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣1＝0 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D．x+ ＝1
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．该方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．把一元二次方程 1＝2x﹣3x2 化成 ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，问转化后的二次项系数、一次项系数、
常数项分别为（ ）
A．3，﹣2，1 B．﹣3，2，﹣1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1
【分析】把原方程化为一元二次方程的一般形式即可得到答案．
【解答】解：一元二次方程 1＝2x﹣3x2 的一般形式为 3x2﹣2x+1＝0，
3x2﹣2x+1＝0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为 3，﹣2，1，
故选：A．
3．已知 x＝1 是关于 x 的一元二次方程 x2+kx﹣6＝0 的一个根，则 k 的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7
【分析】先根据一元二次方程解的定义，把 x＝1 代入关于 x 的一元二次方程 x2+kx﹣6＝0 得关于 k 的方
程，解方程即可．
【解答】解：把 x＝1 代入关于 x 的一元二次方程 x2+kx﹣6＝0 得：
1+k﹣6＝0，
k＝5，
故选：C．
4．若关于 x 的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0 的一个根是 x＝0，则 a 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2 或﹣2 D．
【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得 a2﹣4＝0 且 a+2≠0，解得 a 的值即
可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0 的一个根是 x＝0，
∴a2﹣4＝0 且 a+2≠0，
解得：a＝2，
故选：A．
5．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1＝0 的一个解是 x＝1，则代数式 2024﹣a﹣b 的值为（ ）
A．﹣2024 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】把 x＝1 代入 ax2+bx+1＝0，可得 a+b＝﹣1，再代入 2024﹣a﹣b，即可求解．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1＝0 的一个解是 x＝1，
∴a+b+1＝0，
即 a+b＝﹣1，
∴2024﹣a﹣b
＝2024﹣（a+b）
＝2024﹣（﹣1）
＝2024+1
＝2025．
故选：D．
6．已知 x＝2 是一元二次方程 x2+bx﹣c＝0 的解，则﹣4b+2c＝（ ）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【分析】根据题意，把 x＝2 代入方程 x2+bx﹣c＝0 中，进行计算可得 2b﹣c＝﹣4，然后再把所求的式子
变形为﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c），即可解答．
【解答】解：由题意得：
把 x＝2 代入方程 x2+bx﹣c＝0 中，
22+2b﹣c＝0，
∴2b﹣c＝﹣4，
∴﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c）
＝﹣2×（﹣4）
＝8，
故选：A．
7．已知 m 是方程 3x2﹣x﹣1＝0 的一个根，则代数式 的值应（ ）
A．1 和 2 之间 B．2 和 3 之间 C．3 和 4 之间 D．4 和 5 之间
【分析】根据一元二次方程解的意义可得 3m2﹣m﹣1＝0，从而可得 3m2﹣m＝1，然后把 3m2﹣m＝1 代
入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：3m2﹣m﹣1＝0，
∴3m2﹣m＝1，
∴
＝2（3m2﹣m）+
＝2×1+
＝2+ ，
∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴3＜2+ ＜4，
∴代数式 的值应在 3 和 4 之间，
故选：C．
8．已知 a 是方程 x2﹣2024x+1＝0 的一个根，则 ＝（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】根据方程的解的定义得出 a2﹣2024a+1＝0，然后变形为 a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，
，代入要求的式子计算即可．
【解答】解：∵a 是方程 x2﹣2024x+1＝0 的一个根，
∴a2﹣2024a+1＝0，
∴a2+1＝2024a，a2＝2024a﹣1，a≠0，
∴ ，
即 ，
∴
＝2024a﹣1﹣2023a+
＝a﹣1+
＝2024﹣1
＝2023，
故选：B．
9．若 m 是方程 x2﹣3x﹣2＝0 的根，则 的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】先根据分式的运算法则化简分式，再结合 m2﹣3m＝2 代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝ ，
∵m2﹣3m＝2，
∴ ，
故选：B．
10．“指尖上的非遗一一麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．在一幅长 80cm，宽 50cm 的刺绣风景
画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金
色纸边的宽度为 x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则列出的方程为（ ）
A．（50+x）（80+x）＝5400
B．（50﹣x）（80﹣x）＝5400
C．（50+2x）（80+2x）＝5400
D．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400
【分析】设金色纸边的宽度为 x cm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，根据题目条件列
出方程．
【解答】解：设金色纸边的宽度为 x cm，则挂图的长为（80+2x）cm，宽就为（50+2x）cm，
根据题意得（50+2x）（80+2x）＝5400．
故选：C．
11．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出 m+2≠0 且|m|＝2，再求出 m 即可．
【解答】解：∵方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0 是关于 x 的一元二次方程，
∴m+2≠0 且|m|＝2，
解得：m＝2．
故答案为：2．
12．已知一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝0，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是 ﹣
6 ．
【分析】先把化方程为一般式，从而得到常数项．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝0，
去括号，得 x2+3x﹣2x﹣6＝0，
合并，得 x2+x﹣6＝0，
所以常数项是﹣6．
故答案为：﹣6．
13．如果一元二次方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0 有一个根为 0，则 m 的值为 ﹣3 ．
【分析】根据题意可得：把 x＝0 代入方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0 中得：m2﹣9＝0，从而可得：m＝±
3，然后根据一元二次方程的定义可得 m﹣3≠0，从而进行计算即可解答．
【解答】解：把 x＝0 代入方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0 中得：m2﹣9＝0，
解得：m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．已知方程 x2﹣2x﹣2＝0 的一个根是 m，则代数式 3m2﹣6m+2024 的值为 2030 ．
【分析】根据方程的解满足方程代入得到含 m 的代数式的值，然后整体代入所求式子即可得到答案．
【解答】解：∵方程 x2﹣2x﹣2＝0 的一个根是 m，
∴m2﹣2m﹣2＝0，
∴m2﹣2m＝2，
∴3m2﹣6m+2024
＝3（m2﹣2m）+2024
＝3×2+2024
＝6+2024
＝2030，
故答案为：2030．
15．如图，在长为 28 米，宽为 10 米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设
草坪，要使得草坪的面积为 243 平方米，请列出关于 x 的方程，并化为一般式 x2﹣38x+37＝0 ．
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）
米、宽（10﹣x）米的矩形面积，结合草坪的面积为 243 平方米，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题
得解．
【解答】解：∵道路的宽为 x 米，
∴铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）米、宽（10﹣x）米的矩形面积．
∵草坪的面积为 243 平方米，
∴（28﹣x）（10﹣x）＝243．
化为一般式为：x2﹣38x+37＝0．
故答案为：x2﹣38x+37＝0．
16．已知关于 x 的方程 ，试问：
（1）m 为何值时，该方程是关于 x 的一元一次方程？
（2）m 为何值时，该方程是关于 x 的一元二次方程？
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出 m2﹣1＝1 或 m+1＝0 或 m2﹣1＝0，再求出 m 即可；
（2）根据一元二次方程的定义得出 m2﹣1＝2 且 m+1≠0，再求出 m 即可．
【解答】解：（1）要使关于 x 的方程 是一元一次方程，分 3 种情况：
①m2﹣1＝1，解得： ，该方程是一元一次方程；
②m+1＝0，解得：m＝﹣1，该方程是一元一次方程；
③m2﹣1＝0，解得：m＝±1，该方程是一元一次方程；
所以当 或 m＝±1 时，该方程是关于 x 的一元一次方程；
（2）要使关于 x 的方程 是一元二次方程，必须 m2﹣1＝2 且 m+1≠0，
解得： ，都满足 m+1≠0，
所以 时，该方程是关于 x 的一元二次方程．
17．已知 x＝1，x＝﹣3 都是方程 ax2+bx﹣3＝0 的根，求 a、b 的值和这个一元二次方程的一般形式．
【分析】根据一元二次方程解的定义，把 x＝1，x＝﹣3 分别代入方程 ax2+bx﹣3＝0 得关于 a，b 的方程
组，解方程组求出 a，b，再把 a，b 代入原方程即可．
【解答】解：把 x＝1，x＝﹣3 分别代入方程 ax2+bx﹣3＝0 得：
，方程组化简得： ，
①+②得：a＝1，
把 a＝1 代入①得：b＝2，
∴ ，这个一元二次方程的一般形式为：x2+2x﹣3＝0．
18．已知 x＝1 是一元二次方程 ax2+bx﹣20＝0 的一个解，且 a≠b，求 的值．
【分析】把 x＝1 代入方程，得到 a+b＝20；然后将其代入所求的代数式求值即可．
【解答】解：把 x＝1 代入方程，得：a+b＝20，又 a≠b
所以， ＝ ＝ ＝ ＝10．
19．求下列各式中的 x 的值：
（1）5x2﹣10＝0；
（2）3（x﹣4）2＝375．
【分析】（1）首先移项，再把方程两边都除以 5，最后开方即可．
（2）首先两边都除以 3，再直接开平方，解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）5x2 10＝0，
5x2＝10，
x2＝2，
∴ ；
（2）3（x 4）2＝375，
（x 4）2＝125，
x﹣4＝±5 ，
∴x1＝4+5 ，x2＝4﹣5 ．
20．已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长．
（1）如果 x＝1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把 x＝1 代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0 得 ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三
角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出 a＝b＝c，代入方程，即可得出 x2﹣x＝0，再解方程即可．
【解答】解：（1）△ABC 是等腰三角形，
理由是：∵把 x＝1 代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0 得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC 的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC 是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即 x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是 x1＝0，x2＝1．
