专题 02 一元二次方程的实际应用专项
类型一：一元二次方程与数学文化
类型二：一元二次方程与传播问题专项
类型三：一元二次方程与数字问题专项
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
类型一：一元二次方程与数学文化
1．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：
“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它
的高比宽多 6 尺 8 寸，它的对角线长 1 丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为 x 尺，
则依题意所列方程为（1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
2．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三
文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文．如果每株椽的运费
是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这
批椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210
3．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田
地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思
为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是 81 平方步，从水池边到圆周，每边相
距 3 步远，如图，设正方形的边长是 x 步，则列出的方程是（ ）
A． B．π（x+6）2﹣x2＝81
C．π（x+3）2﹣x2＝81 D．
4．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳
跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群
猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数是多
少？”设这群猴子的总数是 x 只，根据题意可列出的方程是（ ）
A．（8x）2＝x﹣12 B．（8x）2＝x+12
C． D．
5．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门
狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不
知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小 4 尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长 2 尺；将竿斜着穿过
门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长 AC 为 x 尺，依题意可得方程
是（ ）
A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．42+（x﹣2）2＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝2x2 D．（x﹣4）2+22＝x2
6．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，
问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3，乙一直
向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲
乙两人相遇的时间为 t，则可列方程是 ．
类型二：一元二次方程与传播问题专项
7．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺
炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有 49 人患了支原体肺炎（假设每个
人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
8．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，
经过两轮传染后共有 64 人患流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
（2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
9．某种病毒传播速度非常快，开始有 4 人被感染，经过两轮传播后，就有 256 人感染该病毒．若每轮传染
的速度相同．
（1）求每轮每人传染的人数；
（2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的 50%，求第三轮传播后新增感染人
数．
10．某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有 100 人患
病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）．
（1）每轮传染中平均一个人传染多少人？
（2）如果这 100 位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患
病？
11．如今，每到春季，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病之一，某一小区有 1 位住户不小心感染了
甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有 36 人患了甲流．
（1）每轮感染中平均一个人传染几人？
（2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过 200 人患了甲流？
类型三：一元二次方程与数字问题专项
12．一个两位数的个位数字与十位数字的和为 11，并且个位数字与十位数字的平方和为 85，求这个两位
数．
13．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为 8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位
数乘以原来的两位数就得 1855，求这个两位数．
14．一个两位数，个位数字比十位数字大 3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
15．一个两位数，十位数与个位数字之和是 3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原
来的两位数的乘积为 252，求原来的两位数．
16．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小 9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得
到的两位数比原来的两位数小 27，求原来的两位数．
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
17．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排
15 场比赛，求八年级有多少个班级．
18．2023 年 10 月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排 66
场比赛，那么有多少个球队参加比赛？
19．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比
赛），共要进行 110 场比赛，问有多少支球队参加比赛？
20．某教育局组织教职工男子篮球比赛．
（1）本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了 28 场比赛，问：有多少支
队参加比赛？
（2）在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是
400 平方米，求每个正方形的边长．
21．课本再现
（1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，问
应该邀请多少支球队参加比赛？
模型变式
（2）2022 年 11 月 8 日晚，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛
所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行 110 场比赛，求有多少支球队参
加比赛．
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
22．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020 年出口
量为 20 万台，2022 年出口量增加到 45 万台．求 2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是
多少？
23．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，截
止到 2022 年底广东 5G 基站的数量约 25 万座，计划到 2024 年底，全省 5G 基站数量将达到 36 万座．
（1）按照计划，求 2022 年底到 2024 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率；
（2）按照这个年平均增长率，到 2025 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？
24．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某
市从 2021 年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每
年投入资金的增长率相同，其中 2021 年投入资金 1000 万元，2023 年投入资金 1440 万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023 年小区改造的平均费用为每个 80 万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市 2024 年最
多可以改造多少个小区？
25．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区 2012 年底拥有家庭
轿车 64 辆，2014 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆．
（1）若该小区 2012 年底到 2014 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2015 年底家
庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内
车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，
求该小区最多可建室内车位多少个？
26．在九年级迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视．同学们在八上期末、八下
开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的 150 人满分，到八下半
期满分人数上升至 216 人．
（1）如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；
（2）已知体测满分 50 分，该年级共 700 名学生，其中有 10 名同学因身体原因每次测试只能得到 35
分．年级计划通过一系列举措，力争在八下期末测试时满分人数比八下半期满分人数增加 25%．那么除
了满分同学和 10 名因身体原因同学之外，其余同学至少平均多少分，才能使全年级平均分不低于 46 分？
（结果精确到 0.1）
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
27．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售量，增加利润，尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，那么商场平均
每天可多售出 2 件，若商场想平均每天盈利达 1200 元，那么每件衬衫应降价多少元？
28．合肥某水果店在 5 月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为 30 元，平均每天可卖 50 盒，经过调查发现
每降价 1 元，可多销售 10 盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利 3000
元，则每盒枇杷应降价多少元？
29．某商场销售一批运动服，平均每天可售出 30 套，每套盈利 100 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库
存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价 2 元，商场平均每天可多售出 1
套．
（1）当每套运动服降价 x（x 是偶数）元时，商场每天可售出运动服 套（用含 x 的代数式表
示）；
（2）若商场每天要盈利 3150 元，则每套运动服应降价多少元？
30．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，
后来经过市场调查发现，单价每降低 3 元，则平均每天的销售可增加 30 千克，若该专卖店销售这种核桃
要想平均每天获利 2090 元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
31．根据以下素材，探索完成任务．
素材 1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某
工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，
该零件 4 月份生产 100 个，6 月份生产 144 个．
素材 2 该厂生产的零件成本为 30 元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为 40 元/个
时，月销售量为 600 个，若在此基础上售价每上涨 1 元，则月销售量将减少 10
个，
问题解决
任务 1 该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率；
任务 2 为使月销售利润达到 10000 元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际
售价应定为多少元？
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
32．如图所示，某农户用 16m 长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长 10m），且面积为 50m2 的长方形花园，
垂直于住房墙的一条边留有一个 1m 宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为 x m，若可列方程为 x
（★）＝50，则★表示的代数式为 ．
33．有一个长、宽分别为 20m 和 12m 的矩形水池 ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平
行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与 AB 平行，另两
条与 BC 平行，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的 ．
（1）设道路的宽为 x m，则正方形的面积为 m2．（用含 x 的代数式表示）
（2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽．
34．如图，校园空地上有一面长为 4 米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和 20 米的围栏围成一
个矩形花园 ABCD．
（1）如图 1，利用墙围成矩形花园 ABCD，若围成的花园面积为 32 平方米，求花园的边长；
（2）如图 2，用围栏补墙得到矩形花园 ABCD，花园的面积可能为 36 平方米吗？若能，请求出 BC 的长；
若不能，请说明理由．
35．如图，用一段 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个 1 米的门，
墙的最大可用长度为 30 米．
（1）如果羊圈的总面积为 300 平方米，求边 AB 的长；
（2）请问羊圈的总面积能为 440 平方米吗？若能，请求出边 AB 的长；若不能，请说明理由．
36．社区利用一块矩形空地 ABCD 建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知 AD＝52m，AB＝28m，阴
影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x 米的道路．已知铺花砖的面积为 640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位 50 个，据调查分析，当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租出；若每个车
位的月租金每上涨 5 元，就会少租出 1 个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收
入为 10125 元？
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
37．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿
AB 向终点 B 运动，点 Q 同时从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC 向终点 C
运动，设点 P，Q 的运动时间为 t 秒，连接 PQ，当△PBQ 的面积为 时，t 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
38．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 出发向终点 B 以 1cm/s
的速度移动；同时点 Q 沿 BC 边从点 B 出发向终点 C 以 2cm/s 的速度移动，当其中一点到达终点时，另
一点也随之停止移动．当△PBQ 的面积为 12cm2 时，点 P 一运动的时间是（ ）
A．2s B．2s 或 6s C．6s D．6s 或 8s
39．如图 A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，
点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B 点为止，点 Q 以 2cm/s 的速度向 D 点移动，当点 P 到达 B
点时点 Q 随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含 t 的代数式表
示）；
（2）t 为多少时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2；
（3）t 为多少时，点 P 和点 Q 的距离为 10cm．
40．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝14cm，CD＝25cm，AD＝5cm，点 P 从点 A 出
发，以 1cm/s 的速度向点 B 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 2cm/s 的速度向点 D 运动．规定其中一个动
点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为 t s．
（1）当 t＝ s 时，四边形 PQCB 为平行四边形；
（2）当 PQ＝13cm 时，求 t 的值．
41．如图，在△ABC 中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度向 B 点
移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果 P、Q 两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ 的面积等于 4cm2；
②△PBQ 的面积能否等于 5cm2，并说明理由．专题 02 一元二次方程的实际应用专项
类型一：一元二次方程与数学文化
类型二：一元二次方程与传播问题专项
类型三：一元二次方程与数字问题专项
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
类型一：一元二次方程与数学文化
1．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：
“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的门，它
的高比宽多 6 尺 8 寸，它的对角线长 1 丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽为 x 尺，
则依题意所列方程为（1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
【分析】根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为（x+6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于 x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形的门的高比宽多 6 尺 8 寸，且门宽为 x 尺，
∴门高为（x+6.8）尺．
根据题意得：x2+（x+6.8）2＝102．
故选：A．
2．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三
文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为 6210 文．如果每株椽的运费
是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6210 文能买多少株椽？设这
批椽的数量为 x 株，则符合题意的方程是（ ）
A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210
C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210
【分析】根据”少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱“可得出相应的方程．
【解答】解：根据题意得：
3（x﹣1）x＝6210．
故选：D．
3．我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田
地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一”．其大意思
为：有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好是 81 平方步，从水池边到圆周，每边相
距 3 步远，如图，设正方形的边长是 x 步，则列出的方程是（ ）
A． B．π（x+6）2﹣x2＝81
C．π（x+3）2﹣x2＝81 D．
【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案．
【解答】解：根据题意，得：π（ +3）2﹣x2＝81．
故选：D．
4．印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳
跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群
猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数是多
少？”设这群猴子的总数是 x 只，根据题意可列出的方程是（ ）
A．（8x）2＝x﹣12 B．（8x）2＝x+12
C． D．
【分析】由这群猴子的总数，可得出一队猴子数是（ x）2 只，利用猴子总数＝两队猴子数之和，即可
得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵这群猴子的总数是 x 只，
∴一队猴子数是（ x）2 只．
根据题意得：x＝（ x）2+12．
故选：D．
5．《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门
狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不
知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小 4 尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长 2 尺；将竿斜着穿过
门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长 AC 为 x 尺，依题意可得方程
是（ ）
A．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2 B．42+（x﹣2）2＝x2
C．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝2x2 D．（x﹣4）2+22＝x2
【分析】若设竿长 AC 为 x 尺，则 BC 为（x﹣4）尺，AB 为（x﹣2）尺，利用勾股定理，可得出关于 x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：若设竿长 AC 为 x 尺，则 BC 为（x﹣4）尺，AB 为（x﹣2）尺，
根据题意得：（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2．
故选：A．
6．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，
问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3，乙一直
向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”若设甲
乙两人相遇的时间为 t，则可列方程是 ．
【分析】依照题意，画出图形，利用勾股定理，即可列出关于 t 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示．
根据题意得：102+（3t）2＝（7t﹣10）2．
故答案为：102+（3t）2＝（7t﹣10）2．
类型二：一元二次方程与传播问题专项
7．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺
炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有 49 人患了支原体肺炎（假设每个
人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则第一轮传染中有 x 人被传染，第二轮传染中有 x
（1+x）人被传染，根据“有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有 49 人患了支原体肺炎”，可列
出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则第一轮传染中有 x 人被传染，第二轮传染中有 x
（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝49，
解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了 6 个人．
8．冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，
经过两轮传染后共有 64 人患流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
（2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，根据经过两轮传染后共有 64 人患流感．列出一元二
次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）求出第三轮感染的人数，即可解决问题．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 人，
由题意得：1+x+（1+x）x＝64，
解得：x＝7，x＝﹣9（不合题意舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了 7 人；
（2）第三轮感染的人数＝64×7＝448（人），
∴第三轮感染后，患流感的总人数为：448+64＝512（人），
答：第三轮感染后，患流感的共有 512 人．
9．某种病毒传播速度非常快，开始有 4 人被感染，经过两轮传播后，就有 256 人感染该病毒．若每轮传染
的速度相同．
（1）求每轮每人传染的人数；
（2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的 50%，求第三轮传播后新增感染人
数．
【分析】（1）设每轮每人传染 x 人，则第一轮中有 4x 人被感染，第二轮中有 x（4+4x）中人被感染，根
据“开始有 4 人被感染，经过两轮传播后，就有 256 人感染该病毒”，可列出关于 x 的一元二次方程，解
之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）利用第三轮传播后新增感染人数＝256×每轮每人传染人数×50%，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮每人传染 x 人，则第一轮中有 4x 人被感染，第二轮中有 x（4+4x）中人被感染，
根据题意得：4+4x+x（4+4x）＝256，
整理得：（1+x）2＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9（不符合题意，舍去）．
答：每轮每人传染 7 人；
（2）256×7×50%＝896（人）．
答：第三轮传播后新增感染 896 人．
10．某流感病毒传染性很强，若有一人感染上此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后，共有 100 人患
病（假设每轮传染中，平均一个人传染的人数相同）．
（1）每轮传染中平均一个人传染多少人？
（2）如果这 100 位病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患
病？
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人，根据“若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经
过两轮传染后共有 100 人患病”，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用经过三轮传染后患病的人数＝经过两轮传染后患病的人数×（1+9），即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了 x 个人，
依题意得：（x+1）2＝100，
解得：x1＝9，x2＝﹣11（不合题意，舍去）；
答：每轮传染中平均每个人传染了 9 个人．
（2）100×（1+9）＝1000（人）．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有 1000 人患病．
11．如今，每到春季，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病之一，某一小区有 1 位住户不小心感染了
甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有 36 人患了甲流．
（1）每轮感染中平均一个人传染几人？
（2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过 200 人患了甲流？
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染 x 人，根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）利用（1）的结果再计算即可．
【解答】解：（1）设每轮感染中平均一个人传染 x 人，根据题意，得（1+x）2＝36．
解得 x＝5，或 x＝﹣7（不合题意舍去）．
答：每轮感染中平均一个人传染 5 人．
（2）根据题意，知第三轮的患病人数为（5+1）3＝216，
∵200＜216，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数会超过 200 人．
类型三：一元二次方程与数字问题专项
12．一个两位数的个位数字与十位数字的和为 11，并且个位数字与十位数字的平方和为 85，求这个两位
数．
【分析】设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为（11﹣x），根据个位数字与十位数字的平方和为
85，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设个位数字为 x，则十位数字为 （11﹣x），
x2+（11﹣x）2＝85，
解得：x1＝2，x2＝9．
当 x＝2 时，两位数为 92，
当 x＝9 时，两位数为 29．
答：两位数为 92 或 29．
13．有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为 8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位
数乘以原来的两位数就得 1855，求这个两位数．
【分析】设个位为 x，则十位上的数字为 8﹣x，根据如果十位上的数字与个位上的数字对调，则所得两
位数乘以原来的两位数就得 1855，求解即可．
【解答】解：设原来个位为 x，则十位上的数字为 8﹣x，
由题意得，[10×（8﹣x）+x][10x+8﹣x]＝1855
解得：x1＝3，x2＝5，
原来十位上的数字为 5 或 3，
答：原来这个两位数 53 或 35．
14．一个两位数，个位数字比十位数字大 3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？
【分析】先设个位数字为 x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是[10（x﹣3）+x]，然后根据个位数
字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解即可．
【解答】解：设个位数字为 x，那么十位数字是（x﹣3），这个两位数是 10（x﹣3）+x，
依题意得：x2＝10（x﹣3）+x，
∴x2﹣11x+30＝0，
∴x1＝5，x2＝6，
∴x﹣3＝2 或 3．
答：这个两位数是 25 或 36．
15．一个两位数，十位数与个位数字之和是 3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原
来的两位数的乘积为 252，求原来的两位数．
【分析】设原来的两位数十位上的数字为 x，则个位上的数字为（3﹣x），根据所得的新两位数与原来的
两位数的乘积为 252，可列出方程求解．
【解答】解：设原来的两位数十位上的数字为 x，则个位上的数字为（3﹣x），依题意得：
（10x+3﹣x）[10（3﹣x）+x]＝252，
解得 x1＝1，x2＝2，
当 x＝1 时，3﹣x＝2，
当 x＝2 时，3﹣x＝1，
原来的两位数是 12 或 21．
答：原来的两位数是 12 或 21．
16．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小 9，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得
到的两位数比原来的两位数小 27，求原来的两位数．
【分析】等量关系为：原来的两位数﹣新两位数＝27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两
位数的表示方法求得两位数即可．
【解答】解：设原两位数个位上的数字为 x，则十位上的数字为（x2﹣9）．
∴10（x2﹣9）+x﹣10x﹣（x2﹣9）＝27，
解得 x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去）．
∴x2﹣9＝7，
∴10（x2﹣9）+x＝74．
答：原两位数为 74．
类型四：一元二次方程与单双循环问题专项
17．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排
15 场比赛，求八年级有多少个班级．
【分析】设八年级有 x 个班，“根据各班均组队参赛，赛制为单循环形式且共需安排 15 场比赛”，即可得
出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可．
【解答】解：设八年级有 x 个班，
，
，
x2﹣x﹣30＝0，
（x﹣6）（x+5）＝0，
解得 x1＝6，x2＝﹣5（舍），
则八年级有 6 个班．
18．2023 年 10 月，我市组织初中男子篮球赛，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场）共安排 66
场比赛，那么有多少个球队参加比赛？
【分析】根据题意赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），n 个球队比赛总场数为 ，理解关
系即可列出方程．
【解答】解：设一共有 x 个球队参赛，
根据题意得： ，
整理得：x2﹣x﹣132＝0，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不符合题意，舍去），
答：一共有 12 个球队参赛．
19．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比
赛），共要进行 110 场比赛，问有多少支球队参加比赛？
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2 队之间要赛 2 场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）
＝110，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有 x 支球队参加比赛．
由题意可得：x（x﹣1）＝110，
解得 x＝11，x＝﹣10（不合题意，舍去），
∴有 11 支球队参加比赛．
20．某教育局组织教职工男子篮球比赛．
（1）本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了 28 场比赛，问：有多少支
队参加比赛？
（2）在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是
400 平方米，求每个正方形的边长．
【分析】（1）设有 x 支队参加比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，可列出
关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设每个正方形的边长为 y 米，根据观众席的总面积是 400 平方米，可列出关于 y 的一元二次方程，
解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设有 x 支队参加比赛，
根据题意得： x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝﹣7（不符合题意，舍去），x2＝8．
答：有 8 支队参加比赛；
（2）设每个正方形的边长为 y 米，
根据题意得：4y2＝400，
解得：y1＝10，y2＝﹣10（不符合题意，舍去）．
答：每个正方形的边长为 10 米．
21．课本再现
（1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排 15 场比赛，问
应该邀请多少支球队参加比赛？
模型变式
（2）2022 年 11 月 8 日晚，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛
所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行 110 场比赛，求有多少支球队参
加比赛．
【分析】（1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可；
（2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可．
【解答】解：（1）设应该邀请 x 支球队参加比赛，
依题意得： ，
解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），
答：应该邀请 6 支球队参加比赛．
（2）设有 y 支球队参加比赛，
依题意得： ，
解得：y1＝11，y2＝﹣10（不符合题意，舍去），
答：有 11 支球队参加比赛．
类型五：一元二次方程与平均增长率问题专项
22．新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2020 年出口
量为 20 万台，2022 年出口量增加到 45 万台．求 2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是
多少？
【分析】设 2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是 x，根据 2020 年出口量为 20 万台，
2022 年出口量增加到 45 万台．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设 2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是 x，
根据题意得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去），
答：2020 年到 2022 年新能源汽车出口量的年平均增长率是 50%．
23．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，截
止到 2022 年底广东 5G 基站的数量约 25 万座，计划到 2024 年底，全省 5G 基站数量将达到 36 万座．
（1）按照计划，求 2022 年底到 2024 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率；
（2）按照这个年平均增长率，到 2025 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？
【分析】（1）设全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式计算即可求解．
【解答】解：（1）设全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x，
有：25（1+x）2＝36．
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍）．
∴全省 5G 基站数量的年平均增长率为 20%．
（2）按照这个年平均增长率，到 2025 年底，全省 5G 基站的数量为 36×（1+20%）＝43.2 万座，
答：全省 5G 基站的数量是 43.2 万座．
24．聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思路，某
市从 2021 年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新颜”．已知每
年投入资金的增长率相同，其中 2021 年投入资金 1000 万元，2023 年投入资金 1440 万元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023 年小区改造的平均费用为每个 80 万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市 2024 年最
多可以改造多少个小区？
【分析】（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为 x，根据 2023 年投入资金金额＝2021 年投入资
金金额×（1+年平均增长率）2，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）用 2024 年投入的费用除以改造的平均费用即可求解．
【解答】解：（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为 x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为 20%；
（2）1440×（1+20%）÷80≈21.6．
答：该市在 2024 年最多可以改造 21 个小区．
25．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加．据统计，某小区 2012 年底拥有家庭
轿车 64 辆，2014 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆．
（1）若该小区 2012 年底到 2014 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2015 年底家
庭轿车将达到多少辆？
（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位．据测算，建造费用分别为室内
车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，
求该小区最多可建室内车位多少个？
【分析】（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x，根据某小区 2012 年底拥有家庭轿车辆，2014 年底
家庭轿车的拥有量达到 100 辆列一元二次方程求出 x 的值，进一步计算即可；
（2）设该小区可建室内车位 a 个，根据计划露天车位的数量不少于室内车位的 2 倍，据此列一元一次不
等式组，求出 x 的取值范围，据此即可解答．
【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x，
根据题意可得：64（1+x）2＝100，解得：x＝0.25 或﹣2.25（舍去），
∴100（1+0.25）＝125（辆）．
答：该小区到 2015 年底家庭轿车将达到 125 辆．
（2）设该小区可建室内车位 a 个，则露天车位 150000﹣5000a 1000 个，
根据题意可得： ，解得： ，
∵a 为整数，
∴小区最多可建室内车位 21 个．
答：小区最多可建室内车位 21 个．
26．在九年级迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视．同学们在八上期末、八下
开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的 150 人满分，到八下半
期满分人数上升至 216 人．
（1）如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；
（2）已知体测满分 50 分，该年级共 700 名学生，其中有 10 名同学因身体原因每次测试只能得到 35
分．年级计划通过一系列举措，力争在八下期末测试时满分人数比八下半期满分人数增加 25%．那么除
了满分同学和 10 名因身体原因同学之外，其余同学至少平均多少分，才能使全年级平均分不低于 46 分？
（结果精确到 0.1）
【分析】（1）设每次测试满分人数增加的百分率为 x，根据八下半期满分人数＝八上期末满分人数×
（1+每次测试满分人数增加的百分率）2，可列出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可
得出结论；
（2）设其余同学的平均得分为 y 分，根据全年级平均分不低于 46 分，可列出关于 y 的一元一次不等式，
解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每次测试满分人数增加的百分率为 x，
根据题意得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：每次测试满分人数增加的百分率为 20%；
（2）设其余同学的平均得分为 y 分，
根据题意得：50×216×（1+25%）+35×10+[700﹣216×（1+25%）﹣10]y≥46×700，
解得：y≥43.7，
∴y 的最小值为 43.7．
答：其余同学至少平均得分为 43.7 分．
类型六：一元二次方程与销售利润问题专项
27．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售量，增加利润，尽
快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，那么商场平均
每天可多售出 2 件，若商场想平均每天盈利达 1200 元，那么每件衬衫应降价多少元？
【分析】设每件衬衫应降价 x 元，那么就多卖出 2x 件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，根
据每天盈利 1200 元，可列方程求解．
【解答】解：设每件衬衫应降价 x 元，
由题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
即 2x2﹣60x+400＝0，
∴x2﹣30x+200＝0，
∴（x﹣10）（x﹣20）＝0，
解得：x＝10 或 x＝20
为了减少库存，所以 x＝20．
故每件衬衫应降价 20 元．
28．合肥某水果店在 5 月份准备了一批西山枇杷，每盒利润为 30 元，平均每天可卖 50 盒，经过调查发现
每降价 1 元，可多销售 10 盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利 3000
元，则每盒枇杷应降价多少元？
【分析】设每盒枇杷降价 x 元，则每盒的利润为（30﹣x）元，平均每天可卖（50+10x）盒，根据专卖店
要想平均每天盈利 3000 元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：设每盒枇杷降价 x 元，则每盒的利润为（30﹣x）元，平均每天可卖（50+10x）盒，
依题意得：（30﹣x）（50+10x）＝3000，
整理得：x2﹣25x+150＝0，
解得：x1＝15，x2＝10（不符合题意，舍去），
答：每盒枇杷降价 15 元．
29．某商场销售一批运动服，平均每天可售出 30 套，每套盈利 100 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库
存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价 2 元，商场平均每天可多售出 1
套．
（1）当每套运动服降价 x（x 是偶数）元时，商场每天可售出运动服 （30+ ） 套（用含 x 的代数
式表示）；
（2）若商场每天要盈利 3150 元，则每套运动服应降价多少元？
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）设每套运动服应降价 x 元，根据利润＝销售的数量×每套的盈利，结合商场每天要盈利 3150 元，
列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：（1）当每套运动服降价 x（x 是偶数）元时，商场每天可售出运动服（30+ ）套；
故答案为：（30+ ）；
（2）设每套运动服应降价 x 元，
根据题意得：（100﹣x）（30+ ）＝3150，
整理得：x2﹣40x+300＝0，
解得：x1＝30，x2＝10（不符合题意，舍去），
答：每套运动服应降价 30 元．
30．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，
后来经过市场调查发现，单价每降低 3 元，则平均每天的销售可增加 30 千克，若该专卖店销售这种核桃
要想平均每天获利 2090 元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【分析】（1）设每千克核桃降价 x 元，利用销售量×每件利润＝2240 元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降 6 元，求出此时的销售单价即可确定几折．
【解答】解：（1）设每千克核桃应降价 x 元．
根据题意，得 ．
化简，得 x2﹣10x+9＝0 解得 x1＝1，x2＝9
答：每千克核桃应降价 1 元或 9 元．
（2）由（1）可知每千克核桃可降价 1 元或 9 元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 9 元．
此时，售价为：60﹣9＝51（元），
∴ ，
答：该店应按原售价的八五折出售．
31．根据以下素材，探索完成任务．
素材 1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某
工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，
该零件 4 月份生产 100 个，6 月份生产 144 个．
素材 2 该厂生产的零件成本为 30 元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为 40 元/个
时，月销售量为 600 个，若在此基础上售价每上涨 1 元，则月销售量将减少 10
个，
问题解决
任务 1 该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率；
任务 2 为使月销售利润达到 10000 元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际
售价应定为多少元？
【分析】（1）设该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率为 x，利用该车间 6 月份生产数量＝该车
间 4 月份生产数量×（1+该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率）2，可列出关于 x 的一元二次方
程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该零件的实际售价应定为 y 元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为（1000﹣10y）个，
利用总利润＝每个的销售利润×月销售量，可列出关于 y 的一元二次方程，解之可得出 y 的值，再结合
要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论．
【解答】解：（1）设该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率为 x，
根据题意得：100（1+x）2＝114，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：该车间 4 月份到 6 月份生产数量的平均增长率为 20%；
（2）设该零件的实际售价应定为 y 元，则每个的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为 600﹣10（y﹣40）
＝（1000﹣10y）个，
根据题意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，
整理得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝50，y2＝80，
又∵要尽可能让车企得到实惠，
∴y＝50．
答：该零件的实际售价应定为 50 元．
类型七：一元二次方程与几何图形面积问题专项
32．如图所示，某农户用 16m 长的篱笆围成一个一边靠住房墙（墙长 10m），且面积为 50m2 的长方形花园，
垂直于住房墙的一条边留有一个 1m 宽的门，设垂直于住房墙的另一条边的边长为 x m，若可列方程为 x
（★）＝50，则★表示的代数式为 （17﹣2x） ．
【分析】确定平行于墙的一边与 x 的关系即可求解．
【解答】解：由题意可得：平行于墙的一边为：（16﹣2x+1），
即为：（17﹣2x）．
故答案为：（17﹣2x）．
33．有一个长、宽分别为 20m 和 12m 的矩形水池 ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平
行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与 AB 平行，另两
条与 BC 平行，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的 ．
（1）设道路的宽为 x m，则正方形的面积为 16x2 m2．（用含 x 的代数式表示）
（2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽．
【分析】（1）设道路的宽为 x m，则正方形的边长为 4x m，即可得出结论；
（2）根据道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的 ．即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其
正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设道路的宽为 x m，则正方形的边长为 4x m，
∴正方形的面积为（4x）2＝16x2（m2），
故答案为：16x2；
（2）依题意得：x（20﹣4x）+x（12﹣4x）+（4x）2＝ ×20×12，
整理得：x2+4x﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
答：道路的宽为 1 米．
34．如图，校园空地上有一面长为 4 米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和 20 米的围栏围成一
个矩形花园 ABCD．
（1）如图 1，利用墙围成矩形花园 ABCD，若围成的花园面积为 32 平方米，求花园的边长；
（2）如图 2，用围栏补墙得到矩形花园 ABCD，花园的面积可能为 36 平方米吗？若能，请求出 BC 的长；
若不能，请说明理由．
【分析】（1）设 AB＝x 米，则 BC＝（20﹣2x）米，根据围成的花园面积为 32 平方米，可列出关于 x 的
一元二次方程，解之可得出 x 的值，再结合墙长 4 米，即可确定结论；
（2）花园的面积能为 36 平方米，设 AB＝y 米，则 BC＝ ＝（12﹣y）米，根据围成的花园面积
为 36 平方米，可列出关于 y 的一元二次方程，解之可得出 y 的值，再将其代入（12﹣y）中，即可得出
结论．
【解答】解：（1）设 AB＝x 米，则 BC＝（20﹣2x）米，
根据题意得：x（20﹣2x）＝32，
整理得：x2﹣10x+16＝0，
解得：x1＝2，x2＝8，
当 x＝2 时，20﹣2x＝20﹣2×2＝16＞4，不符合题意，舍去；
当 x＝8 时，20﹣2x＝20﹣2×8＝4，符合题意．
答：花园的边长为 8 米和 4 米；
（2）花园的面积能为 36 平方米，
设 AB＝y 米，则 BC＝ ＝（12﹣y）米，
根据题意得：y（12﹣y）＝36，
整理得：y2﹣12y+36＝0，
解得：y1＝y2＝6，
∴12﹣y＝12﹣6＝6．
答：花园的面积能为 36 平方米，BC 的长为 6 米．
35．如图，用一段 77 米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个 1 米的门，
墙的最大可用长度为 30 米．
（1）如果羊圈的总面积为 300 平方米，求边 AB 的长；
（2）请问羊圈的总面积能为 440 平方米吗？若能，请求出边 AB 的长；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设边 AB 的长为 x 米，则 AD＝（80﹣4x）米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程
并求解即可获得答案；
（2）由（1）可得 x（80﹣4x）＝440，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案．
【解答】解：（1）设边 AB 的长为 x 米，则 AD＝77﹣4x+3＝（80﹣4x）米，
根据题意可得 x（80﹣4x）＝300，
解得 x1＝5，x2＝15，
∵墙的最大可用长度为 30 米，且当 x＝5 时，AD＝80﹣4×5＝60（米），不合题意，
∴x＝15 米．
答：边 AB 的长为 15 米；
（2）若羊圈的总面积能为 440 平方米，
则结合（1）可得 x（80﹣4x）＝440，
整理，得 x2﹣20x+110＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×110＝﹣40＜0，
∴羊圈的总面积不能为 440 平方米．
36．社区利用一块矩形空地 ABCD 建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知 AD＝52m，AB＝28m，阴
影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 x 米的道路．已知铺花砖的面积为 640m2．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位 50 个，据调查分析，当每个车位的月租金为 200 元时，可全部租出；若每个车
位的月租金每上涨 5 元，就会少租出 1 个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收
入为 10125 元？
【分析】（1）根据题意列出方程（52﹣2x）（28﹣2x）＝640 解答即可；
（2）设月租金上涨 a 元，停车场月租金收入为 10125 元，列出方程（200+a）（50﹣ ）＝10125 解答即
可．
【解答】解；（1）根据道路的宽为 x 米，根据题意得，
（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x1＝34（舍去），x2＝6，
答：道路的宽为 6 米．
（2）设月租金上涨 a 元，停车场月租金收入为 10125 元，
根据题意得：（200+a）（50﹣ ）＝10125，
整理得：a2﹣50a+625＝0，
解得 a＝25，
答：每个车位的月租金上涨 25 元时，停车场的月租金收入为 10125 元．
类型八：一元二次方程与几何动点问题专项
37．如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝4，点 P 从点 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿
AB 向终点 B 运动，点 Q 同时从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BC 向终点 C 运动，设点 P，Q
的运动时间为 t 秒，连接 PQ，当△PBQ 的面积为 时，t 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【分析】先由题意可得 AP＝2t，BQ＝t，故可得 ，当 S△PBQ 的面积为 时，代入数值可
得 ，解得 ，即可选出正确选项．
【解答】解：由题意可得 AP＝2t，BQ＝t，
∴PB＝6﹣2t，
∴ ，
当△PBQ 的面积为 时，可得 ，
解得 ，
故选：C．
38．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点 P 沿 AB 边从点 A 出发向终点 B 以 1cm/s
的速度移动；同时点 Q 沿 BC 边从点 B 出发向终点 C 以 2cm/s 的速度移动，当其中一点到达终点时，另
一点也随之停止移动．当△PBQ 的面积为 12cm2 时，点 P 一运动的时间是（ ）
A．2s B．2s 或 6s C．6s D．6s 或 8s
【分析】利用时间＝路程÷速度，可求出点 P，Q 到达终点所需时间，当运动时间为 t 秒时，BP＝（8﹣
t）cm，BQ＝2t cm，根据△PBQ 的面积为 12cm2，可列出关于 t 的一元二次方程，解之取其符合题意的
值即可得出结论．
【解答】解：8÷1＝8（秒），6÷2＝3（秒）．
当运动时间为 t 秒时，AP＝t cm，BP＝（8﹣t）cm，BQ＝2t cm，
根据题意得：2t×（8﹣t）÷2＝12，
整理得：t2﹣8t＝12，
解得：t1＝2，t2＝6（不符合题意，舍去），
∴点 P 的运动时间是 2 秒．
故选：A．
39．如图 A，B，C，D 为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点 P，Q 分别从点 A，C 同时出发，
点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达 B 点为止，点 Q 以 2cm/s 的速度向 D 点移动，当点 P 到达 B
点时点 Q 随之停止运动．
（1）AP＝ 3t cm ，BP＝ （16﹣3t）cm ，CQ＝ 2t cm ，DQ＝ （16﹣2t）cm （用含 t 的代
数式表示）；
（2）t 为多少时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2；
（3）t 为多少时，点 P 和点 Q 的距离为 10cm．
【分析】（1）当运动时间为 t s 时，根据点 P，Q 的运动方向及运动速度，即可用含 t 的代数式表示出各
线段的长度；
（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于 t 的一元一次方程，解之即可得出 t 的值；
（3）过点 Q 作 QE⊥AB 于点 E，则 PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出关于 t 的一元二次方程，解
之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为 t s 时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣2t）
cm．
故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得： [（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当 t 为 5 时，四边形 PBCQ 的面积为 33cm2．
（3）过点 Q 作 QE⊥AB 于点 E，则 PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1＝ ，t2＝ ．
答：当 t 为 或 时，点 P 和点 Q 的距离为 10cm．
40．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠D＝90°，AB＝14cm，CD＝25cm，AD＝5cm，点 P 从点 A 出
发，以 1cm/s 的速度向点 B 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 2cm/s 的速度向点 D 运动．规定其中一个动
点先到达端点停止时，另一个动点也随之停止运动，运动时间记为 t s．
（1）当 t＝ s 时，四边形 PQCB 为平行四边形；
（2）当 PQ＝13cm 时，求 t 的值．
【分析】（1）当运动时间为 t s 时，AP＝t cm，PB＝（14﹣t）cm，CQ＝2t cm，由四边形 PQCB 为平行
四边形，可得出 PB＝CQ，进而可得出关于 t 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过点 P 作 PE⊥CD 于点 E，则 PE＝AD＝5cm，当运动时间为 t s 时，AP＝t cm，DQ＝（25﹣2t）
cm，EQ＝|25﹣2t﹣t|＝|25﹣3t|cm，由 PQ＝13cm，利用勾股定理，可得出 PQ2＝PE2+EQ2，进而可得出
关于 t 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）当运动时间为 t s 时，AP＝t cm，PB＝（14﹣t）cm，CQ＝2t cm，
根据题意得：PB＝CQ，
即 14﹣t＝2t，
解得：t＝ ，
∴当 t＝ s 时，四边形 PQCB 为平行四边形．
故答案为： ；
（2）∵14÷1＝14（s），25÷2＝ （s），
∴0≤t≤ ．
过点 P 作 PE⊥CD 于点 E，则 PE＝AD＝5cm，如图所示．
当运动时间为 t s 时，AP＝t cm，PB＝（14﹣t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（25﹣2t）cm，EQ＝|25﹣2t﹣t|＝
|25﹣3t|cm，
根据题意得：PQ2＝PE2+EQ2，
即 132＝52+（25﹣3t）2，
整理得：9t2﹣150t+481＝0，
解得：t1＝ ，t2＝ ．
答：t 的值为 或 ．
41．如图，在△ABC 中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度向 B 点
移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果 P、Q 两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ 的面积等于 4cm2；
②△PBQ 的面积能否等于 5cm2，并说明理由．
【分析】作出辅助线，过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，即可得出△PQB 的面积为 ，有 P、Q 点的
移动速度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【解答】解：如图，
①过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝ PB QE．
设经过 t 秒后△PBQ 的面积等于 4cm2，
则 PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意， （6﹣t） t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t1＝2，t2＝4．
当 t＝4 时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取 t＝2．
答：经过 2 秒后△PBQ 的面积等于 4cm2；
②当面积等于 5 时， （ 6﹣t） t＝5．
t2﹣6t+10＝0．
∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
所以△PBQ 的面积不能等于 5cm2，
