第 02 讲 二次函数 y ax2的图象与性质
课程标准 学习目标
2 1. 掌握 y ax
2
型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题
① y ax 的图象与性质
目。
② y ax2的平移与一般形式的
2. 2 2掌握二次函数 y ax 与 y ax bx c 的平移，并能够通
平移
过平移规律解决相关题目。
知识点 01 y ax2的图象
1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条 ，有 ， ， 。函数图象关于对称
轴对称。
2. 二次函数 y ax2的图象
（1）画函数图象的步骤：
①列表：列出 与 的表格。
②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 。
③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。
2 2 1
（2）画二次函数 y 2x 、y 2x 、y x2 y 1、 x2 的函数图象。
2 2
列表：
描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图象（自行画图）
知识点 02 y ax2的性质
1. 2二次函数 y ax 的性质：
由函数的图象可知二次函数的有关性质：
y ax2 a 0 a＞0 a＜0
大致图象
开口方向
a 的绝对值越大，开口越
开口大小
a 的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边 y 随 x 的增大而 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 。
增减性
对称轴左边 y 随 x 的增大而 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 。
函数值有最 值 函数值有最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练 1】
1．把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1）y＝3x2 的图象是 ；
（2）y＝ x2 的图象是 ；
（3）y＝﹣x2 的图象是 ；
（4）y＝ x2 的图象是 （填序号①，②等）．
【即学即练 2】
2．抛物线 y＝x2 与 y＝﹣x2 的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
【即学即练 3】
3．已知二次函数 y＝﹣ x2，下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
C．对称轴是直线 x＝﹣
D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
知识点 03 y ax2与 y ax2 bx c 的平移
1. 2二次函数 y ax 的平移：
函数的平移分左右平移与上下平移，左右平移在 上进行加减，左 右 。上下
平移在 上进行加减，上 下 。
① y ax2向左平移m 个单位之后得到的函数解析式为 。
2
② y ax 向右平移m 个单位之后得到的函数解析式为 。
③ y ax2向上平移m 个单位之后得到的函数解析式为 。
2
④ y ax 向下平移m 个单位之后得到的函数解析式为 。
⑤ y ax2向左右平移m 个单位后在向上下平移 n 个单位得到的函数解析式为 。
2. 2二次函数 y ax bx c 的平移：
y ax2① bx c 向左右平移m 个单位后在向上下平移 n 个单位得到的函数解析式为：
。
【即学即练 1】
4．平面直角坐标系中，将抛物线 y＝﹣x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解
析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
【即学即练 2】
5．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线
顶点坐标是 ．
题型 01 y ax2的性质
【典例 1】对于函数 y＝6x2，下列说法正确的是（ ）
A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
C．y 随 x 的增大而减小
D．y 随 x 的增大而增大
【变式 1】抛物线 y＝4x2 与 y＝﹣2x2 的图象，开口较大的是（ ）
A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定
【变式 2】抛物线 y＝﹣x2 的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【变式 3】对于函数 y＝x2，下列判断中，正确的是（ ）
A．若 m、n 互为相反数，则 x＝m 与 x＝n 对应的函数值相等
B．对于同一自变量 x，有两个函数值与之对应
C．对于任意一个实数 y，有两个 x 值与之对应
D．对于任何实数 x，都有 y＞0
【变式 4】若抛物线 的开口向下，则 m 的值为（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
题型 02 y ax2的图象问题
【典例 1】在同一坐标系中画出 y 2 2 21＝2x ，y2＝﹣2x ，y3＝ x 的图象，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 1】在图中，函数 y＝﹣ax2 与 y＝ax+b 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 2】二次函数 y＝ax2 与一次函数 y＝ax+a 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 3】如图所示，函数 y＝ax2（a≠0）和 y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式 4】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则
a、b、c、d 的大小关系为 ．
题型 03 y ax2函数图象上的点的特征
【典例 1】若函数 y＝3x2 的图象经过点 P（1，n），则 n 的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【变式 1】若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数 y＝x2 的图象上，则（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
【变式 2】已知抛物线 y＝ax2（a＞0）过 A（2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【变式 3】若 A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y 23）为二次函数 y＝ax （a＜0）的图象上的三点，则
y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【变式 4】已知﹣1＜a＜0，点（a﹣2，y1），（a，y2），（a+2，y3）都在函数 y＝x2 的图象上，则 y1，y2，y3
的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【变式 5】若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线 y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点，则（|x1|﹣|x2|）（y1﹣y2）
为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
题型 04 y ax2与 y ax2 bx c 的平移
【典例 1】将抛物线 y＝3x2 向右平移两个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝3x2﹣2 D．y＝3x2+2
【变式 1】将抛物线 y＝x2 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【变式 2】将抛物线 y＝ax2 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），
那么移动后的抛物线的关系式为 ．
【变式 3】将抛物线 y＝x2﹣2x+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【变式 4】将抛物线 y＝x2﹣4x﹣4 向左平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
1．抛物线 y＝﹣x2 不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 y 轴
C．与 y 轴不相交 D．最高点是原点
2．抛物线 y＝x2，y＝﹣x2 的共同性质①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以 y 轴为对称轴；
④都关于 x 轴对称．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．下列函数中，当 x＜0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大的有（ ）
①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣6x2④y＝3x2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．若二次函数 y＝ax2 的图象经过点 P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
5．已知 是关于 x 的二次函数，且有最大值，则 k＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
6．如图，当 ab＞0 时，函数 y＝ax2 与函数 y＝bx+a 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线与二次函数 y＝﹣3x2 的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数
表达式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3
8．抛物线 y＝x2+1 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知点 A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数 y＝﹣2x2 图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是
（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
10．已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数 y＝（m﹣3）x2 的图象上的两点，且当 0＜x1＜x2 时，有 y1＞y2，
则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
11．写出一个对称轴是 y 轴的二次函数的解析式 ．
12．若二次函数 y＝ax2 的图象经过点（2，﹣1），则 a 的值为 ．
13．把二次函数 y＝2x2 的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后抛物线的解析式
为 ．
14．当﹣1≤x≤3 时，二次函数 y＝﹣x2 的最小值是 ，最大值是 ．
15．抛物线 y＝2x2 与直线 y＝3x+b 的一个交点坐标是（3，m），则另一个交点坐标是 ．
16．函数 y＝ax2（a≠0）与直线 y＝x﹣3 交于点（1，b）
（1）求 a，b 的值；
（2）x 取何值时，二次函数中的 y 随 x 的增大而增大？
17．已知抛物线 y＝ax2 经过点（1，3）．
（1）求 a 的值；
（2）当 x＝3 时，求 y 的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
18．如图，已知直线 l 过 A（4，0）、B（0，4）两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内相交于点
P．若△AOP 的面积为 ，求 a 的值．
19．函数 y＝（m+2） 是关于 x 的二次函数，求：
（1）满足条件的 m 值；
（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？
（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小．
20．已知函数 y＝x2 与 y＝2x+3 的交点为 A，B（A 在 B 的右边）．
（1）求点 A、点 B 的坐标．
（2）求△AOB 的面积．第 02 讲 二次函数 y ax2的图象与性质
课程标准 学习目标
2 1. 掌握 y ax
2
型二次函数的图象与性质，能够熟练解决有关题
① y ax 的图象与性质
目。
2
② y ax 的平移与一般形式的
2. 2掌握二次函数 y ax 与 y ax2 bx c 的平移，并能够通
平移
过平移规律解决相关题目。
知识点 01 y ax2的图象
1. 二次函数的图象：
二次函数的图象是一条 抛物线 ，有 开口方向 ， 顶点 ， 对称轴 。函数图象关于
对称轴对称。
2. 二次函数 y ax2的图象
（1）画函数图象的步骤：
①列表：列出 自变量 与 相应函数值 的表格。
②描点：在平面直角坐标系中找到相应的点的 位置 。
③连线：用一条圆滑的曲线把所有点连接起来。
（2 2）画二次函数 y 2x 、y 2x2、y 1 x2 1 、y x2 的函数图象。
2 2
列表：
描点与连线：在同一个坐标轴画出函数图象（自行画图）
知识点 02 y ax2的性质
1. 二次函数 y ax2的性质：
由函数的图象可知二次函数的有关性质：
y ax2 a 0 a＞0 a＜0
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
a 的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a 的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （0，0）
y 轴 y 轴
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边 y 随 x 的增大而 增大 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 减小 。
增减性
对称轴左边 y 随 x 的增大而 减小 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 增大 。
函数值有最 小 值 函数值有最 大 值
最值
这个值是 0 。 这个值是 0 。
【即学即练 1】
1．把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1）y＝3x2 的图象是 ③ ；
（2）y＝ x2 的图象是 ① ；
（3）y＝﹣x2 的图象是 ④ ；
（4）y＝ x2 的图象是 ② （填序号①，②等）．
【分析】先根据二次项系数的符号分类，（1）（2）图象开口向上；（3）（4）图象开口向下；再根据
|a|越大，开口越小的方法，进行判断．
【解答】解：（1）、（2）二次项系数都＞0，那么开口都应向上，但|3|＞| |，那么（1）应对应 3，
（2）应对应 1；
（3）、（4）的二次项系数都＜0，那么开口都应向下，但|﹣1|＞|﹣ |，那么（3）应对应 4，（4）应对
应 2．
依次填 3，1，4，2．
【即学即练 2】
2．抛物线 y＝x2 与 y＝﹣x2 的图象的关系是（ ）
A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同
B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同
C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同
D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同
【分析】根据形如 y＝ax2 的二次函数的 a 的值互为相反数时，开口方向相反，顶点相同，对称轴相同即
可得到答案．
【解答】解：∵抛物线 y＝x2 与 y＝﹣x2 的二次项系数互为相反数，
∴其开口方向相反，顶点相同，对称轴相同，
故选：A．
【即学即练 3】
3．已知二次函数 y＝﹣ x2，下列说法正确的是（ ）
A．该抛物线的开口向上
B．顶点坐标是（0，0）
C．对称轴是直线 x＝﹣
D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
【分析】由 a 的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：A、∵a＝﹣ ＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意；
B、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意；
C、对称轴为直线 x＝0，故错误，不符合题意；
D、∵a＝﹣ ＜0，∴开口向下，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，故错误，不符合题意，
故选：B．
知识点 03 y ax2与 y ax2 bx c 的平移
1. 二次函数 y ax2的平移：
函数的平移分左右平移与上下平移，左右平移在 自变量 上进行加减，左 加 右 减 。
上下平移在 函数解析式 上进行加减，上 加 下 减 。
2
① y ax 向左平移m 个单位之后得到的函数解析式为 y a x m 2 。
② y ax2向右平移m 个单位之后得到的函数解析式为 y a x m 2 。
y ax2 2③ 向上平移m 个单位之后得到的函数解析式为 y ax m 。
④ y ax2 2向下平移m 个单位之后得到的函数解析式为 y ax m 。
⑤ y ax2 2向左右平移m 个单位后在向上下平移 n 个单位得到的函数解析式为 y a x m n 。
2. 2二次函数 y ax bx c 的平移：
① y ax2 bx c 向左右平移m 个单位后在向上下平移 n 个单位得到的函数解析式为：
y a x m 2 b x m c n 。
【即学即练 1】
4．平面直角坐标系中，将抛物线 y＝﹣x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线的解
析式是（ ）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y＝﹣x2 先向右平移 1 个单位所得抛物线的解析式
为：y＝﹣（x﹣1）2．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y＝﹣（x﹣1）2 向上平移 2 个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣
（x﹣1）2+2；
故选：C．
【即学即练 2】
5．在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线
顶点坐标是 （﹣1，﹣1） ．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为 y＝（x﹣1+2）
2﹣4+3＝（x+1）2﹣1，
∴得到的抛物线顶点坐标是（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
题型 01 y ax2的性质
【典例 1】对于函数 y＝6x2，下列说法正确的是（ ）
A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
C．y 随 x 的增大而减小
D．y 随 x 的增大而增大
【分析】可根据抛物线的对称轴及开口方向，判断二次函数的增减性．
【解答】解：∵a＝6＞0，对称轴为 x＝0；
∴当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小．
故选：B．
【变式 1】抛物线 y＝4x2 与 y＝﹣2x2 的图象，开口较大的是（ ）
A．y＝﹣2x2 B．y＝4x2 C．同样大 D．无法确定
【分析】根据|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大求解即可．
【解答】解：抛物线 y＝4x2 与 y＝﹣2x2 的图象中|4|＝4，|﹣2|＝2，
∵4＞2，
∴抛物线 y＝4x2 的开口小于 y＝﹣2x2 的开口，
故选：A．
【变式 2】抛物线 y＝﹣x2 的图象一定经过（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、三象限 D．第二、四象限
【分析】利用 a＜0 抛物线的开口向下，再确定抛物线 y＝﹣x2 的顶点为原点，从而可对各选项进行判
断．
【解答】解：抛物线 y＝﹣x2 的开口向下，顶点坐标为（0，0），
所以抛物线一定经过第原点、第三、四象限．
故选：B．
【变式 3】对于函数 y＝x2，下列判断中，正确的是（ ）
A．若 m、n 互为相反数，则 x＝m 与 x＝n 对应的函数值相等
B．对于同一自变量 x，有两个函数值与之对应
C．对于任意一个实数 y，有两个 x 值与之对应
D．对于任何实数 x，都有 y＞0
【分析】根据二次函数的对称性，函数的定义，二次函数与不等式对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、∵函数 y＝x2 关于 y 轴对称，
∴若 m、n 互为相反数，则 x＝m 与 x＝n 对应的函数值相等正确，故本选项正确；
B、应为对于同一自变量 x，有一个函数值与之对应，故本选项错误；
C、对于任意一个实数 y，有两个 x 值与之对应错误，例如，x＝0 时，y 有唯一的值 0 对应，故本选项错
误；
D、x＝0 时，y＝0，所以对于任何实数 x，都有 y＞0 错误，故本选项错误．
故选：A．
【变式 4】若抛物线 的开口向下，则 m 的值为（ ）
A． B． C．3 D．﹣3
【分析】根据二次函数开口向下，可得二次项的系数与 0 的关系，指数的次数是二，可得答案．
【解答】解： 的开口向下，
3+m＜0，m2﹣10＝2，
m＜﹣3，m＝ ，
∴m＝﹣2 ，
故选：B．
题型 02 y ax2的图象问题
【典例 1】在同一坐标系中画出 y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y 23＝ x 的图象，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数开口大小和方向与 a 的关系，易分析得出答案．
【解答】解：当 x＝1 时，y1、y2、y3 的图象上的对应点分别是（1，2），（1，﹣2），（1， ），
可知，其中有两点在第一象限，一点在第四象限，排除 B、C；
在第一象限内，y1 的对应点（1，2）在上，y3 的对应点（1， ）在下，排除 A．
故选：D．
【变式 1】在图中，函数 y＝﹣ax2 与 y＝ax+b 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据每一个选项中函数的图象，分别判断两个函数式 a 的符号是否相符，作出判断．
【解答】解：根据图象判断两函数式中，a 的符号是否相符；
A、由函数 y＝﹣ax2 的图象知 a＜0，由函数 y＝ax+b 的图象知 a＞0，不相符；
B、由函数 y＝﹣ax2 的图象知 a＞0，由函数 y＝ax+b 的图象知 a＜0，不相符；
C、由函数 y＝﹣ax2 的图象知 a＞0，由函数 y＝ax+b 的图象知 a＜0，不相符；
D、由函数 y＝﹣ax2 的图象知 a＜0，由函数 y＝ax+b 的图象知 a＜0，相符．
故选：D．
【变式 2】二次函数 y＝ax2 与一次函数 y＝ax+a 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数 y＝ax+a 可知，一次函数的图象与 x 轴交于点（﹣1，0），即可排除 A、B，然后根
据二次函数的开口方向，与 y 轴的交点；一次函数经过的象限，与 y 轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数 y＝ax+a 可知，一次函数的图象与 x 轴交于点（﹣1，0），排除 A、B；
当 a＞0 时，二次函数 y＝ax2 开口向上，一次函数 y＝ax+a 经过一、二、三象限，当 a＜0 时，二次函数
开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除 C；
故选：D．
【变式 3】如图所示，函数 y＝ax2（a≠0）和 y＝﹣ax+b（a≠0）在同一坐标系中的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限可得正确选项．
【解答】解：当 a＞0 时，二次函数的开口向上，一次函数中一次项的系数﹣a＜0，图象将经过二四象限，
排除 A，
当 a＜0 时，二次函数的开口向下，一次函数中一次项的系数﹣a＞0，图象将经过一三象限，排除 B、
C．
故选：D．
【变式 4】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则
a、b、c、d 的大小关系为 a＞b＞d＞c ．
【分析】设 x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线 x＝1 与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，
c），
所以，a＞b＞d＞c．
题型 03 y ax2函数图象上的点的特征
【典例 1】若函数 y＝3x2 的图象经过点 P（1，n），则 n 的值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【分析】依据题意，由函数 y＝3x2 的图象经过点 P（1，n），从而可得 n＝3×12＝3，进而可以判断得
解．
【解答】解：由题意，∵函数 y＝3x2 的图象经过点 P（1，n），
∴n＝3×12＝3．
故选：A．
【变式 1】若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数 y＝x2 的图象上，则（ ）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴．再根据二次函数的增减性即可判断．
【解答】解：∵二次函数 y＝x2，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为 y 轴．
∴当 x≥0 时，y 随 x 的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
【变式 2】已知抛物线 y＝ax2（a＞0）过 A（2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y1＞y2＞0 D．y2＞y1＞0
【分析】依据抛物线的对称性可知：（﹣2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：∵抛物线 y＝ax2（a＞0），
∴A（2，y1）关于 y 轴对称点的坐标为（﹣2，y1），
∵a＞0，
∴x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y1＞y2＞0；
故选：C．
【变式 3】若 A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为二次函数 y＝ax2（a＜0）的图象上的三点，
则 y1，y2，y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】由 a＜0 可得出：当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大．再结合﹣3＜﹣2＜﹣1 即可得出结论．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2 中 a＜0，
∴当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，
∵﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
【变式 4】已知﹣1＜a＜0，点（a﹣2，y1），（a，y2），（a+2，y3）都在函数 y＝x2 的图象上，则 y1，
y2，y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【分析】抛物线 y＝x2 的对称轴为 y 轴，即直线 x＝0，图象开口向上，当﹣1＜a＜0 时，a﹣2＜a＜0＜
a+2，在对称轴右边，y 随 x 的增大而增大，由此可判断 y1，y2，y3 的大小关系．
【解答】解：∵当﹣1＜a＜0 时，a﹣2＜a＜0＜a+2，
∴点（a﹣2，y1），（a，y2）在对称轴的左边，（a+2，y3）在对称轴的右边，
∴点（a﹣2，y1），（a，y2）关于对称轴对称点为（2﹣a，y1），（﹣a，y2），
而抛物线 y＝x2 的对称轴为直线 x＝0，开口向上，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大，
∵﹣a＜a+2＜2﹣a，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
【变式 5】若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线 y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点，则（|x1|﹣|x2|）（y1﹣
y2）为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【分析】根据题意可得 y1＝ax21，y2＝ ＝ ，代入原式可得（|x1|﹣|x2|）（y1﹣y2）＝a（|x1|﹣|x2|）
（x1+x2）（x1﹣x2），再分类情况去绝对值进行分析即可得出答案．
【解答】解：∵（x1，y1），（x2，y2）是抛物线 y＝ax2（a＞0）图象上两个不同的点，
∴y1＝ax21，y2＝ ＝ ，
∴（|x1|﹣|x2|）（y1﹣y2）＝a（|x1|﹣|x2|）（x1+x2）（x1﹣x2），
当 x1＞0，x2＞0 时，
上式＝a（x1﹣x2）（x1+x2）（x1﹣x2）
＝a（x +x ）（x ﹣x ）21 2 1 2 ，
∵a＞0，（x 21+x2）＞0，（x1﹣x2） ＞0，
∴原式＞0，
当 x1＜0，x2＜0 时，
上式＝a（x2﹣x1）（x1+x2）（x1﹣x2）
＝a（x1+x 22）（x1﹣x2） ，
∵a＞0，（x1+x2）＞0，（x ﹣x ）21 2 ＞0，
∴原式＞0，
当 x1＞0，x2＜0 时，
上式＝a（x1+x2）（x1+x2）（x1﹣x2）
＝a（x1﹣x2）（x 21+x2） ，
∵a＞0，（x1﹣x2）＞0，（x1﹣x2）2≥0，
∴原式≥0，
当 x1＜0，x2＞0 时，
上式＝a（﹣x1﹣x2）（x1+x2）（x1﹣x2）
＝﹣a（x 21﹣x2）（x1+x2） ，
∵﹣a＜0，（x1﹣x2）＜0，（x1+x 22） ≥0，
∴原式≥0．
故选：D．
题型 04 y ax2与 y ax2 bx c 的平移
【典例 1】将抛物线 y＝3x2 向右平移两个单位，所得抛物线是（ ）
A．y＝3（x+2）2 B．y＝3（x﹣2）2 C．y＝3x2﹣2 D．y＝3x2+2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．
【解答】解：y＝3x2 向右平移两个单位，得 y＝3（x﹣2）2．
故选：B．
【变式 1】将抛物线 y＝x2 向左平移 2 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
【分析】先确定抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得
对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个
单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，3），所以平移后的抛物线解析式为 y＝（x+2）2+3．
故选：A．
【变式 2】将抛物线 y＝ax2 向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，移动后的抛物线经过点（3，﹣1），
那么移动后的抛物线的关系式为 y＝﹣4（x﹣2）2+3 ．
【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及所给的坐标可得新抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么新抛物线的
顶点为（2，3）；可设新抛物线的解析式为 y＝a（x﹣h）2+k，把（3，﹣1）代入得 a＝﹣4，∴y＝﹣4
（x﹣2）2+3．
【变式 3】将抛物线 y＝x2﹣2x+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，1） C．（0，6） D．（1，﹣3）
【分析】直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后
解析式，再把各选项的点代入判断即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴y＝x2﹣2x+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位得到的抛物线解析式为：y＝x2，
当 x＝﹣2 时，y＝（﹣2）2＝4，故（﹣2，2）不在此抛物线上，故 A 选项不合题意；
当 x＝﹣1 时，y＝（﹣1）2＝1，故（﹣1，1）在此抛物线上，故 B 选项符合题意；
当 x＝0 时，y＝02＝0，故（0，6）不在此抛物线上，故 C 选项不合题意；
当 x＝1 时，y＝12＝1，故（1，﹣3）不在此抛物线上，故 D 选项不合题意；
故选：B．
【变式 4】将抛物线 y＝x2﹣4x﹣4 向左平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣5
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣5
【分析】先把抛物线 y＝x2﹣4x﹣4 化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
∴将抛物线 y＝x2﹣4x﹣4 向左平移 3 个单位，再向上平移 3 个单位，得到抛物线的表达式为 y＝（x﹣
2+3）2﹣8+3，即 y＝（x+1）2﹣5．
故选：D．
1．抛物线 y＝﹣x2 不具有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是 y 轴
C．与 y 轴不相交 D．最高点是原点
【分析】抛物线 y＝﹣x2 的二次项系数为﹣1，故抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），最高点为原点，
对称轴为 y 轴，与 y 轴交于（0，0）．
【解答】解：∵抛物线 y＝﹣x2 的二次项系数为﹣1，
∴抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），A 正确；
∴最高点为原点，对称轴为 y 轴，B、D 正确；
与 y 轴交于（0，0），C 错误．
故选：C．
2．抛物线 y＝x2，y＝﹣x2 的共同性质①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以 y 轴为对称轴；
④都关于 x 轴对称．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】利用二次函数的性质，利用开口方向，对称轴，顶点坐标逐一探讨得出答案即可．
【解答】解：抛物线 y＝x2 的开口向上，y＝﹣x2 的开口向下，①错误；
抛物线 y＝x2，y＝﹣x2 的顶点为（0，0），对称轴为 y 轴，②③正确；④错误；
故选：B．
3．下列函数中，当 x＜0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大的有（ ）
①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣6x2④y＝3x2
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
【解答】解：①y＝x，正比例函数，k＝1＞0，y 随着 x 增大而增大，正确；
②y＝﹣2x+1，一次函数，k＝﹣2＜0，y 随 x 的增大而减小，错误；
③y＝﹣6x2，a＝﹣6＜0，开口向下，对称轴为 x＝0，故当 x＜0 时，图象在对称轴左侧，函数值 y 随 x
的增大而增大，正确；
④y＝3x2，二次函数，a＝3＞0，开口向上，对称轴为 x＝0，故当 x＜0 时，图象在对称轴左侧，y 随着 x
的增大而减小，错误．
故选：B．
4．若二次函数 y＝ax2 的图象经过点 P（﹣2，4），则该图象必经过点（ ）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 y 轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2 的对称轴为 y 轴，
∴若图象经过点 P（﹣2，4），
则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
5．已知 是关于 x 的二次函数，且有最大值，则 k＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】根据二次函数的定义，可知二次项系数不等于 0，且 x 的次数等于 2，从而得出 k 的可能值，再
根据二次函数有最大值，可知二次项系数为负值，据此可解．
【解答】解：由二次函数的定义可知，k﹣1≠0，且 k2﹣2＝2
∴k≠1，k＝±2，故 C 错误；
∵有最大值
∴k﹣1＜0
∴k＜1
∴k＝﹣2．
故选：A．
6．如图，当 ab＞0 时，函数 y＝ax2 与函数 y＝bx+a 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分 a＞0 和 a＜0 两种情况讨论即可确定正确的选项．
【解答】解：当 a＞0 时根据 ab＞0 得到 b＞0，二次函数开口向上，一次函数交 y 轴的正半轴，且呈上
升趋势，没有符合题意的选项；
当 a＜0 时根据 ab＞0 得到 b＜0，二次函数开口向上，一次函数交 y 轴的负半轴，且呈下降趋势，C 选项
符合，D 选项不符合，
故选：C．
7．已知抛物线与二次函数 y＝﹣3x2 的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数
表达式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣1）2+3 B．y＝3（x﹣1）2+3
C．y＝3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x+1）2+3
【分析】根据抛物线与二次函数 y＝﹣3x2 的图象相同，开口方向相同，可知抛物线解析式中的 a 也是﹣
3，然后根据抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），即可得到抛物线的顶点式，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线与二次函数 y＝﹣3x2 的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），
∴该抛物线的解析式为 y＝﹣3（x+1）2+3，
故选：D．
8．抛物线 y＝x2+1 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴，直接判断．
【解答】解：抛物线 y＝x2+1 的图象开口向上，且顶点坐标为（0，1）．故选 C．
9．已知点 A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数 y＝﹣2x2 图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系
是（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】分别计算出自变量为﹣2、﹣1 和 3 的函数值，然后比较函数值的大小．
【解答】解：∵点 A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数 y＝﹣2x2 图象上，
∴y1＝﹣2×4＝﹣8；y2＝﹣2×1＝﹣2；y3＝﹣2×8＝﹣18，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
10．已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数 y＝（m﹣3）x2 的图象上的两点，且当 0＜x1＜x2 时，有 y1＞y2，
则 m 的取值范围是（ ）
A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3
【分析】由当 0＜x1＜x2 时，有 y1＞y2，可得出 m﹣3＜0，解之即可得出 m 的取值范围．
【解答】解：∵当 0＜x1＜x2 时，有 y1＞y2，
∴m﹣3＜0，
∴m＜3．
故选：D．
11．写出一个对称轴是 y 轴的二次函数的解析式 y＝x2+2，答案不唯一． ．
【分析】对称轴是 y 轴，即直线 x＝ ＝0，所以 b＝0，只要抛物线的解析式中缺少一次项即可．
【解答】解：∵抛物线对称轴为 y 轴，即直线 x＝0，只要解析式一般式缺少一次项即可，如 y＝x2+2，
答案不唯一．
12．若二次函数 y＝ax2 的图象经过点（2，﹣1），则 a 的值为 ﹣ ．
【分析】将（2，﹣1）代入 y＝ax2 求解．
【解答】解：将（2，﹣1）代入 y＝ax2 得，
﹣1＝4a，
解得 a＝﹣ ，
故答案为：﹣ ．
13．把二次函数 y＝2x2 的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，平移后抛物线的解析式
为 y＝2（x+1）2﹣2 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数 y＝2x2 的图象向左平移 1 个单位长度所得抛物线
的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y＝2（x+1）2 向下平移 2 个单位长
度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
14．当﹣1≤x≤3 时，二次函数 y＝﹣x2 的最小值是 ﹣9 ，最大值是 0 ．
【分析】求出抛物线的对称轴，顶点坐标，根据函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵y＝﹣x2，
∴对称轴是 y 轴，顶点坐标为（0，0）．
∵a＝﹣1＜0，开口向下，
∴函数有最大值，当 x＝0 时，函数的最大值为 0．
∴当﹣1≤x≤3 时，x＝3 时，有最小值，最小值为﹣9，x＝0 时，有最大值，最大值为 0，
故答案为：﹣9，0．
15．抛物线 y＝2x2 与直线 y＝3x+b 的一个交点坐标是（3，m），则另一个交点坐标是 （﹣ ， ） ．
【分析】把交点坐标代入抛物线求出 m 的值，再代入直线求出 b 的值，然后联立两函数解析式解方程组
即可得解．
【解答】解：将（3，m）代入 y＝2x2 得，m＝2×32＝18，
所以，交点坐标为（3，18），
代入直线 y＝3x+b 得，3×3+b＝18，
解得 b＝9，
所以，直线解析式为 y＝3x+9，
联立 ，解得 ， ，
所以另一个交点坐标为（﹣ ， ）．
故答案为：（﹣ ， ）．
16．函数 y＝ax2（a≠0）与直线 y＝x﹣3 交于点（1，b）
（1）求 a，b 的值；
（2）x 取何值时，二次函数中的 y 随 x 的增大而增大？
【分析】（1）把已知点代入直线解析式可求得 b，再代入抛物线解析式可求得 a 的值；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，则可求得答案．
【解答】解：
（1）把（1，b）代入 y＝x﹣3 可得：b＝1﹣3＝﹣2，
∴点的坐标为（1，﹣2），
把（1，﹣2）代入 y＝ax2 可得﹣2＝a，即 a＝﹣2，
∴a＝﹣2，b＝﹣2；
（2）由（1）可得 y＝﹣2x2，
∴抛物线开口向下，且对称轴为 y 轴，
∴当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大．
17．已知抛物线 y＝ax2 经过点（1，3）．
（1）求 a 的值；
（2）当 x＝3 时，求 y 的值；
（3）说出此二次函数的三条性质．
【分析】（1）将已知点的坐标代入解析式即可求得 a 值；
（2）把 x＝3 代入求得的函数解析式即可求得 y 值；
（3）增减性、最值等方面写出有关性质即可．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2 经过点（1，3），
∴a×1＝3
∴a＝3；
（2）把 x＝3 代入抛物线 y＝3x2 得：y＝3×32＝27；
（3）抛物线的开口向上；
坐标原点是抛物线的顶点；
当 x＞0 时，y 随着 x 的增大而增大；
抛物线的图象有最低点，当 x＝0 时，y 有最小值，是 y＝0 等．
18．如图，已知直线 l 过 A（4，0）、B（0，4）两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内相交于点
P．若△AOP 的面积为 ，求 a 的值．
【分析】首先求得直线 AB 的解析式，然后根据面积求得 P 点的纵坐标，然后代入求得其横坐标，代入
二次函数即可求解．
【解答】解：设点 P（x，y），直线 AB 的解析式为 y＝kx+b，
将 A（4，0）、B（0，4）分别代入 y＝kx+b，
得 k＝﹣1，b＝4，
故 y＝﹣x+4，
∵△AOP 的面积为 ＝ ×4×y
∴y＝
再把 y＝ 代入 y＝﹣x+4，得 x＝ ，
所以 P（ ， ）
把 P（ ， ）代入到 y＝ax2 中得：a＝ ．
19．函数 y＝（m+2） 是关于 x 的二次函数，求：
（1）满足条件的 m 值；
（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？
（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到 m+2≠0 且 m2+m﹣4＝2，然后解两个不等式即可得到满足条件
的 m 的值为 2 或﹣3；
（2）根据二次函数的性质得当 m+2＞0 时，抛物线有最低点，所以 m＝2，则 y＝4x2，然后根据二次函
数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当 m＝﹣3 时，抛物线开口向下，函数有最大值，则 y＝﹣x2，然后根据
二次函数的性质确定最大值和增减性．
【解答】解：（1）根据题意得 m+2≠0 且 m2+m﹣4＝2，
解得 m1＝2，m2＝﹣3，
所以满足条件的 m 值为 2 或﹣3；
（2）当 m+2＞0 时，抛物线有最低点，
所以 m＝2，
抛物线解析式为 y＝4x2，
所以抛物线的最低点为（0，0），当 x≥0 时，y 随 x 的增大而增大；
（3）当 m＝﹣3 时，抛物线开口向下，函数有最大值；
抛物线解析式为 y＝﹣x2，
所以二次函数的最大值是 0，这时，当 x≥0 时，y 随 x 的增大而减小．
20．已知函数 y＝x2 与 y＝2x+3 的交点为 A，B（A 在 B 的右边）．
（1）求点 A、点 B 的坐标．
（2）求△AOB 的面积．
【分析】（1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标；
（2）利用 S△AOB＝S△AOC+S△BOC 求解．
【解答】解：（1）由题意得：
解得： 或
即交点 A，B 的坐标分别为（3，9），（﹣1，1）；
（2）连接 OA，OB
直线 y＝2x+3 与 y 轴交于点 C（0，3），即 OC＝3
S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝ ×3×3+ ×3×1
＝6．
