第 01 讲 二次函数
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数的定义，能准确判断二次函数以及根据二次
①二次函数的定义 函数的定义求未知字母。
②建立二次函数模型 2. 掌握建立二次函数模型的方法步骤，能够熟练的对各种应
用建立二次函数模型解决问题。
知识点 01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般地，形如 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。
其中： x 是自变量， a 是函数解析式的 ；b 是函数解析式 ； c是函数
2
解析式的 。 y ax bx c a 0 又是二次函数的 。
判断二次函数时，把二次函数化为 ，右边一定要是 ，最高次数是 且二
次项系数 。
【即学即练 1】
1．下列函数中，是二次函数的为（ ）
A．y＝x（x+1）+ （1﹣2x2） B．y＝x2
C．y＝2x3+x2+1 D．y＝33x﹣1
【即学即练 2】
2．若 y＝（n2+n）x 是二次函数，则 n＝ ．
【即学即练 3】
3．二次函数 y＝x2﹣6x﹣1 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
知识点 02 建立二次函数模型
1．从实际问题中抽象出二次函数的一般步骤：
（1）审清题意，找出实际问题中的常量与变量，并分析他们之间的关系；
（2 2）建立二次函数模型：列出函数表达式，一般化为 y ax bx c a 0 的形式。
【即学即练 1】
4．边长为 2 的正方形，如果边长增加 x，则面积 S 与 x 之间的函数关系式是 S＝ ．
题型 01 判断二次函数
【典例 1】下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）
C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【变式 1】下列 y 关于 x 的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（2x﹣3） D．y＝2x+5
【变式 2】下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝（a+2）x2+1 B．
C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
【变式 3】下列函数：①y＝3﹣ ；②y＝ ；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次
函数的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
题型 02 根据二次函数定义求未知系数
【典例 1】若函数 y＝mx（x﹣1）﹣x2 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1
【变式 1】若 y＝（m﹣4）x2﹣5x+3 表示 y 是 x 的二次函数，则 m 的取值范围为（ ）
A．m≠0 B．m＞4 C．m＜4 D．m≠4
【变式 2】若函数 为关于 x 的二次函数，则 m 的值为 ．
【变式 3】如果函数 是二次函数，那么 m 的值是 ．
【变式 4】若函数 y＝（2﹣m）x|m|+1（m 是常数）是二次函数，则 m 的值是 ．
题型 03 根据二次函数各项系数求值
【典例 1】二次函数 y＝x2﹣4x+5 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5 B．﹣1，4，5 C．1，﹣4，5 D．﹣1，﹣4，5
【变式 1】二次函数 y＝2x2﹣3x﹣1 的二次项系数与常数项的和是 ．
【变式 2】二次函数 y＝（x﹣2）（5﹣2x）的二次项系数是 ．
【变式 3】若二次函数 y＝（2x﹣1）2+1 的二次项系数为 a，一次项系数为 b，常数项为 c，则 b2﹣4ac 0
（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【变式 4】已知关于 x 的函数 y＝（m﹣1）xm+（3m+2）x+1 是二次函数，则此解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
题型 04 建立二次函数模型，列函数表达式
【典例 1】下面问题中，y 与 x 满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为 10cm2 的矩形中，矩形的长 y（cm）与宽 x（cm）的关系；
②底面圆的半径为 5cm 的圆柱中，侧面积 y（cm2）与圆柱的高 x（cm）的关系；
③某商品每件进价为 80 元，在某段时间内以每件 x 元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润 y（元）与每
件进价 x（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【变式 1】某厂今年一月份新产品的研发资金为 9 万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都
是 x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金 y（万元）关于 x 的函数关系式为（ ）
A．y＝9（1+x）3 B．y＝9+9x+9x2
C．y＝9+9（1+x）+9（1+x）2 D．y＝9（1+x）2
【变式 2】如图，将一根长 30cm 的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的
一边长为 x（cm），它的面积为 y（cm2），则 y 与 x 之间的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15
【变式 3】在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均 1 人会传染 x 个人，若最初 2 个人感染该病毒，经过两
轮传染，共有 y 人感染，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
【变式 4】某商场购进一批单价为 10 元的学具，若按每件 15 元出售，则每天可销售 50 件．经调查发现，
这种学具的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 5 件，设销售单价为 x 元，每天的销售利润为 y 元，
则 y 与 x 的函数关系式为 ．
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2
C． D．y＝x2﹣x（x﹣1）
2．已知 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1 或﹣1
3．下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数）
4．若 y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5 是二次函数，则 m＝（ ）
A．7 B．﹣1
C．﹣1 或 7 D．以上都不对
5．下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ）
A．正方形周长 y 与边长 x 的关系
B．菱形面积 s 一定时，两条对角线的长 a 与 b 的关系
C．速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系
D．等边三角形的面积 s 与边长 x 的关系
6．如图，正方形 ABCD 和⊙O 的周长之和为 20cm，设圆的半径为 x cm，正方形的边长为 y cm，阴影部分
的面积为 S cm2．当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x 的变化而变化，则 y 与 x，S 与 x 满足的函数关
系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
7．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的
总长为 20m，设长方形靠墙的一边长为 x m，面积为 y m2，当 x 在一定范围内变化时，y 随 x 的变化而变
化，则 y 与 x 满足的函数关系是（ ）
A．y＝20x B．y＝20﹣2x
C． D．y＝x（20﹣2x）
8．某农机厂四月份生产零件 60 万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为 x，如果第二季度共生产零件 y
万个，那么 y 与 x 满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
9．如图，等边三角形 ABC 边长为 20cm，点 D 在边 AB 上（不与 A，B 重合），过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于
点 E．当 BD＝x cm 时，△ADE 的周长比△ABC 的周长减少了 y1cm 面积减少了 y2cm2，当 x 在一定范围
内变化时，y1 和 y2 都随 x 的变化而变化，则 y1 与 x，y2 与 x 满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
10．下列说法正确的是（ ）
A．若 a2＝b2，则 a＝b
B．|a|＝|b|，则 a＝b
C．﹣a 一定是负数
D．函数 y＝（a2+1）x2+1 是关于 x 的二次函数
11．在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2﹣ ，④y＝﹣x2+2 中，y 关于 x 的二次函数
是 ．（填写序号）
12．若 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为 ．
13．对于二次函数 y＝x2+3x﹣2，当 x＝﹣1 时，y 的值为 ．
14．正方形边长 3，若边长增加 x，则面积增加 y，y 与 x 的函数关系式为 ．
15．如图、利用长为 50m 的篱笆及一面墙围一个矩形花圃 ABCD（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙
平行的边 BC 上预留出宽为 2m 的出口 EF．设 AB 边的长为 x m，花圃的面积为 y m2，则 y 与 x 之间的函
数关系式是 ．
16．已知函数 y＝（m+3） +（m+2）x+3（其中 x≠0）．
（1）当 m 为何值时，y 是 x 的二次函数？
（2）当 m 为何值时，y 是 x 的一次函数？
17．如图，等腰梯形的周长为 60，底角为 30°，腰长为 x，面积为 y，试写出 y 与 x 的函数表达式．
18．一个二次函数 y＝（k﹣1） +2x﹣1．
（1）求 k 值．
（2）求当 x＝0.5 时 y 的值？
19．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总
长为 30m，门宽是 2m，若设这块场地的宽为 xm．
（1）求场地的面积 y（m2）与 x（m）之间的函数关系式；
（2）写出自变量 x 的取值范围．
20．【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问
题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图
形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐舍条件，所以
我们在做题时，要注意发现题目中的隐舍条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐舍条件并回答下面的问题．
化简：（ ）2﹣|1﹣x|．
解：隐含条件为 1﹣3x≥0，解得 x≤ ，∴1﹣x＞0，
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ﹣（ ）2；
（2）已知 a、b、c 为△ABC 的三边长，化简： + + ．第 01 讲 二次函数
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数的定义，能准确判断二次函数以及根据二次
①二次函数的定义 函数的定义求未知字母。
②建立二次函数模型 2. 掌握建立二次函数模型的方法步骤，能够熟练的对各种应
用建立二次函数模型解决问题。
知识点 01 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
2
一般地，形如 y ax bx c a 0 的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。
其中： x 是自变量， a 是函数解析式的 二次项系数 ；b 是函数解析式 一次项系数 ； c是函数
2
解析式的 常数项 。 y ax bx c a 0 又是二次函数的 一般形式 。
判断二次函数时，把二次函数化为 一般形式 ，右边一定要是 整式 ，最高次数是 2 且
二次项系数 不等于 0 。
【即学即练 1】
1．下列函数中，是二次函数的为（ ）
A．y＝x（x+1）+ （1﹣2x2） B．y＝x2
C．y＝2x3+x2+1 D．y＝33x﹣1
【分析】首先把二次函数整理成一般形式，再利用定义解答．
【解答】解：A、y＝x（x+1）+ （1﹣2x2）＝x+ ，是一次函数，错误：
B、y＝x2 是二次函数，正确；
C、y＝2x3+x2+1，含 x 的三次方，不是二次函数，错误；
D、y＝33x﹣1，是一次函数，错误．故选 B．
【即学即练 2】
2．若 y＝（n2+n）x 是二次函数，则 n＝ 2 ．
【分析】根据二次函数定义可得 n2﹣n＝2，且 n2+n≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：n2﹣n＝2，且 n2+n≠0，
解得：n＝2，
故答案为：2．
【即学即练 3】
3．二次函数 y＝x2﹣6x﹣1 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，﹣6，﹣1 B．1，6，1 C．0，﹣6，1 D．0，6，﹣1
【分析】根据二次函数的一般形式找出 a，b，c 的值即可．
【解答】解：二次函数 y＝x2﹣6x﹣1，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是 1，﹣6，﹣1．
故选：A．
知识点 02 建立二次函数模型
1．从实际问题中抽象出二次函数的一般步骤：
（1）审清题意，找出实际问题中的常量与变量，并分析他们之间的关系；
2
（2）建立二次函数模型：列出函数表达式，一般化为 y ax bx c a 0 的形式。
【即学即练 1】
4．边长为 2 的正方形，如果边长增加 x，则面积 S 与 x 之间的函数关系式是 S＝ x2+4x+4 ．
【分析】依据新正方形的面积＝新边长 2，即可求解．
【解答】解：新正方形的边长是 x+2，则面积 S＝（x+2）2＝x2+4x+4．
题型 01 判断二次函数
【典例 1】下列函数中，y 关于 x 的二次函数是（ ）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（x﹣1）
C． D．y＝（x﹣1）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．
【解答】解：A、当 a＝0 时，y＝bx+c 不是二次函数；
B、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x 是二次函数；
C、y＝ 不是二次函数；
D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1 为一次函数．
故选：B．
【变式 1】下列 y 关于 x 的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2 B．y＝ax2+bx+c
C．y＝x（2x﹣3） D．y＝2x+5
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【解答】解：A、该函数整理后是一次函数，故本选项不符合题意；
B、a＝0 时，该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【变式 2】下列 y 关于 x 的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝（a+2）x2+1 B．
C．y＝（x+2）（x+1）﹣x2 D．y＝2x2+3x
【分析】根据二次函数的一般形式：形如 y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数且 a≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝（a+2）x2+1（a≠﹣2），是二次函数，故 A 不符合题意；
B、y＝ +1，不是二次函数，故 B 不符合题意；
C、y＝（x+2）（x+1）﹣x2＝3x+2，是一次函数，故 C 不符合题意；
D、y＝2x2+3x，是二次函数，故 D 符合题意；
故选：D．
【变式 3】下列函数：①y＝3﹣ ；②y＝ ；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次
函数的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：①y＝3﹣ ；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共 3 个，
故选：C．
题型 02 根据二次函数定义求未知系数
【典例 1】若函数 y＝mx（x﹣1）﹣x2 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠±1
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【解答】解：∵y＝mx（x﹣1）﹣x2＝mx2﹣mx﹣x2＝（m﹣1）x2﹣mx 是关于 x 的二次函数，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：C．
【变式 1】若 y＝（m﹣4）x2﹣5x+3 表示 y 是 x 的二次函数，则 m 的取值范围为（ ）
A．m≠0 B．m＞4 C．m＜4 D．m≠4
【分析】根据二次函数的定义得出关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣4）x2﹣5x+3 表示 y 是 x 的二次函数，
∴m﹣4≠0，
解得 m≠4．
故选：D．
【变式 2】若函数 为关于 x 的二次函数，则 m 的值为 2 ．
【分析】首先根据二次函数的定义得 m2﹣1≠0 且 m2﹣m＝2，由此解出 m 即可．
【解答】解：∵函数 为关于 x 的二次函数，
∴m2﹣1≠0 且 m2﹣m＝2，
由 m2﹣1≠0，解得：m≠±1，
由 m2﹣m＝2，解得：m＝﹣1 或 m＝2，
综上所述：m 的值为 2．
故答案为：2．
【变式 3】如果函数 是二次函数，那么 m 的值是 3 ．
【分析】根据二次函数的定义求出 m 的值即可．
【解答】解：∵函数 是二次函数，
∴m+1≠0，m2﹣2m﹣1＝2，
解得 m＝3．
故答案为：3．
【变式 4】若函数 y＝（2﹣m）x|m|+1（m 是常数）是二次函数，则 m 的值是 ﹣2 ．
【分析】利用二次函数定义可得：|m|＝2，且 2﹣m≠0，再计算出 m 的值即可．
【解答】解：由题意得：|m|＝2 且 2﹣m≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
题型 03 根据二次函数各项系数求值
【典例 1】二次函数 y＝x2﹣4x+5 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5 B．﹣1，4，5 C．1，﹣4，5 D．﹣1，﹣4，5
【分析】可根据二次函数的一般形式“形如 y＝ax2+bx+c，且 a≠0”进行求解即可．
【解答】解：二次函数 y＝x2﹣4x+5 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是 1，﹣4，5；
故选：C．
【变式 1】二次函数 y＝2x2﹣3x﹣1 的二次项系数与常数项的和是 1 ．
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次
函数．其中 x、y 是变量，a、b、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，可得二次项
系数是 2，常数项是﹣1，再求和即可．
【解答】解：二次函数 y＝2x2﹣3x﹣1 的二次项系数是 2，常数项是﹣1，
﹣1+2＝1，
故答案为：1．
【变式 2】二次函数 y＝（x﹣2）（5﹣2x）的二次项系数是 ﹣2 ．
【分析】化成二次函数的一般形式，即可得出二次项系数．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）（5﹣2x）变形为 y＝﹣2x2+9x﹣10，
∴二次项系数为﹣2．
故答案为：﹣2．
【变式 3】若二次函数 y＝（2x﹣1）2+1 的二次项系数为 a，一次项系数为 b，常数项为 c，则 b2﹣4ac ＜
0（填写“＞”或“＜”或“＝”）
【分析】根据二次函数的解析式得出 a，b，c 的值，再代入 b2﹣4ac 计算，判断与 0 的大小即可．
【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，
∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，
故答案为＜．
【变式 4】已知关于 x 的函数 y＝（m﹣1）xm+（3m+2）x+1 是二次函数，则此解析式的一次项系数是（ ）
A．﹣1 B．8 C．﹣2 D．1
【分析】根据二次函数定义可得 m＝2，再代入 3m+2 即可得到答案．
【解答】解：∵关于 x 的函数 y＝（m﹣1）xm+（3m+2）x+1 是二次函数，
∴m＝2，
则 3m+2＝8，
故此解析式的一次项系数是：8．
故选：B．
题型 04 建立二次函数模型，列函数表达式
【典例 1】下面问题中，y 与 x 满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为 10cm2 的矩形中，矩形的长 y（cm）与宽 x（cm）的关系；
②底面圆的半径为 5cm 的圆柱中，侧面积 y（cm2）与圆柱的高 x（cm）的关系；
③某商品每件进价为 80 元，在某段时间内以每件 x 元出售，可卖出（100﹣2x）件．利润 y（元）与每
件进价 x（元）的关系．
A．① B．② C．③ D．①③
【分析】①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可；
③根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可．
【解答】解：① ，y 是 x 的反比例函数，故此选项不符合题意；
②y＝2π×5x＝10πx，y 是 x 的正比例函数，故此选项不符合题意；
③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y 是 x 的二次函数，故此选项
符合题意；
故选：C．
【变式 1】某厂今年一月份新产品的研发资金为 9 万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都
是 x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金 y（万元）关于 x 的函数关系式为（ ）
A．y＝9（1+x）3 B．y＝9+9x+9x2
C．y＝9+9（1+x）+9（1+x）2 D．y＝9（1+x）2
【分析】根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可
得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，
即可得出 y 关于 x 的函数关系式．
【解答】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为 9 万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增
长率都是 x，
∴该厂今年二月份新产品的研发资金为 9（1+x）万元，三月份新产品的研发资金为 9（1+x）2 万元．
根据题意得：y＝9+9（1+x）+9（1+x）2．
故选：C．
【变式 2】如图，将一根长 30cm 的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的
一边长为 x（cm），它的面积为 y（cm2），则 y 与 x 之间的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15
【分析】根据铁丝的长度及弯成的长方形的一边长，可得出与该边相邻的一边长为（15﹣x）cm，利用长
方形的面积公式，即可找出 y 与 x 之间的函数关系式．
【解答】解：∵铁丝的长度为 30cm，且弯成的长方形的一边长为 x cm，
∴与该边相邻的一边长为 ＝（15﹣x）cm．
根据题意得：y＝x（15﹣x），
即 y＝﹣x2+15x．
故选：B．
【变式 3】在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均 1 人会传染 x 个人，若最初 2 个人感染该病毒，经过两
轮传染，共有 y 人感染，则 y 与 x 的函数关系式为（ ）
A．y＝2（1+x）2 B．y＝（2+x）2 C．y＝2+2x2 D．y＝（1+2x）2
【分析】设每轮传染中平均一个人传染 x 个人，根据经过两轮传染后共有 y 人患了这种传染病，即可得
出 y 与 x 的函数关系式．
【解答】解：根据题意可得，y 与 x 的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
【变式 4】某商场购进一批单价为 10 元的学具，若按每件 15 元出售，则每天可销售 50 件．经调查发现，
这种学具的销售单价每提高 1 元，其销售量相应减少 5 件，设销售单价为 x 元，每天的销售利润为 y 元，
则 y 与 x 的函数关系式为 y＝﹣5x2+175x﹣1250 ．
【分析】当销售单价为 x 元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售（125﹣5x）件，利用
每天的销售利润＝每件学具的销售利润×日销售量，即可找出 y 与 x 的函数关系式．
【解答】解：当销售单价为 x 元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售 50﹣（x﹣15）×5
＝（125﹣5x）件，
根据题意得：y＝（x﹣10）（125﹣5x），
即 y＝﹣5x2+175x﹣1250．
故答案为：y＝﹣5x2+175x﹣1250．
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2
C． D．y＝x2﹣x（x﹣1）
【分析】直接利用二次函数解析式的一般形式 y＝ax2+bx+c（a≠0）进行分析得出答案．
【解答】解：A、y＝3x，是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝x2，是二次函数，故此选项符合题意；
C、 ，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、y＝x2﹣x（x﹣1）＝x，不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．已知 是二次函数，则 m 的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1 或﹣1
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：由 是二次函数，得
，
解得 m＝1，
故选：B．
3．下列函数的解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣x2
B．
C．S＝﹣3t2+t+2
D．y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数）
【分析】根据二次函数的定义解答即可．
【解答】解：A．y＝（x+1）2﹣x2＝2x+1 是一次函数，不是二次函数，故此选项错误；
B． ，不是二次函数，故此选项错误；
C．S＝﹣3t2+t+2 是二次函数，故此选项正确；
D．当 a＝0 时是一次函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：C．
4．若 y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5 是二次函数，则 m＝（ ）
A．7 B．﹣1
C．﹣1 或 7 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的定义得出关于 m 的不等式和方程，求出 m 的值即可．
【解答】解：∵y＝（m+1）xm2﹣4m﹣5 是二次函数，
∴m+1≠0 且 m2﹣4m﹣5＝2，
解得 m＝2 ．
故选：D．
5．下列每组变量之间的关系为二次函数的是（ ）
A．正方形周长 y 与边长 x 的关系
B．菱形面积 s 一定时，两条对角线的长 a 与 b 的关系
C．速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系
D．等边三角形的面积 s 与边长 x 的关系
【分析】本题考查了二次函数的定义．分别列出关系式，根据二次函数的定义，进行选择即可．
【解答】解：A．正方形周长 y 与边长 x 的关系，y＝4x 是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
B．菱形面积 s 一定时，两条对角线的长 a 与 b 的关系， 是反比例函数，故该选项不正确，不符合
题意；
C．速度 v 一定时，路程 s 与时间 t 的关系，s＝vt 是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；
D．等边三角形的面积 s 与边长 x 的关系， 是二次函数关系，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
6．如图，正方形 ABCD 和⊙O 的周长之和为 20cm，设圆的半径为 x cm，正方形的边长为 y cm，阴影部分
的面积为 S cm2．当 x 在一定范围内变化时，y 和 S 都随 x 的变化而变化，则 y 与 x，S 与 x 满足的函数关
系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系
B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系
D．二次函数关系，一次函数关系
【分析】根据题意列出关系式辨别函数为几次即可．
【解答】解：由题意得，
4y+2πx＝20，
∴2y+πx＝10，
∴y＝ ，
即 y 与 x 是一次函数关系，
∵S＝y2﹣πx2，
把 y＝ 代入 S＝y2﹣πx2，
则 S＝﹣ ﹣πx2+25，
∴S＝﹣ +25，
即满足二次函数关系，
故选：B．
7．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若棚栏的
总长为 20m，设长方形靠墙的一边长为 x m，面积为 y m2，当 x 在一定范围内变化时，y 随 x 的变化而变
化，则 y 与 x 满足的函数关系是（ ）
A．y＝20x B．y＝20﹣2x
C． D．y＝x（20﹣2x）
【分析】利用长方形面积等于长乘宽计算即可．
【解答】解：由题意得：长方形靠墙的一边长为 x m，则平行墙的边长为（20﹣2x）m，
∴面积 y＝x（20﹣2x），
故选：D．
8．某农机厂四月份生产零件 60 万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为 x，如果第二季度共生产零件 y
万个，那么 y 与 x 满足的函数关系式是（ ）
A．y＝60（1+x）2
B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2
C．y＝60（1+x）+60（1+x）2
D．y＝60+60（1+x）
【分析】设该厂第二季度平均每月的增长率为 x，则五月份生产零件 60（1+x）万个，六月份生产零件
60（1+x）2 万个，根据第二季度共生产零件 y 万个，即可找出 y 与 x 之间的函数关系式．
【解答】解：设该厂第二季度平均每月的增长率为 x，则五月份生产零件 60（1+x）万个，六月份生产零
件 60（1+x）2 万个，
依题意得：y＝60+60（1+x）+60（1+x）2．
故选：B．
9．如图，等边三角形 ABC 边长为 20cm，点 D 在边 AB 上（不与 A，B 重合），过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于
点 E．当 BD＝x cm 时，△ADE 的周长比△ABC 的周长减少了 y cm 面积减少了 y cm21 2 ，当 x 在一定范围
内变化时，y1 和 y2 都随 x 的变化而变化，则 y1 与 x，y2 与 x 满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，一次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，二次函数关系
【分析】求出 y1 与 x，y2 与 x 满足的函数关系式，由一次函数定义，二次函数定义，即可判断．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴△ADE 是等边三角形，
∵DB＝x，
∴AD＝AB﹣BD＝（20﹣x）cm，
∴△ADE 周长＝3AD＝3（20﹣x）cm，
∵△ABC 的周长＝3AB＝60cm，
∴y1＝60﹣3（20﹣x）﹣60＝3x，
∵△ADE 的面积＝ AD2＝ （20﹣x）2，△ABC 的面积＝ AB2＝ ×202，
∴y 22＝ ×20 ﹣ （20﹣x）2＝﹣ x2+10 x，
∴y1 与 x，y2 与 x 满足的函数关系分一次函数关系，二次函数关系．
故选：D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若 a2＝b2，则 a＝b
B．|a|＝|b|，则 a＝b
C．﹣a 一定是负数
D．函数 y＝（a2+1）x2+1 是关于 x 的二次函数
【分析】根据平方的定义、绝对值的定义、正负数的含义、二次函数的定义求解即可．
【解答】解：A、（﹣2）2＝22，但﹣2≠2，故该选项错误，不符合题意；
B、|﹣2|＝|2|，但﹣2≠2，故该选项错误，不符合题意；
C、当 a＜0 时，﹣a＞0，∴﹣a 不一定是负数，故该选项错误，不符合题意；
D、∵a2+1≠0，∴函数 y＝（a2+1）x2+1 是关于 x 的二次函数，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
11．在函数①y＝ax2+bx+c，②y＝（x﹣1）2﹣x2，③y＝5x2﹣ ，④y＝﹣x2+2 中，y 关于 x 的二次函数
是 ④ ．（填写序号）
【分析】根据形如 y＝ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：①a＝0 时 y＝ax2+bx+c 是一次函数，
②y＝（x﹣1）2﹣x2 是一次函数；
③y＝5x2﹣ 不是整式，不是二次函数；
④y＝﹣x2+2 是二次函数，
故答案为：④．
12．若 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为 ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的定义求解．
【解答】解：∵y＝（m﹣3） +2x﹣1 是关于 x 的二次函数，
∴m2﹣2m﹣1＝2 且 m﹣3≠0，
解得 m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．对于二次函数 y＝x2+3x﹣2，当 x＝﹣1 时，y 的值为 ﹣4 ．
【分析】直接把 x＝﹣1 代入二次函数 y＝x2+3x﹣2，求出 y 的值即可．
【解答】解：当 x＝﹣1 时，y＝1﹣3﹣2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14．正方形边长 3，若边长增加 x，则面积增加 y，y 与 x 的函数关系式为 y＝x2+6x ．
【分析】增加的面积＝边长为 3+x 的新正方形的面积﹣边长为 3 的正方形的面积，把相关数值代入即可
求解．
【解答】解：由正方形边长 3，边长增加 x，增加后的边长为（x+3），
则面积增加 y＝（x+3）2﹣32＝x2+6x+9﹣9＝x2+6x．
故应填：y＝x2+6x．
15．如图、利用长为 50m 的篱笆及一面墙围一个矩形花圃 ABCD（墙足够长）为了便于打理，决定在与墙
平行的边 BC 上预留出宽为 2m 的出口 EF．设 AB 边的长为 x m，花圃的面积为 y m2，则 y 与 x 之间的函
数关系式是 y＝﹣2x2+52x ．
【分析】根据矩形的面积公式用含 x 的代数式表示 y 即可．
【解答】解：由题意可得：BC＝50﹣2x+2＝52﹣2x，
y＝AB BC＝x（50﹣2x+2）＝﹣2x2+52x，
故答案为：y＝﹣2x2+52x．
16．已知函数 y＝（m+3） +（m+2）x+3（其中 x≠0）．
（1）当 m 为何值时，y 是 x 的二次函数？
（2）当 m 为何值时，y 是 x 的一次函数？
【分析】（1）根据二次函数的定义得到得 m+3≠0 且 m2+m﹣4＝2，然后解不等式和方程即可得到满足条
件的 m 的值；
（2）根据一次函数的定义分类讨论：当 m+3＝0 时，y 是 x 的一次函数；当 m2+m﹣4＝0 且 m+2≠0 时，
y 是 x 的一次函数；当 m2+m﹣4＝1 且 m+3+m+2≠0 时，y 是 x 的一次函数，然后分别解方程或不等式即
可．
【解答】解：（1）根据题意得 m+3≠0 且 m2+m﹣4＝2，解得 m＝2，
即当 m 为 2 时，y 是 x 的二次函数；
（2）当 m+3＝0 时，即 m＝﹣3 时，y 是 x 的一次函数；
当 m2+m﹣4＝0 且 m+2≠0 时，y 是 x 的一次函数，解得 m＝ ；
当 m2+m﹣4＝1 且 m+3+m+2≠0 时，y 是 x 的一次函数，解得 m＝ ；
即当 m 为﹣3 或 或 时，y 是 x 的一次函数．
17．如图，等腰梯形的周长为 60，底角为 30°，腰长为 x，面积为 y，试写出 y 与 x 的函数表达式．
【分析】作 AE⊥BC，在 Rt△ABE 中，求出 AE＝ AB＝ x，利用梯形的周长可得出 AD+BC 的值，代
入梯形面积公式即可得出 y 与 x 的函数表达式．
【解答】解：作 AE⊥BC，
在 Rt△ABE 中，∠B＝30°，
则 AE＝ AB＝ x，
∵四边形 ABCD 是等腰梯形，
∴AD+BC＝60﹣AB﹣CD＝60﹣2x，
∴S＝ （AD+BC）×AE＝ （60﹣2x）× x＝﹣ x2+15x（0＜x＜30）．
18．一个二次函数 y＝（k﹣1） +2x﹣1．
（1）求 k 值．
（2）求当 x＝0.5 时 y 的值？
【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做
二次函数可得 k2﹣3k+4＝2，且 k﹣1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中 k 的值，可得函数解析式，再利用代入法把 x＝0.5 代入可得 y 的值．
【解答】解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，
则 k2﹣3k+2＝0，
（k﹣1）（k﹣2）＝0，
解得：k1＝1，k2＝2，
∵k﹣1≠0，
∴k＝2；
（2）把 k＝2 代入 y＝（k﹣1） +2x﹣1 得：y＝x2+2x﹣1，
当 x＝0.5 时，y＝（ ）2+2× ﹣1＝ ．
19．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总
长为 30m，门宽是 2m，若设这块场地的宽为 xm．
（1）求场地的面积 y（m2）与 x（m）之间的函数关系式；
（2）写出自变量 x 的取值范围．
【分析】（1）由篱笆总长为 30m，门宽是 2m，以及这块场地的宽为 xm，得到这块场地的长为（32﹣2x）
m，再利用矩形的面积公式即可列出矩形面积 y 与 x 的关系式；
（2）由场地的长 32﹣2x＞0，求出自变量 x 的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意得 y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x；
（2）∵32﹣2x＞0，
∴x＜16，
又∵门宽是 2m，
∴x≥2，
∴2≤x＜16．
20．【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问
题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图
形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐舍条件，所以
我们在做题时，要注意发现题目中的隐舍条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐舍条件并回答下面的问题．
化简：（ ）2﹣|1﹣x|．
解：隐含条件为 1﹣3x≥0，解得 x≤ ，∴1﹣x＞0，
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ﹣（ ）2；
（2）已知 a、b、c 为△ABC 的三边长，化简： + + ．
【分析】（1）要使 有意义，其被开方数 2﹣x 应大于或等于 0， ＝﹣a（其中 a≤0），
中，a＝x﹣3；
（2）根据三角形三边关系及二次根式的性质可得答案．
【解答】解：（1）隐含条件为 2﹣x≥0，得 x≤2，
∴x﹣3＜0．
∴原式＝﹣（x﹣3）﹣2+x＝﹣x+3﹣2+x＝1；
（2）∵a，b，c 为△ABC 的三边长，
∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴ + +
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝a+b+c．
