第 08 讲 专题 2 二次函数实际应用解答题专项训练
类型一：几何图形的面积问题
类型二：销售中的利润问题
类型三：抛物线形的形状问题
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
类型一：几何图形的面积问题
1．如图，有长为 30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于
AB）的矩形花圃．设花圃的一边 AB 为 x m，面积为 y m2．
（1）若要围成面积为 63m2 的花圃，则 AB 的长是多少？
（2）求 AB 为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
【分析】（1）BC 的长＝篱笆的总长﹣3×AB 的长，花圃的面积＝AB 的长×BC 的长，把相关数值代入求
得合适的解即可；
（2）花圃的面积 y＝AB 的长×BC 的长，整理成顶点式，根据墙的最大可用长度为 10m 得到自变量的取
值范围，进而得到花圃的最大面积．
【解答】解：（1）x（30﹣3x）＝63
30x﹣3x2＝63
3x2﹣30x+63＝0
x2﹣10x+21＝0
（x﹣3）（x﹣7）＝0．
解得：x1＝3，x2＝7．
当 x＝3 时，30﹣3x＝21＞10，不合题意，舍去；
当 x＝7 时，30﹣3x＝9＜10，符合题意．
答：若要围成面积为 63m2 的花圃，AB 的长为 7 m；
（2）y＝x（30﹣3x）
＝﹣3x2+30x
＝﹣3（x2﹣10x+25）+75
＝﹣3（x﹣5）2+75．
∵0＜30﹣3x≤10，
∴ ≤x＜10．
∴当 x＝ 时，y 最大．最大面积为： ×（30﹣3× ）＝ （m2）．
答：AB 为 m 时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 m2．
2．某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙 MN，另外的边（虚线部分）用长为 28 米的篱笆围成，
并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽 1 米的门方便进出．已知墙的长度为 12 米，设
这个鸡舍垂直于墙的一边的长为 x 米，鸡舍的面积为 S．
（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）求出鸡舍的面积 S 的最大值，此时 x 为多少米？
【分析】（1）由篱笆长 28 米，根据矩形的面积即可得出 S 关于 x 的函数关系式，再根据题意可求出自变
量的取值范围；
（2）根据自变量的取值范围和函数的增减性确定函数的最大值即可．
【解答】解：（1）由题意可知：S＝x （28﹣3x+2）＝﹣3x2+30x，
根据题意得 2＜28﹣3x+2≤12，即 ，
∴S 与 x 之间的函数关系式为： ，
（2）S＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，
当 x＞5 时，S 随 x 的增大而减小，
而 ，
∴当 x＝6 时，S 有最大值，此时 S＝72，
即：当 x＝6 时，鸡舍的面积 S 有最大值，最大值为 72．
3．如图，是 400 米跑道示意图，中间的足球场 ABCD 是矩形，两边是半圆，直道 AB 的长是多少？
你一定知道是 100 米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就
明白了．设 AB＝x 米．
（1）请用含 x 的代数式表示 BC．
（2）设矩形 ABCD 的面积为 S．
①求出 S 关于 x 的函数表达式．
②当直道 AB 为多少米时，矩形 ABCD 的面积最大？
【分析】（1）由半圆的长度两种计算方法，列出方程可求解；
（2）①由矩形的面积公式可求解；
②由二次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）由题意可得： π BC＝ ，
∴BC＝ ；
（2）①∵四边形 ABCD 是矩形，
∴S＝ ×x＝﹣ （x﹣100）2+ ；
②当 x＝100 时，S 最大，
∴当 AB＝100 米时，S 最大．
4．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长 40m，宽 20m 的矩形空地
划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分
别种植 A，B，C 三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是 10m．A，B，C 三种花卉每平方米的
产值分别是 2 百元、3 百元、4 百元．
（1）设育苗区的边长为 x m，用含 x 的代数式表示下列各量：花卉 A 的种植面积是 （x2﹣60x+800）
m2，花卉 B 的种植面积是 （﹣x2+30x） m2，花卉 C 的种植面积是 （﹣x2+20x） m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B 两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉 A 与 B 的种植面积之和不超过 560m2，求 A，B，C 三种花卉的总产值之和的最大值．
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；
（2）根据 A，B 两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根据花卉 A 与 B 的种植面积之和不超过 560m2 建立不等式，得到 x≥8，再设 A，B，C 三种花卉
的总产值之和 y 百元，得到 y 关于 x 的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案．
【解答】解：（1）∵育苗区的边长为 x m，活动区的边长为 10m，
∴花卉 A 的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉 B 的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，
花卉 C 的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B 花卉每平方米的产值分别是 2 百元、3 百元，
∴A，B 两种花卉的总产值分别为 2×（x2﹣60x+800）百元和 3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B 两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得 x＝32（舍去）或 x＝10，
∴当育苗区的边长为 10m 时，A，B 两种花卉的总产值相等；
（3）∵花卉 A 与 B 的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设 A，B，C 三种花卉的总产值之和 y 百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当 x≥8 时，y 随 x 的增加而减小，
∴当 x＝8 时，y 最大，且 y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故 A，B，C 三种花卉的总产值之和的最大值 168000 元．
5．如图 1，用一段长为 33 米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形 ABCD 菜园，墙长为
12 米．设 AB 的长为 x 米，矩形 ABCD 菜园的面积为 S 平方米．
（1）分别用含 x 的代数式表示 BC 与 S；
（2）若 S＝54，求 x 的值；
（3）如图 2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个 1.5 米宽的门（无需篱笆），当 x 为何值时，S 取
最大值，最大值为多少？
【分析】（1）根据矩形的性质列式求出 BC，再根据矩形面积公式求出 S 即可；
（2）根据（1）所求得到方程﹣3x2+33x＝54，解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出 S＝﹣3（x﹣6）2+108，再求出 x 的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，BC＝33﹣3x，
∴S＝AB BC＝x（33﹣3x）＝﹣3x2+33x；
（2）由题意得，﹣3x2+33x＝54，
∴x2﹣11x+18＝0，
解得，x1＝2，x2＝9，
∵墙长为 12 米，
∴33﹣3x≤12，
∴x≥7，
∴x1＝2 应舍去，
∴x 的值为 9；
（3）S＝x（33+1.5×2﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵墙长为 12 米，
∴ ，
∴8≤x≤11，
∵a＝﹣3＜0，
∴开口向下，
∴当 x≥6，S 着 x 的增大而减小，
∴当 x＝8 时，S 有最大值，最大值为：8×（36﹣3×8）＝96．
6．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙
的长度为 18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，
计划购买篱笆的总长度为 32m，设矩形场地的长为 x m，宽为 y m，面积为 s m2．
（1）分别求出 y 与 x，s 与 x 的函数解析式；
（2）当 x 为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
（3）若购买的篱笆总长增加 8m，矩形场地的最大总面积能否达到 100m2？若能，请求出 x 的值；若不
能，请说明理由．
【分析】（1）依据题意得，x+4y＝32，从而可得 ，代入 S＝xy 即可得解；
（2）依据题意，由（1）的解析式再根据 ，从而结合二次函数的性质即可判断得解；
（3）依据题意得，x+4y＝32+8，从而 ，故 ．，进而求出 x 的值，
最后可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意得，x+4y＝32，
∴ ．
∴ ，即 ．
（2）由题意，∵ ，
∴S 有最大值．当 时， ．
答：当 x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为 64．
（3）由题意得，x+4y＝32+8，
∴ ．
∴ ．
∴x1＝x2＝20．
∵18＜20，
∴矩形场地的最大总面积不能达到 100m2．
7．某家禽养殖场，用总长为 200m 的围栏靠墙（墙长为 65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 EAGH
与矩形 HGBF 面积相等，矩形 EAGH 面积等于矩形 DEFC 面积的二分之一，设 AD 长为 x m，矩形区域
ABCD 的面积为 y m2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形 EAGH 和矩形 DEFC 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40 元/平方米和
20 元/平方米，若要使安装成本不超过 30000 元，请直接写出 x 的取值范围．
【分析】（1）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；
（2）把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设安装成本为 w 元，则 w＝﹣25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合（1）中 x 的最值范围可得
答案．
【解答】解：（1）由题意得，AE＝HG＝ AD＝ x m，
DC＝AB＝ （200﹣ x）＝（100﹣ x）m，
故 y＝x（100﹣ x）＝﹣ x2+100x，
自变量 x 的取值范围为：28≤x＜80；
（2）由题意可得：
∵y＝﹣ x2+100x＝﹣ （ x2﹣80x）＝﹣ （ x﹣40）2+2000，
又∵28≤x＜80，
∴当 x＝40 时，y 有最大值，最大值为 2000 平方米；
（3）由题意得，S 矩形 EAGH＝AG AE＝ （100﹣ x） x＝﹣ x2+25x，S 矩形 DEFC＝DC DE＝（100﹣
x） x＝﹣ x2+50x，
设安装成本为 w 元，则 w＝40（﹣ x2+25x）+20（﹣ x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
令 w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000，
解得 x＝60 或 20，
∵28≤x＜80，
∴60≤x＜80 时，安装成本不超过 30000 元．
8．小明准备给长 16 米，宽 12 米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中 I、II、III 三个区域分别栽种甲、乙、
丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形 ABCD 和 EFGH 均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩
形 MFNC（区域 II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．
（1）若花卉均价为 450 元/米 2，种植花卉的面积为 S（米 2），草坪均价为 300 元/米 2，且花卉和草坪裁
种总价不超过 65400 元，求 S 的最大值；
（2）若矩形 MFNC 满足 MF：FN＝1：3．
①求 MF，FN 的长；
②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为 150 元/米 2，80 元/米 2，150 元/米 2，且边 BN 的长不小于边 ME
长的 倍．求图中 I、II、II 三个区域栽种花卉总价 W 元的最大值．
【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种花卉和草坪的面积，再根据“总价不超过 65400
元”建立一元一次不等式，然后求解即可得；
（2）①设 AB＝a 米，EF＝b 米，根据正方形的性质、线段的和差可得 MF、FN 的长，再根据 MF：FN
＝1：2 可得 a、b 的关系等式，由此即可得出答案；②先在①的基础上，求出 W 关于 a 的函数表达式，
再根据题意求出 a 的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得．
【解答】解：（1）长方形空地的面积为 16×12＝192（米 2），
由题意得：450S+300（192﹣S）≤65400，
解得：S≤52，
故 S 的最大值为 52 米 2．
（2）①设 AB＝a 米，EF＝b 米，
∵四边形 ABCD 和 EFGH 均为正方形，
∴AD＝AB＝a 米，FG＝EF＝b 米，
∴MF＝AD+EF﹣16＝（a+b﹣16）米，
FN＝AB+FG﹣12＝（a+b﹣12）米，
又∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
∴a+b＝18．
∴MF＝18﹣16＝2（米），FN＝18﹣12＝6（米），
答：MF 的长为 2 米，FN 的长为 6 米．
②由①可知，a+b＝20，即 b＝20﹣a，
∴ME＝16﹣AD＝16﹣a，
DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8，
BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4，NG＝12﹣AB＝12﹣a，
则由题意得：
w＝150（16﹣a）（a﹣8）+80×4×8+150（12﹣a）（a﹣4）＝﹣300（a﹣10）2+6160，
又∵BN≥ ME 且 AB＜12，
∴a﹣4≤ （16﹣a）且 a＜12，
解得： ≤a＜12，
由二次函数的性质可知，当 ≤a＜12 时，W 随 a 的增大而减小，
则当 a＝ 时，w 取得最大值，最大值为﹣300×（ ﹣10）2+6160＝6026 （元）．
答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价 w 的最大值为 6026 元．
9．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 x2+bx+c 变形为（x+m）2+n 的形式，然后由（x+m）2≥0
就可求出多项式 x2+bx+c 的最小值．
例题：求多项式 x2﹣4x+5 的最小值．
解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．
当 x＝2 时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1 有最小值，最小值为 1，即 x2﹣4x+5 的最小值为 1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】
已知代数式 A＝x2+10x+20，则 A 的最小值为 ﹣5 ；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两边
长分别是 5a 米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积 S 甲和 S 乙的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点 M、N 分别是线段 AC 和 BC 上的动点，点 M
从 A 点出发以 1cm/s 的速度向 C 点运动；同时点 N 从 C 点出发以 2cm/s 的速度向 B 点运动，当其中一点
到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒，请直接写出△MCN 的面积最大值．
【分析】（1）（1）直接利用完全平方公式可得答案；
（2）先求出 S 甲﹣S 乙＝（a﹣3）2+1，再利用完全平方公式即可求解；
（3）根据题意表示出 S△MCN＝ ×2t×（8﹣t）＝﹣t2+8t＝﹣（t﹣4）2+16，再利用完全平方公式即可
求解．
【解答】解：（1）A＝x2+10x+20＝（x+5）2﹣5，
∵（x+5）2≥0，
∴A＝（x+5）2﹣5≥﹣5，
即 A 的最小值为﹣5；
故答案为：﹣5；
（2）S 甲＞S 乙，理由如下：
S 甲＝（3a+2）（2a+5）＝6a2+19a+10，S 乙＝5a（a+5）＝5a2+25a，
∴S ﹣S ＝（6a2甲 乙 +19a+10）﹣（5a2+25a）＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1，
∵（a﹣3）2≥0，
∴S 甲﹣S 乙＝（a﹣3）2+1≥1，
∴S 甲＞S 乙；
（3）由题意得：CM＝8﹣t，CN＝2t，
∴S 2△MCN＝ ×2t×（8﹣t）＝﹣t +8t＝﹣（t﹣4）2+16，
∵（t﹣4）2≥0，
∴﹣（t﹣4）2≤0，
∴当 t＝4 时，S△MCN 有最大值，最大值为 16．
10．综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为 12 米的墙 MN，研究小
组想利用墙 MN 和长为 40 米的篱笆，在前
面的空地围出一个面积最大的矩形种植
园．假设矩形一边 CD＝x，矩形种值园的面
积为 S．
分析 要探究面积 S 的最大值，首先应将另一边
BC 用含 x 的代数式表示，从而得到 S 关于 x
的函数表达式，同时求出自变量的取值范
围，再结合函数性质求出最值．
探究 思考一：将墙 MN 的一部分用来替代篱笆
按图 1 的方案围成矩形种植园（边 AB 为墙
MN 的一部分）
思考二：将墙 MN 的全部用来替代篱笆
按图 2 的方案围成矩形种植园（墙 MN 为边
AB 的一部分）
解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的 S 的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最
大值为多少．
类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为 20 米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案
示意图（标注边长）．
【分析】（1）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可；
（2）按两种思路，由矩形面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求最值，然后比较即可．
【解答】解：（1）思路 1：设 CD＝x，则 BC＝ ，
∴S＝x ＝﹣ x2+20x＝﹣ （x﹣20）2+200，
∵﹣ ＜0，0＜x≤12，
∴当 x＝12 时，Smax＝168；
思路 2：设 AB＝CD＝x，则 AD＝BC＝ ＝26﹣x，
∴S＝x（26﹣x）＝﹣x2+26x＝﹣（x﹣13）2+169，
∵12≤x≤26，
∴当 x＝13 时，Smax＝169，
∵169＞168，
∴矩形种植园面积最大为 169m2；
（2）图示如下：
同（1）可分别求得：
思路 1：∵CD＝x，则 BC＝AD＝ ，
∴S＝x ＝﹣ x2+10x＝﹣ （x﹣10）2+50，
∵0＜x≤12，
∴当 x＝10 时，S 有最大值，最大值为 50；
思路 2：∵CD＝x，则 BC＝AD＝ ＝16﹣x，
∴S＝x （16﹣x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64，
∵﹣1＜0，12≤x≤16，
∴当 x＝12 时，S 有最大值，最大值为 48，
∵50＞48，
矩形种植园面积最大为 50m2，此时 CD＝10m，AD＝BC＝5m．
类型二：销售中的利润问题
11．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一
批麻花礼盒进行销售，成本价为 30 元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为 40 元/件时，每天
的销售量为 300 件，销售单价每提高 10 元/件，将少售出 50 件．
（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出出
变量取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）依据题意，可得销售量 y＝300﹣50× ，再结合 x﹣40≥0 计算即可得解；
（2）依据题意，设每天获得的利润为 w，从而 w＝（x﹣30）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣65）2+6125，又﹣
5＜0，进而结合二次函数的性质可以判断得解；
【解答】解：（1）由题意，销售量 y＝300﹣50× ，
∴y＝﹣5x+500．
又 x﹣40≥0，
∴x≥40．
（2）由题意，设每天获得的利润为 w，
∴w＝（x﹣30）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+650x﹣15000
＝﹣5（x﹣65）2+6125．
又﹣5＜0，
∴当 x＝65 时，w 取最大值为 6125．
答：当销售单价定 65 元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为 6125 元．
12．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克 10 元，调查发现，
每天销售量 y（kg）与销售单价 x（元）满足如图所示的函数关系（其中 10＜x≤30）
（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价 x 为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）由图象知，当 10＜x≤14 时，y＝640；当 14＜x≤30 时，设 y＝kx+b，将（14，640），（30，
320）解方程组即可得到结论；
（2）分两种情况求出函数最值，然后比较得出结论即可．
【解答】解：（1）由图象知，当 10＜x≤14 时，y＝640；
当 14＜x≤30 时，设 y＝kx+b，将（14，640），（30，320）代入得 ，
解得 ，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣20x+920；
综上所述，y＝ ；
（2）设每天的销售利润为 w 元，
当 10＜x≤14 时 w＝640×（x﹣10）＝640x﹣6400，
∵k＝640＞0，
∴w 随着 x 的增大而增大，
∴当 x＝14 时，w＝4×640＝2560 元；
当 14＜x≤30 时，w＝（x﹣10）（﹣20x+920）＝﹣20（x﹣28）2+6480，
∵﹣20＜0，14＜x≤30，
∴当 x＝28 时，w 有最大值，最大值为 6480，
∵2560＜6480，
∴当销售单价 x 为 28 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 6480 元．
13．某文具商店用销售进价为 28 元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒 40 元的价格销售，平均每天
销售 80 盒，价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为 x（x＞40）元，平均
每天销售 y 盒，平均每天的销售利润为 W 元．
（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式： y＝﹣2x+160 ．
（2）求 W 与 x 之间的函数关系式．
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于 50 元，当每盒的销售价为多少元时，平
均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 盒”可列出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）由总利润＝每盒利润×销售量可得 W 与 x 之间的函数关系式；
（3）结合（2），把关系式化为顶点式，再由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝80﹣2（x﹣40）＝﹣2x+160，
故答案为：y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：W＝y（x﹣28）＝（﹣2x+160）（x﹣28）＝﹣2x2+216x﹣4480，
∴W 与 x 之间的函数关系式为 W＝﹣2x2+216x﹣4480；
（3）W＝﹣2x2+216x﹣4480＝﹣2（x﹣54）2+1352，
∵﹣2＜0，x≤50，
∴当 x＝50 时，W 取最大值，最大值为﹣2×（50﹣54）2+1352＝1320，
∴当每盒的销售价为 50 元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是 1320 元．
14．某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件，如果每件商品的售价上涨 1 元，
则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元），设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销
售利润为 y 元．
（1）若每件商品的售价定价为 55 元，则每个月可卖出 160 件；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有 a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于 57 元时，每
月的销售利润随 x 的增大而减小，请求出 a 的取值范围．
【分析】（1）由题意，根据每件商品的售价与数量之间的关系，即可求解；
（2）由题意，根据每件商品的利润与数量及总利润之间的关系，再把函数解析式变形为顶点式，同时考
虑 x 为整数，即可求解；
（3）根据题意可得函数解析式为：y＝﹣10x2+（110﹣10a）x+210（10﹣a），函数的对称轴为： ，
根据售价每件不低于 57 元时，与对称轴组成方程，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：若每件商品的售价定价为 55 元，则每个月可卖出 210﹣（55﹣50）×10＝
160 件，
故答案为：160；
（2）由题意得：y＝（210﹣10x）（50+x﹣40）＝﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15 且 x 为整数）：
∴y＝﹣10（x﹣5.5）2+2402.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当 x＝5.5 时，y 有最大值 2402.5，
∵0＜x≤15，且 x 为整数，
当 x＝5 时，50+x＝55，y＝2400（元），
当 x＝6 时，50+x＝56，y＝2400（元），
∴当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元；
（3）由题意得：
y＝（210﹣10x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣10x2+（110﹣10a）x+210（10﹣a），
函数的对称轴为： ，
售价每件不低于 57 元时，即 x≥57﹣50＝7，
即临界点为： ，
解得：a＝3，
∴2＜a≤3．
15．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给
大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小柳按照政策投资销售本市生产的一种
网红螺蛳粉．已知这种网红螺蛳粉的成本价为每箱 80 元，出厂价为每箱 100 元，每月销售量 y（箱）与
销售单价 x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+400．
（1）小柳在开始销售的第 1 月将螺蛳粉的销售单价定为 120 元，这个月他销售该螺蛳粉可获利 6400
元．
（2）设小柳销售螺蛳粉获得的月利润为 w（元），当销售单价为多少元时，月利润最大，最大利润是多
少元？
（3）物价部门规定，这种网红螺蛳粉的销售单价不得高于 150 元，那么政府每个月为他承担的总差价最
少为多少元？
【分析】（1）依据题意，把 x＝120 代入 y＝﹣2x+400 求出销售量，再求出销售利润；
（2）依据题意，由总利润＝销售量 每箱纯赚利润，得 w＝（x﹣80）（﹣2x+400），把函数转化成顶点坐
标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）依据题意，设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质即可求出总差价的最小
值．
【解答】解：（1）由题意，当 x＝120 时，y＝﹣2×120+400＝160，
160×（120﹣80）＝6400（元），
∴他销售该螺蛳粉可获利 6400 元．
故答案为：6400．
（2）由题意，设当销售单价为 x 元，
∴w＝（x﹣80）（﹣2x+400）＝﹣2x2+560x﹣32000＝﹣2（x﹣140）2+7200，
∵a＝﹣2＜0，
∴当 x＝140 时，w 有最大值 7200．
即当销售单价定为 140 元时，每月可获得最大利润，最大利润为 7200 元．
（3）由题意，设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，
∴p＝（100﹣80）×（﹣2x+400）＝﹣40x+8000．
∵k＝﹣40＜0，
∴p 随 x 的增大而减小，
∴当 x＝150 时，p 有最小值 2000．
∴政府每个月为他承担的总差价最少为 2000 元．
16．某商场某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可以卖出 300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价
1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 10 件．已知商品的进价为每件 40 元．设售
价为 x 元/件（x 为正整数），每星期销售量为 y 件，每星期销售利润为 W 元．
（1）直接写出 y 与 x，W 与 x 的函数解析式以及自变量 x 的取值范围；
（2）如果出现某星期销售该商品亏损了 6000 元，那么该商品的售价是多少？
（3）当该商品的售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）依据题意，根据“每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 10
件”，即可得出 y 与 x 的函数关系式，再由“总利润＝每件商品的利润×销售量”，即可得出 w 与 x 的函
数关系式；
（2）依据题意，列出方程（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣6000，求出 x 即可判断得解；
（3）依据题意，利用配方法将 w 与 x 的函数关系式变形为顶点式，再利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，y＝900﹣10x．
∴w＝（x﹣40）（900﹣10x）．
又 x﹣40≥0，﹣10x+900≥0，
∴40≤x≤90．
（2）由题意，（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣6000，
∴x＝100 或 x＝30．
答：如果出现某星期销售该商品亏损了 6000 元，那么该商品的售价是 30 元或 100 元．
（3）由题意，w＝（x﹣40）（900﹣10x）＝﹣10（x﹣65）2+6250，
∴当 x＝65 时，w 取得最大值，最大值为 6250．
∴当该商品的售价定为 65 元时，每星期的销售利润最大，最大利润是 6250 元．
17．某食品厂生产一种半成品食材，成本为 2 元/千克，每天的产量 p（百千克）与销售价格 x（元/千克）
满足函数关系式 p＝ x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量 q（百千克）与销
售价格 x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格 x（元/千克） 2 4 …… 10
市场需求量 q（百千克） 12 10 …… 4
当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，
只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于 2
元/千克，不得高于 10 元/千克．
（1）直接写出 q 与 x 的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；
（3）当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．
【分析】（1）运用待定系数法确定一次函数解析式即可；
（2）设厂家每天获得的利润为 y，则 y＝（x﹣2）p，根据每天的产量不大于市场需求量时 p≤q，求出 x
的取值解答即可；
（3）根据每天的产量大于市场需求量时 p＞q，求出 x 的取值解答即可．
【解答】解：（1）设 q 与 x 的函数关系式为 q＝kx+b，由
题意，得 ∴
∴q 与 x 的函数关系式为 q＝﹣x+14（2≤x≤10）；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，
得 p≤q，
即 x+8≤﹣x+14，
解不等式得 x≤4，
∵2≤x≤10，
∴2≤x≤4；
x2+7x﹣16，
∵ ＞0，对称轴为 x＝ ＝﹣7，
∴当 2≤x≤4 时，y 随 x 的增大而增大，
∴当 x＝4 时，
y 最大＝ ×42+7×4﹣16＝20，
答：当每天的产量不大于市场需求量时，厂家每天获得的利润的最大值为 2000 元；
（3）当每天的产量大于市场需求时，p＞q，
∴ x+8＞﹣x+14，
解不等式得 x＞4，
∴4＜x≤10，
y＝（x﹣2）q﹣2（p﹣q）＝xq﹣2p＝x（﹣x ﹣2（ x+8）＝﹣x2+13x﹣
16，
∵﹣1＜0，对称轴为 x＝ ＝6.5，
∴当 x＝6.5 时，
y 最大＝﹣6.52+13×6.5﹣16＝26.25，
∵26.25＞20，
∴厂家每天获得的最大利润为 26.25 元．
18．某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于 36 元，经市
场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得 600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利 w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最
大利润是多少？
【分析】（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法即可求解；
（2）根据等量关系得（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，解方程即可求解；
（3）根据题意得 w＝﹣2（x﹣40）2+800，进而可得抛物线的对称轴为 x＝40，且开口向下，则当 x＜40
时，y 随 x 的增大而增大，当 x＝36 时，w 有最大值，代入函数即可求解．
【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知： ，
解得： ，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣2x+120；
（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+120）＝600，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x＝30 或 x＝50（舍去），
答：每件商品的销售价应定为 30 元；
（3）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2（x﹣40）2+800，
∴抛物线的对称轴为 x＝40，且开口向下，
∴当 x＜40 时，y 随 x 的增大而增大，
∵x≤36，
∴当 x＝36 时，w 有最大值，最大值为 ，
∴售价定 38 元/件时，每天最大利润为 768 元．
19．端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节即将到来之际，某食品店
以 15 元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近 A，B，C，D，E 五个食品
店近期该种粽子的售价与日销量情况．
【数据整理】
将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：
售价/元/盒 18 20 22 26 30
日销售量/盒 34 30 26 18 10
【模型建立】
（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系
式（不要求写出自变量的取值范围）；
【拓广应用】
（2）
①要想每天获得 198 元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）由表格可得日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系，设日销售量 y（盒）与
售价 x（元/盒）之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把表格中的两组数据代入可得 k 和 b 的值，即
可求得函数解析式，把表格中的其他数据代入也符合，所以所得函数关系式正确；
（2）
①设利润为 w 元，每天的利润＝每盒粽子的利润×日销售量，取 y＝198，求得相应的定价即可；
②由①中的函数关系可得二次函数的开口方向向下，所以当 x＝﹣ 时，w 最大，把所得的 x 的值代
入函数关系式可得最大利润．
【解答】解：（1）日销售量随售价的增加而减小，猜测是一次函数关系．
设日销售量 y（盒）与售价 x（元/盒）之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0）．
∴ ．
解得： ．
∴y＝﹣2x+70．
把表格中的任意一组数值，代入后符合函数关系式；
（2）①设利润为 w 元．
w＝（x﹣15）（﹣2x+70）＝﹣2x2+100x﹣1050．
当 w＝198 时，
198＝﹣2x2+100x﹣1050．
x2﹣50x+624＝0．
（x﹣24）（x﹣26）＝0．
解得：x1＝24，x2＝26．
答：要想每天获得 198 元的利润，应定价为 24 元/盒或 26 元/盒；
②∵﹣2＜0，
∴当 x＝﹣ ＝25 时，利润最大，最大利润为（25﹣15）×（﹣50+70）＝10×20＝200（元）．
答：售价定为 25 元/盒时，每天能获得最大利润，最大利润是 200 元．
20．某农户在 30 天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平
台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量 y1（件）与时间 x（天）关系如图所示．另一部分农产品
在线下店铺销售，农产品的日销售量 y2（件）与时间 x（天）之间满足函数关系 ，其中部分
对应值如表所示．
销售时间 x（天） 0 10 20 30
日销售量 y2（件） 0 75 100 75
（1）写出 y1 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）试确定线下店铺日销售量 y2 与 x 的函数关系式并求出线下店铺日销售量 y2 的最大值；
（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为 20 元，在抖音平台销售该农产品每件利润为 30 元，设该
农户销售农产品的日销售总利润为 w，写出 w 与时间 x 的函数关系式，并判断第几天日销售总利润 w 最
大，并求出此时最大值．
【分析】（1）根据图象分段求函数解析式即可求解；
（2）根据表格数据，待定系数法求解析式即可求解．
（3）根据日销售总利润，w＝30y1+20y2 得出函数关系，根据二次函数的性质求得最大值即可求解．
【解答】解：（1）当 0＜x≤10，设 y1＝kx，
将点（10，100）代入得，100＝10k，
解得：y＝10x，
当 x≥10 时，设 y1＝k1x+b，将点（10，100），（30，140）代入得， ，
解得： ，
∴y1＝2x+80，
综上所述，∴ ，
（2）解：将（10，75），（20，100）代入， ，
得： ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴当 x＝20 时，y2 的最大值为 100，
（3）设该农户销售农产品的日销售总利润为 w，
当 0＜x≤10 时， ＝300x﹣5x2+200x＝﹣5x2+500x＝﹣5（x﹣50）
2+12500，
对称轴为 x＝50，当 x＜50 时，w 随 x 的增大而增大，
∵0＜x≤10，
∴当 x＝10 时，取得最大值，最大值为：﹣5（10﹣50）2+12500＝4500（元），
当 x≥10 时， ＝﹣5x2+260x+2400＝﹣
5（x﹣26）2+5780，
∴当 x＝26 时，取得最大值，最大值为 5780，
∴ ，
综上所述，第 26 天，日销售总利润 w 最大，最大值为 5780 元．
类型三：抛物线形的形状问题
21．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，
某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度 AB 为 8 米，棚顶最高点距离地面高度 OC 为 4 米．以
AB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若借助横梁 DE（DE∥AB）在大棚正中建一个 2 米高的门（DE 到地面 AB 的距离为 2 米），求横梁
DE 的长度是多少米？（结果保留根号）
【分析】（1）由题意得，C（0，4）、A（﹣4，0）、B（4，0），设两点式函数表达式，代入 C 点，可得该
抛物线的函数表达式；
（2）DE 到地面 AB 的距离为 2 米，即 D、E 两点的纵坐标为 2，令 y＝2，求得 D、E 的横坐标，可得横
梁 DE 的长度．
【解答】解：（1）由题意得，C（0，4）、A（﹣4，0）、B（4，0），
设该抛物线的函数表达式为 y＝a（x﹣4）（x+4），代入 C 点，
得 a（0﹣4）（0+4）＝4，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣4）（x+4）＝﹣ x2+4，
答：该抛物线的函数表达式为 y＝﹣ x2+4；
（2）∵DE 到地面 AB 的距离为 2 米，
∴D、E 两点的纵坐标为 2，
令 y＝2，则﹣ x2+4＝2，
解得：x1＝2 ，x2＝﹣2 ，
∴D（﹣2 ，2）、E（2 ，2），
∴DE＝4 ，
答：横梁 DE 的长度是 4 米．
22．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 L1 与缆索 L2 均呈抛物线型，桥塔 AO 与桥塔 BC
均垂直于桥面，如图所示，以 O 为原点，以直线 FF′为 x 轴，以桥塔 AO 所在直线为 y 轴，建立平而直
角坐标系．
已知：缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴对称，桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的距离 OC＝
100m，AO＝BC＝17m，缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索 L1 所在抛物线的函数表达式；
（2）点 E 在缆索 L2 上，EF⊥FF′，且 EF＝2.6m，FO＜OD，求 FO 的长．
【分析】（1）依据题意，由 AO＝17m，从而 A（0，17），又 OC＝100m，缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距
离 PD＝2m，可得抛物线的顶点 P 为（50，2），故可设抛物线为 y＝a（x﹣50）2+2．，又将 A 代入抛物线
可求得 a 的值，进而可以得解；
（2）依据题意，由缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴对称，又缆索 L1 所在抛物线为 y＝
（x﹣50）2+2，从而可得缆索 L2 所在抛物线为 y＝ （x+50）2+2，又令 y＝2.6，可得 2.6＝
（x+50）2+2，求出 x＝﹣40 或 x＝﹣60，进而计算可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵AO＝17m，
∴A（0，17）．
又 OC＝100m，缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD＝2m，
∴抛物线的顶点 P 为（50，2）．
故可设抛物线为 y＝a（x﹣50）2+2．
又将 A 代入抛物线可得，
∴2500a+2＝17．
∴a＝ ．
∴缆索 L1 所在抛物线为 y＝ （x﹣50）2+2．
（2）由题意，∵缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴对称，
又缆索 L1 所在抛物线为 y＝ （x﹣50）2+2，
∴缆索 L2 所在抛物线为 y＝ （x+50）2+2．
又令 y＝2.6，
∴2.6＝ （x+50）2+2．
∴x＝﹣40 或 x＝﹣60．
又 FO＜OD＝50m，
∴x＝﹣40．
∴FO 的长为 40m．
23．如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度 AB 为 2m，长廊顶部的最高
点与地面的距离 CD 为 3m，两侧的柱子 OA、BE 均垂直于地面，且高度为 2.5m，线段 OE 表示水平地面，
建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离 A，B 两端水平距离为 0.5m 处的抛物线型长廊顶部
各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少 2.6m 的安全距离，现市面上有一款长度为 0.2m 的小灯
笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标和点 A 的坐标，设抛物线的函数表达式为顶点式，把点 A 的坐标代
入可得 a 的值，即可求得抛物线的函数表达式；
（2）易得小灯笼所在的位置的横坐标，代入（1）中所得的函数解析式，求得 y 的值，减去小灯笼的长
度即为小灯笼距离地面的距离，与安全距离比较即可判断该款灯笼是否符合要求．
【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点 C 的坐标为（1，3），点 A 的坐标为（0，2.5）．
∴设该抛物线的函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+3．
∴2.5＝a（0﹣1）2+3．
解得：a＝﹣0.5．
∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+3；
（2）当 x＝0.5 时，y＝﹣0.5（0.5﹣1）2+3＝2.875．
∵2.875﹣0.2＝2.675＞2.6，
∴该款灯笼符合要求．
24．如图 1 某桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA＝8m，桥拱顶点 B
到水面的距离是 4m．
（1）按如图 1 所示的坐标系，求该桥拱 OBA 的函数表达式；
（2）要保证高 2.26 米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于 0.3 米），求小船的最大宽度是多
少？
（3）如图 2，桥拱所在的函数图象的抛物线的 x 轴下方部分与桥拱 OBA 在平静水面中的倒影组成一个新
函数图象．现将新函数图象向右平移 m（m＞0）个单位长度，使得平移后的函数图象在 9≤x≤10 之间，
且 y 随 x 的增大而减小，请直接写出 m 的取值范围．
【分析】（1）依据题意得，水面宽 OA 是 8m，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4m，可得顶点 B（4，4），故
可设二次函数的表达式为 y＝a（x﹣4）2+4，又将点 O（0，0）代入函数表达式，求出 a 即可得解；
（2）依据题意，根据（1）二次函数的表达式 ，又令 y＝2.26+0.3＝2.56，进而 求出 x
后可以判断得解；
（3）依据题意，根据平移规律得到点 O 平移后的对应点为（m，0），对称轴平移后的对称轴为 x＝4+m，
则点 A 平移后的对应点为（8+m，0），再根据图象性质，得到函数在 m≤x≤4+m 或 x≥8+m 上，满足 y
随 x 的增大而减小，从而可得 或 8≤8+m≤9，计算即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意得：水面宽 OA 是 8m，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4m，
∴顶点 B（4，4）．
∴可设二次函数的表达式为 y＝a（x﹣4）2+4．
又将点 O（0，0）代入函数表达式，
∴ ．
∴二次函数的表达式为 ，即 （0≤x≤8）．
（2）由题意，根据（1）二次函数的表达式 ，
又令 y＝2.26+0.3＝2.56，
∴ ．
∴x1＝6.4，x2＝1.6．
∴小船的最大宽度为：6.4﹣1.6＝4.8（米）．
（3）由题意，根据平移规律得到点 O 平移后的对应点为（m，0），对称轴平移后的对称轴为 x＝4+m，
∴点 A 平移后的对应点为（8+m，0）．
根据图象性质，得到函数在 m≤x≤4+m 或 x≥8+m 上，满足 y 随 x 的增大而减小．
∴ 或 8≤8+m≤9．
∴6≤m≤9 或 0＜m≤1．
25．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已
知抛物线经过（0，3）， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；
（2）有一辆高 5m，顶部宽 4m 的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；
（3）现准备在隧道上 A 处安装一个直角形钢架 BAC，对隧道进行维修．B，C 两点分别在隔离墙和地面
上，且 AB 与隔离墙垂直，AC 与地面垂直，求钢架 BAC 的最大长度．
【分析】（1）依据题意，设抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c，将已知点的坐标代入求出 a，b，c 后即可得
解；
（2）依据题意，由工程车高 5m，从而令 y＝5，即 5＝﹣ x2+2x+3，求出 x 的值，进而得出能通过的工
程车宽度与已知工程车车款 4m 进行比较即可得解；
（3）依据题意，结合图象，设 A（m，﹣ m2+2m+3），再由 B 在墙面上，得出 m 的范围，又由 AB+AC
＝m﹣ m2+2m+3＝﹣ （m﹣ ）2+ ，进而由二次函数的性质可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，设抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c，
∴ ．
∴ ．
∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+2x+3．
（2）工程车不能正常通过．理由如下：
∵工程车高 5m，
∴令 y＝5，即 5＝﹣ x2+2x+3．
∴x＝3± ．
∴纵坐标为 5 时，两点的距离为 3+ ﹣（3﹣ ）＝2 ≈3.46＜4．
故高 5m，顶部宽 4m 的工程车不能正常通过．
（3）由题意，如图，
设 A（m，﹣ m2+2m+3）．
当 OB＝3 时，令 y＝3＝﹣ m2+2m+3，
∴m＝0 或 m＝6．
∴B（0，﹣ m2+2m+3）．
∵B 在墙面上，
∴m≥6．
由 AB+AC＝m﹣ m2+2m+3
＝﹣ m2+3m+3
＝﹣ （m﹣ ）2+ ，
又当 m＞ 时，（AB+AC）的值随 m 的增大而减小，
∴当 m＝6 时，（AB+AC）取最大值，最大值为 9．
∴钢架 BAC 的最大长度为 9m．
26．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无
阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋
朝，距今已有约 1400 年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥
拱便是圆弧形．
（1）某桥 A 主桥拱是圆弧形（如图①中 ），已知跨度 AC＝40m，拱高 BD＝10m，则这条桥主桥拱
的半径是 25 m；
（2）某桥 B 的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽 MN＝10m，拱顶 P（抛物线顶点）距离水面
4m，求桥拱抛物线的解析式；
（3）如图③，某时桥 A 和桥 B 的桥下水位均上升了 2m，求此时两桥的水面宽度．
【分析】（1）设主桥拱的半径是 r m，根据勾股定理可得 202+（r﹣10）2＝r2，即可解得答案；
（2）以 P 为原点，平行水面的直线为 x 轴，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为 y＝ax2，用待定
系数法可得桥拱抛物线的解析式为 y＝﹣ x2；
（3）桥 A 的桥下水位上升了 2m，用勾股定理可得桥 A 的水面宽度为 8 m；桥 B 的桥下水位上升了
2m，在 y＝﹣ x2 中，令 y＝﹣2 得 x＝ 或 x＝﹣ ，即可得此时桥 B 的水面宽度为 5 m．
【解答】解：（1）设主桥拱所在的圆弧形圆心为 O，连接 OD，如图：
由拱高的定义可知，B，D，O 共线，设主桥拱的半径是 r m，
在 Rt△ADO 中，AD＝ AC＝20m，DO＝BO﹣BD＝（r﹣10）m，
∵AD2+DO2＝AO2，
∴202+（r﹣10）2＝r2，
解得 r＝25，
故答案为：25；
（2）以 P 为原点，平行水面的直线为 x 轴，建立直角坐标系，如图：
设桥拱抛物线的解析式为 y＝ax2，
∵水面宽 MN＝10m，拱顶 P（抛物线顶点）距离水面 4m，
∴M（﹣5，﹣4），
∴﹣4＝25a，
解得 a＝﹣ ，
∴桥拱抛物线的解析式为 y＝﹣ x2；
（3）桥 A 的桥下水位上升了 2m，如图：
根据题意，OF＝25m，OE＝OB﹣BE＝25﹣（10﹣2）＝17，
∴EF＝ ＝ ＝4 （m）；
∴此时桥 A 的水面宽度为 8 m；
桥 B 的桥下水位上升了 2m，
在 y＝﹣ x2 中，令 y＝﹣2 得：﹣2＝﹣ x2，
解得 x＝ 或 x＝﹣ ，
∵ ﹣（﹣ ）＝5 ，
∴此时桥 B 的水面宽度为 5 m．
27．开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚
丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，
钢拱最高处 C 点与路面的距离 OC 为 50 米，若以点 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴，建立如图②所
示的平面直角坐标系，抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，且 AB 两点间的距离为 80 米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）钢拱最高处 C 点与水面的距离 CD 为 72 米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；
（3）当﹣32＜x＜16 时，求 y 的取值范围．
【分析】（1）根据题意得出 C（0，50），A（﹣40，0），B（40，0），设抛物线解析式为 y＝a（x﹣40）
（x+40），把 C（0，50）代入求出 a 的值，即可解答；
（2）先求出 OD＝CD﹣OC＝22m，则 D（0，﹣22），求出把 y＝﹣22 时 x 的值，即可解答；
（3）根据二次函数的图象和性质得出当 x＝0 时，y 取最大值 50，当 x＝﹣32 时，y 取最小值，
，即可解答．
【解答】解：（1）∵OC＝50m，AB＝80m，
∴C（0，50），A（﹣40，0），B（40，0），
设抛物线解析式为 y＝a（x﹣40）（x+40），
把 C（0，50）代入得：
50＝a×（﹣40）×40，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
（2）∵CD＝72m，OC＝50m
∴OD＝CD﹣OC＝22m，
∴D（0，﹣22），
把 y＝﹣22 代入 得： ，
解得：x1＝48，x2＝﹣48，
∴此时这条钢拱之间水面的宽度为 48﹣（﹣48）＝96（m）；
（3）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（0，50），
∴当 x＝0 时，y 取最大值 50，
∵ ，
∴抛物线开口向下，则离对称轴越远，函数值越小，
∵﹣32＜x＜16，
∴当 x＝﹣32 时，y 取最小值， ，
∴当﹣32＜x＜16 时，18＜y≤50．
28．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材 1 我国的大棚（如图 1）种
植技术已十分成熟，一
块土地上有一个蔬菜大
棚，其横截面顶部为抛
物线型，大棚的一端固
定在墙体 OA 上，另一端
固定在墙体 BC 上，其横
截面有 2 根支架 DE，
FG，相关数据如图 2 所
示，其中 DE＝BC，OF＝
DF＝BD．
素材 2 已知大棚有 200 根长为
DE 的支架和 200 根长为
FG 的支架，为增加棚内
空间，拟将图 2 中棚顶
向上调整，支架总数不
变，对应支架的长度变
化如图 3 所示，调整后 C
与 E 上升相同的高度，
增加的支架单价为 60 元
/米（接口忽略不计），现
有改造经费 32000 元．
问题解决
任务 1 确定大棚形状 在图 2 中以点 O 为原点，OA 所在直线为 y 轴建立平面直
角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务 2 尝试改造方案 当 CC′＝1 米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能
否完成改造．
任务 3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出 CC′的最大值．
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为 5，再利用待定系数法得到函数的解析式；
（2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到 C'、E'的坐标即可得到结论；
（3）根据已知条件表示出 G'、E'的坐标得到 a 的不等式，进而得到 CC'的最大值．
【解答】解：（1）如图建立如图所示的坐标系，
∴A（0，1），C（6，3.4），
∴y＝ax2+bx+1，
∵OF＝DF＝BD＝2，DE＝BC，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴y＝ax2﹣10ax+1，将 C（6，3.4）代入解析式得， ，
∴ ，
（2）如图，建立与（1）相同的坐标系，
∵CC′＝1，
∴C 为（6，4.4），
∵改造后对称轴不变，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1
将 C（6，4.4）代入解析式得 a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2+ x+1，
∴G 为 ，G′为 （2， ），
∴GG′＝ ，
∴共需改造经费 ，
∴能完成改造．
（3）如图，设改造后抛物线解析式为 y＝ax2﹣10ax+1，
则 G 为 （2，﹣16a+1），E 为 （4，﹣24a+1），
∴EE′+GG′＝﹣16a+1﹣24a+1﹣（ +3.4）＝﹣40a﹣4，
（﹣40a﹣4）×200×60≤32000，
解得 ，
∵CC′＝EE′＝﹣24a+1﹣3.4，
∴ 时，CC′的值最大，为 1.6 米．
29．综合与实践
主题：设计高速公路的隧道
情境素材
素材 1 高速公路隧道设计及行驶常
识：为了行驶安全，高速公路
的隧道设计一般是单向行驶
车道，要求货车靠右行驶．
素材 2 据调查，一般的大型货车宽
2.4m，车货总高度从地面算起
不超过 4m．为了保证行驶的
安全，货车右侧顶部与隧道的
竖直距离不小于 0.55m．
素材 3 某高速公路准备修建一个单
向双车道（两个车道的宽度一
样）的隧道，隧道的截面近似
看成由抛物线和矩形构成（如
图）．每条车道的宽为 x m（其
中 3.5≤x≤3.75），车道两端
（M、N）与隧道两侧的距离
均为 1m．
问题解决
问题 1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理范
围．
问题 2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分 AA1＝9m，AB＝
2.95m．求抛物线的解析式．
【分析】问题一：根据车道的宽度范围，结合 AA1＝AM+A1N+MN，即可求解；
问题二：AA1 中点 O，建立坐标系，作 NP⊥AA1，求出点 B 点 P 的坐标，代入抛物线表达式，即可求
解．
【解答】解：问题 1：∵每条车道的宽为 x m（其中 3.5≤x≤3.75），AM＝A1N＝1m，MN＝2x m，AA1＝
AM+A1N+MN，AA1＝2x+2，
∵3.5m≤x≤3.75m，
∴9m≤AA1≤9.5m．
问题 2：取 AA1 中点 O，以 AA1 为 x 轴，建立坐标系，作 NP⊥AA1 交抛物线于点 P，
设抛物线表达式为 y＝ax2+c，
∵AA1＝9m，OA1＝ AA1＝ 9＝4.5m，A1B1＝AB＝2.95m，
∴B1（4.5，2.95），
由题意得 NP＝4+0.55＝4.55m，
∴P（3.5，4.55），
将 B1（4.5，2.95）、P（3.5，4.55）代入 y＝ax2+c，
得 ，
解得： ，
∴抛物线表达式为 y＝﹣ x2+7．
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
30．某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置 OA 喷水能力最强，水流在各个方向
上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为 y（m），水流与 OA 之间的水平距离为 x（m），y
与 x 之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置 OA 高度为 3.5 米，水流最高处离喷水装置
OA 的水平距离为 3 米，离地面竖直距离为 8 米．
（1）求水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数关系式；
（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置 OA 多少米处，才不会被喷出
的水流击中？
【分析】（1）依据题意得，抛物线的顶点为（3，8），从而可设抛物线为 y＝a（x﹣3）2+8，又抛物线过
（0，3.5），进而计算可以得解；
（2）依据题意，由抛物线为 y＝﹣0.5（x﹣3）2+8，进而令 y＝0，则 0＝﹣0.5（x﹣3）2+8，求出 x 的值
即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（3，8），
∴可设抛物线为 y＝a（x﹣3）2+8．
又抛物线过（0，3.5），
∴3.5＝9a+8．
∴a＝﹣0.5．
∴水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数关系式为 y＝﹣0.5（x﹣3）2+8．
（2）由题意，∵抛物线为 y＝﹣0.5（x﹣3）2+8，
∴令 y＝0，则 0＝﹣0.5（x﹣3）2+8．
∴x＝7 或 x＝﹣1（不合题意，舍去）．
∴花盆需至少离喷水装置 OA 为 7 米处，才不会被喷出的水流击中．
31．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所
示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单
位：m）近似满足函数关系 y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下：
水平距离 x/m 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度 y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 y＝﹣0.25（x﹣2.2）
2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为 l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为 l2，请
比较 l1，l2 的大小．
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（3，0.9），那么该运动员竖直高度的最大值为 0.9，把顶点坐标
连同（0，0）代入所给的函数解析式，求得 a 的值后即可求得相应的函数解析式；
（2）落入沙坑，则竖直高度 y 为 0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，
求得 x 后取正值即为 l1 和 l2 的长度，比较 l1，l2 的大小即可．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，0.9）．
∴该运动员竖直高度的最大值为 0.9 米．
设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+0.9．
∵经过点（0，0），
∴9a+0.9＝0，
解得：a＝﹣0.1．
∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．
（2）取 y＝0．
第一次训练时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝6．
∴l1＝6．
第二次训练时，0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝4.4．
∴l1＝4.4．
∵6＞4.4，
∴l1＞l2．
32．如图 1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心 O 处竖直安装一根高度为 1m 的水管 OA，A 处是喷头，
喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如
图 2 所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心 O 的最远水平距离 OB 为 3m，水流竖直高度
的最高处位置 C 距离喷水池中心 O 的水平距离 OD 为 1m．
（1）求喷出水流的竖直高度 y（m）与距离水池中心 O 的水平距离 x（m）之间的关系式，并求水流最大
竖直高度 CD 的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移
动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心 O 的最远水平距离增大至 4m，则水管 OA 的
高度增加多少米？
【分析】（1）依据题意，设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），由 A 点坐标为（0，1），B 点
坐标为（3，0），进而求得 a，k 后得解，再令 x＝1，从而求出水流喷出的最大高度；
（2）依据题意，设抛物线为 y＝﹣ （x﹣1）2+m，结合此时 B 为（4，0），求出 m，从而得抛物线解析
式，再令 x＝0，即可得解．
【解答】解：（1）由题意，A 点坐标为（0，1），B 点坐标为（3，0）．
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+k（a≠0），
∵抛物线经过点 A，点 B，
∴ ，
∴ ．
∴y＝﹣ （x﹣1）2+ （0≤x≤3 ）．
∴x＝1 时，y＝ ．
∴水流最大竖直高度 CD 的长为 m．
（2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变，
∴可设抛物线为 y＝﹣ （x﹣1）2+m．
又此时 B 为（4，0），
∴0＝﹣ （4﹣1）2+m．
∴m＝3．
∴抛物线为 y＝﹣ （x﹣1）2+3，
令 x＝0，
∴y＝﹣ （0﹣1）2+3＝ ，
﹣1＝ （m），
∴水管 OA 的高度增加 米．
33．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面 10m 的点 A
和其正上方点 B 处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水
流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点 C 处，水流恰好到达点 A 处，且
水流的最大高度为 12m．待 A 处火熄灭后，消防员退到点 D 处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好
到达点 B 处，已知点 D 到高楼的水平距离为 12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为
3m．建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求 A、B 之间的距离；
（3）若消防员站在到高楼水平距离为 9m 的地方，想要扑灭距地面高度 12～18m 范围内的火苗，当水流
最高点到高楼的水平距离始终为 3m 时，直接写出 a 的取值范围．
【分析】（1）根据第一次灭火时水流最高点的坐标为（3，12），设水流所在抛物线的解析式为 y＝a（x﹣
3）2+12，将点 A（0，10）代入解析式解答即可；
（2）根据两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为 3 米，可设第
二次灭火时水流所在抛物线的解析式为 ，将点（12，0）代入即可解答；
（3）由题意可知灭火过程中 y 与 x 始终满足 y＝a（x﹣3）2+h，将（9，0）代入后可得 0＝36a+h，解得
h＝﹣36a，从而确定 y＝a（x﹣3）2﹣36a，把点（0，12）和点（0，18）代入求得取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意可知：第一次灭火时水流最高点的坐标为（3，12），
设水流所在抛物线的解析式为 y＝a（x﹣3）2+12，
∵点 A（0，10）在抛物线上，
∵10＝a（0﹣3）2+12，
解得： ，
∴ ，
答：消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为： ；
（2）两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为 3 米，
∴可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为 ，
∵由题意可知该抛物线过点（12，0），
∴ ，
解得：c＝18，
∴ ，
令 x＝0，则 y＝16，
∴B（0，16），
∵A（0，10），
∴AB＝16﹣10＝6，
答：A、B 之间的距离为 6m；
（3）由题意可知：灭火过程中 y 与 x 始终满足 y＝a（x﹣3）2+h，
将（9，0）代入后可得 0＝36a+h，
∴h＝﹣36a，
∴y＝a（x﹣3）2﹣36a，
当抛物线过点（0，12）时，12＝a（0﹣3）2﹣36a，
解得： ；
当抛物线过点（0，18）时，18＝a（0﹣3）2﹣36a，
解得：a＝﹣ ；
∴﹣ ≤a≤ ；
答：当水流最高点到高楼的水平距离始终为 3m 时，求 a 的取值范围是﹣ ≤a≤ ．
34．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一
部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点 O 的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度 y
（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间近似满足二次函数关系．
比赛中，甲同学某次发球时如图 1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度 y 与此时水平距离 x
的对应七组数据如下：
水平距离 2 3 3.5 4 4.5 5 6 …
x/m
竖直高度 3.4 4 4.15 4.2 4.15 4 3.4 …
y/m
根据以上数据，回答下列问题：
（1）①当羽毛球飞行到最高点时，距地面 4.2 m，此时水平距离是 4 m；
②在水平距离 5m 处，放置一个高 1.55m 的球网，羽毛球 是 （填“是”或“否”）可以过网；
（2）求出 y 与 x 的函数解析式；
（3）若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为 7m 的点 Q 处接住球（如图 2）．此时如果乙选择
扣球，羽毛球的飞行高度 y（m）与水平距离 x（m）近似满足一次函数关系 y＝0.4x+m．如果乙选择吊球，
羽毛球的飞行高度 y（m） 与水平距离 x（m） 近似满足二次函数关系 y＝n（x﹣6）2+3.2．上面两种
击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 O 点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更
合适．
【分析】（1）①依据题意，根据表格数据可得对称轴是直线 x＝ ＝4，可得顶点为（4，4.2），
进而可以判断得解；
②依据题意，根据表格数据当 x＝5 时，y＝4，又 4＞1.55，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由顶点是（4，4.2），故可设抛物线为 y＝a（x﹣4）2+4.2，又抛物线过（3，4），求出
a，即可得解；
（3）依据题意，当 x＝7 时，y＝﹣0.2（7﹣4）2+4.2＝2.4，则 Q（7，2.4），再将 Q（7，2.4）代入 y＝
0.4x+m 得 2.4＝0.4×x7+m，求出 m 从而可得扣球时一次函数关系为 y＝0.4x﹣0.4，又令 y＝0，则 0.4x﹣
0.4＝0，解得 x＝1，将 Q（7，2.4）代入 y＝n（x﹣6）2+3.2 得 2.4＝n（7﹣6）2+3.2，可得 n＝﹣0.8，进
而吊球时二次函数关系为 y＝﹣0.8（x﹣6）2+3.2，再令 y＝0，则﹣0.8（x﹣6）2+3.2＝0，求出 x＝4 或 x
＝8，进而可以判断得解．
【解答】解；（1）①由题意，根据表格数据可得对称轴是直线 x＝ ＝4，
∴顶点为（4，4.2）．
∴当羽毛球飞行到最高点时，距地面 4.2m，此时水平距离是 4m．
故答案为：4.2，4．
②由题意，根据表格数据当 x＝5 时，y＝4，
又 4＞1.55，
∴在水平距离 5m 处，放置一个高 1.55m 的球网，羽毛球是可以过网．
故答案为：是．
（2）由题意，∵顶点是（4，4.2），
∴可设抛物线为 y＝a（x﹣4）2+4.2．
又抛物线过（3，4），
∴4＝a+4.2．
∴a＝﹣0.2．
∴函数关系式为 y＝﹣0.2（x﹣4）2+4.2．
（3）由题意，当 x＝7 时，y＝﹣0.2（7﹣4）2+4.2＝2.4，
∴Q（7，2.4）．
将 Q（7，2.4）代入 y＝0.4x+m 得 2.4＝0.4×x7+m，
∴m＝﹣0.4．
∴扣球时一次函数关系为 y＝0.4x﹣0.4．
令 y＝0，则 0.4x﹣0.4＝0，解得 x＝1．
将 Q（7，2.4）代入 y＝n（x﹣6）2+3.2 得
∴2.4＝n（7﹣6）2+3.2，
∴n＝﹣0.8．
∴吊球时二次函数关系为 y＝﹣0.8（x﹣6）2+3.2．
令 y＝0，则﹣0.8（x﹣6）2+3.2＝0，
∴x＝4 或 x＝8．
∵球过网，
∴x＝4 符合实际情境．
又∵1＜4，
∴吊球时球的落地点到 O 点的距离比扣球时更远，乙应选择吊球．
35．如图 1，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间
立柱近似看作一条线，以其为 y 轴建立如图 2 所示直角坐标系．已知中间立柱顶端 C 到地面的距离为
6m，喷水头 D 恰好是立柱 OC 的中点．若水柱上升到最高点 E 时，高度为 4m，到中间立柱的距离为
1m．
（1）求图 2 中第一象限内抛物线的函数表达式．
（2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？
（3）实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成 7m，在不改变喷出的抛物线形
水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，需对水管的长度
进行调整，求调整后水管的最大长度．
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，将 D
（0，3）代入得，求出 a 的值即可；
（2）依据题意，令 y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+4，解得 x＝﹣1（舍）或 x＝3，可得直径至少为 2×3＝
6（米）；
（3）依据题意，设改进后的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+k，再把（3.5，0）代入得，﹣（3.5﹣1）
2+k＝0，可得 k＝6.25，从而可得改进后的抛物线为 y＝﹣（x﹣1）2+6.25，进而可得 D（0，5.25），即可
判断得解．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+4，
又 D 为（0，3），
∴a（0﹣1）2+4＝3．
解得 a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4．
（2）由题意，令 y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1（舍）或 x＝3，
∵2×3＝6（米），
∴水池的直径至少要 6 米才能使喷出的水流不落到池外．
（3）由题意，设改进后的抛物线解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+k，
把（3.5，0）代入得，﹣（3.5﹣1）2+k＝0．
∴k＝6.25．
∴改进后的抛物线为 y＝﹣（x﹣1）2+6.25．
∴D（0，5.25）．
∴调整后水管的最大长度为 5.25 米．
36．如图，某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练，水面边缘点 E（﹣1.5，﹣10），运动员（可视为一质点）
在空中运动的路线是经过原点 O 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点 A（1，1.25），
正常情况下，运动员在距水面高度 5 米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就
为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，入水点恰好距点 E 的水平距离为 5 米，问该运动员此次跳水是
否失误？请通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点 B 的正前方 M，N 两点，且 EM＝10.5，EN＝13.5，该运动员入水后运动路线对
应的抛物线解析式为 y＝a（x﹣h）2+k 且顶点 C 距水面 4 米．若该运动员的出水点 D 在 MN 之间（含
M，N 两点），求 a 的取值范围．
【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）依据题意，当距点 E 水平距离为 5 时，对应的横坐标为 5﹣1.5＝3.5，将 x＝3.5 代入解析式求出 y
后即可判断得解；
（3）根据题意得到，点 B（4，﹣10），E（﹣1.5，﹣10 ），M（9，﹣10），N （12，﹣10），当抛物线
过点 M 时，y＝a（x﹣6.5）2﹣14，分情况求出 α 值，进而根据点 D 在 MN 之间即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点 A（1，1.25），
∴可设抛物线的解析式为 y＝m（x﹣1）2+1.25，
把（0，0）代入解析式得 0＝m（0﹣1）2+1.25，
∴m＝﹣1.25．
∴抛物线的解析式为 y＝﹣1.25（x﹣1）2+1.25．
（2）由题意，当距点 E 水平距离为 5 时，对应的横坐标为 5﹣1.5＝3.5．
将 x＝3.5 代入解析式，
∴y＝﹣1.25×（3.5﹣1）2+1.25＝﹣ ，
∵﹣ ﹣（﹣10）＝ ＜5，
∴该运动员此次跳水失误了．
（3）∵EM＝10.5，EN＝13.5，点 E 的坐标为（﹣1.5，﹣10），
∴点 M，N 的坐标分别为（9，﹣10），（12，﹣10）．
令 y＝﹣10，则﹣10＝﹣ （x﹣1）2+ ．
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
∴入水处 B 点的坐标为（4，﹣10）．
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 y＝a（x﹣h）2+k，
∴当抛物线过点 M 时，y＝a（x﹣6.5）2﹣14，
把 M（9，﹣10）代入，得 a＝0.64，
同理，当抛物线过点 N（12，﹣10）时，a＝0.25，
由点 D 在 MN 之间得 a 的取值范围为 0.25≤a≤0.64．第 08 讲 专题 2 二次函数实际应用解答题专项训练
类型一：几何图形的面积问题
类型二：销售中的利润问题
类型三：抛物线形的形状问题
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
类型一：几何图形的面积问题
1．如图，有长为 30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于
AB）的矩形花圃．设花圃的一边 AB 为 x m，面积为 y m2．
（1）若要围成面积为 63m2 的花圃，则 AB 的长是多少？
（2）求 AB 为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积．
2．某养殖户准备围建一个矩形鸡舍，其中一边靠墙 MN，另外的边（虚线部分）用长为 28 米的篱笆围成，
并将矩形鸡舍分成两个相同的房间，每个房间并各留出宽 1 米的门方便进出．已知墙的长度为 12 米，设
这个鸡舍垂直于墙的一边的长为 x 米，鸡舍的面积为 S．
（1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）求出鸡舍的面积 S 的最大值，此时 x 为多少米？
3．如图，是 400 米跑道示意图，中间的足球场 ABCD 是矩形，两边是半圆，直道 AB 的长是多少？
你一定知道是 100 米!可你也许不知道，这不仅仅为了比赛的需要，还有另外一个原因，等你做完本题就
明白了．设 AB＝x 米．
（1）请用含 x 的代数式表示 BC．
（2）设矩形 ABCD 的面积为 S．
①求出 S 关于 x 的函数表达式．
②当直道 AB 为多少米时，矩形 ABCD 的面积最大？
4．春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长 40m，宽 20m 的矩形空地
划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分
别种植 A，B，C 三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是 10m．A，B，C 三种花卉每平方米的
产值分别是 2 百元、3 百元、4 百元．
（1）设育苗区的边长为 x m，用含 x 的代数式表示下列各量：花卉 A 的种植面积是 m2，
花卉 B 的种植面积是 m2，花卉 C 的种植面积是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B 两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉 A 与 B 的种植面积之和不超过 560m2，求 A，B，C 三种花卉的总产值之和的最大值．
5．如图 1，用一段长为 33 米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形 ABCD 菜园，墙长为
12 米．设 AB 的长为 x 米，矩形 ABCD 菜园的面积为 S 平方米．
（1）分别用含 x 的代数式表示 BC 与 S；
（2）若 S＝54，求 x 的值；
（3）如图 2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个 1.5 米宽的门（无需篱笆），当 x 为何值时，S 取
最大值，最大值为多少？
6．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙
的长度为 18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，
计划购买篱笆的总长度为 32m，设矩形场地的长为 x m，宽为 y m，面积为 s m2．
（1）分别求出 y 与 x，s 与 x 的函数解析式；
（2）当 x 为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
（3）若购买的篱笆总长增加 8m，矩形场地的最大总面积能否达到 100m2？若能，请求出 x 的值；若不
能，请说明理由．
7．某家禽养殖场，用总长为 200m 的围栏靠墙（墙长为 65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 EAGH
与矩形 HGBF 面积相等，矩形 EAGH 面积等于矩形 DEFC 面积的二分之一，设 AD 长为 x m，矩形区域
ABCD 的面积为 y m2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形 EAGH 和矩形 DEFC 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40 元/平方米和
20 元/平方米，若要使安装成本不超过 30000 元，请直接写出 x 的取值范围．
8．小明准备给长 16 米，宽 12 米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中 I、II、III 三个区域分别栽种甲、乙、
丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形 ABCD 和 EFGH 均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩
形 MFNC（区域 II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．
（1）若花卉均价为 450 元/米 2，种植花卉的面积为 S（米 2），草坪均价为 300 元/米 2，且花卉和草坪裁
种总价不超过 65400 元，求 S 的最大值；
（2）若矩形 MFNC 满足 MF：FN＝1：3．
①求 MF，FN 的长；
②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为 150 元/米 2，80 元/米 2，150 元/米 2，且边 BN 的长不小于边 ME
长的 倍．求图中 I、II、II 三个区域栽种花卉总价 W 元的最大值．
9．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式 x2+bx+c 变形为（x+m）2+n 的形式，然后由（x+m）2≥0
就可求出多项式 x2+bx+c 的最小值．
例题：求多项式 x2﹣4x+5 的最小值．
解：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
因为（x﹣2）2≥0，所以（x﹣2）2+1≥1．
当 x＝2 时，（x﹣2）2+1＝1．因此（x﹣2）2+1 有最小值，最小值为 1，即 x2﹣4x+5 的最小值为 1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：
（1）【理解探究】
已知代数式 A＝x2+10x+20，则 A 的最小值为 ；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是（3a+2）米，（2a+5）米，乙菜地的两边
长分别是 5a 米，（a+5）米，试比较这两块菜地的面积 S 甲和 S 乙的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝12cm，点 M、N 分别是线段 AC 和 BC 上的动点，点 M
从 A 点出发以 1cm/s 的速度向 C 点运动；同时点 N 从 C 点出发以 2cm/s 的速度向 B 点运动，当其中一点
到达终点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒，请直接写出△MCN 的面积最大值．
10．综合与实践
矩形种植园最大面积探究
情境 实践基地有一长为 12 米的墙 MN，研究小组想利用
墙 MN 和长为 40 米的篱笆，在前面的空地围出一个
面积最大的矩形种植园．假设矩形一边 CD＝x，矩
形种值园的面积为 S．
分析 要探究面积 S 的最大值，首先应将另一边 BC 用含 x
的代数式表示，从而得到 S 关于 x 的函数表达式，
同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出
最值．
探究 思考一：将墙 MN 的一部分用来替代篱笆
按图 1 的方案围成矩形种植园（边 AB 为墙 MN 的
一部分）
思考二：将墙 MN 的全部用来替代篱笆
按图 2 的方案围成矩形种植园（墙 MN 为边 AB 的
一部分）
解决问题 （1）根据分析，分别求出两种方案中的 S 的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最
大值为多少．
类比应用 （2）若“情境”中篱笆长为 20 米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案
示意图（标注边长）．
类型二：销售中的利润问题
11．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一
批麻花礼盒进行销售，成本价为 30 元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为 40 元/件时，每天
的销售量为 300 件，销售单价每提高 10 元/件，将少售出 50 件．
（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出出
变量取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．
12．某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克 10 元，调查发现，
每天销售量 y（kg）与销售单价 x（元）满足如图所示的函数关系（其中 10＜x≤30）
（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当销售单价 x 为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
13．某文具商店用销售进价为 28 元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒 40 元的价格销售，平均每天
销售 80 盒，价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为 x（x＞40）元，平均
每天销售 y 盒，平均每天的销售利润为 W 元．
（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式： ．
（2）求 W 与 x 之间的函数关系式．
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于 50 元，当每盒的销售价为多少元时，平
均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
14．某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件，如果每件商品的售价上涨 1 元，
则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元），设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数），每个月的销
售利润为 y 元．
（1）若每件商品的售价定价为 55 元，则每个月可卖出 件；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有 a（a＞2）元的其他费用，商家发现当售价每件不低于 57 元时，每
月的销售利润随 x 的增大而减小，请求出 a 的取值范围．
15．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给
大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．小柳按照政策投资销售本市生产的一种
网红螺蛳粉．已知这种网红螺蛳粉的成本价为每箱 80 元，出厂价为每箱 100 元，每月销售量 y（箱）与
销售单价 x（元）之间满足函数关系：y＝﹣2x+400．
（1）小柳在开始销售的第 1 月将螺蛳粉的销售单价定为 120 元，这个月他销售该螺蛳粉可获利
元．
（2）设小柳销售螺蛳粉获得的月利润为 w（元），当销售单价为多少元时，月利润最大，最大利润是多
少元？
（3）物价部门规定，这种网红螺蛳粉的销售单价不得高于 150 元，那么政府每个月为他承担的总差价最
少为多少元？
16．某商场某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可以卖出 300 件．市场调查反映：如调整价格，每涨价
1 元，每星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 10 件．已知商品的进价为每件 40 元．设售
价为 x 元/件（x 为正整数），每星期销售量为 y 件，每星期销售利润为 W 元．
（1）直接写出 y 与 x，W 与 x 的函数解析式以及自变量 x 的取值范围；
（2）如果出现某星期销售该商品亏损了 6000 元，那么该商品的售价是多少？
（3）当该商品的售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？
17．某食品厂生产一种半成品食材，成本为 2 元/千克，每天的产量 p（百千克）与销售价格 x（元/千克）
满足函数关系式 p＝ x+8，从市场反馈的信息发现，该半成品食材每天的市场需求量 q（百千克）与销
售价格 x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
销售价格 x（元/千克） 2 4 …… 10
市场需求量 q（百千克） 12 10 …… 4
当每天的产量不大于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出；而当每天的产量大于市场需求量时，
只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃．已知销售价格不低于 2
元/千克，不得高于 10 元/千克．
（1）直接写出 q 与 x 的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围；
（2）当每天的产量不大于市场需求量时，求厂家每天获得的利润的最大值；
（3）当每天的产量大于市场需求量时，求厂家每天获得的最大利润．
18．某商场以每件 20 元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于 36 元，经市
场调查发现：该商品每天的销售量 y（件）与每件售价 x（元）之间符合一次函数关系，如图所示．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）该商场销售这种商品要想每天获得 600 元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
（3）设商场销售这种商品每天获利 w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最
大利润是多少？
19．端午节是中华民族的传统节日，吃粽子是端午节的风俗之一．在今年端午节即将到来之际，某食品店
以 15 元/盒的价格购进某种粽子，为了确定售价，食品店安排人员调查了附近 A，B，C，D，E 五个食品
店近期该种粽子的售价与日销量情况．
【数据整理】
将调查数据按照一定顺序进行整理，得到下列表格：
售价/元/盒 18 20 22 26 30
日销售量/盒 34 30 26 18 10
【模型建立】
（1）分析数据的变化规律，发现日销售量与售价间存在我们学过的某种函数关系，请求出这种函数关系
式（不要求写出自变量的取值范围）；
【拓广应用】
（2）①要想每天获得 198 元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
20．某农户在 30 天内采用线下店面和抖音平台带货两种方式销售一批农产品．其中一部分农产品在抖音平
台带货销售，已知抖音平台带货销售日销售量 y1（件）与时间 x（天）关系如图所示．另一部分农产品
在线下店铺销售，农产品的日销售量 y2（件）与时间 x（天）之间满足函数关系 ，其中部分
对应值如表所示．
销售时间 x（天） 0 10 20 30
日销售量 y2（件） 0 75 100 75
（1）写出 y1 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）试确定线下店铺日销售量 y2 与 x 的函数关系式并求出线下店铺日销售量 y2 的最大值；
（3）已知该农户线下销售该农产品每件利润为 20 元，在抖音平台销售该农产品每件利润为 30 元，设该
农户销售农产品的日销售总利润为 w，写出 w 与时间 x 的函数关系式，并判断第几天日销售总利润 w 最
大，并求出此时最大值．
类型三：抛物线形的形状问题
21．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，
某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度 AB 为 8 米，棚顶最高点距离地面高度 OC 为 4 米．以
AB 所在直线为 x 轴，OC 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若借助横梁 DE（DE∥AB）在大棚正中建一个 2 米高的门（DE 到地面 AB 的距离为 2 米），求横梁
DE 的长度是多少米？（结果保留根号）
22．一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索 L1 与缆索 L2 均呈抛物线型，桥塔 AO 与桥塔 BC
均垂直于桥面，如图所示，以 O 为原点，以直线 FF′为 x 轴，以桥塔 AO 所在直线为 y 轴，建立平而直
角坐标系．
已知：缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴对称，桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的距离 OC＝
100m，AO＝BC＝17m，缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD＝2m．（桥塔的粗细忽略不计）
（1）求缆索 L1 所在抛物线的函数表达式；
（2）点 E 在缆索 L2 上，EF⊥FF′，且 EF＝2.6m，FO＜OD，求 FO 的长．
23．如图①为某景区一长廊，该长廊顶部的截面可近似看作抛物线型，其跨度 AB 为 2m，长廊顶部的最高
点与地面的距离 CD 为 3m，两侧的柱子 OA、BE 均垂直于地面，且高度为 2.5m，线段 OE 表示水平地面，
建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为了夜间美观，景区工作人员计划分别在距离 A，B 两端水平距离为 0.5m 处的抛物线型长廊顶部
各悬挂一盏灯笼，且灯笼底部要保持离地面至少 2.6m 的安全距离，现市面上有一款长度为 0.2m 的小灯
笼，试通过计算说明该款灯笼是否符合要求（忽略悬挂处长度）．
24．如图 1 某桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA＝8m，桥拱顶点 B
到水面的距离是 4m．
（1）按如图 1 所示的坐标系，求该桥拱 OBA 的函数表达式；
（2）要保证高 2.26 米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于 0.3 米），求小船的最大宽度是多
少？
（3）如图 2，桥拱所在的函数图象的抛物线的 x 轴下方部分与桥拱 OBA 在平静水面中的倒影组成一个新
函数图象．现将新函数图象向右平移 m（m＞0）个单位长度，使得平移后的函数图象在 9≤x≤10 之间，
且 y 随 x 的增大而减小，请直接写出 m 的取值范围．
25．某一抛物线形隧道，一侧建有垂直于地面的隔离墙，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系．已
知抛物线经过（0，3）， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式（不考虑自变量的取值范围）；
（2）有一辆高 5m，顶部宽 4m 的工程车要通过该隧道，该车能否正常通过？并说明理由；
（3）现准备在隧道上 A 处安装一个直角形钢架 BAC，对隧道进行维修．B，C 两点分别在隔离墙和地面
上，且 AB 与隔离墙垂直，AC 与地面垂直，求钢架 BAC 的最大长度．
26．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无
阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋
朝，距今已有约 1400 年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥
拱便是圆弧形．
（1）某桥 A 主桥拱是圆弧形（如图①中 ），已知跨度 AC＝40m，拱高 BD＝10m，则这条桥主桥拱
的半径是 m；
（2）某桥 B 的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽 MN＝10m，拱顶 P（抛物线顶点）距离水面
4m，求桥拱抛物线的解析式；
（3）如图③，某时桥 A 和桥 B 的桥下水位均上升了 2m，求此时两桥的水面宽度．
27．开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚
丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，
钢拱最高处 C 点与路面的距离 OC 为 50 米，若以点 O 为原点，OC 所在的直线为 y 轴，建立如图②所
示的平面直角坐标系，抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，且 AB 两点间的距离为 80 米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）钢拱最高处 C 点与水面的距离 CD 为 72 米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度；
（3）当﹣32＜x＜16 时，求 y 的取值范围．
28．根据以下素材，探索完成任务．
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材 1 我国的大棚（如图 1）种植技术已十分成熟，
一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部
为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 OA 上，
另一端固定在墙体 BC 上，其横截面有 2 根支
架 DE，FG，相关数据如图 2 所示，其中 DE
＝BC，OF＝DF＝BD．
素材 2 已知大棚有 200 根长为 DE 的支架和 200 根
长为 FG 的支架，为增加棚内空间，拟将图 2
中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架
的长度变化如图 3 所示，调整后 C 与 E 上升
相同的高度，增加的支架单价为 60 元/米（接
口忽略不计），现有改造经费 32000 元．
问题解决
任务 1 确定大棚形状 在图 2 中以点 O 为原点，OA 所在直线为 y 轴建立
平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务 2 尝试改造方案 当 CC′＝1 米，只考虑经费情况下，请通过计算
说明能否完成改造．
任务 3 拟定最优方案 只考虑经费情况下，求出 CC′的最大值．
29．综合与实践
主题：设计高速公路的隧道
情境素材
素材 1 高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高
速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车
靠右行驶．
素材 2 据调查，一般的大型货车宽 2.4m，车货总高度从地
面算起不超过 4m．为了保证行驶的安全，货车右侧
顶部与隧道的竖直距离不小于 0.55m．
素材 3 某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的
宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线
和矩形构成（如图）．每条车道的宽为 x m（其中 3.5
≤x≤3.75），车道两端（M、N）与隧道两侧的距离
均为 1m．
问题解决
问题 1 确定单向双车道隧道的宽度 估计将要修建的隧道宽度（AA1）的合理
范围．
问题 2 设计隧道的抛物线部分 已知要修建的隧道矩形部分 AA1＝9m，
AB＝2.95m．求抛物线的解析式．
类型四：抛物线形的运动轨迹问题
30．某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置，其中位于中间的喷水装置 OA 喷水能力最强，水流在各个方向
上沿形状相同的抛物线路径落下，若喷出的水流高度为 y（m），水流与 OA 之间的水平距离为 x（m），y
与 x 之间满足二次函数关系．如图所示，经测量，喷水装置 OA 高度为 3.5 米，水流最高处离喷水装置
OA 的水平距离为 3 米，离地面竖直距离为 8 米．
（1）求水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数关系式；
（2）若在音乐喷泉四周摆放花盆，不计其它因素，花盆需至少离喷水装置 OA 多少米处，才不会被喷出
的水流击中？
31．“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所
示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度 y（单位：m）与水平距离 x（单
位：m）近似满足函数关系 y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下：
水平距离 x/m 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度 y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度 y 与水平距离 x 近似满足函数关系 y＝﹣0.25（x﹣2.2）
2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为 l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为 l2，请
比较 l1，l2 的大小．
32．如图 1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心 O 处竖直安装一根高度为 1m 的水管 OA，A 处是喷头，
喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如
图 2 所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心 O 的最远水平距离 OB 为 3m，水流竖直高度
的最高处位置 C 距离喷水池中心 O 的水平距离 OD 为 1m．
（1）求喷出水流的竖直高度 y（m）与距离水池中心 O 的水平距离 x（m）之间的关系式，并求水流最大
竖直高度 CD 的长；
（2）安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移
动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心 O 的最远水平距离增大至 4m，则水管 OA 的
高度增加多少米？
33．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面 10m 的点 A
和其正上方点 B 处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水
流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点 C 处，水流恰好到达点 A 处，且
水流的最大高度为 12m．待 A 处火熄灭后，消防员退到点 D 处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好
到达点 B 处，已知点 D 到高楼的水平距离为 12m，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为
3m．建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式；
（2）若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求 A、B 之间的距离；
（3）若消防员站在到高楼水平距离为 9m 的地方，想要扑灭距地面高度 12～18m 范围内的火苗，当水流
最高点到高楼的水平距离始终为 3m 时，直接写出 a 的取值范围．
34．甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出并飞行一段距离后，其飞行路线可以看作是抛物线的一
部分．如图建立平面直角坐标系，羽毛球从点 O 的正上方发出，飞行过程中羽毛球与地面的垂直高度 y
（单位：m）与水平距离 x（单位：m）之间近似满足二次函数关系．
比赛中，甲同学某次发球时如图 1，羽毛球飞出一段距离后，抛物线部分的飞行高度 y 与此时水平距离 x
的对应七组数据如下：
水平距离 2 3 3.5 4 4.5 5 6 …
x/m
竖直高度 3.4 4 4.15 4.2 4.15 4 3.4 …
y/m
根据以上数据，回答下列问题：
（1）①当羽毛球飞行到最高点时，距地面 m，此时水平距离是 m；
②在水平距离 5m 处，放置一个高 1.55m 的球网，羽毛球 （填“是”或“否”）可以过网；
（2）求出 y 与 x 的函数解析式；
（3）若甲发球过网后，乙在羽毛球飞行的水平距离为 7m 的点 Q 处接住球（如图 2）．此时如果乙选择
扣球，羽毛球的飞行高度 y（m）与水平距离 x（m）近似满足一次函数关系 y＝0.4x+m．如果乙选择吊球，
羽毛球的飞行高度 y（m） 与水平距离 x（m） 近似满足二次函数关系 y＝n（x﹣6）2+3.2．上面两种
击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 O 点的距离更远，请通过计算判断乙应选择哪种击球方式更
合适．
35．如图 1，某广场要修建一个景观喷水池，水从喷头喷出后呈抛物线形状先向上至最高点后落下．将中间
立柱近似看作一条线，以其为 y 轴建立如图 2 所示直角坐标系．已知中间立柱顶端 C 到地面的距离为
6m，喷水头 D 恰好是立柱 OC 的中点．若水柱上升到最高点 E 时，高度为 4m，到中间立柱的距离为
1m．
（1）求图 2 中第一象限内抛物线的函数表达式．
（2）为了使水落下后全部进入水池中，请判断圆形水池的直径不能小于多少米？
（3）实际施工时，决定对喷水设施做如下设计改进，把水池的直径修成 7m，在不改变喷出的抛物线形
水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，需对水管的长度
进行调整，求调整后水管的最大长度．
36．如图，某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练，水面边缘点 E（﹣1.5，﹣10），运动员（可视为一质点）
在空中运动的路线是经过原点 O 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点 A（1，1.25），
正常情况下，运动员在距水面高度 5 米前必须完成规定的翻腾，打开动作，并调整好入水姿势，否则就
为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，入水点恰好距点 E 的水平距离为 5 米，问该运动员此次跳水是
否失误？请通过计算说明理由；
（3）在该运动员入水点 B 的正前方 M，N 两点，且 EM＝10.5，EN＝13.5，该运动员入水后运动路线对
应的抛物线解析式为 y＝a（x﹣h）2+k 且顶点 C 距水面 4 米．若该运动员的出水点 D 在 MN 之间（含
M，N 两点），求 a 的取值范围．
