第 03 讲 公式法
课程标准 学习目标
1. 掌握一元二次方程根的判别式，能够判断一元二次方程根的情
①一元二次方程根的判别式 况以及根据根的情况求值。
②用公式法解一元二次方程 2. 掌握公式法解一元二次方程的基本步骤，能够熟练的运用该方
法解一元二次方程。
知识点 01 一元二次方程根的判别式
1. 根的判别式：
2用配方法解一元二次方程 ax bx c 0 a 0 ，可将方程化成 。由配方法
b2 4ac b2 4ac
解方程可知，根据 2 与 0 的大小关系可以确定方程的根的情况。确定 2 与 0 的大小关系只需4a 4a
要确定 与 0 的大小关系。我们把 叫做一元二次方程的根的判别式。用
符号 来表示。
b2①若 4ac＞0 。
2②若 b 4ac 0 。
③若 b2 4ac＜0 。
【即学即练 1】
1．下列关于方程 x2﹣5x+7＝0 的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【即学即练 2】
2．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（8+k）x+8k＝0 根的情况是（ ）
A．必有两个相等的实数根
B．必有两个不相等的实数根
C．必有实数根
D．没有实数根
【即学即练 3】
3．关于 x 的一元二次方程 kx2+6x﹣2＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 k≠0 D． 且 k≠0
知识点 02 公式法解一元二次方程
1. 求根公式：
b 2 x b
2 4ac b
由 2 可知， x 。 x 。我们把它 2a 4a 2a
叫做一元二次方程的求根公式。
① b2 4ac＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
即 x1 ； x2 。
② b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 x1 x2 。
③ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实数根。
2. 公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 ，并确定 的值。
②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把 a，b，c 的值带入相应的求根公式求解。
【即学即练 1】
4．一元二次方程 x2+x﹣1＝0 根的判别式的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
【即学即练 2】
5．若关于 x 的一元二次方程的根为 ，则这个方程是（ ）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
【即学即练 3】
6．用公式法解方程：﹣2x2+3x﹣1＝0．
题型 01 利用根的判别式判断根的情况
【典例 1】一元二次方程 4x2+4x+1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【变式 1】关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣1＝0 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【变式 2】关于 x 的一元二次方程 x2﹣x﹣k2＝0 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
【变式 3】已知 a，b，c 为常数，点 A（a，c）在第二象限，点 B（0，b）在 y 轴的正半轴上，则关于 x 的
方程 ax2+（b﹣1）x+c＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【变式 4】定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程 1☆x＝0 的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【变式 5】定义新运算 a*b，对于任意实数 a，b 满足 a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加
法、减法、乘法运算，例如 4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若 x*k＝x（k 为实数）是关于 x 的方程，
则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
题型 02 根据根的情况求未知字母的值或范围
【典例 1】若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+c＝0 有两个相等的实数根，则 c 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式 1】 已知关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是
（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2 且 a≠1 D．a＞2 且 a≠1
【变式 2】若一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＜ C．k≤ 且 k≠1 D．k≥
【变式 3】对于实数 a，b 定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于 x 的方程 k※x＝1 有两个不相等的实数根，
则 k 的取值范围（ ）
A． B．k＞﹣ 且 k≠0
C．k≥﹣ 且 k≠0 D．
【变式 4】关于 x 的方程 x2﹣2x+a＝0（a 为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型 03 根据求根公式确定方程
【典例 1】若关于 x 的一元二次方程的根为 ，则这个方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0
【变式 1 】用公式法解一元二次方程，得 ，则该一元二次方程
是 ．
【变式 2】若 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根，则 a+b+c＝（ ）
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
题型 04 利用公式法解一元二次方程
【典例 1】用公式法解一元二次方程 3x2+x＝7 时，首先要确定 a，b，c 的值，下列叙述中，正确的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝﹣7
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7 D．a＝3，b＝1，c＝7
【变式 1】用公式法解方程 4x2+12x+3＝0，得（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【变式 2】解下列一元二次方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法） （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）
【变式 3】利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2．
题型 04 根的判别式与一元二次方程的根的综合应用
【典例 1】关于 x 的方程 x2﹣2x+2m﹣1＝0 有实数根．
（1）求解 m 的取值范围．
（2）若 m 为正整数，求此时方程的根．
【变式 1】已知关于 x 的方程 x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0．
（1）若方程的一个实根是 3．求实数 m 的值．
（2）求证：无论 m 取什么实数，方程总有实数根．
【变式 2】已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0 的两实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）已知等腰△ABC 的一边长为 7，若 x1，x2 恰好是△ABC 另外两边的边长，求 m 的值和△ABC 的周
长．
【变式 3】已知关于 x 的两个一元二次方程：
方程①：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0；方程②： +（k+2）x﹣1＝0．
（1）证明方程①总有实数根，
（2）若方程②有两个相等的实数根，求 k 的值．
（3）若方程①和②有一个公共根 a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a 的值．
1．一元二次方程 2x2﹣3x+1＝0 根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
2．若一元二次方程的根为 ，则该一元二次方程为（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0
C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0
3．关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣m2﹣1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由 m 的值确定
4．方程 x2+x﹣1＝0 的一个根是（ ）
A．1﹣ B． C．﹣1+ D．
5．关于 x 的一元二次方程 有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 m≠0 D． 且 m≠0
6．如果一元二次方程 x2+px+q＝0 能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
7．问题：“解方程﹣2x2+3x＝8﹣x”，嘉嘉解得 x1＝1.5，x2＝﹣2.5，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不
对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉的解是正确的
B．淇淇说得对，因为 b2﹣4ac＝0
C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为 b2﹣4ac＜0，该方程无解
D．由 b2﹣4ac＞0 可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
8．定义新运算 a b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3 4＝3×42﹣3×4﹣1，则方程 1 x＝0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数股
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
9．对于实数 a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若 x※x＝﹣1，则 x 的值
为（ ）
A．1 B．0 C．0 或 1 D．1 或﹣1
10．若关于 x 的方程 有唯一解，则该解应在（ ）
A．7 和 8 之间 B．6 和 7 之间 C．5 和 6 之间 D．4 和 5 之间
11．一元二次方程 x2+x﹣1＝0 的解是 ．
12．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝ 0（ a≠ 0）的两根分别是 x1 ＝ ， x2 ＝
，那么 a＝ ．
13．若 a2+5ab﹣b2＝0，则 的值为 ．
14．我们规定：若 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 a b＝x1x2+y1y2．例如 a＝（1，3），b＝（2，4），则 a
b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知 a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若 a b＝7，且﹣2≤x≤3，则 x 的值
为 ．
15．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣ax+1＝0 的唯一实数根也是关于 x 的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0 的
根，则关于 x 的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0 的根为 ．
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；（用配方法） （2）（x+5）（x+1）＝12；（用配方法）
（3）5x+2＝3x2；（用公式法） （4）x（x﹣3）﹣4＝0．（用公式法）
17．已知关于 x 的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0．
（1）当 m＝3 时，求原方程的解．
（2）若原方程有两个相等的实数根，求 m 的值．
18．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣2＝0．
（1）若该方程有一个根是 x＝2，求 m 的值；
（2）求证：无论 m 取什么值，该方程总有两个实数根．
19．已知一元二次方程 x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5．当△ABC 是等腰三
角形时，求 k 的值．
20．【综合与实践】
[问题情境]对于关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a，b，c 为常数，且 a≠0），求方程的根的实质是
找到一个 x 的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的 x 的具体值都满足，这就
说明这个方程有两个根，且两根与 a，b，c 之间具有一定的关系．
[操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当 a+b+c＝0 时，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 必有一根是 1．
（2）当 a+c＝b 时，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 必有一根是﹣1．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
[实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0 的较大的根为 p，方程 x2+2023x﹣2024＝0 的较小的根为 q，求 p﹣
q 的值．第 03 讲 公式法
课程标准 学习目标
1. 掌握一元二次方程根的判别式，能够判断一元二次方程根的情
①一元二次方程根的判别式 况以及根据根的情况求值。
②用公式法解一元二次方程 2. 掌握公式法解一元二次方程的基本步骤，能够熟练的运用该方
法解一元二次方程。
知识点 01 一元二次方程根的判别式
1. 根的判别式：
2 2
ax2用配方法解一元二次方程 bx c 0 a 0 b b 4ac ，可将方程化成 x 。由配方
2a 4a2
b2 4ac b2 4ac
法解方程可知，根据 2 与 0 的大小关系可以确定方程的根的情况。确定 与 0 的大小关系只4a 4a2
2 2
需要确定 b 4ac 与 0 的大小关系。我们把 b 4ac 叫做一元二次方程的根的判别式。用符
号 来表示。
①若 b2 4ac＞0 方程有两个不相等的实数根 。
②若 b2 4ac 0 方程有两个相等的实数根 。
③若 b2 4ac＜0 方程没有实数根 。
【即学即练 1】
1．下列关于方程 x2﹣5x+7＝0 的结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【分析】根据判别式的符号进行判断即可．
【解答】解：由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0；
∴方程没有实数根；
故选：D．
【即学即练 2】
2．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（8+k）x+8k＝0 根的情况是（ ）
A．必有两个相等的实数根
B．必有两个不相等的实数根
C．必有实数根
D．没有实数根
【分析】先求出Δ的值，进而可得出结论．
【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2﹣（8+k）x+8k＝0 中，
∵Δ＝[﹣（8+k）]2﹣32k
＝64+k2+16k﹣32k
＝64+k2﹣16k
＝（8﹣k）2≥0，
∴方程必有实数根．
故选：C．
【即学即练 3】
3．关于 x 的一元二次方程 kx2+6x﹣2＝0 有两个实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 k≠0 D． 且 k≠0
【分析】根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于 0，结合一元二次方程的二次项的系数不等于 0，
进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：Δ＝62﹣4k （﹣2）≥0 且 k≠0，
解得： 且 k≠0，
故选：C．
知识点 02 公式法解一元二次方程
1. 求根公式：
b 2 b2 4ac b b2 4ac b b2 4ac
由 x 2 可知， x 。 x 。我们把它 2a 4a 2a 2a 2a
叫做一元二次方程的求根公式。
① b2 4ac＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
b b2x 4ac x b b
2 4ac
即 1 ； 2 。2a 2a
b
② b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 x1 x2 。2a
③ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实数根。
2. 公式法解一元二次方程的步骤：
①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 a，b，c 的值。
②计算 b2 4ac 的值，确定一元二次方程的根的情况。
③根据根的情况把 a，b，c 的值带入相应的求根公式求解。
【即学即练 1】
4．一元二次方程 x2+x﹣1＝0 根的判别式的值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5
【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac 即可求出值．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5．
所以一元二次方程 x2+x﹣1＝0 根的判别式的值是 5．
故选：D．
【即学即练 2】
5．若关于 x 的一元二次方程的根为 ，则这个方程是（ ）
A．x2+2x+4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2+2x﹣4＝0 D．x2﹣2x﹣4＝0
【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程的根为 ，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣4，
∴这个方程是 x2+2x﹣4＝0，
故选：C．
【即学即练 3】
6．用公式法解方程：﹣2x2+3x﹣1＝0．
【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
【解答】解：﹣2x2+3x﹣1＝0，
∵a＝﹣2，b＝3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝1＞0，
∴ ，
∴x1＝1， ．
题型 01 利用根的判别式判断根的情况
【典例 1】一元二次方程 4x2+4x+1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：∵Δ＝42﹣4×4×1＝0，
∴一元二次方程 4x2+4x+1＝0 的根的情况是有两个相等的实数根．
故选：B．
【变式 1】关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣1＝0 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．不能确定
【分析】计算出方程的判别式为Δ＝m2+4，可知其大于 0，可判断出方程根的情况．
【解答】解：
方程 x2+mx﹣1＝0 的判别式为Δ＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式 2】关于 x 的一元二次方程 x2﹣x﹣k2＝0 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断
【分析】计算出方程的根的判别式，只要得到根的判别式的符号，即可作出判断．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣k2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝1+4k2＞0
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【变式 3】已知 a，b，c 为常数，点 A（a，c）在第二象限，点 B（0，b）在 y 轴的正半轴上，则关于 x 的
方程 ax2+（b﹣1）x+c＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【分析】利用第二象限和 y 轴上点的坐标特征得到 a＜0，c＞0，b＞0，所以 ac＜0，从而可判断Δ＝（b
﹣1）2﹣4ac＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵点 A（a，c）在第二象限，点 B（0，b）在 y 轴的正半轴上，
∴a＜0，c＞0，b＞0，
∴ac＜0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式 4】定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程 1☆x＝0 的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
【分析】先根据新定义得到 x2﹣x﹣1＝0，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程
根的情况．
【解答】解：∵1☆x＝0，
∴x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式 5】定义新运算 a*b，对于任意实数 a，b 满足 a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的
加法、减法、乘法运算，例如 4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6，若 x*k＝x（k 为实数）是关于 x 的
方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【分析】先根据新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得
到Δ＝4k2+5＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意得（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，
整理得 x2﹣x﹣k2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
题型 02 根据根的情况求未知字母的值或范围
【典例 1】若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+c＝0 有两个相等的实数根，则 c 的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝42﹣4c＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x+c＝0 有两个相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4c＝0，
∴c＝4，
故选：B．
【变式 1】 已知关于 x 的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是
（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2 且 a≠1 D．a＞2 且 a≠1
【分析】根据一元二次方程根的分布与系数的关系，求出实数 a 的取值范围．
【解答】解：根据一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0 有两个不相等的实数根，
可得它的判别式Δ＝（﹣2）2﹣4（a﹣1）＞0，且 a﹣1≠0，
解得 a＜2 且 a≠1．
故选：C．
【变式 2】若一元二次方程（k﹣1）x2+2kx+k+3＝0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k≤ B．k＜ C．k≤ 且 k≠1 D．k≥
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：k﹣1≠0，
∴Δ＝4k2﹣4（k﹣1）（k+3）
＝12﹣8k≥0，
∴k≤ 且 k≠1，
故选：C．
【变式 3】对于实数 a，b 定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于 x 的方程 k※x＝1 有两个不相等的实数根，
则 k 的取值范围（ ）
A． B．k＞﹣ 且 k≠0
C．k≥﹣ 且 k≠0 D．
【分析】根据新定义把已知化为一元二次方程，再由Δ＞0，k≠0 可得答案．
【解答】解：∵k※x＝1，
∴kx2﹣x＝1，即 kx2﹣x﹣1＝0，
∵关于 x 的方程 k※x＝1 有两个不相等的实数根，
∴1﹣4k×（﹣1）＞0 且 k≠0，
解得 k＞﹣ 且 k≠0，
故选：B．
【变式 4】关于 x 的方程 x2﹣2x+a＝0（a 为常数）无实数根，则点（a，a+1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】关于 x 的方程 x2﹣2x+a＝0 无实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＜0．即可得到关于 a 的不等式，从
而求得 a 的范围，进而得到结论．
【解答】解：∵关于 x 的方程 x2﹣2x+a＝0（a 为常数）无实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×a＝4﹣4a＜0，
解得：a＞1，
∴点（a，a+1）在第一象限，
故选：A．
题型 03 根据求根公式确定方程
【典例 1】若关于 x 的一元二次方程的根为 ，则这个方程是（ ）
A．x2+4x﹣3＝0 B．x2﹣4x﹣1＝0 C．x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣2＝0
【分析】根据公式法解答，即可求解．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程的根为 ，
∴二次项系数为 1，一次项系数为﹣4，常数项为﹣2，
∴这个方程为 x2﹣4x﹣2＝0．
故选：D．
【变式 1】用公式法解一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是 5x2+3x﹣2
＝0 ．
【分析】根据求根公式确定出方程即可．
【解答】解：根据题意得：a＝5，b＝3，c＝﹣2，
则该一元二次方程是 5x2+3x﹣2＝0，
故答案为：5x2+3x﹣2＝0．
【变式 2】若 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根，则 a+b+c＝（ ）
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
【分析】利用求根公式判断即可．
【解答】解：由题意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴a+c+c＝3﹣2﹣1＝0，
故选：D．
题型 04 利用公式法解一元二次方程
【典例 1】用公式法解一元二次方程 3x2+x＝7 时，首先要确定 a，b，c 的值，下列叙述中，正确的是（ ）
A．a＝3，b＝﹣1，c＝7 B．a＝3，b＝1，c＝﹣7
C．a＝3，b＝﹣1，c＝﹣7 D．a＝3，b＝1，c＝7
【分析】先根据等式的性质进行变形，再得出 a、b、c 的值即可．
【解答】解：3x2+x＝7，
移项，得 3x2+x﹣7＝0，
这里 a＝3，b＝1，c＝﹣7，
故选：B．
【变式 1】用公式法解方程 4x2+12x+3＝0，得（ ）
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
【分析】利用公式法求解即可．
【解答】解：4x2+12x+3＝0，
∵a＝4，b＝12，c＝3，
∴Δ＝122﹣4×4×3＝144﹣48＝96＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，
故选：A．
【变式 2】解下列一元二次方程
（1）x2+3x﹣4＝0（公式法） （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法）
【分析】首先确定 a，b，c 的值，然后计算△的值，确定是否能用公式计算，若△≥0，即可代入公式计
算即可．
【解答】解：（1）a＝1，b＝3，c＝﹣4，
Δ＝9+4×1×4＝25＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
（2）a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
Δ＝16+4×2＝24＞0，
∴x＝ ＝1± ，
∴x1＝1+ ，x2＝1﹣ ．
【变式 3】利用公式法解下列方程：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2．
【分析】先整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（x+2）（2x﹣3）＝3x+2，
整理得，x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣4）＝17，
∴x＝ ，
∴x1＝ ，x2＝
题型 04 根的判别式与一元二次方程的根的综合应用
【典例 1】关于 x 的方程 x2﹣2x+2m﹣1＝0 有实数根．
（1）求解 m 的取值范围．
（2）若 m 为正整数，求此时方程的根．
【分析】（1）根据根的判别式的值≥0，构建不等式求解；
（2）判断出 m＝1，代入求解．
【解答】解：（1）∵关于 x 的方程 x2﹣2x+2m﹣1＝0 有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（2m﹣1）≥0，
∴m≤1；
（2）∵m≤1，m 是正整数，
∴m＝1，
方程为：x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝1．
【变式 1】已知关于 x 的方程 x2﹣2（3﹣m）x+5﹣2m＝0．
（1）若方程的一个实根是 3．求实数 m 的值．
（2）求证：无论 m 取什么实数，方程总有实数根．
【分析】（1）将 x＝3 代入列出关于 m 的方程，解关于 m 的方程求得 m 的值；
（2）若方程有相等的实数根，则应有Δ＝b2﹣4ac≥0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况；
【解答】（1）解：当 x＝3 时，9﹣6（3﹣m）+5﹣2m＝0．
解得 m＝1，
∴m 的值为 1．
（2）证明：∵Δ＝[﹣2（3﹣m）]2﹣4（5﹣2m）＝4（m﹣2）2≥0，
∴无论实数 m 取何值，方程总有实数根．
【变式 2】已知 x 2 21，x2 是关于 x 的一元二次方程 x ﹣2（m+1）x+m +10＝0 的两实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）已知等腰△ABC 的一边长为 7，若 x1，x2 恰好是△ABC 另外两边的边长，求 m 的值和△ABC 的周
长．
【分析】（1）根据判别式的意义可得 ；
（2）分类讨论：若 x1＝7，把 x1＝7 代入方程得 49﹣14（m+1）+m2+10＝0，求得 m 的长，再利用根与
系数的关系判断是否符合题意，将不符合的舍去，则可求出答案．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝4（m+1）﹣4（m2+10）≥0，
解得 ；
（2）当腰长为 7 时，则 x＝7 是一元二次方程 x2﹣2（m+1）x+m2+10＝0 的一个解，
把 x＝7 代入方程得 49﹣14（m+1）+m2+10＝0，
整理得 m2﹣14m+45＝0，
解得 m1＝9，m2＝5，
当 m＝9 时，x1+x2＝2（m+1）＝20，解得 x2＝13，
则三角形周长为 13+7+7＝27；
当 m＝5 时，x1+x2＝2（m+1）＝12，解得 x2＝5，
则三角形周长为 5+7+7＝19；
当 7 为等腰三角形的底边时，则 x1＝x2，所以 ，方程化为 4x2﹣44x+121＝0，
解得 ，三边长为 ，
其周长为 ，
综上所述，m 的值是 9 或 5 或 ，这个三角形的周长为 27 或 19 或 18．
【变式 3】已知关于 x 的两个一元二次方程：
方程①：x2+（2k+1）x﹣2k﹣3＝0；方程②： +（k+2）x﹣1＝0．
（1）证明方程①总有实数根，
（2）若方程②有两个相等的实数根，求 k 的值．
（3）若方程①和②有一个公共根 a，求代数式（a2+4a﹣2）k+3a2+5a 的值．
【分析】（1）根据题意证明Δ＞0 即可；
（2）由方程②有两个相等的实数根，由二次项系数不为 0 及根的判别式等于 0 可得到关于 k 的方程则
可求得 k 的值；
（3）把 x＝a 分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．
【解答】解：（1）∵Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（﹣2k﹣3）
＝4k2+4k+1+8k+12
＝4k2+12k+13
＝（2k+3）2+4＞0，
∴无论 k 为何值时，方程总①有实数根；
（2）∵方程②有两个相等的实数根，
∴ 且Δ＝0，
则 ，
则（k+2）（k+4）＝0，
∴k＝﹣2，k＝﹣4，
∵k≠﹣2，
∴k＝﹣4；
（3）根据 a 是方程①和②的公共根，
∴a2+（2k+1）a﹣2k﹣3＝0③， ④，
∴④×2 得：（2+k）a2+（2k+4）a﹣2＝0⑤，
⑤+③得：（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5，
代数式＝（a2+4a﹣2）k+3a2+5a＝（3+k）a2+（4k+5）a﹣2k＝5．
故代数式的值为 5．
1．一元二次方程 2x2﹣3x+1＝0 根的情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【分析】根据方程找出对应的 a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案．
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1，
∴Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
2．若一元二次方程的根为 ，则该一元二次方程为（ ）
A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0
C．2x2﹣3x﹣1＝0 D．2x2+3x﹣1＝0
【分析】根据解一元二次方程﹣公式法，即可解答．
【解答】解：若一元二次方程的根为 ，则该一元二次方程为 2x2+3x+1＝0，
故选：A．
3．关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣m2﹣1＝0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由 m 的值确定
【分析】根据Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0，分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有
实数根，据此列式计算，即可作答．
【解答】解：∵x2+mx﹣m2﹣1＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m）2﹣4×1×（﹣m2﹣1）＝5m2+4＞0，
∴有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．方程 x2+x﹣1＝0 的一个根是（ ）
A．1﹣ B． C．﹣1+ D．
【分析】利用求根公式解方程，然后对各选项进行判断．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×（﹣1）＝5，
则 x＝ ，
所以 x1＝ ，x2＝ ．
故选：D．
5．关于 x 的一元二次方程 有实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 m≠0 D． 且 m≠0
【分析】根据一元二次方程有实数根，即Δ≥0，得出关于 m 的一元一次不等式，进行求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴
解得 ．
故选：B．
6．如果一元二次方程 x2+px+q＝0 能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
【分析】根据在Δ≥0 的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0 时，一元二次方程 x2+px+q＝0 能用公式法求解，
故选：A．
7．问题：“解方程﹣2x2+3x＝8﹣x”，嘉嘉解得 x1＝1.5，x2＝﹣2.5，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的
不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（ ）
A．嘉嘉的解是正确的
B．淇淇说得对，因为 b2﹣4ac＝0
C．嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为 b2﹣4ac＜0，该方程无解
D．由 b2﹣4ac＞0 可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的
【分析】根据根的判别式求得Δ＜0，于是得到结论．
【解答】解：原方程可化为 x2﹣2x+4＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×4＝﹣12＜0，
∴原方程无实数根，
故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为 b2﹣4ac＜0，该方程无解，
故选：C．
8．定义新运算 a b＝ab2﹣ab﹣1．例如：3 4＝3×42﹣3×4﹣1，则方程 1 x＝0 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数股
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
【分析】先根据新定义得到关于 x 的一元二次方程，然后计算一元二次方程的判别式即可得解．
【解答】解：根据题意，可得 1 x＝x2﹣x﹣1，
∴方程 1 x＝0 可变形为 x2﹣x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
9．对于实数 a，b，定义运算“※”：a※b＝a2﹣2b，例如：5※1＝52﹣2×1＝23．若 x※x＝﹣1，则 x 的
值为（ ）
A．1 B．0 C．0 或 1 D．1 或﹣1
【分析】根据题意列得一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：由题意可得 x2﹣2x＝﹣1，
整理得：x2﹣2x+1＝0，
则（x﹣1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1，
故选：A．
10．若关于 x 的方程 有唯一解，则该解应在（ ）
A．7 和 8 之间 B．6 和 7 之间 C．5 和 6 之间 D．4 和 5 之间
【分析】由方程有唯一解知 能配成完全平方式，利用配方法将方程配方
得 ＝0，再根据估算无理数大小的方法即可作出选择．
【解答】解：∵关于 x 的方程 有唯一解，
∴ 能配成完全平方式，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝0，
∴关于 x 的方程 的唯一解为 x＝ ，
∵ ，
∴该解在 7 和 8 之间．
故选：A．
11．一元二次方程 x2+x﹣1＝0 的解是 x1＝ ，x2＝ ．
【分析】a＝1，b＝1，c＝﹣1，△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，然后代入求根公式进行计算即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，
∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝ ，
所以 x1＝ ，x2＝ ．
故答案为 x1＝ ，x2＝ ．
12．关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝ 0（ a≠ 0）的两根分别是 x1 ＝ ， x2 ＝
，那么 a＝ 1 ．
【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案．
【解答】解：由关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别是 x1＝ ，x2
＝ ，
∴a＝1，b＝﹣4，c＝3，
故答案为：1
13．若 a2+5ab﹣b2＝0，则 的值为 ± ．
【分析】根据换元法以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵a2+5ab﹣b2＝0，
∴ + ﹣1＝0，
令 t＝ ，
∴t2+5t﹣1＝0，
∴t2+5t+ ＝ ，
∴（t+ ）2＝ ，
∴t＝ ± ，
故答案为： ± ．
14．我们规定：若 a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则 a b＝x1x2+y1y2．例如 a＝（1，3），b＝（2，4），
则 a b＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知 a＝（x﹣1，x+1），b＝（x+3，4），若 a b＝7，且﹣2≤x≤3，
则 x 的值为 ﹣3+ ．
【分析】利用题中的新定义得到关于 x 的一元二次方程，然后解方程即可求出 x 的值．
【解答】解：根据题意知：a b＝（x﹣1）（x+3）+4（x+1）＝x2+6x+1＝7，
x2+6x﹣6＝0，
Δ＝36+24＝60＞0，
∴x＝ ＝﹣3± ，
∵﹣2≤x≤3，
∴x＝﹣3+ ．
故答案为：﹣3+ ．
15．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣ax+1＝0 的唯一实数根也是关于 x 的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0 的
根，则关于 x 的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0 的根为 x1＝﹣1，x2＝ ．
【分析】由关于 x 的一元二次方程 x2﹣ax+1＝0 有唯一实数根和一元二次方程的定义求出得 a＝﹣2，进
而求出唯一解为 x1＝x2＝﹣1，根据方程解的定义求出 b＝3，解方程即可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣ax+1＝0 有唯一实数根，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4×1×1＝0，解得 a＝±2，
∵关于 x 的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0 是一元二次方程，
∴a＝﹣2，
∴关于 x 的一元二次方程 x2﹣ax+1＝0 为 x2+2x+1＝0，
解得 x1＝x2＝﹣1，
∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣ax+1＝0 的唯一实数根也是关于 x 的一元二次方程（a﹣2）x2+bx+1＝0 的
根，
∴x＝﹣1 是 x 的一元二次方程 4x2+bx+1＝0 的根，
∴﹣4×（﹣1）2﹣b+1＝0，
∴b＝﹣3，
∴关于 x 的方程（a﹣2）x2+bx+1＝0 为﹣4x2﹣3x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝ ．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝ ．
16．解方程：
（1）x2﹣2x﹣1＝0；（用配方法）
（2）（x+5）（x+1）＝12；（用配方法）
（3）5x+2＝3x2；（用公式法）
（4）x（x﹣3）﹣4＝0．（用公式法）
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为 x+7＝0 或 x﹣1＝0，然后解两个一次方程
即可；
（3）（4）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方
程的解．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝± ，
所以 x1＝1+ ，x2＝1﹣ ；
（2）（x+5）（x+1）＝12，
x2+6x﹣7＝0，
（x+7）（x﹣1）＝0，
x+7＝0 或 x﹣1＝0，
所以 x1＝﹣7，x2＝1；
（3）3x2﹣5x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0，
∴x＝ ，
所以 x1＝2，x2＝﹣ ；
（4）x（x﹣3）﹣4＝0，
x2﹣3x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣4）＝25＞0，
∴x＝ ，
所以 x1＝4，x2＝﹣1．
17．已知关于 x 的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0．
（1）当 m＝3 时，求原方程的解．
（2）若原方程有两个相等的实数根，求 m 的值．
【分析】（1）把 m＝3 代入方程，得 x2﹣3x+2＝0，运用因式分解法解答即可；
（2）根据判别式的意义列不等式求解即可．
【解答】解：（1）当 m＝3 时，得方程为：
x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得 x1＝1，x2＝2；
（2）根据题意得 m﹣2≠0 且Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣2）×2＝0，
解得 m＝ ，
即 m 的值为 ．
18．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣2＝0．
（1）若该方程有一个根是 x＝2，求 m 的值；
（2）求证：无论 m 取什么值，该方程总有两个实数根．
【分析】（1）根据一元二次方程解的定义把 x＝2 代入原方程求出 m 的值即可；
（2）求出Δ＝4（m﹣1）2≥0 即可证明结论．
【解答】（1）解：把 x＝2 代入 x2﹣2mx+2m﹣2＝0 中得：22﹣4m+2m﹣2＝0，
解得 m＝1；
（2）证明：由题意得，Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣2）
＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2≥0，
∴无论 m 取什么值，该方程总有两个实数根．
19．已知一元二次方程 x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5．当△ABC 是等腰三
角形时，求 k 的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝1＞0，由此可证出：无论 k 为何值，方程总
有两个不相等的实数根；
（2）由Δ＝1＞0 可知 AB≠AC，代入 x＝5 可求出 k 的值，将 k 值代入原方程，解方程可得出 AB、AC
的长度，由三角形的三边关系可确定两个 k 值均符合题意，此题得解．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵Δ＝1＞0，
∴AB≠AC，
∴AB、AC 中有一个数为 5．
将 x＝5 代入原方程，得：25﹣5（2k+1）+k2+k＝0，即 k2﹣9k+20＝0，
解得：k1＝4，k2＝5．
当 k＝4 时，原方程为 x2﹣9x+20＝0，
∴x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5 能围成等腰三角形，
∴k＝4 符合题意；
当 k＝5 时，原方程为 x2﹣11x+30＝0，
解得：x1＝5，x2＝6．
∵5、5、6 能围成等腰三角形，
∴k＝5 符合题意．
综上所述：k 的值为 4 或 5．
20．【综合与实践】
[问题情境]对于关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a，b，c 为常数，且 a≠0），求方程的根的实质是
找到一个 x 的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的 x 的具体值都满足，这就
说明这个方程有两个根，且两根与 a，b，c 之间具有一定的关系．
[操作判断]项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当 a+b+c＝0 时，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 必有一根是 1．
（2）当 a+c＝b 时，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 必有一根是﹣1．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
[实践探究]项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0 的较大的根为 p，方程 x2+2023x﹣2024＝0 的较小的根为 q，求 p﹣
q 的值．
【分析】[操作判断]根据判断结论的真假，将 x＝±1 代入方程即可判断；
[实践探究]先利用因式分解法分别解两个一元二次方程得到 p 和 q 的值，然后计算它们的差即可．
【解答】解：[操作判断]
两个结论是真命题；
（1）将 x＝1 代入方程可得 a+b+c＝0，故当 a+b+c＝0 时，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 必有一根是
1．
（2）将 x＝﹣1 代入方程可得 a﹣b+c＝0，即 a+c＝b，故当 a+c＝b 时，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0 必
有一根是﹣1．
[实践探究]∵（2023x）2﹣2022×2024x﹣1＝0，
∴（20232x+1）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣ ，x2＝1，则 p＝1，
x2+2023x﹣2024＝0，
（x+2024）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣2024，x2＝1，则 q＝﹣2024，
∴p﹣q＝1+2024＝2025．
