专题 03 二次函数与几何图形
类型一：线段的最值问题
类型二：面积的最值问题
类型三：特殊三角形的存在性问题
类型四：平行四边形的存在性问题
类型五：角度问题
类型一：线段的最值问题
1．如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，AD 为等腰直角△ABC 底边 BC 上的高，抛物线 y＝a（x﹣
2）2+4 的顶点为点 A，且经过 B、C 两点，B、C 两点在 x 轴上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图 2，点 E 为抛物线上位于直线 AC 上方的一点，过点 E 作 EN⊥x 轴交直线 AC 于点 N，求线段
EN 的长度最大值及此时点 E 的坐标；
（3）如图 2，点 M（5，b）是抛物线上的一点，点 P 为对称轴上一动点，在（2）的条件下，当线段 EN
的长度最大时，求 PE+PM 的最小值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设 E（t， ），N（t，﹣t+6），得到 EN 的表达式，即可求解；
（3）AD 是此抛物线的对称轴，则过点 E 作 AD 的对称点 E′（0，3），连接 E′M 交 AD 于点 P，此时
PE+PM 最短，即可求解．
【解答】解：（1）∵AD 为等腰直角△ABC 底边 BC 上的高，y＝a（x﹣2）2+4 的顶点为点 A，
∴A 的坐标为（2，4），
∴AD＝4，
∵AD 为等腰直角△ABC 底边 BC 上的高，
∴CD＝AD＝4，
∴C（6，0），
把 C（6，0）代入，y＝a（x﹣2）2+4，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
即 ；
（2）设直线 AC 的函数解析式为 y＝kx+b
∵A（2，4），C（6，0）
∴AC 的函数解析式为 y＝﹣x+6，
设 E（t， ），N（t，﹣t+6），
＝ ，
∴当 t＝4 时，EN 最大为 1，
∴E（4，3）；
（3）∵M（5，b）在抛物线 上，
∴M（5， ），
∵AD 是此抛物线的对称轴，
∴过点 E 作 AD 的对称点 E′（0，3），连接 E′M 交 AD 于点 P，此时 PE+PM 最短，M（5， ），
∴PE+PM 最小＝ ．
2．如图，抛物线 y＝﹣ x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点
D，已知 A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△BDC 的面积；
（3）线段 BC 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）分别求得 BD、OC，然后利用三角形面积计算公式解答即可；
（3）根据抛物线的解析式求得 B 点的坐标，然后根据待定系数法求得直线 BC 的解析式，设 P（m，﹣
m+2）；则 Q（m，﹣ m2+ m+2），进而表示出 PQ 的长度，利用二次函数的最值求出即可．
【解答】解：（1）抛物线 y＝﹣ +mx+n 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，A（﹣1，0），C
（0，2）．
∴ ，
解得： ，
故抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+2；
（2）∵A（﹣1，0），C（0，2），
∴OA＝1，OC＝2，
∵对称轴为 ，
∴ ，AD＝BD，
∴ ，
∴ ，
∴S△BDC＝ BD×OC＝ × ×2＝ ；
（3）令 y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，
解得 x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b，代入得：
，
解得 ，
∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+2，
设 P（m，﹣ m+2），则 Q（m，﹣ m2+ m+2），
则 PQ＝（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+2m＝﹣ （m﹣2）2+2，
此时 PQ 的最大值为 2．
3．如图 1，已知二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴相交于点
C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点 D 是二次函数图象上位于第三象限内的点．
①如图 2，当点 D 是抛物线的顶点时，连接 AD、CD、AC，求△ADC 的面积；
②当点 D 到直线 AC 的距离为最大值时，求此时点 D 的坐标；
（3）若点 M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 N，使得以 M、N、B、O 为
顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ？ 若 存 在 ， 请 直 接 写 出 点 N 的 坐 标 （ 不 写 求 解 过
程）．
【分析】（1）由题意得：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）①由△ADC 的面积＝ ×DE×OA＝ （﹣m2﹣3m）×3＝﹣ （m+ ）2+ ≤ ，即可求
解；
②由题意点 D 到直线 AC 的距离取得最大，推出此时△DAC 的面积最大，即可求解；
（3）分两种情形：OB 是平行四边形的边或对角线分别求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）①过点 D 作 DF⊥x 轴交 AC 于点 E，
由点 A、C（0，﹣3）的坐标得，直线 AC 的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵点 D 的横坐标为 m，
∴D（m，m2+2m﹣3），则 E（m，﹣m﹣3），
∴DE＝﹣m2﹣3m，
则△ADC 的面积＝ ×DE×OA＝ （﹣m2﹣3m）×3＝﹣ （m+ ）2+ ≤ ，
∴当 m＝﹣ 时，△ADC 的面积有最大值 ；
②如图，连接 AD，CD．
∵点 D 到直线 AC 的距离取得最大，
∴此时△DAC 的面积最大，
过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于点 G，设点 D 的坐标为（m，m2+2m﹣3），
则 G（m，﹣m﹣3），
∵点 D 在第三象限，
∴DG＝﹣m2﹣3m，
∴S△ACD＝ ×DG×AO＝ （﹣m2﹣3m）×3＝﹣ （m+ ）2+ ≤ ，
∴当 m＝﹣ 时，△ADC 的面积有最大值 ；
∴点 D 到直线 AC 的距离取得最大时，D（﹣ ，﹣ ）；
（3）存在点 N．使以 M、N、B、O 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，
∴M 点横坐标为﹣1，
设 N（n，n2+2n﹣3），
①当 MN、OB 为平行四边形的对角线时，n﹣1＝1，
∴n＝2，
∴N（2，5）；
②当 MB、ON 为平行四边形的对角线时，﹣1+1＝n，
∴n＝0，
∴N（0，﹣3）；
③当 MO、NB 为平行四边形的对角线时，﹣1+0＝n+1，
∴n＝﹣2，
∴N（﹣2，﹣3）；
综上所述：N 点坐标为（2，5）或（0，﹣3）或（﹣2，﹣3）．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点 A（4，0）．经过点 A
的直线与该二次函数图象交于点 B（1，3），与 y 轴交于点 C．
（1）求二次函数的解析式及点 C 的坐标；
（2）点 P 是二次函数图象上的一个动点，当点 P 在直线 AB 上方时，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，与直线
AB 交于点 D，设点 P 的横坐标为 m．
①m 为何值时线段 PD 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 P，使得△BPD 与△AOC 相似．若存在，请求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求直线解析式，再求出点 C 坐标，利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将 P、D 坐标用 m 表示出来，用 P 的纵坐标减去 D 的纵坐标即可得出 PD 的关系式，从而求最值；
（3）由∠AOC＝90°得到△AOC 是直角三角形，要使△BPD 与△AOC 相似，则△BPD 也是直角三角形，
分类讨论，画出草图．利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵抛二次函数经过 O（0，0），A（4，0），B（1，3），
∴将三点坐标代入解析式得 ，
解得：a＝﹣1，b＝4，c＝0，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；
∵直线经过 A、B 两点，设直线 AB 解析式为：y＝kx+n，
∴将 A、B 两点代入得 ，
解得：k＝﹣1，n＝4，
∴直线 AB 解析式为：y＝﹣x+4，
∵点 C 是直线与 y 轴交点，
∴令 x＝0，则 y＝4，
∴C（0，4）．
（2）①∵点 P 在直线 AB 上方，
∴0≤m≤4，
由题知 P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），
∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m﹣ ）+ ，
∵﹣1＜0
∴当 m＝ 时，PD＝ 是最大值．
②存在，理由如下：
∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO，
∴∠BDP＝∠ACO，
∵△AOC 是直角三角形，
∴要使△BPD 与△AOC 相似，只有保证△BPD 是直角三角形就可以．
（Ⅰ）当△BPD∽△AOC 时，
∵∠AOC＝90°，
∴∠BPD＝90°，
此时 BP∥x 轴，B、P 关于对称轴对称，
∴P（3，3）；
（Ⅱ）当△PBD∽△AOC 时，
∴∠PBD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥PB，
∵kAC＝﹣1，
∴kBP＝1，
∴直线 BP 的解析式为：y＝x+2，
联立方程组得 ，
解得： 或 ，
∴P（2，4）
综上，存在点 P 使△BPD 与△AOC 相似，此时 P 的坐标为（3，3）或（2，4）．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与直线 y＝﹣x+3 相交于 B、C 两点，与 x 轴
交于点 A（﹣1，0）．点 P 是抛物线上一个动点，且在直线 BC 的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）过点 P 作 PD∥y 轴交直线 BC 于点 D，求 PD 的最大值．
（3）点 M 为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点 N，使△MNO 为等腰直角三角形，且∠NMO
为直角，若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 PD＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣ ）2+ ，即可求解；
（3）设 N（m，﹣m2+2m+3），先求得抛物线的对称轴是直线 x＝1，设直线 x＝1 交 x 轴于点 G，则 G
（1，0），MG⊥x 轴，作 NF⊥MG 于点 F，可证明△FMN≌△GOM，再分四种情况讨论，一是点 M 在 x
轴上方，且点 N 在直线 OM 左侧，可列方程﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1；二是点 M 在 x 轴上方，且点 N
在直线 OM 右侧，可列方程 m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1；三是点 M 在 x 轴下方，且点 N 在直线 OM 右侧，
可列方程﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1；四是点 M 在 x 轴下方，且点 N 在直线 OM 左侧，可列方程 m﹣1﹣
（﹣m2+2m+3）＝1，分别求出相应的符合题意的 m 值，再求出对应的点 N 的纵坐标即可．
【解答】解：（1）直线 y＝﹣x+3 相交于 B、C 两点，则点 B、C 的坐标分别为：（3，0）、（0，3），
则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则 a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图 1，设 P（x，﹣x2+2x+3），
∵PD∥y 轴交直线 BC 于点 D，
∴D（x，﹣x+3），
∴PD＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，
∵PD＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣ ）2+ ，
∴当 x＝ 时，PD 最大＝ ，
∴PD 的最大值为 ．
（3）存在，设 N（m，﹣m2+2m+3），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线 y＝﹣x2+2x+3 的对称轴是直线 x＝1，
设直线 x＝1 交 x 轴于点 G，则 G（1，0），MG⊥x 轴，
作 NF⊥MG 于点 F，则∠MFN＝∠OGM＝90°，F（1，﹣m2+2m+3），
如图 2，点 M 在 x 轴上方，且点 N 在直线 OM 左侧，
∵∠NMO＝90°，MN＝OM，
∴∠FMN＝∠GOM＝90°﹣∠OMG，
∴△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝1﹣m，
∴﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1，
解得 m1＝ ，m2＝ （不符合题意，舍去），
∴GF＝GM+MF＝1﹣ ＝ ，
∴N（ ， ）；
如图 3，点 M 在 x 轴上方，且点 N 在直线 OM 右侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝m﹣1，
∴m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，
解得 m1＝ ，m2＝ （不符合题意，舍去），
∴N（ ， ）；
如图 4，点 M 在 x 轴下方，且点 N 在直线 OM 右侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝m﹣1，
∴M（1，1﹣m），
∴﹣m2+2m+3﹣（1﹣m）＝1，
解得 m1＝ ，m2＝ （不符合题意，舍去），
∴N（ ， ）；
如图 5，点 M 在 x 轴下方，且点 N 在直线 OM 左侧，
同理可得△FMN≌△GOM（AAS），
∴MF＝OG＝1，FN＝GM＝1﹣m，
∴M（1，m﹣1），
∴m﹣1﹣（﹣m2+2m+3）＝1，
解得 m1＝ ，m2＝ （不符合题意，舍去），
∴N（ ， ），
综上所述，点 N 的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）或
（ ， ）．
类型二：面积的最值问题
6．综合与探究
如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+5 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），B，与 y 轴交于点 C，作直线 BC，点 P 为第一
象限内抛物线上一动点，连接 PB，过点 C 作 CQ∥PB，交 x 轴于点 Q．
（1）求点 B，C 的坐标；
（2）连接 PQ，求 S△PBQ 的最大值；
（3）连接 AC，当∠PCB＝∠ACO 时，请直接写出点 P 的坐标．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由 ≤ ，即可求解；
（3）由 ，则 ，证明 Rt△PFD∽Rt△CHD，得到点 P 的坐标为
，将点 P 的坐标代入二次函数表达式，即可求解．
【解答】解：（1）将 A（﹣1，0）代入 y＝﹣x2+bx+5，得：﹣（﹣1）2﹣b+5＝0，
解得：b＝4，
∴y＝﹣x2+4x+5，
令﹣x2+4x+5＝0，解得 x＝﹣1 或 5，
∵点 B 在点 A 右侧，
∴B（5，0），
令 x＝0，得 y＝5，
∴C（0，5）；
（2）如图，连接 CP，过点 P 作 PE∥y 轴，交 BC 于点 E．
∵CQ∥PB，
∴S△PBQ＝S△PBC，
由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为 y＝﹣x+5，
设 P（m，﹣m2+4m+5），
∵PE∥y 轴，
∴E（m，﹣m+5）．
∴PE＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，
则 ≤ ，
∴当 时，S△PBC 的值最大，为 ；
（3）如图，过点 P 分别作 PD⊥CB 于点 D，PG⊥x 轴于点 G，过点 D 作 DH⊥y 轴于点 H，延长 HD 交
PG 于点 F，则∠CHD＝∠CDP＝90°．
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，5），
∴OA＝1，OB＝OC＝5．
∴∠DCH＝45°，∠CDH＝45°，
∴CH＝DH．
∵∠CDP＝90°，
∴∠PDF＝45°，
则∠PFD＝90°，∠DPF＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF．
∴PF＝DF．
由题意得，四边形 OHFG 是矩形，
∴OH＝GF．
设 CH＝DH＝x，则 OH＝GF＝5﹣x．
∵∠PCB＝∠ACO，
则 ．
即 ．
∵∠CDH+∠PDF＝90°，∠CDH＝45°，
∴∠PDH＝∠CDH＝45°，
∴Rt△PFD∽Rt△CHD，
∴ ．
则 ．
∴点 P 的坐标为 ，
将点 P 的坐标代入二次函数表达式得：5﹣ x＝﹣（ x）2+4× x+5，
解得： ，
∴点 P 的坐标为 ．
7．已知抛物线 y＝x2+bx+c 与过点 P（0，1）的直线 l：y＝kx+m，k＜0，交于 A、B 两点（点 A 在点 B 右侧）
（1）若抛物线对称轴为直线 x＝﹣1 且与 y 轴交于点（0，﹣3），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件之下，若 k＝﹣1，C 为抛物线上的一动点，且在点 A 与点 B 之间，求△ABC 面积的
最大值；
（3）若该抛物线的顶点为原点，已知 Q（1，1），QA、QB 交 y 轴于 M、N 两点，当 时，
求 l 的方程．
【分析】（1）根据抛物线对称轴为直线 x＝﹣1 以及抛物线与 y 轴交于点（0，﹣3），利用待定系数法即
可求解；
（2）联立抛物线和直线的解析式可求得 A（1，0），B（﹣4，5），设抛物线上在点 A 与点 B 之间的一动
点 C（x，x2+2x﹣3）（﹣4＜x＜1），过点 C 作 y 轴平行线 CD 交直线 l 与点 D，设△BCD，△ACD 底边
CD 上 的 高 分 别 为 h1 、 h2 ， 则
，化简后利用二次
函数的性质即可求得最大值；
（3）首先根据抛物线的顶点为原点求出抛物线解析式为 y＝x2，直线 l：y＝kx+m 过定点 P（0，1），可
得直线 l：y＝kx+1（k＜0），设 A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线和直线解析式，利用根与系数的关
系可得 x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，利用待定系数法求出直线BQ、AQ 解析式，求出点M 坐标为 ，
点 N 坐标为 ，即可求出 ， ，然后利用
，代入即可求出 k，由此得解．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴为直线 x＝﹣1，
∴ ，
解得 b＝2，
∵抛物线与 y 轴交于点（0，﹣3），
将点（0，﹣3）代入 y＝x2+bx+c，得 c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为 y＝x2+2x﹣3．
（2）∵直线 l：y＝kx+m 过点 P（0，1），m＝1，
若 k＝﹣1，则直线 l：y＝﹣x+1，
联立抛物线和直线 l 解析式得 ，
解得 或 ，
∴A（1，0），B（﹣4，5），
设抛物线上在点 A 与点 B 之间的一动点 C（x，x2+2x﹣3）（﹣4＜x＜1），
过点 C 作 y 轴平行线 CD 交直线 l 与点 D，如图所示，
∵点 D 在直线 l 上，
∴点 D 坐标为 （x，﹣x+1），
设△BCD，△ACD 底边 CD 上的高分别为 h1、h2，
则 ），
∵xA﹣xB＝1﹣（﹣4）＝5， ，
∴ ，
∴当 时，△ABC 面积取得最大值为 ．
（3）若该抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点为原点（0，0），
∵顶点坐标为 ，
∴ ， ．
∴b＝0，c＝0，
∴抛物线解析式为 y＝x2，
∵直线 l：y＝kx+m 过点 P（0，1），
∴m＝1，
∴直线 l：y＝kx+1（k＜0），
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
联立抛物线与直线 l 解析式得 ，
得 x2﹣kx﹣1＝0，
∴x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，
设直线 BQ 解析式为 y＝k1x+e，
将点 B（x2，y2），Q（1，1）代入 y＝k1x+b，
得
解得
∴直线 BQ 解析式为 ，
∴点 M 坐标为 ，
设直线 AQ 解析式为 y＝k2x+d，
将点 A（x1，y1），Q（1，1）代入 y＝k2x+d，
同理解得 ，
∴直线 AQ 解析式为 ，
∴点 N 坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点 A（x1，y1），B（x2，y2）在直线 l：y＝kx+1（k＜0）上，
∴y1＝kx1+1，y2＝kx2+1，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得 k＝1（由于 k＜0，不合题意）或 ，解得 ，
∴直线 l 解析式为 ．
8．如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，且 OB＝OC，抛物线的
对称轴为直线 x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 DE 是该抛物线的对称轴，点 D 是顶点，点 P 是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图 2，连接 BP，若△PCB 的面积为 3，求点 P 的坐标；
（ⅱ）如图 3，连接 BC，与 DE 交于点 G，连接 PC，PG，PD，求 2S△PCG+S△PDG 的最大值．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线 x＝1 和点 B（3，0），得点 A（﹣1，0）．由点 B（3，0），OB＝
OC，得点 C（0，3）．再运用待定系数法即可求得答案；
（2）（ⅰ）由点 B（3，0），C（0，3），得直线 BC 的解析式，过点 P 作 PF∥y 轴交 BC 于点 F．设点 P
（m，﹣m2+2m+3），则点 F（m，﹣m+3），得关于 m 的方程，解出即可；
（ⅱ）由抛物线 y＝﹣x2+2x+3 求出顶点 D 的坐标为（1，4）．由（ⅰ）知直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，
则点 G（1，2）．设直线 CP 交 DE 于点 F，设点 P（m，﹣m2+2m+3）．由直线 PC 经过点 C（0，3），可
设直线 PC 的解析式为 y＝kx+3，把点 P（m，﹣m2+2m+3）代入，得关于 m 的方程，解出即可．
【解答】解：（1）由抛物线的对称轴为直线 x＝1 和点 B（3，0），得点 A（﹣1，0），
由点 B（3，0），OB＝OC，得点 C（0，3），
由抛物线经过点 A，B，得 y＝a（x+1）（x﹣3），
把点 C（0，3）代入，得 3＝a（0+1）×（0﹣3），
解得 a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）（ⅰ）由点 B（3，0），C（0，3），得直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，
如图 2，过点 P 作 PF∥y 轴交 BC 于点 F，
设点 P（m，﹣m2+2m+3），则点 F（m，﹣m+3），
∴PF＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
由题意，得 ，
整理，得 m2﹣3m+2＝0，
解得 m＝1（舍去）或 m＝2，
则﹣m2+2m+3＝3，
∴点 P 的坐标为（2，3）；
（ⅱ）由抛物线 y＝﹣x2+2x+3 知，顶点 D 的坐标为（1，4），
由（ⅰ）知直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3，则点 G（1，2），
如图 3，设直线 CP 交 DE 于点 F，设点 P（m，﹣m2+2m+3），
由直线 PC 经过点 C（0，3），
设直线 PC 的解析式为 y＝kx+3，
把点 P（m，﹣m2+2m+3）代入，
得﹣m2+2m+3＝km+3，
解得 m＝0（舍去）或 m＝﹣k+2，
即 k＝﹣m+2，
∴直线 PC 的解析式为 y＝（﹣m+2）x+3，
当 x＝1 时，y＝（﹣m+2）x+3＝5﹣m，即 FG＝5﹣m﹣2＝3﹣m，
∴2S△PCG+S△PDG
＝
＝
＝﹣（m﹣2）2+3≤3，
即 2S△PCG+S△PDG 的最大值为 3．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，
其中 A（﹣3，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，连接 PA、PC，求△PAC 面积的最大值，及此时点 P
的坐标；
（3）如图 2，连接 BC，在抛物线上是否存在一点 N，使得 S△ABC＝2S△ABN？若存在，求出点 N 的坐标；
若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx+3，即可求解；
（2）由△PAC 面积＝ ×OA PH＝ ×3×（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）＝﹣ （x+ ）2+ ≤ ，即可求
解；
（3）S△ABC＝2S△ABN，则|yN|＝ yC＝ ，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx+3，
则 a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过点 P 作 PH∥y 轴交 AC 于点 H，
由抛物线的表达式知，点 C（0，3），
由点 A、C 的坐标得，直线 AC 的表达式为：y＝x+3，
设点 P（x，﹣x2﹣2x+3），则点 H（x，x+3），
则△PAC 面积＝ ×OA PH＝ ×3×（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）＝﹣ （x+ ）2+ ≤ ，
故△PAC 面积的最大值为 ，此时 x＝﹣ ，则点 P（﹣ ， ）；
（3）存在，理由：
∵S△ABC＝2S△ABN，则|yN|＝ yC＝ ，
即﹣x2﹣2x+3＝± ，
解得：x＝﹣1± 或﹣1± ，
则点 N 的坐标为：（﹣1+ ， ）或（﹣1﹣ ， ）或（﹣1+ ，﹣ ）或（﹣1﹣ ，﹣
）．
10．如图，抛物线 c：y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C．点
M（m，0）为动点，且 0＜m＜4，过点 M 作 EM⊥AB 于点 M，交抛物线于点 E，交直线 BC 于点 F．
（1）求抛物线 c 的表达式及顶点坐标；
（2）若 MF＝EF，求 m 的值；
（3）连接 CE，BE，CM，求四边形 CMBE 面积最大值．
【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由 MF＝EF 得：﹣ m+2＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2），即可求解；
（3）由四边形 CMBE 面积＝S△BCE+S△BMC＝ ×FE×BO+ ×BM×CO，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，则 a＝﹣
∴抛物线的表达式为 y＝﹣ x2+ x+2＝﹣ （x﹣ ）2+ ，
∴顶点坐标为（ ， ）；
（2）在 y＝﹣ x2+ x+2 中，令 x＝0 得 y＝2，
∴C（0，2），
由 B（4，0），C（0，2）得直线 BC 解析式为 y＝﹣ x+2，
∵点 M（m，0），
∴F（m，﹣ m+2），E（m，﹣ m2+ m+2），
∵MF＝EF，
∴﹣ m+2＝﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2），
解得 m＝1 或 m＝4（舍去），
∴m 的值为 1；
（3）点 M（m，0），则 F（m，﹣ m+2），E（m，﹣ m2+ m+2），
则四边形 CMBE 面积＝S△BCE+S△BMC＝ ×FE×BO+ ×BM×CO＝ ×4×（﹣ m2+ m+2+ m﹣2）
+ ×2（4﹣m）＝﹣（m﹣1.5）2+ ≤ ，
故四边形 CMBE 面积最大值为 ．
类型三：特殊三角形的存在性问题
11．如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣3 经过 A（﹣1，0），与 y 轴交于点 C，过点 C 作 BC∥x 轴，交抛物线于点
B，连接 AC、AB，AB 交 y 轴于点 D，且 BC＝2OA．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 P 为抛物线对称轴上一点，且位于 x 轴上方，连接 PA、PC，若△PAC 是以 AC 为直角边的直角
三角形，求点 P 的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2，即可求解；当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，同理可
解．
【解答】解：（1）∵BC＝2OA＝2，
则抛物线的对称轴为直线 x＝1，
则 ，解得： ，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线解析式为 y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴是直线 x＝1，
设 P（1，m），
∴PA2＝m2+22＝m2+4．
PC2＝（m+3）2+12＝（m+3）2+1．
AC2＝12+32＝10．
∵△PAC 是以 AC 为直角边的直角三角形，
当∠PAC＝90°时，PA2+AC2＝PC2．
∴m2+4+10＝（m+3）2+1，解得 m＝ ；
当∠PCA＝90°时，PC2+AC2＝AP2，
∴（m+3）2+1+10＝m2+4，解得 m＝﹣ （不符合题意，舍去）．
∴P（1， ）．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y ＝﹣x21 +bx+c 与 x 轴交于点 B，A（﹣3，0），与 y 轴交于点 C
（0，3）．
（1）求直线 AC 和抛物线的解析式．
（2）若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C 三点为顶点的三角形是以 AC
为底的等腰三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC 面积的最大值．
【分析】（1）将点代入解析式求解即可得到答案；
（2）设存在，设出点的坐标根据等腰列式求解即可得到答案；
（3）设点 P 坐标，表示出面积，结合新函数性质求解即可得到答案．
【解答】解：（1）设直线 AC 的解析式为：y＝kx+t，将点 A（﹣3，0），C（0，3）代入 y＝kx+t，y1＝﹣
x2+bx+c 得，
， ，
解得： ， ，
∴直线 AC 的解析式为 y＝x+3；抛物线的解析式为 y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在 M（﹣1，1），理由如下，
抛物线 y＝﹣x2﹣2x+3 的对称轴为：x＝﹣ ＝﹣1，
设点 M（﹣1，m），
∵M，A，C 三点为顶点的三角形是以 AC 为底的等腰三角形，
∴MA＝MC，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
，
解得：m＝1，
∴M（﹣1，1）；
（3）设 P（n，﹣n2﹣2n+3），且﹣3＜n＜0，连接 OP，
∴S△PAC＝S△PAO+S△POC﹣S△AOC
＝ ×3×3
＝﹣ n
＝﹣ ，
，
∵﹣ ＜0，﹣3＜n＜0，
∴当 n＝﹣ 时，S△PAC 最大为 ．
13．如图，顶点坐标为（1，4）的抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y
轴交于点 C（0，3），D 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，连接 AD 交抛物线的对称轴于点 E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 AC，当△ACE 的周长最小时，求点 D 的坐标；
（3）过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，交直线 BC 于点 F，连接 AF．在点 D 运动过程中，是否存在使△ACF
为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作点 C 关于抛物线对称轴得对称点 D，连接 AD 交 CB 于点 E，此时△ACE 的周长最小，即可求解；
（3）当 AC＝AF 时，列出等式即可求解；当 AC＝CF 或 AF＝CF 时，同理可解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣1）2+4，
将点 C 的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；
（2）如下图，作点 C 关于抛物线对称轴得对称点 D，连接 AD 交 CB 于点 E，此时△ACE 的周长最小，
理由：△ACE＝AC+CE+AE＝AC+AE+DE＝AC+AD 为最小，
由点的对称性知，点 C（0，3）的对称点 D 的坐标为：（2，3）；
（3）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点 B（3，0），
由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y＝﹣x+3，
设点 F（m，﹣m+3），
由点 A、C、F 的坐标得，AC2＝10，AF2＝（m+1）2+（﹣m+3）2，同理可得：CF2＝2m2，
当 AC＝AF 时，
则 10＝（m+1）2+（﹣m+3）2，
解得：m＝0（舍去）或 2，
即点 F（2，1）；
当 AC＝CF 或 AF＝CF 时，
同理可得：（m+1）2+（﹣m+3）2＝2m2 或 2m2＝10，
解得：m＝﹣ （舍去）或 或 2.5；
综上，点 F 的坐标为：（ ，3﹣ ）或（2.5，0.5）或（2，1）．
14．如图，抛物线 的图象经过点 D（1，﹣1），与 x 轴交于点 A，点 B．
（1）求抛物线 C1 的表达式；
（2）将抛物线 C1 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到抛物线 C2，求抛物线 C2 的表达式，并
判断点 D 是否在抛物线 C2 上；
（3）在 x 轴上方的抛物线 C2 上，是否存在点 P，使△PBD 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 P 的
坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点 D 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：C2：y＝ （x﹣1）2+ （x﹣1）﹣4+3＝ （x﹣ ）2﹣ ，当 x＝1 时，y＝ （x﹣
）2﹣ ＝ （1﹣ ）2﹣ ＝﹣1，即可求解；
（3）当∠BAP 为直角时，证明△DGB≌△EHD（AAS），求出点 E（2，2），当 x＝2 时，y＝ （x﹣ ）
2﹣ ＝ （2﹣ ）2﹣ ＝2，即点 E 在抛物线 C2 上，即点 P 即为点 E（2，2）；当∠DBP 为直角时，
同理可解；当∠HPD 为直角时，如图 3，同理可得点 E（0，1），即可求解．
【解答】解：（1）将点 D 的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a+ ﹣4，
解得：a＝ ，
则抛物线的表达式为：y＝ x2+ x﹣4；
（2）由题意得：C2：y＝ （x﹣1）2+ （x﹣1）﹣4+3＝ （x﹣ ）2﹣ ，
当 x＝1 时，y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ （1﹣ ）2﹣ ＝﹣1，
故点 D 在抛物线 C2 上；
（3）存在，理由：
当∠BAP 为直角时，
如图 1，过点 D 作 DE⊥BD 且 DE＝BE，则△BDE 为等腰直角三角形，
∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DEH，
∵∠DGB＝∠EHD＝90°，
∴△DGB≌△EHD（AAS），
则 DH＝BG＝1，EH＝GD＝1+2＝3，
则点 E（2，2），
当 x＝2 时，y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ （2﹣ ）2﹣ ＝2，
即点 E 在抛物线 C2 上，
即点 P 即为点 E（2，2）；
当∠DBP 为直角时，如图 2，
同理可得：△BGE≌△DHB（AAS），
则 DH＝3＝BG，BH＝1＝GE，
则点 E（﹣1，3），
当 x＝﹣1 时，y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ （﹣1﹣ ）2﹣ ＝3，
即点 E 在抛物线 C2 上，
即点 P 即为点 E（﹣1，3）；
当∠HPD 为直角时，如图 3，
设点 E（x，y），
同理可得：△EHB≌△DGE（AAS），
则 EH＝x+2＝GD＝y+1 且 BH＝y＝GE＝1﹣x，
解得：x＝0 且 y＝1，即点 E（0，1），
当 x＝0 时，y＝ （x﹣ ）2﹣ ＝ （0﹣ ）2﹣ ≠1，
即点 E 不在抛物线 C2 上；
综上，点 P 的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）．
15．如图，二次函数 y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A、B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3），
点 P（m，n）是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图 1，当 m＝2 时，求△BCP 的面积；
（3）当∠PCB＝15°时，求点 P 的坐标；
（4）如图 2，点 Q 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 P，使△POQ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角
三角形，若存在，请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把 B（3，0），点 C（0，3）代入二次函数 y＝ax2﹣4x+c 中列方程组可解答；
（2）先计算点 P 的坐标，利用待定系数法可得 PC 的解析式，最后利用面积和可得△BCP 的面积；
（3）先计算∠OCH＝45°﹣15°＝30°，根据含 30°角的直角三角形的性质和勾股定理可得：OH＝
，则 H（ ，0），从而根据直线 PC 和抛物线的交点坐标可解答；
（4）作辅助线构建全等三角形，过点 P 作 DE∥x 轴，交 y 轴于 D，交对称轴于点 E，证明△ODP≌△
PEQ（AAS），得 PE＝OD，列方程可解答．
【解答】解：（1）把 B（3，0），点 C（0，3）代入二次函数 y＝ax2﹣4x+c 中得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）∵点 P（m，n）是抛物线上的动点，m＝2，
∴n＝4﹣8+3＝﹣1，
∴P（2，﹣1），
设 PC 的解析式为：y＝kx+b，PC 与 x 轴交于点 H，
把 C（0，3）和 P（2，﹣1）代入得： ，
∴ ，
∴PC 的解析式为：y＝﹣2x+3，
当 y＝0 时，﹣2x+3＝0，
x＝ ，
∴BH＝OB﹣OH＝3﹣ ＝ ，
∴△BCP 的面积＝S△BHC+S△PBH＝ × ×3+ × ×1＝3；
（3）如图 1，∵C（0，3），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵∠PCB＝15°，
∴∠OCH＝45°﹣15°＝30°，
∴OH＝ CH，
∵OC＝3，
∴OH＝ ，
∴H（ ，0），
同理可求得 PC 的解析式为：y＝﹣ x+3，
∴x2﹣4x+3＝﹣ x+3，
解得：x1＝0（舍），x2＝4﹣ ，
∴P（4﹣ ，6﹣4 ）；
当点 P 位于直线 BC 上方时，P（4﹣ ， ）．
综上，P（4﹣ ，6﹣4 ）或（4﹣ ， ）．
（4）如图 2，过点 P 作 DE∥x 轴，交 y 轴于 D，交对称轴于点 E，
由题意得：P（m，m2﹣4m+3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线对称轴是直线 x＝2，
∵△OPQ 是等腰直角三角形，
∴∠OPQ＝90°，OP＝PQ，
∴∠EPQ+∠OPD＝90°，
∵∠OPD+∠POD＝90°，
∴∠POD＝∠EPQ，
∵∠ODP＝∠PEQ＝90°，
∴△ODP≌△PEQ（AAS），
∴PE＝OD，
∴2﹣m＝m2﹣4m+3，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m1＝ （如图 3），m2＝ ；
如图 4，过点 P 作 DE∥x 轴，交 y 轴于 D，交对称轴于点 E，
同理可得：PE＝OD，
∴2﹣m＝﹣m2+4m﹣3，
∴m2﹣5m+5＝0，
解得：m1＝ ，m2＝ ，
综上，m 的值是 或 ．
类型四：平行四边形的存在性问题
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 L：y＝ax2+bx﹣6（a、b 为常数．且 a≠0）经过点 ，
交 x 轴于点 A、B（A 在 B 的左侧），其顶点的横坐标为 2．
（1）求抛物线 L 的函数表达式；
（2）将抛物线 L 向左平移 2 个单位长度后得到抛物线 L′，Q 为抛物线 L′上的动点，点 P 为抛物线 L
的对称轴上的动点，请问是否存在以 A、D、P、Q 为顶点且以 AQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，
求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线 L 的函数表达式为 y＝ x2﹣2x﹣6；
（2）求出 A（﹣2，0），抛物线 L′的解析式为 y＝ x2﹣8，设 P（2，t），Q（m， m2﹣8），以 AQ 为
边的四边形是平行四边形分两种情况：①以AP，QD为对角线，则AP，QD中点重合， ，
②以 AD，PQ 为对角线， ，解方程组可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得： ，
解得 ，
∴抛物线 L 的函数表达式为 y＝ x2﹣2x﹣6；
（2）存在以 A、D、P、Q 为顶点且以 AQ 为边的四边形是平行四边形，理由如下：
在 y＝ x2﹣2x﹣6 中，令 y＝0 得 0＝ x2﹣2x﹣6，
解得 x＝6 或 x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
把抛物线 L 向左平移 2 个单位长度后得到抛物线 L′的解析式为 y＝ （x+2）2﹣2（x+2）﹣6＝ x2﹣
8；
由抛物线 L 顶点的横坐标为 2 知其对称轴为直线 x＝2，
设 P（2，t），Q（m， m2﹣8），
又 D（3，﹣ ），
①以 AP，QD 为对角线，则 AP，QD 中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴Q（﹣3，﹣ ）；
②以 AD，PQ 为对角线，则 AD，PQ 的中点重合，
∴ ，
解得 ，
∴Q（﹣1，﹣ ）；
综上所述，Q 的坐标为（﹣3，﹣ ）或（﹣1，﹣ ）．
17．如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，点 B 的坐标为（3，0），OC＝2，AB＝4，点 D
为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 BC 上的动点，是否
存在以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是以 DE 为边的平行四边形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当 DP 为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当 DQ 为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）B 的坐标为（3，0），AB＝4，则点 A（﹣1，0），
∵OC＝2，则点 C（0，2），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则 y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝2，
则 y＝﹣ x2+ x+2；
（2）存在，理由：
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 x＝1，
由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y＝﹣ x+2，
设点 P（m，﹣ m2+ m+2），点 Q（t，﹣ t+2），
当 DP 为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得：m＝t＝ ，
则点 Q（ ， ）或（ ， ）；
当 DQ 为对角线时，同理可得：
，解得：m＝t＝1（舍去）或 2，
则点 Q（2， ），
综上，点 Q 的坐标为 Q（ ， ）或（ ， ）或（2， ）．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），
与 y 轴交于点 E（0，﹣2），将抛物线 L 向右平移 2 个单位得到抛物线 L′，抛物线 L′与 x 轴交于 C、D
两点（点 C 在点 D 的左侧）．
（1）求抛物线 L′的函数表达式；
（2）点 P、Q 分别在抛物线 L、L′上，且点 P、Q 在 x 轴的同侧，若以点 B、D、P、Q 为顶点的四边
形是面积为 4 的平行四边形，请求出点 Q 的坐标．
【分析】（1）把 E（0，﹣2）代入 ，解方程得到 c＝﹣2，求得抛物线 L 的函数表达式为
， 根 据 平 移 的 性 质 得 到 抛 物 线 L ′ 的 函 数 表 达 式 为
；
（2）解方程得到 A（﹣4，0），B（2，0），C（﹣2，0），D（4，0），求得 BD＝2，设点 Q 的纵坐标为
yQ，根据平行四边形的面积公式得到 BD |yQ|＝4，求得|yQ|＝2，当点 P、Q 都在 x 轴的上方时，点 P 只
能在点 Q 的左侧，由题可得将点 P 向右平移 2 个单位的点一定在抛物线 L′上，平移后的点就是点 Q，
求得 ， ．当点 P、Q 都在 x 轴的下方时，点 P 在点 Q 的左侧，由题
可得将点 P 向右平移 2 个单位的点一定在抛物线 L′上，平移后的点就是点 Q，求得 Q3（2，﹣2），Q4
（0，﹣2）．点 Q 在点 P 的左侧，不存在面积为 4 的平行四边形．
【解答】解：（1）把 E（0，﹣2）代入 ，得 × ，
∴c＝﹣2，
∴抛物线 L 的函数表达式为 ，
∵将抛物线 L 向右平移 2 个单位得到抛物线 L′，
∴抛物线 L′的函数表达式为 ；
（2）令 y＝0，则 ，
解得 x1＝﹣4，x2＝2，
∴A（﹣4，0），B（2，0），
在 y＝ （x﹣1）2﹣ 中，令 y＝0，则 （x﹣1）2﹣ ＝0，
解得 x＝﹣2 或 x＝2，
∴C（﹣2，0），D（4，0），
∴BD＝2，
∵点 P，Q 在 x 轴的同侧，
∴BD 为平行四边形的边，
∴PQ∥BD，PQ＝BD＝2．
设点 Q 的纵坐标为 yQ，
∵以点 B、D、P、Q 为顶点的四边形是面积为 4 的平行四边形，
∴BD |yQ|＝4，
∴|yQ|＝2，
当点 P、Q 都在 x 轴的上方时，点 P 只能在点 Q 的左侧，由题可得将点 P 向右平移 2 个单位的点一定在
抛物线 L′上，平移后的点就是点 Q，
∴yQ＝2，则 ，
解得 ， ，
∴ ， ．
当点 P、Q 都在 x 轴的下方时，点 P 在点 Q 的左侧，由题可得将点 P 向右平移 2 个单位的点一定在抛物
线 L′上，平移后的点就是点 Q，
∴yQ＝﹣2，则 ，
解得 x3＝2，x4＝0，
∴Q3（2，﹣2），Q4（0，﹣2）．
点 Q 在点 P 的左侧，不存在面积为 4 的平行四边形，
综上，点 Q 的坐标为（1+ ，2）或（1﹣ ，2）或（2，﹣2）或（0，﹣2）．
19．如图，抛物线 y＝ax2+bx+3 与坐标轴分别交于点 A，B，C，连接 AC，已知抛物线的对称轴为直线
．
（1）求 a，b 的值．
（2）若点 D 在线段 AB 上，过点 D 作 DE∥AC，交抛物线 y＝ax2+bx+3 于点 E，求线段 DE 的最大值．
（3）若点 D 在 x 轴上，点 E 在抛物线上，当 A，D，E，C 为平行四边形的四个顶点时，求点 D 的坐
标．
【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；
（2）过点 E 作 EF⊥x 轴，将 EF 的长度用二次函数表示，即可求出 EF 最大值，从而求得线段 DE 的最
大值；
（3）分两种情况进行讨论，求出点 D 的坐标．
【解答】解：（1）由题意可得点 A 的坐标为（﹣3，0），
∴ ，
解得 ；
（2）过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，
当 x＝0 时，y＝3，
∴点 C 的坐标为（0，3），OC＝3，
当 y＝0 时，x1＝﹣3， ，
∴点 B 的坐标为 ，
∴OA＝OC，∠CAO＝45°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝45°，
∴△DEF 为等腰直角三角形， ，
∵点 E 在抛物线 上，
∴设 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，EF 的最大值为 ，
∴DE 的最大值为 ；
（3）设 ，
情况一：当 CE∥AD 时，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F， ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 m1＝0（舍去）， ，
∴ ，DF＝EF＝3，
∴ ， ；
情况二：当 CD∥AE 时，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F， ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 （舍去），m2＝6，
∴F（6，0），D（9，0），
综上所述，点 D 的坐标为 或（9，0）．
20．综合与探究
已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过△ABC 的三个顶点，若这三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，0），B
（3，0），C（0，﹣2）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 CP 和 BP，当△BCP 的面积最大时，求点 P 的坐标；
（3）若 N 是 x 轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点 M，使得以 A，C，M，N 为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把 A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入 y＝ax2+bx+c，解方程组即可得到结论；
（2）过 P 作 PQ⊥x 轴于 H 交 BC 于 F，过点 C 作 CQ⊥PH 于 Q，如图：设直线 BC 的解析式为 y＝mx+n
（m≠0），把 B（3，0），C（0，﹣2）代入解方程组得到直线 BC 的解析式为 y＝ x﹣2，设 P（t， t2﹣
t﹣2），则 F（t， t﹣2），求得 PF＝（ t﹣2）﹣（ t2﹣ t﹣2）＝﹣ t2+2t，根据三角形 打麻将
公式得到 S△BCP＝﹣（t﹣ ）2+ ，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设 N（n，0），M（m， m2﹣ m﹣2），①当 AM 和 CN 为平行四边形对角线时，②当 AN 和 CM
为平行四边形对角线时，③当 AC 和 NM 为平行四边形对角线时，根据平行四边形的性质列方程组即可
得到结论．
【解答】解：（1）把 A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入 y＝ax2+bx+c 得：
，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 y＝ x2﹣ x﹣2；
（2）过 P 作 PQ⊥x 轴于 H 交 BC 于 F，过点 C 作 CQ⊥PH 于 Q，如图：
设直线 BC 的解析式为 y＝mx+n（m≠0），
把 B（3，0），C（0，﹣2）代入得 ，
解得 ，
∴直线 BC 的解析式为 y＝ x﹣2，
设 P（t， t2﹣ t﹣2），则 F（t， t﹣2），
∴PF＝（ t﹣2）﹣（ t2﹣ t﹣2）＝﹣ t2+2t，
∴S 2 2△BCP＝S△CPF+S△BPF＝ （ t +2t） t+ （ t +2t）（3﹣t）＝﹣m2+3m＝﹣（t﹣ ）2+ ，
∵﹣1＜0，0＜t＜3，
∴当 t＝ 时，S△BCP 取最大值，最大值为 ，
当 t＝ 时， t2﹣ t﹣2＝﹣
∴△BCP 的面积最大时 P 点坐标为（ ，﹣ ）；
（3）设 N（n，0），M（m， m2﹣ m﹣2），
①当 AM 和 CN 为平行四边形对角线时，
此时 ，
解得 m＝0（舍去）或 m＝2，
∴M（2，﹣2），
②当 AN 和 CM 为平行四边形对角线时，
此时 ，
解得 m＝1﹣ 或 1+ ，
∴M（1+ ，2）或（1﹣ ，2）；
③当 AC 和 NM 为平行四边形对角线时，
此时 ，
解得 m＝0（舍去）或 m＝2，
∴M（2，﹣2）；
综上所述，点 M 的坐标为（2，﹣2）或（1+ ，2）或（1﹣ ，2）．
类型五：角度问题
21．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2 与 x 轴交于两点 ，B（点 A 在 B 左
边），交 y 轴于 C，点 是抛物线上一点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点 M，使 MA+MC 的值最小，求点 M 的坐标；
（3）如图 2，抛物线上是否存在点 Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，将点 A，点 P 代入抛物线解析式，解关于 b，c 的二元一次方程组，即可
求得抛物线的解析式；
（2）由对称可得，直线 BC 与对称轴的交点就是所求的点 M，求出直线 BC 的关系式和对称轴，求出交
点坐标即可；
（3）分两种情况：当 Q 在 PC 下方或当 Q 在 PC 上方，构造等腰直角三角形和全等三角形求解即可．
【解答】解：（1）将点 ， 代入 y＝ax2+bx+2，
得： ，
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
（2）当 x＝0 时，y＝2，
∴点 C（0，2），
当 y＝0 时，有 ，
解得： ，x2＝4，
∴点 B（4，0），
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
设直线 BC 的关系式为 y＝kx+2，把点 B 坐标代入，
得：0＝4k+2，解得， ，
∴直线 BC 的关系式为 ，
由对称可得，直线 BC 与对称轴交点就是所求的点 M，
当 时， ，
∴ 时，MA+MC 最小；
（3）当 Q 在 PC 下方时，如图，过 P 作 PH⊥CQ 于 H，过 H 作 MN⊥y 轴，交 y 轴于 M，过 P 作 PN⊥
MH 于 N，
∴∠PHC＝∠CMH＝∠HNP＝90°，
∵∠QCP＝45°，
∴△PHC 是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HPN，
∴△CHM≌△HPN（AAS），
∴CM＝HN，MH＝PN，
∵H（m，n），
∵C（0，2）， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
设直线 CH 的解析式为 y＝px+q，
∴ ，解得 ，
∴直线 CH 的解析式为 ，
联立直线 CH 与抛物线解析式得 ，
解得 或 ，
∴ ；
②当 Q 在 PC 上方时，如图，过 P 作．PH⊥CQ 于 H，过 H 作．MN⊥y 轴，交 y 轴于 M，过 P 作 PN⊥
MH 于 N，
同理得 ．
综上，存在，点 Q 的坐标为 或 ．
22．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+5 经过 A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，顶
点为 D，连接 CD，点 P 为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点 P 在直线 BC 的下方运动时，过点 P 作 PE⊥BC 交于点 E，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC
于点 F．求△PEF 周长的最大值及此时点 P 的坐标．
（3）在该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC＝∠BCD．若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）将点 A、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）运用待定系数法可得直线 BC 的解析式为：y＝x+1．设点 P（t，t2+6t+5），则 F（t，t+1），PF＝﹣
t2﹣5t﹣4，再证得△PEF 是等腰直角三角形，得出 PE＝EF＝ PF，设△PEF 的周长为 1，则 l＝
PE+EF+PF＝﹣（ +1）[（t+ ）2﹣ ]，运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）分点 P 在直线 BC 下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线过 A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5；
（2）令 y＝0，得 x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设直线 BC 的解析式为 y＝kx+d，则 ，
解得： ，
∴直线 BC 的解析式为：y＝x+1．
设点 P（t，t2+6t+5），则 F（t，t+1），
∴PF＝（t+1）﹣（t2+6t+5）＝﹣t2﹣5t﹣4，
如图，过点 B 作 BG⊥x 轴于 G，则∠BGC＝90°，
∵B（﹣4，﹣3），C（﹣1，0），
∴BG＝3，CG＝﹣1﹣（﹣4）＝3，
∴BG＝CG，
∴△BCG 是等腰直角三角形，
∴∠CBG＝45°，
∵PF∥y 轴，BG∥y 轴，
∴PF∥BG，
∴∠PFE＝∠CBG＝45°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEF＝90°，
∴△PEF 是等腰直角三角形，
∴PE＝EF＝ PF，
设△PEF 的周长为 1，
则 l＝PE+EF+PF＝（ +1）PF＝（ +1）（﹣t2﹣5t﹣4）＝﹣（ +1）[（t+ ）2﹣ ]，
∴当 t＝﹣ 时，周长 1 最大，最大值为： ，此时点 P 为（﹣ ，﹣ ）；
（3）存在．连接 BD，
∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴抛物线的顶点为 D（﹣3，﹣4），
∴ BD ＝ ＝ ， BC ＝ ＝ 3 ， CD ＝
＝2 ，
∵BC2+BD2＝（3 ）2+（ ）2＝20＝CD2，
∴∠CBD＝90°，
（i）当点 P 在直线 BC 下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴CM＝BM，
∵∠BCD+∠BDC＝∠PBC+∠PBD＝90°，
∴∠PBD＝∠BDC，
∴DM＝BM，
∴CM＝DM，
∴点 M 是 CD 的中点，
∴M（﹣2，﹣2），
设直线 BP 的解析式为 y＝k′x+b′，则 ，
解得： ，
∴直线 BM 的表达式为：y＝ x﹣1，
由 x2+6x+5＝ x﹣1，
解得：x1＝﹣4（舍去），x2＝﹣ ，
此时点 P（﹣ ，﹣ ）．
（ii）当点 P 在直线 BC 上方时，如图，
∵∠PBC＝∠BCD，
∴BP∥CD．
设直线 CD 的解析式为 y＝mx+n，把点 C、D 的坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线 CD 的解析式为 y＝2x+2，
设直线 BP 的解析式为 y＝2x+t，把点 B 的坐标代入得：﹣3＝2×（﹣4）+t，
解得 t＝5，
∴直线 BP 的表达式为 y＝2x+5，
联立得 x2+6x+5＝2x+5，
解得 x＝﹣4（舍去）或 x＝0，
∴此时点 P（0，5）．
综上，存在点 P，使得∠PBC＝∠BCD．点 P 的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（0，5）．
23．如图，抛物线 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与 x 轴交于 A、B（A 在 B 的左边），A（﹣1，0）与 y 轴负半轴交
于 C，且 OC＝3OA．
（1）求 a，c 的值；
（2）如图 1，点 D 是抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 在第四象限内图象上一点，点 P 是 y 轴上一点，P 点坐标是
（0，﹣7），点 D 是直线 PD 与该抛物线唯一的公共点，直线 y＝tx﹣2t+3（t≠0）与该抛物线交于 M，N
两点，若 S△DMN＝6 ，
①求出 D 点的坐标；
②求出 t 的值．
（3）在（2）的条件下，如图 2，连接 AD 和 BC，在抛物线上是否存在点 Q 使∠QBC+∠ADP＝180°，
若存在，求出 Q 点坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）先求出 A、C 两点的坐标，再将 A、C 两点的坐标代入 y＝ax2﹣2ax+c 中，利用待定系数法
即可求出 a、c 的值；
（2）①由 a＝1，c＝﹣3 得抛物线的表达式为 y＝x2﹣2x﹣3．设 PD：y＝k1 x﹣7，联立 y＝x2﹣2x﹣3
和 y＝k1x﹣7 得一元二次方程，由Δ＝0 可求出 k1 的值，进而求出 D 点的坐标．
②过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E，求出 E 点坐标是（2，3），则可得 DE＝6．设 M，N 两点的横
坐标是 m，n，联立 y＝x2﹣2x﹣3 和 y＝tx﹣2t+3，可得 x2﹣（2+t）x+2 t﹣6＝0，则可得 m+n＝2+t，mn＝
2 t﹣6，进而可得|m﹣n|的值， ，即可求出 t 的值．
（3）由 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）可得∠OCB＝∠HAD＝45°、 ，又由∠QBC+
∠ADP＝180°，∠ADF+∠ADP＝180°，得∠QBC＝∠ADF，则可得△CGB≌△AFD，则 ，
则可得 ．求出直线 BQ 的表达式为 ，再与抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 联立，求出交点坐
标，即可得 Q 点的坐标．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OC＝3OA，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
把 A（﹣1，0），C（0，﹣3）分别代入 y＝ax2﹣2ax+c 中得：
，
解得：a＝1，c＝﹣3．
（2）①∵a＝1，c＝﹣3，
∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
设：PD：y＝k1 x﹣7，
联立 ，
则 x2﹣（2+k1）x+4＝0，
∵两个函数只有唯一公共点，
∴Δ＝0，
∴ ，
解得：x2﹣4x+4＝0k1＝2 或﹣6，
∵点 D 在第四象限，
∴k1＞0，
∴k1＝2，
∴ ，
解得 x＝2，y＝﹣3，
∴D（2，﹣3）；
②过点 D 作 y 轴的平行线交 MN 于点 E，
∵D（2，﹣3），
∴E 点横坐标是 2，
∴E 点坐标是（2，3），
∴DE＝6，
设：M，N 两点的横坐标是 m，n，
联立 ，
得：x2﹣（2+t）x+2 t﹣6＝0，
则 m+n＝2+t，mn＝2 t﹣6，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
两边平方得 t2﹣4t﹣12＝0，
∴t1＝﹣2，t2＝6；
（3）延长 PD 交 x 轴于点 F，过 D 点作 DH⊥x 轴于 H 点，设 BQ 与 y 轴的交点为 G 点，如图 2，
将 y＝0 代入 PD 直线的解析式 y＝2x﹣7 中得：x＝3.5，
∴得 F（3.5，0），
由 y＝x2﹣2x﹣3＝0 得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0），
又∵C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝45°， ，
∵DH⊥x，且 D（2，﹣3），
∴DH＝AH＝3，
∴∠HAD＝45°， ，
∴∠OCB＝∠HAD，BC＝AD，
∵∠QBC+∠ADP＝180°，∠ADF+∠ADP＝180°，
∴∠QBC＝∠ADF，
∴△CGB≌△AFD（ASA），
∴CG＝AF，
∵AF＝3.5﹣（﹣1.5）＝4.5，
∴CG＝4.5，
∴ ，
∴ ，
设直线 BQ 的表达式为： ，
则 ，
解得 ，
∴直线 BQ 的表达式为： ，
联立 ，
得 ， ，
∵B（3，0），
∴ ．专题 03 二次函数与几何图形
类型一：线段的最值问题
类型二：面积的最值问题
类型三：特殊三角形的存在性问题
类型四：平行四边形的存在性问题
类型五：角度问题
类型一：线段的最值问题
1．如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，AD 为等腰直角△ABC 底边 BC 上的高，抛物线 y＝a（x﹣
2）2+4 的顶点为点 A，且经过 B、C 两点，B、C 两点在 x 轴上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图 2，点 E 为抛物线上位于直线 AC 上方的一点，过点 E 作 EN⊥x 轴交直线 AC 于点 N，求线段
EN 的长度最大值及此时点 E 的坐标；
（3）如图 2，点 M（5，b）是抛物线上的一点，点 P 为对称轴上一动点，在（2）的条件下，当线段 EN
的长度最大时，求 PE+PM 的最小值．
2．如图，抛物线 y＝﹣ x2+mx+n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点
D，已知 A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△BDC 的面积；
（3）线段 BC 上有一动点 P，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的最大值．
3．如图 1，已知二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴相交于 A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与 y 轴相交于点
C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点 D 是二次函数图象上位于第三象限内的点．
①如图 2，当点 D 是抛物线的顶点时，连接 AD、CD、AC，求△ADC 的面积；
②当点 D 到直线 AC 的距离为最大值时，求此时点 D 的坐标；
（3）若点 M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点 N，使得以 M、N、B、O 为
顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标（不写求解过程）．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点 A（4，0）．经过点 A
的直线与该二次函数图象交于点 B（1，3），与 y 轴交于点 C．
（1）求二次函数的解析式及点 C 的坐标；
（2）点 P 是二次函数图象上的一个动点，当点 P 在直线 AB 上方时，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，与直线
AB 交于点 D，设点 P 的横坐标为 m．
①m 为何值时线段 PD 的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点 P，使得△BPD 与△AOC 相似．若存在，请求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与直线 y＝﹣x+3 相交于 B、C 两点，与 x 轴
交于点 A（﹣1，0）．点 P 是抛物线上一个动点，且在直线 BC 的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）过点 P 作 PD∥y 轴交直线 BC 于点 D，求 PD 的最大值．
（3）点 M 为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点 N，使△MNO 为等腰直角三角形，且∠NMO
为直角，若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二：面积的最值问题
6．综合与探究
如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+5 与 x 轴交于点 A（﹣1，0），B，与 y 轴交于点 C，作直线 BC，点 P 为第一
象限内抛物线上一动点，连接 PB，过点 C 作 CQ∥PB，交 x 轴于点 Q．
（1）求点 B，C 的坐标；
（2）连接 PQ，求 S△PBQ 的最大值；
（3）连接 AC，当∠PCB＝∠ACO 时，请直接写出点 P 的坐标．
7．已知抛物线 y＝x2+bx+c 与过点 P（0，1）的直线 l：y＝kx+m，k＜0，交于 A、B 两点（点 A 在点 B 右侧）
（1）若抛物线对称轴为直线 x＝﹣1 且与 y 轴交于点（0，﹣3），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件之下，若 k＝﹣1，C 为抛物线上的一动点，且在点 A 与点 B 之间，求△ABC 面积的
最大值；
（3）若该抛物线的顶点为原点，已知 Q（1，1），QA、QB 交 y 轴于 M、N 两点，当 时，
求 l 的方程．
8．如图 1，抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C，且 OB＝OC，抛物线的
对称轴为直线 x＝1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 DE 是该抛物线的对称轴，点 D 是顶点，点 P 是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．
（ⅰ）如图 2，连接 BP，若△PCB 的面积为 3，求点 P 的坐标；
（ⅱ）如图 3，连接 BC，与 DE 交于点 G，连接 PC，PG，PD，求 2S△PCG+S△PDG 的最大值．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 AC，
其中 A（﹣3，0），B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 1，点 P 是直线 AC 上方抛物线上一点，连接 PA、PC，求△PAC 面积的最大值，及此时点 P
的坐标；
（3）如图 2，连接 BC，在抛物线上是否存在一点 N，使得 S△ABC＝2S△ABN？若存在，求出点 N 的坐标；
若不存在，说明理由．
10．如图，抛物线 c：y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C．点
M（m，0）为动点，且 0＜m＜4，过点 M 作 EM⊥AB 于点 M，交抛物线于点 E，交直线 BC 于点 F．
（1）求抛物线 c 的表达式及顶点坐标；
（2）若 MF＝EF，求 m 的值；
（3）连接 CE，BE，CM，求四边形 CMBE 面积最大值．
类型三：特殊三角形的存在性问题
11．如图，抛物线 y＝ax2+bx﹣3 经过 A（﹣1，0），与 y 轴交于点 C，过点 C 作 BC∥x 轴，交抛物线于点
B，连接 AC、AB，AB 交 y 轴于点 D，且 BC＝2OA．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点 P 为抛物线对称轴上一点，且位于 x 轴上方，连接 PA、PC，若△PAC 是以 AC 为直角边的直角
三角形，求点 P 的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y 21＝﹣x +bx+c 与 x 轴交于点 B，A（﹣3，0），与 y 轴交于点 C
（0，3）．
（1）求直线 AC 和抛物线的解析式．
（2）若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C 三点为顶点的三角形是以 AC
为底的等腰三角形？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC 面积的最大值．
13．如图，顶点坐标为（1，4）的抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y
轴交于点 C（0，3），D 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点，连接 AD 交抛物线的对称轴于点 E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 AC，当△ACE 的周长最小时，求点 D 的坐标；
（3）过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，交直线 BC 于点 F，连接 AF．在点 D 运动过程中，是否存在使△ACF
为等腰三角形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线 的图象经过点 D（1，﹣1），与 x 轴交于点 A，点 B．
（1）求抛物线 C1 的表达式；
（2）将抛物线 C1 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到抛物线 C2，求抛物线 C2 的表达式，并
判断点 D 是否在抛物线 C2 上；
（3）在 x 轴上方的抛物线 C2 上，是否存在点 P，使△PBD 是等腰直角三角形．若存在，请求出点 P 的
坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，二次函数 y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A、B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3），
点 P（m，n）是抛物线上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图 1，当 m＝2 时，求△BCP 的面积；
（3）当∠PCB＝15°时，求点 P 的坐标；
（4）如图 2，点 Q 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 P，使△POQ 是以点 P 为直角顶点的等腰直角
三角形，若存在，请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由．
类型四：平行四边形的存在性问题
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 L：y＝ax2+bx﹣6（a、b 为常数．且 a≠0）经过点 ，
交 x 轴于点 A、B（A 在 B 的左侧），其顶点的横坐标为 2．
（1）求抛物线 L 的函数表达式；
（2）将抛物线 L 向左平移 2 个单位长度后得到抛物线 L′，Q 为抛物线 L′上的动点，点 P 为抛物线 L
的对称轴上的动点，请问是否存在以 A、D、P、Q 为顶点且以 AQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，
求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，已知抛物线交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于 C 点，点 B 的坐标为（3，0），OC＝2，AB＝4，点 D
为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 E，点 P 是抛物线上的动
点，点 Q 是直线 BC 上的动点，是否存在以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是以 DE 为边的平行四边形，
若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），
与 y 轴交于点 E（0，﹣2），将抛物线 L 向右平移 2 个单位得到抛物线 L′，抛物线 L′与 x 轴交于 C、D
两点（点 C 在点 D 的左侧）．
（1）求抛物线 L′的函数表达式；
（2）点 P、Q 分别在抛物线 L、L′上，且点 P、Q 在 x 轴的同侧，若以点 B、D、P、Q 为顶点的四边
形是面积为 4 的平行四边形，请求出点 Q 的坐标．
19．如图，抛物线 y＝ax2+bx+3 与坐标轴分别交于点 A，B，C，连接 AC，已知抛物线的对称轴为直线
．
（1）求 a，b 的值．
（2）若点 D 在线段 AB 上，过点 D 作 DE∥AC，交抛物线 y＝ax2+bx+3 于点 E，求线段 DE 的最大值．
（3）若点 D 在 x 轴上，点 E 在抛物线上，当 A，D，E，C 为平行四边形的四个顶点时，求点 D 的坐
标．
20．综合与探究
已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过△ABC 的三个顶点，若这三个顶点的坐标分别为 A（﹣1，0），B
（3，0），C（0，﹣2）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若 P 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 CP 和 BP，当△BCP 的面积最大时，求点 P 的坐标；
（3）若 N 是 x 轴上的一个动点，在抛物线上是否存在点 M，使得以 A，C，M，N 为顶点的四边形是平
行四边形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
类型五：角度问题
21．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+2 与 x 轴交于两点 ，B（点 A 在 B 左
边），交 y 轴于 C，点 是抛物线上一点．
（1）求抛物线的关系式；
（2）在对称轴上找一点 M，使 MA+MC 的值最小，求点 M 的坐标；
（3）如图 2，抛物线上是否存在点 Q，使∠QCP＝45°？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说
明理由．
22．如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+5 经过 A（﹣5，0）、B（﹣4，﹣3）两点，与 x 轴的另一个交点为 C，顶
点为 D，连接 CD，点 P 为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）若点 P 在直线 BC 的下方运动时，过点 P 作 PE⊥BC 交于点 E，过点 P 作 y 轴的平行线交直线 BC
于点 F．求△PEF 周长的最大值及此时点 P 的坐标．
（3）在该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC＝∠BCD．若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请
说明理由．
23．如图，抛物线 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与 x 轴交于 A、B（A 在 B 的左边），A（﹣1，0）与 y 轴负半轴交
于 C，且 OC＝3OA．
（1）求 a，c 的值；
（2）如图 1，点 D 是抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 在第四象限内图象上一点，点 P 是 y 轴上一点，P 点坐标是
（0，﹣7），点 D 是直线 PD 与该抛物线唯一的公共点，直线 y＝tx﹣2t+3（t≠0）与该抛物线交于 M，N
两点，若 S△DMN＝6 ，
①求出 D 点的坐标；
②求出 t 的值．
（3）在（2）的条件下，如图 2，连接 AD 和 BC，在抛物线上是否存在点 Q 使∠QBC+∠ADP＝180°，
若存在，求出 Q 点坐标，若不存在请说明理
由．
