第 03 讲 二次函数 y a(x h)2 k 的图象与性质
课程标准 学习目标
2
①二次函数 y a x h 的图象与性质
2 2
2 1. 掌握 y a x h 、 y ax k 、 y a x h
2 k
②二次函数 y ax k 的图象与性质
的函数与性质 ，并能够利用三种函数的图象与性质进行解
2
③二次函数 y a x h k 的图象与
题。
性质
知识点 01 y a x h 2 a 0 的图象与性质
1. y a x h 2的图象与性质：
由函数的平移可知：
①若 h＞0 2，可将 y ax 向 右 平移 h 个单位得到函数 y a x h 2。
②若 h＜0，可将 y ax2向 左 平移 h 2个单位得到函数 y a x h 。
由 y ax2 2的图象与性质可得到函数 y a x h 的图象与性质如下：
y a x h 2 a 0 a＞0 a＜0
h＜0 h＞0 h＜0 h＞0
（向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移）
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
a 的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a 的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （h，0） （h，0）
x h x h
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边 y 随 x 的增大而 增大 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 减小 。
增减性
对称轴左边 y 随 x 的增大而 减小 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 增大 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 0 。 这个值是 0 。
【即学即练 1】
1．对于二次函数 y＝﹣2（x+3）2 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．当 x＞﹣4 时，y 随 x 的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
【分析】根据抛物线的性质由 a＝﹣2 得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称
轴为直线 x＝﹣3，当 x＞﹣3 时，y 随的增大而减小．
【解答】解：由 y＝﹣2（x+3）2 得抛物线开口向下，
对称轴为直线 x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，0），
x≤﹣3 时 y 随 x 增大而增大，
x＞﹣3 时 y 随 x 增大而减小．
故选：B．
【即学即练 2】
2．在平面直角坐标系中，函数 y＝﹣x+1 与 y＝﹣ （x﹣1）2 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】已知两函数解析式，分别求出它们经过的象限，开口方向，逐一判断即可．
【解答】解：∵y＝﹣x+1 的图象过第一、二、四象限，y＝﹣ （x﹣1）2 的开口向下，顶点在点（1，
0），
∴同时符合条件的图象只有选项 D．
故选：D．
知识点 02 y ax2 k a 0 的图象与性质
1. y ax2 k a 0 的图象与性质：
由函数的平移可知：
①若 k＞0 2 2，可将 y ax 向 上 平移 k 个单位得到函数 y ax k 。
2 2
②若 k＞0，可将 y ax 向 下 平移 k 个单位得到函数 y ax k 。
由 y ax2 2的图象与性质可得到函数 y ax k 的图象与性质如下：
y ax2 k a 0 a＞0 a＜0
k＜0 k＞0 k＜0 k＞0
（向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移）
大致图象
开口方向 开口向上 开口向下
a 的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a 的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （0，k） （0，k）
y 轴 y 轴
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边 y随 x的增大而 增大 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 减小 。
增减性
对称轴左边 y随 x的增大而 减小 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 增大 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 k 。 这个值是 k 。
【即学即练 1】
3．对于二次函数 y＝﹣2x2+3 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（0，3）
D．x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵二次函数 y＝﹣2x2+3，
∴该函数的图象开口向下，故选项 A 正确；
对称轴是直线 x＝0，故选项 B 错误；
顶点坐标为（0，3），故选项 C 正确；
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 D 正确；
故选：B．
【即学即练 2】
4．在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+b 与一次函数 y＝ax+b（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由于二次函数 y＝ax2+b 与一次函数 y＝ax+b（a≠0）均过（0，b），可知正确答案从 A、D 中
选，再根据二次函数的性质判断出 a、b 的值，然后根据 a、b 的值确定一次函数所过象限，从而选出正
确答案．
【解答】解：当 x＝0 时，二次函数 y＝ax2+b 与一次函数 y＝ax+b（a≠0）均有 y＝b，
可知函数均过（0，b），故 B、C 错误；
对于 A、D：
A、二次函数 y＝ax2+b 开口向上，a＞0，而一次函数过二、一、四象限，则 a＜0，得出矛盾，故本选项
错误；
D、二次函数 y＝ax2+b 开口向上，a＜0，而一次函数过二、三、四象限，则 a＜0，且二者均过（0，b）
点，故本选项正确．
故选：D．
知识点 03 y a x h 2 k 的图象与性质
1. y a x h 2 k 的图象与性质：
2由函数的平移可知，可将 y ax 先向 左右 平移 h 个单位，再向 上下 平移 k 个
单位得到函数 y a x h 2 k y ax2 2。由 的图象与性质可得到函数 y a x h k 的图象与性质如下：
y a x h 2 k a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下
a 的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a 的绝对值越小，开口越 大
顶点坐标 （h，k） （h，k）
x h x h
对称轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边 y 随 x 的增大而 增大 。 对称轴右边 y随 x的增大而 减小 。
增减性
对称轴左边 y 随 x 的增大而 减小 。 对称轴左边 y随 x的增大而 增大 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值
这个值是 k 。 这个值是 k 。
【即学即练 1】
5．下列关于抛物线 y＝﹣（x+1）2+4 的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线 y＝﹣x2 相同
B．对称轴是直线 x＝﹣1
C．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1 时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线 y＝﹣（x+1）2+4 形状与 y＝﹣x2 相同，此选项不符合题意；
B、抛物线 y＝﹣（x+1）2+4 对称轴 x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线 y＝﹣（x+1）2+4，由于 a＝﹣1＜0，当 x＞﹣1 时，函数值 y 随 x 值的增大而减小，此选
项错误，符合题意；
D、抛物线 y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与 x 轴的交点
为（﹣3，0），（1，0），所以当 y＞0 时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
【即学即练 2】
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+b 与二次函数 y＝ax2+bx 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数 y＝ax+b 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y＝ax2+bx 的图象相比
是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不
符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＜0，得 b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣ ＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣ ＜0，得 b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：B．
题型 01 二次函数的基本性质
【典例 1】对于抛物线 y＝﹣ +3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系及其顶点坐标进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线 y＝﹣ （x﹣5）2+3 中 k＝﹣ ＜0，
∴此抛物线开口向下，顶点坐标为：（5，3），
故选：D．
【变式 1】对于二次函数 y＝（x+3）2 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x 的增大而增大
【分析】根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决
问题．
【解答】解：因为二次函数的表达式为 y＝（x+3）2，
所以抛物线的开口向上．
故 A 说法正确；
又抛物线的对称轴是直线 x＝﹣3，
故 B 说法正确；
因为抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），
故 C 说法正确；
因为抛物线对称轴为直线 x＝﹣3，且开口向上，
所以当 x＜﹣3 时，y 随 x 的增大而减小．
故 D 说法不正确；
故选：D．
【变式 2】二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线 x＝3
C．顶点坐标为（﹣3，6）
D．当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小
【分析】根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：A、二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2+6 中 a＝﹣2＜0，故函数图象开口向下，原说法错误，不符
合题意；
B、由函数解析式可知，函数图象的对称轴为直线 x＝3，正确，符合题意；
C、由函数解析式可知，函数图象的顶点坐标为（3，6），原说法错误，不符合题意；
D、由函数解析式可知，抛物线开口向下，顶点坐标为（3，6），故当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大，
原说法错误，不符合题意．
故选：B．
【变式 3】对于二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴是直线 x＝﹣3
C．图象的顶点是（3，﹣1）
D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，
∴a＝﹣2＜0，开口向下，顶点（3，﹣1），对称轴是直线 x＝3，
当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小．
故选：C．
【变式 4】
下列关于抛物线 y＝﹣（x+1）2+4 的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线 y＝﹣x2 相同
B．对称轴是直线 x＝﹣1
C．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1 时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线 y＝﹣（x+1）2+4 形状与 y＝﹣x2 相同，此选项不符合题意；
B、抛物线 y＝﹣（x+1）2+4 对称轴 x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线 y＝﹣（x+1）2+4，由于 a＝﹣1＜0，当 x＞﹣1 时，函数值 y 随 x 值的增大而减小，此选
项错误，符合题意；
D、抛物线 y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与 x 轴的交点
为（﹣3，0），（1，0），所以当 y＞0 时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
【变式 5】
对于抛物线 y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（ ）
A．对称轴是直线 x＝1
B．顶点坐标是（1，2）
C．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
D．当 x＝1 时，函数 y 的最小值为 2
【分析】首先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为 x＝1，顶点坐标为（1，2），据此选择正确答
案．
【解答】解：∵抛物线 y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴a＝﹣1，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为（1，2），
当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，
当 x＝1 时，抛物线有最大值为 2，D 选项错误．
故选：D．
题型 02 二次函数的图象问题
【典例 1】二次函数 y＝﹣（x+1）2+2 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及顶点位置逐一判断可得．
【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1，顶点为（﹣1，2），
由 a＝﹣1＜0 知抛物线的开口向下，
故选项 B 正确．
故选：B．
【变式 1】二次函数 y＝a（x+m）2+k 的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0
【分析】根据顶点所处的位置确定 m、k 的符号．
【解答】解：∵二次函数 y＝a（x+m）2+k
∴顶点为（﹣m，k），
∵顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，k＜0，
∴m＜0，k＜0，
故选：A．
【变式 2】在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+2 与二次函数 y＝x2+a 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数 y＝x2+a 得抛物线开口向上，排除 B，根据一次函数 y＝ax+2，得直线与 y 轴的正
半轴相交，排除 D；根据抛物线得 a＜0，故排除 A．
【解答】解：∵二次函数 y＝x2+a，
∴抛物线开口向上，
∴排除 B，
∵一次函数 y＝ax+2，
∴直线与 y 轴的正半轴相交，
∴排除 D；
∵抛物线得 a＜0，
∴排除 A；
故选：C．
【变式 3】在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+c 和二次函数 y＝ax2+c 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，与 y 轴的交点；一次函数经过的象限，与 y 轴的交点可得相关图
象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过 y 轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于 y 轴上的同一点，故 B 选项错误；
当 a＞0 时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故 C 选项错误；
当 a＜0 时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故 A 选项错误；
故选：D．
【变式 4】一次函数 y＝x+a 与二次函数 y＝ax2﹣a 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象和一次函数与 x 轴，与 y 轴的交点可得相关图象进行判断．
【解答】解：由一次函数 y＝x+a 可知，一次函数的图象与 x 轴交于（﹣a，0），与 y 轴交于点（0，
a），由二次函数 y＝ax2﹣a 可知，抛物线与 x 轴交于（﹣1，0）和（1，0），与 y 轴交于点（0，﹣
a），
∵两个函数的图象与 x 轴交于不同的两点，与 y 轴交于不同的两点，
∴A、B、D 不可能，
选项 C 中，由直线经过一、三、四象限可知 a＜0，由抛物线可知开口向下，交 y 轴的正半轴，则 a＜0，
故 C 有可能；
故选：C．
【变式 5】二次函数 y＝a（x﹣2）2+c 与一次函数 y＝cx+a 在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断 a、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正
误．
【解答】解：A、一次函数 y＝cx+a 的图象与 y 轴交于负半轴，a＜0，与二次函数 y＝a（x﹣2）2+c 的图
象开口向上，即 a＞0 相矛盾，故 A 错误；
B、一次函数 y＝cx+a 的图象过一、二、四象限，a＞0，c＜0，二次函数 y＝a（x﹣2）2+c 的图象开口向
上，顶点为（2，c）在第四象限，a＞0，c＜0，故 B 正确；
C、二次函数 y＝a（x﹣2）2+c 的对称轴直线 x＝2，在 y 轴右侧，故 C 错误；
D、一次函数 y＝cx+a 的图象过一、二、三象限，c＞0，与抛物线 y＝a（x﹣2）2+c 的顶点（2，c）在第
四象限，c＜0 相矛盾，故 D 错误；
故选：B．
题型 03 二次函数图象上点的坐标特征
【典例 1】点 A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线 y＝（x﹣1）2+n 上．若 y1＜y2，则 m 的取值范围为
（ ）
A．m＞2 B． C．m＜1 D．
【分析】根据 y1＜y2 列出关于 m 的不等式即可解得答案．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+n，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，
∵点 A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线 y＝（x﹣1）2+n 上，且 y1＜y2，
∴m﹣1＞1 或 ＞1，
解得 m＞2 或 m＞ ，
∴m＞ ．
故选：B．
【变式 1】若 A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+k 的图象上，则
y1，y2，y3 的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+k，可以得到该函数图象的对称轴为直线 x＝2，再根据 A（﹣1，
y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+k 的图象上和二次函数的性质，即可
判断 y1，y2，y3 的大小关系．
【解答】解：∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+k，
∴抛物线对称轴为 x＝2，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，
∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+k 的图象上，2﹣（﹣1）
＝3，2﹣1＝1，4﹣2＝2，
∴y2＞y3＞y1，
故选：B．
【变式 2】已知二次函数 y＝（x﹣1）2+2 的自变量 x1，x2，x3 对应的函数值分别为 y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜
0，1＜x2＜2，x3＞3 时，y1，y2，y3 三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．不能确定
【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线 y＝（x﹣1）2+2，
∴对称轴 x＝1，顶点坐标为（1，2），
∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3 时，
观察图象可知：y2＜y1＜y3，
故选：B．
【变式 3】若 A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3）为二次函数 y＝（x﹣2）2+m 图象上的三点，则 y1，
y2，y3 的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【分析】求出二次函数 y＝（x﹣2）2+m 图象的开口向上，对称轴为直线 x＝2，又|2﹣2|＜|3﹣2|＜|0﹣2|，
即可得 y2＜y3＜y1．
【解答】解：二次函数 y＝（x﹣2）2+m 图象的开口向上，对称轴为直线 x＝2，
∵|2﹣2|＜|3﹣2|＜|0﹣2|，且到对称轴距离越大，函数值越大，
∴y2＜y3＜y1；
故选：D．
【变式 4】抛物线 y＝ （x﹣1）2+c 经过（﹣2，y1），（0，y2），（ ，y3）三点，则 y1，y2，y3 的大小
关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线 x＝1，求出（ ，y3）关于直线 x＝1 的对称点，然
后根据二次函数的增减性可以判断 y1，y2，y3 的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝ （x﹣1）2+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线 x＝1，
∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，
∵（ ，y3）关于直线 x＝1 的对称点是（﹣ ，y3），
∵﹣2＜﹣ ＜0＜1，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
题型 04 二次函数的平移
【典例 1】将抛物线 y＝2（x+1）2﹣1 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线
的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2
【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线 y＝2（x+1）2﹣1 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的
新抛物线的函数表达式为 y＝2（x+1﹣2）2﹣1+1＝2（x﹣1）2，
故选：A．
【变式 1】将抛物线 y＝（x﹣2）2+1 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的
表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣4）2+2 D．y＝x2+2
【分析】直接根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：将抛物线 y＝（x﹣2）2+1 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物
线的表达式是 y＝（x﹣2+2）2+1+1，即 y＝x2+2．
故选：D．
【变式 2】将抛物线 y＝（x﹣1）2+4 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度后，得到的抛物
线的关系式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣3）2+9 D．y＝（x﹣3）2+7
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：将抛物线 y＝（x﹣1）2+4 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度后，得到的
抛物线的关系式是 y＝（x﹣1﹣2）2+4+3，即 y＝（x﹣3）2+7．
故选：D．
【变式 3】抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 可由抛物线 y＝﹣2（x+2）2+3 平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A．右移 3 个单位长度，再下移 4 个单位长度
B．右移 3 个单位长度，再上移 4 个单位长度
C．左移 3 个单位长度，再下移 4 个单位长度
D．左移 3 个单位长度，再上移 4 个单位长度
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：函数 y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 的图象可由函数 y＝﹣2（x+2）2+3 的图象平移得到，那么平移
的步骤是右移 3 个单位，下移 4 个单位，
故选：A．
【变式 4】抛物线 y＝﹣2x2+1 通过变换可以得到抛物线 y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
B．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
C．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
D．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+1 的顶点坐标为（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3 的顶点坐标为（﹣1，3），
∴将抛物线 y＝﹣2x2+1 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，可得到抛物线 y＝﹣2
（x+1）2+3．
故选：D．
1．抛物线 y＝（x+1）2﹣4 的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
【分析】根据二次项系数可以判断抛物线的开口方向，根据抛物线函数的顶点式可以直接得到顶点坐标，
本题得以解决．
【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的开口向上，顶点坐标是（﹣1，4），
故选：A．
2．对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 x＝5
B．函数的最大值是 3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当 x＞5 时，y 随 x 的增大而增大
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以
解答本题．
【解答】解：∵抛物线 ，
∴该抛物线的对称轴是直线 x＝5，故选项 A 正确；
函数有最大值，最大值 y＝3，故选项 B 正确；
开口向下，顶点坐标为（5，3），故选项 C 正确；
当 x＞5 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 D 错误；
故选：D．
3．对于抛物线 y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．y 随 x 的增大而减小
B．当 x＝2 时，y 有最大值﹣1
C．若点 A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线 y＝3（x﹣2）2﹣1 上，则 y1＞y2
D．经过第一、二、四象限
【分析】依据题意，由抛物线 y＝3（x﹣2）2﹣1，又 a＝3＞0，从而当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，故可判断 A；又抛物线开口向上，则当 x＝2 时，y 取最小值为﹣1，故
可判断 B；依据题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合抛物线的对称轴是直线 x＝2，又
|3﹣2|＝|1﹣2|，可得 y1＝y2，故可判断 C；依据题意，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，且当 x＝0 时，
y＝11，则当 x＜0 时，y＞11，故图象不经过三象限，则可判断 D．
【解答】解：由题意，∵抛物线 y＝3（x﹣2）2﹣1，
又 a＝3＞0，
∴当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，故 A 错误，不合题意．
∵抛物线开口向上，
∴当 x＝2 时，y 取最小值为﹣1，故 B 错误，不合题意．
由题意得，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵抛物线的对称轴是直线 x＝2，
又|3﹣2|＝|1﹣2|，
∴y1＝y2，故 C 错误，不合题意．
∵当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，且当 x＝0 时，y＝11，
∴当 x＜0 时，y＞11，故图象不经过三象限，故 D 正确，符合题意．
故选：D．
4．二次函数 y＝a（x+h）2﹣k 的图象如图所示，则一次函数 y＝kx+h 的图象一定不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】根据题意可得：二次函数 y＝a（x+h）2﹣k 的图象的顶点坐标为：（﹣h，﹣k），且顶点在第
四象限，从而可得﹣h＞0，﹣k＜0，进而可得 h＜0，k＞0，然后根据一次函数 y＝kx+h 的性质即可解
答．
【解答】解：由题意得：二次函数 y＝a（x+h）2﹣k 的图象的顶点坐标为：（﹣h，﹣k），且顶点在第
四象限，
∴﹣h＞0，﹣k＜0，
∴h＜0，k＞0，
∴一次函数 y＝kx+h 的图象一定经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：C．
5．已知二次函数 y＝﹣（x﹣h）2+5（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对应的函
数值 y 的最大值为﹣4，则 h 的值为（ ）
A．﹣2 或 4 B．0 或 6 C．1 或 3 D．﹣2 或 6
【分析】利用分类讨论的方法可以求得 h 的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数 y＝﹣（x﹣h）2+5（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与
其对应的函数值 y 的最大值为﹣4，
∴当 h≤1 时，x＝1 时，函数取得最大值﹣4，
即﹣4＝﹣（1﹣h）2+5，解得 h1＝4（舍去），h2＝﹣2；
当 1＜h＜3 时，当 x＝h 时函数取得最大值 0 与题干中的函数值 y 的最大值为﹣4 矛盾，故此种情况不存
在；
当 h≥3 时，x＝3 时，函数取得最大值﹣4，
即﹣4＝﹣（3﹣h）2+5，解得 h3＝0（舍去），h4＝6；
由上可得，h 的值是﹣2 或 6，
故选：D．
6．二次函数 y＝a（x﹣t）2+3，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，则实数 a 和 t 满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
【分析】由二次函数的性质可确定出 a 的范围．
【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴为 x＝t，
∴a＜0，
∵当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴t≤1，
∴a＜0，t≤1．
故选：B．
7．同一坐标系中，抛物线 y＝（x﹣a）2 与直线 y＝ax+a 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和二次函数的性质即可判断的图象判断．
【解答】解：当 a＞0 时，抛物线 y＝（x﹣a）2 与开口向上，顶点在 x 轴的正半轴上，直线 y＝ax+a 的图
象经过第一、二、三象限；故 B 正确，C 错误；
当 a＜0 时，抛物线 y＝（x﹣a）2 与开口向上，顶点在 x 轴的负半轴上，直线 y＝ax+a 的图象经过第二、
三、四象限；故 A、D 错误；
故选：B．
8．将抛物线 y＝2（x+1）2﹣3 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位所得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x+4）2﹣4 B．y＝2（x+4）2﹣2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x﹣1）2﹣4
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y＝2（x+1）2﹣3 向右平移 2 个单位所得抛物线的
解析式为：y＝2（x+1﹣2）2﹣3．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y＝2（x+1﹣2）2﹣3 向上平移 1 个单位所得抛物线的解析式为：
y＝2（x+1﹣2）2﹣3+1，即 y＝2（x﹣1）2﹣2．
故选：C．
9．若二次函数 y＝﹣（x﹣3）2+m 的图象经过 A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则 y1，y2，
y3 的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】根据点距离对称轴越远函数值越小判断即可．
【解答】解：二次函数 y＝﹣（x﹣3）2+m 的图象开口向下，对称轴是直线 x＝3，根据点距离对称轴越
远函数值越小，
A（﹣3，y1）距离对称轴 6，
B（1，y2）距离对称轴 2，
C（4，y3）距离对称轴 1，
∵1＜2＜6，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
10．已知二次函数 y＝（x﹣m）2﹣1（m 为常数），如果当自变量 x 分别取﹣3，﹣1，1 时，所对应的 y 值
只有一个小于 0，则 m 的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】依据题意，根据题意得到（x﹣m）2﹣1＜0，即 ，解得 m﹣1＜x＜m+1，把 x 的值分
别代入即可求得．
【解答】解：由题意得 y＝（x﹣m）2﹣1＜0，
∴ ．
∴m﹣1＜x＜m+1，
当 x＝﹣3 时，则﹣4＜m＜﹣2，
当 x＝﹣1 时，则﹣2＜m＜0，
当 x＝1 时，则 0＜m＜2，
∴m 的取值范围是﹣4＜m＜2 且 m≠0，m≠﹣2．
故选：B．
11．已知二次函数 y＝（x﹣3）2+m，当 x ＜3 时，y 随 x 的增大而减小．
【分析】根据二次函数的顶点式，可知二次函数的顶点坐标是（3，m），且图象开口向上，由此即可求
解．
【解答】解：由题意得，二次函数的顶点坐标是（3，m），抛物线开口向上，
∴当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大；当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小，
故答案是：＜3．
12．抛物线 y＝﹣2（x﹣3）2+4 的顶点坐标是 （3，4） ．
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝﹣2（x﹣3）2+4 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
13．将 y＝2x2+1 的图象先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，则最终所得图象的函数表达式为 y＝2
（x﹣1）2﹣1 ．
【分析】依据题意，根据“上加下减，左加右减”的规律进而判断可以得解．
【解答】解：由题意，根据“上加下减，左加右减”的规律可得，
∵y＝2x2+1 的图象先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，
∴最终所得图象的函数表达式为 y＝2（x﹣1）2﹣1．
故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣1．
14．若点 A（0，y1），B（ ，y2），C（3，y3）在抛物线 y＝（x﹣1）2+k 上，则 y1，y2，y3 的大小关系为
y3＞y1＞y2． （用“＞”连接）．
【分析】根据对称轴是直线 x＝1，判断出 A，B，C 离对称轴的远近可得结论．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+k 的开口向上，且对称轴为 x＝1，
又∵点 C 离对称轴最远，点 B 离对称轴最近，
∴y3＞y1＞y2．
故答案为：y3＞y1＞y2．
15．已知 A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线 y＝﹣（x﹣h）2+2040 上的两点，则正数 n＝ 8 ．
【分析】根据函数图象上的点满足函数解析式列式求解即可得到答案．
【解答】解：∵A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线 y＝﹣（x﹣h）2+2040 上的两点，
∴﹣（m﹣h）2+2040＝2024，﹣（m+n﹣h）2+2040＝2024，
∴（m﹣h）2＝16，（m+n﹣h）2＝16，
∴m﹣h＝±4，m+n﹣h＝±4，
即： 或 ，
解得：n＝8 或 n＝﹣8，
∵n 取正数，
故：n＝8，
故答案为：8．
16．已知函数 是关于 x 的二次函数．
（1）求满足条件的 m 的值；
（2）m 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
【分析】（1）根据二次函数的定义得到 m+2≠0 且 m2+m﹣4＝2，进而可得到满足条件的 m 的值；
（2）根据二次函数的性质得到当 m＝﹣3 时，抛物线开口向下，函数有最大值，则 y＝﹣x2，然后根据
二次函数的性质确定最大值和增减性．
【解答】解：（1）根据题意得，m2+m﹣4＝2 且 m+2≠0，
解得 m＝2 或 m＝﹣3；
（2）当 m＝2 时，m+2＝4＞0，抛物线开口向上，该抛物线有最低点，
当 m＝﹣3 时，m+2＝﹣1＜0 抛物线开口向下，该抛物线有最高点．
此时抛物线解析式为 y＝﹣x2，则最高点坐标为（0，0），
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＜0 时，随 x 的增大而增大．
17．已知点 P（m，a）是抛物线 y＝a（x﹣1）2 上的点，且点 P 在第一象限内．
（1）求 m 的值；
（2）过 P 点作 PQ∥x 轴交抛物线 y＝a（x﹣1）2 于点 Q，若 a 的值为 3，试求 P 点，Q 点及原点 O 围成
的三角形的面积．
【分析】（1）将点 P 的坐标代入抛物线的解析式，从而可以求得 m 的值；
（2）首先将 a 的值代入得到二次函数的解析式，然后将点 P 的横坐标代入即可求得其纵坐标，然后根据
PQ∥x 轴得到点 Q 的纵坐标与点 P 的纵坐标相同，从而求得点 Q 的坐标，从而求得三角形的面积．
【解答】解：（1）∵点 P（m，a）是抛物线 y＝a（x﹣1）2 上的点，
∴a＝a（m﹣1）2，
解得：m＝2 或 m＝0，
∵点 P 在第一象限内，
∴m＝2；
（2）∵a 的值为 3，
∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2，
∵点 P 的横坐标为 2，
∴点 P 的纵坐标 y＝3（x﹣1）2＝3，
∴点 P 的坐标为（2，3），
∵PQ∥x 轴交抛物线 y＝a（x﹣1）2 于点 Q，
∴3＝3（x﹣1）2，
解得：x＝2 或 x＝0，
∴点 Q 的坐标为（0，3），
∴PQ＝2，
∴S△PQO＝ ×3×2＝3．
18．已知二次函数 y＝﹣x2+4x．
（1）用配方法把该函数化为 y＝a（x﹣h）2+k（其中 a、h、k 都是常数且 a≠0）的形式，并指出函数图
象的对称轴和顶点坐标；
（2）函数图象与 x 轴的交点坐标．
【分析】（1）先配方，得到二次函数的顶点坐标式，即可直接写出其对称轴和顶点坐标；
（2）令 y＝0，求出 x 的值，即可确定函数图象与 x 轴的交点坐标．
【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+4，
所以对称轴为：x＝2，顶点坐标：（2，4）．
（2）y＝0，﹣x2+4x＝0，即 x（x﹣4）＝0，所以 x1＝0，x2＝4，
所以图象与 x 轴的交点坐标为：（0，0）与（4，0）．
19．已知二次函数 y＝（x﹣3）2．
（1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值；
（2）若点 A（x1，y1），B（x2，y2）位于对称轴右侧的抛物线上，且 x1＜x2，试比较 y1 与 y2 的大小关
系；
（3）抛物线 y＝（x+7）2 可以由抛物线 y＝（x﹣3）2 平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果
不可以，请说明理由．
【分析】（1）依据题意，根据抛物线的性质可以判断得解；
（2）依据题意，由二次函数 y＝（x﹣3）2，当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大，再结合点 A（x1，y1），B
（x2，y2）位于对称轴右侧，且 x1＜x2，即可判断得解；
（3）依据题意，按照“左加右减，上加下减”的规律进行判断可以得解．
【解答】解：（1）由题意，∵二次函数 y＝（x﹣3）2，
∴该二次函数图象的开口向上，对称轴是直线 x＝3，顶点坐标为（3，0），该函数有最小值为 0．
（2）由题意，∵二次函数 y＝（x﹣3）2，
∴当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大．
∵点 A（x1，y1），B（x2，y2）位于对称轴右侧，且 x1＜x2，
∴y1＜y2．
（3）由题意，按照“左加右减，上加下减”的规律进行判断，
∵x﹣3+10＝x+7，
∴抛物线 y＝（x+7）2 可以由抛物线 y＝（x﹣3）2 向左平移 10 个单位得到．
20．已知抛物线 L1：y＝a（x﹣3）2﹣5 经过点（2，﹣4）．
（1）求 L1 的函数表达式及其顶点坐标；
（2）若点 A（m，y1）和 B（n，y2）在抛物线 L1 上，且 n﹣m＝4，y1＝y2．
①求 A，B 两点的坐标；
②将抛物线 L1 平移得到抛物线 L2：y＝a（x﹣3+k）2﹣5．当 m≤x≤n 时，抛物线 L2 的函数最大值为 p，
最小值为 q，若 p﹣q＝6，求 k 的值．
【分析】（1）把点（2，﹣4）代入解析式即可求得 a＝1，利用顶点式即可求得顶点坐标；
（2）①由抛物线的对称性得到 n+m＝6，结合 n﹣m＝4，即可求得 m＝1，n＝5，进一步即可求得 A、B
的坐标；
②分三种情况讨论，根据二次函数图象上点的坐标特征，表示出 p、q，由 p﹣q＝6，得到关于 k 的方程，
解方程即可．
【解答】解：（1）把点（2，﹣4）代入 y＝a（x﹣3）2﹣5 得，﹣4＝a（2﹣3）2﹣5，
解得 a＝1，
∴L 21 的函数表达式为 y＝（x﹣3） ﹣5，
∴顶点坐标为（3，﹣5）；
（2）①由 y1＝y2 可知 n+m＝6，
∴n﹣m＝4，
∴m＝1，n＝5，
∴A（1，﹣1）和 B（5，﹣1）；
②抛物线 L2：y＝（x﹣3+k）2﹣5 的对称轴为直线 x＝3﹣k，顶点为（3﹣k，﹣5），
由①得 1≤x≤5；
Ⅰ．当 3﹣k≤1，即 k≥2 时，x＝5 时，函数最大值为 p＝（k+2）2﹣5；x＝1 时，函数最小值为 q＝（k﹣
2）2﹣5，
∴p﹣q＝[（k+2）2﹣5]﹣[（k﹣2）2﹣5]＝8k＝6，
解得 k＝ ＜2（舍去）；
Ⅱ.3﹣k≥5，即 k≤﹣2 时，x＝1 时，函数最大值为 p＝（k﹣2）2﹣5；x＝5 时，函数最小值为 q＝
（k+2）2﹣5，
∴p﹣q＝[（k﹣2）2﹣5]﹣[（k+2）2﹣5]＝﹣8k＝6，
解得 k＝﹣ ＞﹣2（舍去）；
Ⅲ.1＜3﹣k＜5，即﹣2＜k＜2 时，x＝3﹣k 时，函数有最小值 q＝﹣5，
若 3﹣k﹣1≥5﹣（3﹣k），即﹣2＜k≤0 时，x＝1 时，函数由最大值 p＝（k﹣2）2﹣5，
∴p﹣q＝（k﹣2）2﹣5+5＝（k﹣2）2＝6，
解得 k1＝2+ （舍去），k2＝2﹣ ；
若 3﹣k﹣1≤5﹣（3﹣k），即 0＜k≤2 时，x＝5 时，函数由最大值 p＝（k+2）2﹣5，
∴p﹣q＝（k+2）2﹣5+5＝（k+2）2＝6，
解得 k1＝﹣2+ （舍去），k2＝﹣2﹣ （舍去）；
综上，k 的值为 2﹣ 或﹣2+ ．第 03 讲 二次函数 y a(x h)2 k 的图象与性质
课程标准 学习目标
2
①二次函数 y a x h 的图象与性质
2 1. 掌握 y a x h
2 2
、 y ax k 、 y a x h 2 k
②二次函数 y ax k 的图象与性质
的函数与性质 ，并能够利用三种函数的图象与性质进行解
③二次函数 y a x h 2 k 的图象与
题。
性质
知识点 01 y a x h 2 a 0 的图象与性质
1. y a x h 2的图象与性质：
由函数的平移可知：
①若 h＞0，可将 y ax2向 平移 个单位得到函数 y a x h 2。
②若 h＜0，可将 y ax2向 平移 2个单位得到函数 y a x h 。
y ax2 2由 的图象与性质可得到函数 y a x h 的图象与性质如下：
y a x h 2 a 0 a＞0 a＜0
h＜0 h＞0 h＜0 h＞0
（向左平移） （向右平移） （向左平移） （向右平移）
大致图象
开口方向
a 的绝对值越大，开口越
开口大小
a 的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
增减性 对称轴右边 y 随 x 的增大而 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 。
对称轴左边 y 随 x 的增大而 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 。
最值 函数轴最 值 函数轴最 值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练 1】
1．对于二次函数 y＝﹣2（x+3）2 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．当 x＞﹣4 时，y 随 x 的增大而减小
D．顶点坐标为（﹣2，﹣3）
【即学即练 2】
2．在平面直角坐标系中，函数 y＝﹣x+1 与 y＝﹣ （x﹣1）2 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
知识点 02 y ax2 k a 0 的图象与性质
1. y ax2 k a 0 的图象与性质：
由函数的平移可知：
2 2
①若 k＞0，可将 y ax 向 平移 个单位得到函数 y ax k 。
k＞0 y ax2②若 ，可将 向 平移 2个单位得到函数 y ax k 。
y ax2 2由 的图象与性质可得到函数 y ax k 的图象与性质如下：
y ax2 k a 0 a＞0 a＜0
k＜0 k＞0 k＜0 k＞0
（向下平移） （向上平移） （向下平移） （向上平移）
大致图象
开口方向
开口大小 a 的绝对值越大，开口越
a 的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
对称轴右边 y随 x的增大而 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 。
增减性
对称轴左边 y随 x的增大而 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 。
函数轴最 值 函数轴最 值
最值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练 1】
3．对于二次函数 y＝﹣2x2+3 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（0，3）
D．x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
【即学即练 2】
4．在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+b 与一次函数 y＝ax+b（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
知识点 03 y a x h 2 k 的图象与性质
1. y a x h 2 k 的图象与性质：
2由函数的平移可知，可将 y ax 先向 平移 个单位，再向 平移 个单
y a x h 2位得到函数 k 。由 y ax2 2的图象与性质可得到函数 y a x h k 的图象与性质如下：
y a x h 2 k a＞0 a＜0
开口方向
开口大小 a 的绝对值越大，开口越
a 的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
增减性 对称轴右边 y 随 x 的增大而 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 。
对称轴左边 y 随 x 的增大而 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 。
最值 函数轴最 值 函数轴最 值
这个值是 。 这个值是 。
【即学即练 1】
5．下列关于抛物线 y＝﹣（x+1）2+4 的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线 y＝﹣x2 相同
B．对称轴是直线 x＝﹣1
C．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1 时，y＞0
【即学即练 2】
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+b 与二次函数 y＝ax2+bx 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型 01 二次函数的基本性质
【典例 1】对于抛物线 y＝﹣ +3，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）
B．开口向上，顶点坐标（5，3）
C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）
D．开口向下，顶点坐标（5，3）
【变式 1】对于二次函数 y＝（x+3）2 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是直线 x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当 x＜﹣3 时，y 随 x 的增大而增大
【变式 2】二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2+6，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上
B．对称轴为直线 x＝3
C．顶点坐标为（﹣3，6）
D．当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小
【变式 3】对于二次函数 y＝﹣2（x﹣3）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的对称轴是直线 x＝﹣3
C．图象的顶点是（3，﹣1）
D．当 x＞3 时，y 随 x 的增大而增大
【变式 4】
下列关于抛物线 y＝﹣（x+1）2+4 的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线 y＝﹣x2 相同
B．对称轴是直线 x＝﹣1
C．当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1 时，y＞0
【变式 5】
对于抛物线 y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（ ）
A．对称轴是直线 x＝1
B．顶点坐标是（1，2）
C．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
D．当 x＝1 时，函数 y 的最小值为 2
题型 02 二次函数的图象问题
【典例 1】二次函数 y＝﹣（x+1）2+2 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 1】二次函数 y＝a（x+m）2+k 的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0
【变式 2】在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+2 与二次函数 y＝x2+a 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 3】在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+c 和二次函数 y＝ax2+c 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式 4】一次函数 y＝x+a 与二次函数 y＝ax2﹣a 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 5】二次函数 y＝a（x﹣2）2+c 与一次函数 y＝cx+a 在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
题型 03 二次函数图象上点的坐标特征
【典例 1】点 A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在抛物线 y＝（x﹣1）2+n 上．若 y1＜y2，则 m 的取值范围为
（ ）
A．m＞2 B． C．m＜1 D．
【变式 1】若 A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+k 的图象上，则
y1，y2，y3 的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【变式 2】已知二次函数 y＝（x﹣1）2+2 的自变量 x1，x2，x3 对应的函数值分别为 y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜
0，1＜x2＜2，x3＞3 时，y1，y2，y3 三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．不能确定
【变式 3】若 A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3）为二次函数 y＝（x﹣2）2+m 图象上的三点，则 y1，y2，
y3 的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1
【变式 4】抛物线 y＝ （x﹣1）2+c 经过（﹣2，y1），（0，y2），（ ，y3）三点，则 y1，y2，y3 的大小关系
正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
题型 04 二次函数的平移
【典例 1】将抛物线 y＝2（x+1）2﹣1 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线
的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x+3）2﹣2
【变式 1】将抛物线 y＝（x﹣2）2+1 先向左平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的
表达式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣1）2+2
C．y＝（x﹣4）2+2 D．y＝x2+2
【变式 2】将抛物线 y＝（x﹣1）2+4 先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度后，得到的抛物
线的关系式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣6 B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣3）2+9 D．y＝（x﹣3）2+7
【变式 3】抛物线 y＝﹣2（x﹣1）2﹣1 可由抛物线 y＝﹣2（x+2）2+3 平移得到，那么平移的步骤是（ ）
A．右移 3 个单位长度，再下移 4 个单位长度
B．右移 3 个单位长度，再上移 4 个单位长度
C．左移 3 个单位长度，再下移 4 个单位长度
D．左移 3 个单位长度，再上移 4 个单位长度
【变式 4】抛物线 y＝﹣2x2+1 通过变换可以得到抛物线 y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
B．先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
C．先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
D．先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
1．抛物线 y＝（x+1）2﹣4 的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
B．开口向下，顶点坐标为（1，4）
C．开口向上，顶点坐标为（1，4）
D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4）
2．对于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 x＝5
B．函数的最大值是 3
C．开口向下，顶点坐标（5，3）
D．当 x＞5 时，y 随 x 的增大而增大
3．对于抛物线 y＝3（x﹣2）2﹣1，下列说法正确的是（ ）
A．y 随 x 的增大而减小
B．当 x＝2 时，y 有最大值﹣1
C．若点 A（3，y1），B（1，y2）都在抛物线 y＝3（x﹣2）2﹣1 上，则 y1＞y2
D．经过第一、二、四象限
4．二次函数 y＝a（x+h）2﹣k 的图象如图所示，则一次函数 y＝kx+h 的图象一定不经过（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
5．已知二次函数 y＝﹣（x﹣h）2+5（h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x≤3 的情况下，与其对应的函数
值 y 的最大值为﹣4，则 h 的值为（ ）
A．﹣2 或 4 B．0 或 6 C．1 或 3 D．﹣2 或 6
6．二次函数 y＝a（x﹣t）2+3，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，则实数 a 和 t 满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
7．同一坐标系中，抛物线 y＝（x﹣a）2 与直线 y＝ax+a 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．将抛物线 y＝2（x+1）2﹣3 向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位所得到的抛物线解析式为（ ）
A．y＝2（x+4）2﹣4 B．y＝2（x+4）2﹣2
C．y＝2（x﹣1）2﹣2 D．y＝2（x﹣1）2﹣4
9．若二次函数 y＝﹣（x﹣3）2+m 的图象经过 A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则 y1，y2，y3
的大小关系正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
10．已知二次函数 y＝（x﹣m）2﹣1（m 为常数），如果当自变量 x 分别取﹣3，﹣1，1 时，所对应的 y 值只
有一个小于 0，则 m 的值可能是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
11．已知二次函数 y＝（x﹣3）2+m，当 x 时，y 随 x 的增大而减小．
12．抛物线 y＝﹣2（x﹣3）2+4 的顶点坐标是 ．
13．将 y＝2x2+1 的图象先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，则最终所得图象的函数表达式
为 ．
14．若点 A（0，y1），B（ ，y2），C（3，y 23）在抛物线 y＝（x﹣1） +k 上，则 y1，y2，y3 的大小关系为
（用“＞”连接）．
15．已知 A（m，2024），B（m+n，2024）是抛物线 y＝﹣（x﹣h）2+2040 上的两点，则正数 n＝ ．
16．已知函数 是关于 x 的二次函数．
（1）求满足条件的 m 的值；
（2）m 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
17．已知点 P（m，a）是抛物线 y＝a（x﹣1）2 上的点，且点 P 在第一象限内．
（1）求 m 的值；
（2）过 P 点作 PQ∥x 轴交抛物线 y＝a（x﹣1）2 于点 Q，若 a 的值为 3，试求 P 点，Q 点及原点 O 围成
的三角形的面积．
18．已知二次函数 y＝﹣x2+4x．
（1）用配方法把该函数化为 y＝a（x﹣h）2+k（其中 a、h、k 都是常数且 a≠0）的形式，并指出函数图
象的对称轴和顶点坐标；
（2）函数图象与 x 轴的交点坐标．
19．已知二次函数 y＝（x﹣3）2．
（1）写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值；
（2）若点 A（x1，y1），B（x2，y2）位于对称轴右侧的抛物线上，且 x1＜x2，试比较 y1 与 y2 的大小关系；
（3）抛物线 y＝（x+7）2 可以由抛物线 y＝（x﹣3）2 平移得到吗？如果可以，请写出平移的方法；如果
不可以，请说明理由．
20．已知抛物线 L1：y＝a（x﹣3）2﹣5 经过点（2，﹣4）．
（1）求 L1 的函数表达式及其顶点坐标；
（2）若点 A（m，y1）和 B（n，y2）在抛物线 L1 上，且 n﹣m＝4，y1＝y2．
①求 A，B 两点的坐标；
②将抛物线 L 21 平移得到抛物线 L2：y＝a（x﹣3+k） ﹣5．当 m≤x≤n 时，抛物线 L2 的函数最大值为 p，
最小值为 q，若 p﹣q＝6，求 k 的值．
