第 05 讲 根与系数的关系
课程标准 学习目标
1. 掌握根与系数的关系的基本式并能够熟练的进行求值。
①根与系数的关系 2. 掌握根与系数的拓展式，能够熟练对拓展式变形再利用基本式对其求
值。
知识点 01 根与系数的关系
1. 一元二次方程根与系数的关系：
2
由公式法可知，若一元二次方程的 b 4ac＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是
x b b
2 4ac b b2 4ac
1 与 x 。 2a 2 2a
b
①求 x1 x2 。a
c
②求 x1 x2 。a
2. 根与系数的关系的推广应用：
① x2 2 21 x2 x1 x2 2x1x2 ； x2x x2② 1 2 2 x1 x1x2 x1 x2 ；
1 1 x x x x x2 21 2 1 2 1 x2 x x 2 2x x ③ ； ④ 1 2 1 2 ；
x1 x2 x1x2 x2 x1 x1x2 x1x2
⑤ x1 x2 2 x21 x22 2x1x2 x1 x2 2 4x1x2 。
⑥ x1 p x 22 p x1x2 p x1 x2 p 。
【即学即练 1】
1．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣2x﹣6＝0 的两个实数根，则 x1+x2﹣x1x2 的值是 8 ．
【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算
即可．
【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x﹣6＝0 的两个实数根分别是 x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣6，
∴x1+x2﹣x1x2
＝2﹣（﹣6）
＝8，
故答案为：8．
【即学即练 2】
2．已知 x1，x 22 是方程 2x +3x﹣7＝0 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 x1+x2 和 x1x2，再利用整体思想即可解决问题．
【解答】解：∵x1，x2 是方程 2x2+3x﹣7＝0 的两个根，
∴ ， ，
∴ ＝ ＝ ＝
＝ ．
故选：B．
【即学即练 3】
3．若 a，b 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20
【分析】利用根与系数的关系求出 a+b 和 ab 的值，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为 a，b 是方程 的两个根，
所以 a+b＝ ，ab＝ ，
所以 ＝ ＝ ．
故选：C．
题型 01 根与系数的关系求基本式子
【典例 1】若 x1，x2 是方程 x2﹣5x+4＝0 的两根，则 x1 x2＝（ ）
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
【分析】根据根与系数的关系解决问题．
【解答】解：∵x 21，x2 是方程 x ﹣5x+4＝0 的两根，
∴x1 x2＝4，
故选：A．
【变式 1】已知 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x＝1 的两个根，则 x1+x1x2+x2 的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】把方程化为一般形式，利用根与系数的关系可求得 x1+x2 和 x1x2 的值代入即可求得答案．
【解答】解：把方程化为一般形式可得 x2﹣3x﹣1＝0，
∵x1，x2 是方程的两个根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
∴x1+x1x2+x2＝3+（﹣1）＝2，
故选：D．
【变式 2】若 x1，x2 是方程 x2﹣8x+7＝0 的两个根，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用根与系数关系求解．
【解答】解：∵x1，x2 是方程 x2﹣8x+7＝0 的两个根，
∴x1+x2＝8，x1x2＝7，
∴ ＝ ．
故选：A．
【变式 3】若 x1，x2 是一元二次方程 x2+x﹣3＝0 的两个实数根，则 2024﹣x1﹣x2 的值为（ ）
A．2025 B．2023 C． D．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到 x1+x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：∵x1，x2 是一元二次方程 x2+x﹣3＝0 的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣1，
∴2024﹣x1﹣x2
＝2024﹣（x1+x2）
＝2024﹣（﹣1）
＝2024+1
＝2025，
故选：A．
【变式 4】若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为 p，两根之积为 q，则关于 y 的方程 a（y﹣
2）2+b（y﹣2）+c＝0 的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4
【分析】根据关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为 p，两根之积为 q，可以得到关于 y 的方
程 a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0 的根符合（y1﹣2）+（y2﹣2）＝p，（y1﹣2）（y2﹣2）＝q，然后整理化
简，即可解答本题．
【解答】解：设关于 y 的方程 a（y﹣2）2+b（y﹣2）+c＝0 的两根分别为 y1，y2，
∵关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为 p，两根之积为 q，
∴x1+x2＝p，x1x2＝q，
∴（y1﹣2）+（y2﹣2）＝p，（y1﹣2）（y2﹣2）＝q，
化简，得：y1+y2＝p+4，y1y2﹣2（y1+y2）+4＝q，
整理可得，y1y2＝2p+q+4，
故选：A．
题型 02 利用基本式子求拓展式子的值
【典例 1】设 x1，x 22 是一元二次方程 x ﹣4x﹣11＝0 的两个根，则 ＝（ ）
A．﹣11 B．4 C．16 D．38
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵x1，x2 是一元二次方程 x2﹣4x﹣11＝0 的两个根，
∴x1+x2＝4，x1 x2＝﹣11，
∴ ；
故选：D．
【变式 1】一元二次方程 x2+2x﹣1＝0 的两根为 x1，x2，则 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后直接代入所求代数式进
行计算即可．
【解答】解：∵一元二次方程 x2+2x﹣1＝0 的两根为 x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1，
∴ ＝xx2（x1+x2）＝﹣1×（﹣2）＝2．
故选：A．
【变式 2】已知 α 和 β 是一元二次方程 x2﹣6x+5＝0 的两个实数根，则 ＝（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可．
【解答】解：a＝1，b＝﹣6，c＝5，
∵α 和 β 是一元二次方程 x2﹣6x+5＝0 的两个实数根，
α+β＝6，αβ＝5，
∴ ＝ ＝ ，
故选：D．
【变式 3】已知 α，β 是一元二次方程 x2+2x﹣9＝0 的两根，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先利用根与系数的关系得 α+β＝﹣2，αβ＝﹣9，再利用通分和完全平方公式变形得到 ＝
＝ ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得 α+β＝﹣2，αβ＝﹣9，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝﹣ ．
故选：A．
【变式 4】若 x1，x2 是方程 2x+4＝x2 的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】利用根与系数的关系即可得到 x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，代入（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1
求解即可．
【解答】解：原方程整理得 x2﹣2x﹣4＝0，
∵x 21，x2 是方程 2x+4＝x 的两个根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，
∴（x1+1）（x2+1）
＝x1x2+（x1+x2）+1
＝﹣4+2+1
＝﹣1．
故选：A．
【变式 5】设 x ，x 是方程 x21 2 ﹣3x+1＝0 的两根，则 + ＝（ ）
A． B． C．3 D．5
【分析】先求出（ + ）2，再求其算术平方根即可．
【解答】解：∵x 21，x2 是方程 x ﹣3x+1＝0 的两根，
∴x1+x2＝3，x1 x2＝1，
而（ + ）2＝x1+x2+2 ＝3+2＝5，
且 ≥0， ≥0 故 + ≥0，
∴ + ＝ ，
故选：B．
【变式 6】若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0 的两个实数根分别为 α，β，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．±2024
【分析】判断出 α+β＝2024，αβ＝1，再利用整体代入的思想解决问题．
【解答】解：∵一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0 的两个实数根分别为 α，β，
∴α+β＝2024，αβ＝1，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
题型 03 利用根与系数的关系求代数式的值
【典例 1】已知 m，n 是一元二次方程 x2+x﹣6＝0 的两个实数根，则代数式 m2﹣n 的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据一元二次方程根的定义得到 m2＝6﹣m，再利用根与系数的关系得到 m+n＝﹣1，然后利用
整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m，n 是一元二次方程 x2+x﹣6＝0 的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m﹣6＝0，
∴m2＝6﹣m，
∴m2﹣n
＝6﹣m﹣n
＝6﹣（m+n）
＝6+1
＝7．
故选：D．
【变式 1】设 a，b 是方程 x2+x﹣2021＝0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到 a2＝﹣a+2021，利用降次的方法得到 a2+2a+b＝a+b+2021，
再根据根与系数的关系得到 a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a 是方程 x2+x﹣2021＝0 的实数根，
∴a2+a﹣2021＝0，
∴a2＝﹣a+2021，
∴a2+2a+b＝﹣a+2021+2a+b＝a+b+2021，
∵a，b 是方程 x2+x﹣2021＝0 的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝﹣1+2021＝2020．
故选：B．
【变式 2】若 m，n 为方程 x2+2x﹣2016＝0 的两个实数根，则 m2+3m+n＝（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【分析】先根据一元二次方程的定义得到 m2＝2016﹣2m，则 m2+3m+n 可化为 2016+m+n，再根据根用途
系数的关系得到 m+n＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：m 为方程 x2+2x﹣2016＝0 的实数根，
∴m2+2m﹣2016＝0，
即 m2＝2016﹣2m，
∴m2+3m+n＝2016﹣2m+3m+n＝2016+m+n，
∵m，n 为方程 x2+2x﹣2016＝0 的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+3m+n＝2016﹣2＝2014．
故选：A．
【变式 3】如果 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣x﹣3＝0 的两个不相等的实数根，那么代数式 2n2﹣
mn+2m+2021 的值为（ ）
A．2021 B．2032 C．2022 D．2030
【分析】先由根与系数的关系得：m+n＝1，mn＝﹣3，因为 n 是方程 x2﹣x﹣3＝0 的根，所以 n2﹣n﹣3＝
0，则 n2＝n+3，最后整体代入可得结论．
【解答】解：∵m，n 是一元二次方程 x2﹣x﹣3＝0 的两个不相等的实数根，
∴m+n＝1，mn＝﹣3，n2﹣n﹣3＝0，
∴n2＝n+3，
∴2n2﹣mn+2m+2021
＝2n+6+3+2m+2021
＝2（m+n）+9+2021
＝2+9+2021
＝2032．
故选：B．
【变式 4】m，n 是方程 x2﹣2023x+2024＝0 的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的
值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到 m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，再由根与系数的
关系得到 mn＝2024，进而得到 m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，据此代值计算即可．
【解答】解：∵m，n 是方程 x2﹣2023x+2024＝0 的两根，
∴m2﹣2023m+2024＝0，n2﹣2023n+2024＝0，mn＝2024，
∴m2﹣2022m＝m﹣2024，n2﹣2022n＝n﹣2024，
∴（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）
＝（m﹣2024+2024）（n﹣2024+2024）
＝mn
＝2024，
故选：C．
题型 04 利用根与系数满足的关系式求未知字母
【典例 1】已知一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 的两个实数根为 x1，x2，若 x1x2+3x1+3x2＝1，则实数 k 的值为
（ ）
A． B．﹣8 C．﹣10 D．10
【分析】根据根与系数的关系，得到 x1+x2＝3，x1x2＝k，整体代入等式中，求出实数 k 的值即可．
【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 的两个实数根为 x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝k，
∵x1x2+3x1+3x2＝1，
∴x1x2+3（x1+x2）＝k+3×3＝1，
∴k＝﹣8，
故选：B．
【变式 1】设 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0 的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）
＝8，则 m 的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 或﹣1 D．1 或﹣3
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出 x1+x2 与 x1 x2 的值，再代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵x ，x 是关于 x 的一元二次方程 x21 2 ﹣2（m+1）x+m2+2＝0 的两个实数根，
∴x1+x2＝2（m+1），x1 x2＝m2+2，
∵（x1+1）（x2+1）＝8，
∴x1 x2+x1+x2+1＝8，即 x1 x2+（x1+x2）﹣7＝0，
∴m2+2+2（m+1）﹣7＝0，
∴（m﹣1）（m+3）＝0，
解得 m1＝1，m2＝﹣3．
检验：当 m＝1 时，原方程可化为 x2﹣4x+3＝0，
∵Δ＝16﹣4×1×3＝16﹣12＝4＞0，
∴方程有实数根，符合题意；
当 m＝﹣3 时，原方程可化为 x2+4x+11＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×11＝16﹣44＝﹣28＜0，
∴方程无实数根，不符合题意．
故选：A．
【变式 2】若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+p＝0 两根为 x1、x2，且 + ＝3，则 p 的值为（ ）
A． B． C．﹣6 D．6
【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，再结合所给的条件从而要求解．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+p＝0 两根为 x1、x2，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p，
∵ + ＝3，
∴ ，
即 ，
解得：p＝﹣ ．
故选：A．
【变式 3】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2kx+k2+k＝0 的两个实数根分别为 x1、x2，且 + ＝4，则 k
的值是（ ）
A．﹣1 或﹣2 B．﹣1 或 2 C．2 D．﹣1
【分析】由一元二次方程 x2﹣2kx+k2+k＝0 的两个实数根分别为 x1、x2，可得 x1+x2＝2k，x 21 x2＝k +k，
即可得（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，解得 k＝2 或 k＝﹣1，再检验根的判别式是否大于 0 即可得到答案．
【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2kx+k2+k＝0 的两个实数根分别为 x1、x2，
∴x 21+x2＝2k，x1 x2＝k +k，
∵ + ＝4，
∴（x1+x 22） ﹣2x1x2＝4，
∴（2k）2﹣2×（k2+k）＝4，
解得 k＝2 或 k＝﹣1，
当 k＝2 时，一元二次方程为 x2﹣4x+6＝0，此时Δ＝（﹣4）2﹣24＝﹣8＜0，原方程无实数解，这种情
况不存在，舍去；
当 k＝﹣1 时，一元二次方程为 x2+2x＝0，此时Δ＝22＞0，符合题意；
∴k 的值是﹣1；
故选：D．
【变式 4】已知关于 x 的方程 3x2﹣5x+k＝0 的两根分别为 x1 和 x2，若 6x1+x2＝0，则 k 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，再由 6x1+x2＝0 可求出 x1，进而得出 x2，最后用 k 表示出
两根之积即可解决问题．
【解答】解：因为关于 x 的方程 3x2﹣5x+k＝0 的两根分别为 x1 和 x2，
所以 ， ；
又因为 6x1+x2＝0，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
解得 k＝﹣2．
故选：A．
【变式 5】已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0 有两个实数根 x1 和 x2，且|x1|＝|x2|，m 的
值为（ ）
A．﹣1 或 1 B．﹣1 或 0 C．﹣1 D．1
【分析】由|x1|＝|x2|知 x1＝x2 或 x1+x2＝0，当 x1＝x2 时，（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，当 x1+x2＝0 时，
2﹣2m＝0，解方程可得答案．
【解答】解：∵|x1|＝|x2|，
∴x1＝x2 或 x1+x2＝0，
当 x1＝x2 时，Δ＝0，即（2m﹣2）2﹣4（m2﹣m）＝0，
解得 m＝1；
当 x1+x2＝0 时，2﹣2m＝0，
解得 m＝1，
综上所述，m 的值为 1；
故选：D．
题型 05 根与系数的关系求方程的另一个根
【典例 1】已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+3＝0 的一个根是 1，则方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4
【分析】设方程的一个根 x1＝1，另一个根为 x2，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：设方程的一个根 x1＝1，另一个根为 x2，根据题意得：
x1×x2＝3，
将 x1＝1 代入，得 x2＝3．
故选：C．
【变式 1】已知关于 x 的方程 3x2﹣（k﹣1）x+2＝0 的一个根是 1，则另一个根是 ．
【分析】设关于 x 的方程 3x2﹣（k﹣1）x+2＝0 的两根分别为 1 和 a，然后根据根与系数的关系列关于 a
的方程求解即可．
【解答】解：设关于 x 的方程 3x2﹣（k﹣1）x+2＝0 的两根分别为 1 和 a，
则有： ，即： ．
故答案为： ．
【变式 2】若关于 x 的方程 x2﹣mx﹣6＝0 的一个根是﹣2，则另一个根和 m 的值分别为（ ）
A．2、﹣3 B．﹣2、3 C．﹣3、﹣1 D．3、1
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将 x＝﹣2 代入关于 x 的一元二次方程 x2﹣mx﹣6＝0，求得 m
的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为 x＝p．
∵关于 x 的方程 x2﹣mx﹣6＝0 的一个根是﹣2，
∴x＝﹣2 满足关于 x 的方程 x2﹣mx﹣6＝0，
∴4+2m﹣6＝0，
解得 m＝1，
又由根与系数的关系知：﹣2p＝﹣6，
解得 p＝3，
故另一个根和 m 的值分别为 3，1．
故选：D．
【变式 3】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．
（1）求证：无论 k 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知 5 是此方程 x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0 的一个根，求 k 的值和这个方程的另一个根．
【分析】（1）根据根的判别式，即可得出Δ＝k2+8＞0，由此可证出不论 k 取何值，方程必有两个不相等
的实数根；
（2）把 x＝5 代入方程可求得 k 的值，再解方程可求得另一根．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（k+2），c＝k﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2+8
无论 k 取何值，k2≥0，
则 k2+8＞0，
∴不论 k 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：把 x＝5 代入方程可得 25﹣5（k+2）+k﹣1＝0，
解得 k＝ ，
当 k＝ 时，原方程为 x2﹣ x+ ＝0，
解得 x1＝ ，x2＝5，
即方程的另一根为 ．
题型 06 根与系数与根的判别式
【典例 1】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣1＝0．
（1）求证：m 取任意实数，该方程总有两个实数根；
（2）设该方程的两根分别为 x1，x2，且满足 x1+x2＝3x1x2，求 m 的值．
【分析】（1）根据题意求出△的值，判断出△的符号即可；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后将其代入 x1+x2＝3x1x2 列出关于 m 的方
程，并解方程即可．
【解答】（1）证明：在关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣1＝0 中，a＝1，b＝﹣2m，c＝2m﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×（2m﹣1）＝4m2﹣8m+4＝4（m﹣1）2．
∵无论 m 为任何实数，（m﹣1）2≥0，
∴4（m﹣1）2≥0．
∴无论 m 为任何实数，该方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣1＝0 的两根分别为 x1，x2，
∴x1+x2＝2m，x1 x2＝2m﹣1．
∵x1+x2＝3x1x2，
∴2m＝3（2m﹣1）．
解得 m＝ ．
即 m 的值为 ．
【变式 1】已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 x1，x2 是原方程的两根，且 ，求 m 的值．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案；
（2）先由根与系数的关系得到 x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1，进而由完全平方公式的变形得到（﹣m﹣3）
2﹣4（m+1）﹣20＝0，解方程即可得到答案．
【解答】（1）证明：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×1 （m+1）
＝m2+2m+5
＝（m+1）2+4＞0，
∴无论 m 取何值时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2 是原方程的两根，
∴x1+x2＝﹣m﹣3，x1x2＝m+1，
∵ ，
∴ ，
∴（﹣m﹣3）2﹣4（m+1）﹣20＝0，
∴m2+2m﹣15＝0，
解得：m＝3 或 m＝﹣5．
【变式 2】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论 m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为 a，b，求（a﹣b）2 的值．
【分析】（1）用 m 表示出根的判别式即可解决问题．
（2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】（1）证明：由题知，
Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1＞0，
所以无论 m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：因为方程的两个实数根为 a，b，
所以 a+b＝ ，ab＝ ，
所以（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m＝1．
【变式 3】如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根 x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，那么称
这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程 x2+2x＝0 的两个根是 x1＝0，x2＝﹣2，|0﹣（﹣2）|＝
2，方程 x2+2x＝0 是“伴根方程”．
（1）判断方程 x2+8x+15＝0 是否为“伴根方程”；
（2）已知关于 x 的方程 x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m 是常数）是“伴根方程”，求 m 的值．
【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断；
（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到 x1＝m，x2＝﹣1，再根据“伴根方程”的定义得到|m+1|＝
2，然后解关于 m 的方程即可．
【解答】解：（1）解方程 x2+8x+15＝0 得 x1＝﹣3，x2＝﹣5，
∵|﹣3﹣（﹣5）|＝2，
∴方程是“伴根方程”；
（2）∵x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
∴（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x﹣m＝0 或 x+1＝0，
∴x1＝m，x2＝﹣1，
∵方程 x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m 是常数）是“伴根方程”，
∴|m+1|＝2，
∴m＝1 或 m＝﹣3．
1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的
两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2 和﹣5．则原来
的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0
C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0
【分析】设原来的方程为 ax2+bx+c＝0（a≠0），再利用根与系数的关系得出关于 a，b 及 a，c 之间的关
系式即可解决问题．
【解答】解：设原来的方程为 ax2+bx+c＝0（a≠0），
由题知，
， ，
所以 b＝﹣7a，c＝10a，
所以原来的方程为 ax2﹣7ax+10a＝0，
则 x2﹣7x+10＝0．
故选：B．
2．已知 m，n 是方程 x2+4x﹣3＝0 的两个实数根，则 m2+5m+n+2024 的值是（ ）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
【分析】利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出 m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，将其代入
原式中即可求出结论．
【解答】解：∵m，n 是方程 x2+4x﹣3＝0 的两个实数根，
∴m2+4m﹣3＝0，m+n＝﹣4，
∴m2+4m＝3，
∴m2+5m+n+2024
＝m2+4m+m+n+2024
＝3﹣4+2024
＝2023．
故选：A．
3．关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0 的两个根为 x1，x2，且 x1＝2x2，则 m﹣x1+x2 的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【分析】根据一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根与系数的关系：若方程两根为 x1，x2，则 x1+x2＝﹣ 求出
两根及 m 值，代入计算即可得到答案．
【解答】解：∵x2+3x﹣m＝0 的两根为 x1，x2，
∴x1+x2＝﹣ ＝﹣3．x1 x2＝﹣m，
∵x1＝2x2，
∴x2＝﹣1，x1＝﹣2，
∴x1 x2＝2＝﹣m，
∴m＝﹣2．
∴m﹣x1+x2＝﹣2﹣（﹣2）+（﹣1）＝﹣1．
故选：B．
4．若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x 的一元二次方程 x2﹣14x+m＝0 的两个实数根，且其面积为 20，
则该菱形两对角线长分别为（ ）
A．3 与 11 B．4 与 10 C．2 与 10 D．5 与 8
【分析】先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再求出
方程的解即可．
【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为 a、b，
∵菱形的面积＝两条对角线积的一半，
∴ ab＝20 即 ab＝40，
∴m＝40，
∴原方程可化为 x2﹣14x+40＝0，
（x﹣4）（x﹣10）＝0，
解得 x1＝4，x2＝10，
∴该菱形两对角线长分别为 4 和 10．
故选：B．
5．已知 m，n 是一元二次方程 x2+3x+2＝0 的两根，则 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】先解方程可得 x1＝﹣1，x2＝﹣2，再由 ，从而可得答案．
【解答】解：∵m，n 是一元二次方程 x2+3x+2＝0 的两根，
∴（x+1）（x+2）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣2，
∴m＜0，n＜0，
∴ ，
故选：D．
6． ABCD 中，AB，BC 的长分别等于一元二次方程 x2﹣5x+6＝0 两根之和与两根之积，则对角线 AC 长的
取值范围是（ ）
A．AC＞1 B．1＜AC＜6
C．AC＞5 或 AC＜11 D．1＜AC＜11
【分析】先根据根与系数的关系得到 AB＝5，BC＝6，然后利用三角形三边关系求解．
【解答】解：∵AB，BC 的长分别等于一元二次方程 x2﹣5x+6＝0 两根之和与两根之积，
∴AB＝5，BC＝6，
∴对角线 AC 长的取值范围是 1＜AC＜11．
故选：D．
7．平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 的两个实数根．若 AB 的长为
2，那么平行四边形 ABCD 的周长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】将 x＝2 代入原方程，可求出 m 的值，进而可得出原方程为 x2﹣ x+1＝0，利用根与系数的关
系，可求出 AB+AD 的长，再利用平行四边形的周长计算公式，即可求出 ABCD 的周长．
【解答】解：把 x＝2 代入原方程得，4﹣2m+ ﹣ ＝0，
解得：m＝ ，
∴原方程为 x2﹣ x+1＝0，
∴AB+AD＝ ，
∴ ABCD 的周长是 2（AB+AD）＝2× ＝5．
故选：C．
8．若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为 p，两根之积为 q，则关于 y 的方程 a（y﹣1）2+b
（y﹣1）+c＝0 的两根之积是（ ）
A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1
【分析】把方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 看作关于 y﹣1 的一元二次方程，则利用关于 x 的方程 ax2+bx+c
＝0（a≠0）的两根为 x1，x2 得到 y1＝x1+1，y2＝x2+1，然后利用根与系数的关系得到结论．
【解答】解：把方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 看作关于 y+1 的一元二次方程，
设关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为 x1，x2，
则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根为 y1＝x1+1，y2＝x2+1，
∵关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为 p，两根之积为 q，
∴x1+x2＝p，x1x2＝q，
∴y1y2＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝p+q+1．
故选：A．
9．已知关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+k2x+1＝0 有两个实数根 x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝2，则
k 的值是（ ）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝﹣2 D．k＝1 或 k＝﹣2
【分析】先根据根与系数的关系得到 x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ，再利用（x1+1）（x2+1）＝2 得到﹣
+ +1＝2，然后解分式方程、检验得到 k 的值．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0 的两根为 x1，x2，
∴x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ，
∵（x1+1）（x2+1）＝2，
∴（x1+x2）+x1x2+1＝2，
即﹣ + +1＝2，
化为整数方程为 k2+k﹣2＝0，
解得 k1＝﹣2，k2＝1，
经检验，k1＝﹣2 是方程的解，
∴k＝﹣2．
故选：C．
10．若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（其中 a≠0）的解是 x1＝4，x2＝﹣6，且 m 满足
，则 的值是（ ）
A．2 或﹣8 B．3 或﹣5 C．2 D．﹣8
【分析】根据一元二次方程解的定义，求出 m 的值即可．
【解答】解：由题意 +1＝4 或 +1＝﹣6，
解得 m＝9，
∴ ﹣1＝3﹣1＝2．
故选：C．
11．已知﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x2+kx﹣6＝0 的一个根，则这个方程的另一个根为 3 ．
【分析】设另一个根为 x＝m，则根据根与系数的关系得﹣2m＝﹣6，求出即可．
【解答】解：设另一个根为 x＝m，则﹣2m＝﹣6，
解得：m＝3，
所以，另一个根为 3．
故答案为：3．
12．关于 x 的方程 x2+mx﹣2n＝0 的两根之和为﹣4，两根之积为 3，则 m+n 的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系 x1+x2＝﹣ ，x1 x2＝ 得出﹣m＝﹣4，﹣2n＝3，求出 m 与 n 的值，然后
计算即可得出答案．
【解答】解：∵方程 x2+mx﹣2n＝0 的两根之和为﹣4，两根之积为 3，
∴﹣m＝﹣4，﹣2n＝3，
∴m＝4，n＝﹣ ，
∴m+n＝4﹣ ＝ ，
故答案为： ．
13．关于 x 的一元二次方程 2x2+4mx+m＝0 有两个不同的实数根 x1，x2，且 + ＝ ，则 m＝ ﹣
．
【分析】根据根与系数的关系得到 x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝ ，再由 + ＝ 变形得到（x1+x2）2﹣2x1x2
＝ ，即可得到（8m﹣3）（8m+1）＝0，然后解此方程代入根的判别式后取舍即可．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 2x2+4mx+m＝0 有两个不同的实数根 x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2m，x1 x2＝ ，
∵Δ＝b2﹣4ac
＝（4m）2﹣4×2m，
＝16m2﹣8m，
∵ + ＝ ，
∴（x1+x ）22 ﹣2x1x2＝ ，
∴4m2﹣2× ＝ ，
（8m﹣3）（8m+1）＝0，
解得：m1＝ ，m2＝﹣ ，
当 m1＝ 时，Δ＝16× ﹣8× ＝ ﹣3＜0，不符合题意，舍去；
当 m2＝﹣ 时，Δ＝16× ﹣8×（﹣ ）＝ ＞0，符合题意；
综上，m＝﹣ ．
故答案为：﹣ ．
14．设 a，b 是方程 x2+x﹣2023＝0 的两个不相等的实数根，则 a2+2a+b 的值为 2022 ．
【分析】由一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出 a2+a＝2023、a+b＝﹣1，将其代入 a2+2a+b＝
a2+a+（a+b）中，即可求出结论．
【解答】解：∵a，b 是方程 x2+x﹣2023＝0 的两个不相等的实数根，
∴a2+a＝2023，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝a2+a+（a+b）＝2023﹣1＝2022．
故答案为：2022．
15．对于任意实数 a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如 3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若 m，
n 是方程（x+2）*3＝0 的两根，则 + 的值为 ．
【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得 m+n＝﹣10，mn＝7，再结合
分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0 即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得 x2+10x+7＝0，
∵m，n 是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴ + ＝ ＝ ，
故答案为： ．
16．已知关于 x 的一元二次方程 x2+9x+20﹣2k2＝0．
（1）求证：对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 1，求 k 的值及方程的另一个根．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）将 x＝1 代入原方程可求出 k 的值，利用一元二次方程根与系数的关系可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝92﹣4（20﹣2k2）＝8k2+1≥1＞0，
∴对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将 x＝1 代入原方程得，
1+9+20﹣2k2＝0，
解得 k＝ ．
令方程的另一个根为 m，
则 m+1＝﹣9，
解得 m＝﹣10，
所以方程的另一个根为﹣10．
17．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论 m 取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为 x1，x2，且满足 + ﹣x1x2＝19，求 m 的值．
【分析】（1）利用根的判别式求出关于 m 的代数式，整理成非负数的形式即可判定 b2﹣4ac≥0；
（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把 + ﹣x1x2＝19，转换为（x1+x2）
2﹣3x1x2＝19，然后利用前面的等式即可得到关于 m 的方程，解方程即可求出结果．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣（m+3）]2﹣12m
＝m2+6m+9﹣12m
＝m2﹣6m+9
＝（m﹣3）2；
又∵（m﹣3）2≥0，
∴b2﹣4ac≥0，
∴无论 m 取任何实数，方程总有实数根；
（2）解：∵x1+x2＝m+3，x1 x2＝3m， + ﹣x1x2＝19，
∴（x1+x 22） ﹣3x1x2＝19，
∴（m+3）2﹣3×3m＝19，
整理得 m2﹣3m﹣10＝0，
解得 m＝5 或 m＝﹣2，
故 m 的值为 5 或﹣2．
18．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC 两边长 a，b 分别为该方程的两个实数根，且第三边长 c＝3，若△ABC 的周长为偶数，
求 m 的值．
【分析】（1）由根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，再结合三角形的三边关系进行求解即可．
【解答】证明：（1）Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（2m﹣10）
＝﹣m﹣14m+4y
＝（m﹣7）2，
∵无论 m 为何实数，（m﹣7）≥0，即△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意得：a+b＝m﹣3，ab＝2m﹣10，
设 a＞b，则： ，
据题意得：a﹣b＞3，则有：|m﹣7|＞3，
解得：6＜m＜10，
∵△ABC 的周长：a+b+c＝m﹣3+3＝m，
∵周长 m 为偶数，
∴m＝8．
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣px+1＝0（p 为常数）有两个不相等的实数根 x1 和 x2．
（1）填空：x1+x2＝ p ，x1x2＝ 1 ；
（2）求 + ，x1+ ；
（3）已知 + ＝2p+1，求 p 的值．
【分析】（1）由根与系数的关系直接可得答案；
（2）把所求式子变形后，结合（1）代入即可；
（3）把已知变形后代入可得 p 的方程，解出 p 值后再检验即可．
【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
故答案为：p，1；
（2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1，
∴ + ＝ ＝ ＝p；
∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣px+1＝0（p 为常数）有两个不相等的实数根 x1 和 x2，
∴ ，
∴ ，即 ；
（3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1，
∵ ，
∴ ，
∴p2﹣2＝2p+1，
解得：p1＝3，p2＝﹣1，
当 p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0；
当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0；
∴p＝3．
20．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图 1，图 2 中阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图 1： （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；图 2： （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
【例题解析】：如图 3，已知 a+b＝3，ab＝1，求 a2+b2 的值．
方法一：从“数”的角度解：
∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9；
又∵ab＝1，∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度解：
∵a+b＝3，∴S 大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S 大正方形﹣S2﹣S ＝9﹣1﹣1＝7．即 a2+b23 ＝7．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解
决很多数学问题．
【类比迁移】：
（2）若（3﹣x）（x+1）＝3，则（3﹣x）2+（x+1）2＝ 10 ．
（3）如图 4，点 C 是线段 AB 上的一点，以 AC，BC 为边向两边作正方形，设 AB＝7，两正方形的面积
和 S1+S2＝29，求图中阴影部分面积．
【分析】（1）用两种方法分别表示图形中阴影部分的面积，可得答案；
（2）设 3﹣x＝m，x+1＝n，则 m+n＝4，mn＝（3﹣x） （x+1）＝3，根据 m2+n2＝（m+n）2﹣2mn 求出
m2+n2 即可；
（3）设 AC＝p，BC＝q，则 p+q＝AC+BC＝AB＝10，p2+q2＝S1+S2＝72，根据（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，
求出 pq 即可．
【解答】解：（1）图 1 是边长为（a+b）的正方形，因此面积为（a+b）2，图 1 也可以看作是四个部分的
面积和，即 a2+2ab+b2，因此（a+b）2＝a2+2ab+b2；
图 2 是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，所以面积为（a+b）（a﹣b），如图阴影部分的面积是两个正
方形的面积差，即 a2﹣b2，因此（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（2）设 3﹣x＝m，x+1＝n，则 m+n＝4，mn＝（3﹣x） （x+1）＝3，
所以（3﹣x）2+（x+1）2
＝m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝16﹣6
＝10；
故答案为：10；
（3）设 AC＝p，BC＝q，则 p+q＝AC+BC＝AB＝7，p2+q2＝S1+S2＝29，
∵（p+q）2﹣2pq＝p2+q2，即 49﹣2pq＝29，
∴2pq＝49﹣29＝20，
∴ pq＝5，
即阴影部分的面积为 5．第 05 讲 根与系数的关系
课程标准 学习目标
1. 掌握根与系数的关系的基本式并能够熟练的进行求值。
①根与系数的关系 2. 掌握根与系数的拓展式，能够熟练对拓展式变形再利用基本式对其求
值。
知识点 01 根与系数的关系
1. 一元二次方程根与系数的关系：
2
由公式法可知，若一元二次方程的 b 4ac＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是
与 。
①求 x1 x2 。
②求 x1 x2 。
2. 根与系数的关系的推广应用：
2 2① x1 x2 ；
2 2
② x1 x2 x2 x1 ；
1 1 x x
③ ； ④ 1 2 ；
x1 x2 x2 x1
⑤ x1 x2 2 。
⑥ x1 p x2 p 。
【即学即练 1】
1．已知 x 21，x2 是一元二次方程 x ﹣2x﹣6＝0 的两个实数根，则 x1+x2﹣x1x2 的值是 ．
【即学即练 2】
2．已知 x1，x 22 是方程 2x +3x﹣7＝0 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练 3】
3．若 a，b 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20
题型 01 根与系数的关系求基本式子
【典例 1】若 x1，x2 是方程 x2﹣5x+4＝0 的两根，则 x1 x2＝（ ）
A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5
【变式 1】已知 x1，x 22 是一元二次方程 x ﹣3x＝1 的两个根，则 x1+x1x2+x2 的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【变式 2】若 x1，x2 是方程 x2﹣8x+7＝0 的两个根，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【变式 3】若 x1，x2 是一元二次方程 x2+x﹣3＝0 的两个实数根，则 2024﹣x1﹣x2 的值为（ ）
A．2025 B．2023 C． D．
【变式 4】若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为 p，两根之积为 q，则关于 y 的方程 a（y﹣
2）2+b（y﹣2）+c＝0 的两根之积是（ ）
A．2p+q+4 B．2p﹣q+4 C．q﹣2p+4 D．q﹣2p﹣4
题型 02 利用基本式子求拓展式子的值
【典例 1】设 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣4x﹣11＝0 的两个根，则 ＝（ ）
A．﹣11 B．4 C．16 D．38
【变式 1】一元二次方程 x2+2x﹣1＝0 的两根为 x1，x2，则 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【变式 2】已知 α 和 β 是一元二次方程 x2﹣6x+5＝0 的两个实数根，则 ＝（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．
【变式 3】已知 α，β 是一元二次方程 x2+2x﹣9＝0 的两根，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式 4】若 x1，x2 是方程 2x+4＝x2 的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【变式 5】设 x1，x2 是方程 x2﹣3x+1＝0 的两根，则 + ＝（ ）
A． B． C．3 D．5
【变式 6】若一元二次方程﹣x2+2024x﹣1＝0 的两个实数根分别为 α，β，则 的值为（ ）
A． B．2024 C． D．±2024
题型 03 利用根与系数的关系求代数式的值
【典例 1】已知 m，n 是一元二次方程 x2+x﹣6＝0 的两个实数根，则代数式 m2﹣n 的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式 1】设 a，b 是方程 x2+x﹣2021＝0 的两个实数根，则 a2+2a+b 的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【变式 2】若 m，n 为方程 x2+2x﹣2016＝0 的两个实数根，则 m2+3m+n＝（ ）
A．2014 B．2015 C．2016 D．2017
【变式 3】如果 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣x﹣3＝0 的两个不相等的实数根，那么代数式 2n2﹣
mn+2m+2021 的值为（ ）
A．2021 B．2032 C．2022 D．2030
【变式 4】m，n 是方程 x2﹣2023x+2024＝0 的两根，则代数式（m2﹣2022m+2024）（n2﹣2022n+2024）的
值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
题型 04 利用根与系数满足的关系式求未知字母
【典例 1】已知一元二次方程 x2﹣3x+k＝0 的两个实数根为 x1，x2，若 x1x2+3x1+3x2＝1，则实数 k 的值为
（ ）
A． B．﹣8 C．﹣10 D．10
【变式 1】设 x ，x 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2（m+1）x+m21 2 +2＝0 的两个实数根，且（x1+1）（x2+1）
＝8，则 m 的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 或﹣1 D．1 或﹣3
【变式 2】若关于 x 的一元二次方程 x2+2x+p＝0 两根为 x1、x2，且 + ＝3，则 p 的值为（ ）
A． B． C．﹣6 D．6
【变式 3】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2kx+k2+k＝0 的两个实数根分别为 x1、x2，且 + ＝4，则 k
的值是（ ）
A．﹣1 或﹣2 B．﹣1 或 2 C．2 D．﹣1
【变式 4】已知关于 x 的方程 3x2﹣5x+k＝0 的两根分别为 x1 和 x2，若 6x1+x2＝0，则 k 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣
【变式 5】已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m﹣2）x+m2﹣m＝0 有两个实数根 x1 和 x2，且|x1|＝|x2|，m 的
值为（ ）
A．﹣1 或 1 B．﹣1 或 0 C．﹣1 D．1
题型 05 根与系数的关系求方程的另一个根
【典例 1】已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+3＝0 的一个根是 1，则方程的另一个根是（ ）
A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣4
【变式 1】已知关于 x 的方程 3x2﹣（k﹣1）x+2＝0 的一个根是 1，则另一个根是 ．
【变式 2】若关于 x 的方程 x2﹣mx﹣6＝0 的一个根是﹣2，则另一个根和 m 的值分别为（ ）
A．2、﹣3 B．﹣2、3 C．﹣3、﹣1 D．3、1
【变式 3】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0．
（1）求证：无论 k 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知 5 是此方程 x2﹣（k+2）x+k﹣1＝0 的一个根，求 k 的值和这个方程的另一个根．
题型 06 根与系数与根的判别式
【典例 1】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2mx+2m﹣1＝0．
（1）求证：m 取任意实数，该方程总有两个实数根；
（2）设该方程的两根分别为 x1，x2，且满足 x1+x2＝3x1x2，求 m 的值．
【变式 1】已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 x1，x2 是原方程的两根，且 ，求 m 的值．
【变式 2】已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0．
（1）求证：无论 m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实数根为 a，b，求（a﹣b）2 的值．
【变式 3】如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根 x1，x2，且|x1﹣x2|＝2，那么称
这样的方程为“伴根方程”，例如，一元二次方程 x2+2x＝0 的两个根是 x1＝0，x2＝﹣2，|0﹣（﹣2）|＝
2，方程 x2+2x＝0 是“伴根方程”．
（1）判断方程 x2+8x+15＝0 是否为“伴根方程”；
（2）已知关于 x 的方程 x2+（m﹣1）x﹣m＝0（m 是常数）是“伴根方程”，求 m 的值．
1．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的
两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是﹣2 和﹣5．则原来
的方程是（ ）
A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣7x+10＝0
C．x2﹣5x+2＝0 D．x2﹣6x﹣10＝0
2．已知 m，n 是方程 x2+4x﹣3＝0 的两个实数根，则 m2+5m+n+2024 的值是（ ）
A．2023 B．2025 C．2026 D．2027
3．关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣m＝0 的两个根为 x1，x2，且 x1＝2x2，则 m﹣x1+x2 的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
4．若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x 的一元二次方程 x2﹣14x+m＝0 的两个实数根，且其面积为 20，
则该菱形两对角线长分别为（ ）
A．3 与 11 B．4 与 10 C．2 与 10 D．5 与 8
5．已知 m，n 是一元二次方程 x2+3x+2＝0 的两根，则 的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
6． ABCD 中，AB，BC 的长分别等于一元二次方程 x2﹣5x+6＝0 两根之和与两根之积，则对角线 AC 长的
取值范围是（ ）
A．AC＞1 B．1＜AC＜6
C．AC＞5 或 AC＜11 D．1＜AC＜11
7．平行四边形 ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程 的两个实数根．若 AB 的长为
2，那么平行四边形 ABCD 的周长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为 p，两根之积为 q，则关于 y 的方程 a（y﹣1）2+b
（y﹣1）+c＝0 的两根之积是（ ）
A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1
9．已知关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2+k2x+1＝0 有两个实数根 x1，x2，且满足（x1+1）（x2+1）＝2，则
k 的值是（ ）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝﹣2 D．k＝1 或 k＝﹣2
10．若关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0（其中 a≠0）的解是 x1＝4，x2＝﹣6，且 m 满足
，则 的值是（ ）
A．2 或﹣8 B．3 或﹣5 C．2 D．﹣8
11．已知﹣2 是关于 x 的一元二次方程 x2+kx﹣6＝0 的一个根，则这个方程的另一个根为 ．
12．关于 x 的方程 x2+mx﹣2n＝0 的两根之和为﹣4，两根之积为 3，则 m+n 的值为 ．
13．关于 x 的一元二次方程 2x2+4mx+m＝0 有两个不同的实数根 x1，x2，且 + ＝ ，则 m
＝ ．
14．设 a，b 是方程 x2+x﹣2023＝0 的两个不相等的实数根，则 a2+2a+b 的值为 ．
15．对于任意实数 a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如 3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若 m，
n 是方程（x+2）*3＝0 的两根，则 + 的值为 ．
16．已知关于 x 的一元二次方程 x2+9x+20﹣2k2＝0．
（1）求证：对于任意实数 k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 1，求 k 的值及方程的另一个根．
17．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+3m＝0．
（1）求证：无论 m 取任何实数，方程总有实数根；
（2）若一元二次方程的两根为 x1，x2，且满足 + ﹣x1x2＝19，求 m 的值．
18．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣（m﹣3）x+2m﹣10＝0．
（1）求证：此一元二次方程总有实数根；
（2）已知△ABC 两边长 a，b 分别为该方程的两个实数根，且第三边长 c＝3，若△ABC 的周长为偶数，
求 m 的值．
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣px+1＝0（p 为常数）有两个不相等的实数根 x1 和 x2．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1x2＝ ；
（2）求 + ，x1+ ；
（3）已知 + ＝2p+1，求 p 的值．
20．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图 1，图 2 中阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图 1： ；图 2： ．
【例题解析】：如图 3，已知 a+b＝3，ab＝1，求 a2+b2 的值．
方法一：从“数”的角度解：
∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9；
又∵ab＝1，∴a2+b2＝7．
方法二：从“形”的角度解：
∵a+b＝3，∴S 大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，
∴S1+S4＝S 大正方形﹣S2﹣S ＝9﹣1﹣1＝7．即 a2+b23 ＝7．
其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解
决很多数学问题．
【类比迁移】：
（2）若（3﹣x）（x+1）＝3，则（3﹣x）2+（x+1）2＝ ．
（3）如图 4，点 C 是线段 AB 上的一点，以 AC，BC 为边向两边作正方形，设 AB＝7，两正方形的面积
和 S1+S2＝29，求图中阴影部分面积．
