第 05 讲 因式分解法
课程标准 学习目标
1. 掌握因式分解的方法，并能够熟练利用因式分解法来解一元二
次方程。
①用因式分解法解一元二次方程
2. 掌握整体法（换元法）并能够熟练用其解方程。
②整体法（换元法）解方程
3. 熟练掌握解一元二次方程的所有方法，在解方程时能够选择合
适的方法解方程。
知识点 01 因式分解解一元二次方程
1. 因式分解解一元二次方程的定义：
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于 0 的形式，在使两个一次式分别等
于 0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若 A B 0，则 A＝ 0 ，B＝ 0 。
2. 因式分解的方法：
①提公因式法： am bm cm m a b c ；
2②公式法：平方差公式： a b2 a b a b ；
2完全平方公式： a 2ab b2 a b 2 ；
2 2③十字相乘法：分解 x bx c，若 c mn 且m n b，则 x bx c x m x n 。
3. 因式分解法解一元二次方程的步骤：
①移项：将方程的右边化为 0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于 0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
【即学即练 1】
1．因式分解：2a2b+6ab2＝ 2ab（a+3b） ．
【分析】利用提取公因式法即可得结论．
【解答】解：2a2b+6ab2＝2ab（a+3b）．
故答案为：2ab（a+3b）．
2．分解因式：9a2﹣16b2＝ （3a+4b）（3a﹣4b） ．
【分析】先把 9a2，16b2 写成（3a）2，（4b）2，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：9a2﹣16b2
＝（3a）2﹣（4b）2
＝（3a+4b）（3a﹣4b），
故答案为：（3a+4b）（3a﹣4b）．
3．分解因式 4x2﹣4x+1＝ （ 2x﹣1）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2 分解即可．
【解答】解：4x2﹣4x+1＝（ 2x﹣1）2．
4．分解因式：x2+x﹣12＝ （x+4）（x﹣3） ．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可得到结果．
【解答】解：原式＝（x+4）（x﹣3）．
故答案为：（x+4）（x﹣3）
【即学即练 2】
5．用因式分解法解下列方程：
（1）x2﹣4x＋3＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
【分析】（1）利用十字相乘法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣4x＋3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0 或 x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
（2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2x）＝0，
∴x﹣3＝0 或 3x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
6．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【分析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【解答】解：方程两边直接开方得：
3x﹣1＝x+1，或 3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或 4x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
知识点 02 整体法（换元法）解方程
1. 整体法（换元法）解方程：
在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，
起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
2例题讲解：【例】解方程 x 1 5 x 1 4 0．
2
解：设 x 1 y ，则原方程可化为 y 5y 4 0．
解得 y1 1，y2 4 ．
当 y=1 时，即 x-1=1，解得 x=2；
当 y=4 时，即 x-1=4，解得 x=5．
所以原方程的解为 x1=2， x2=5．
【即学即练 1】
7．提出问题：
为解方程 x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令 x2＝y，于是原方程可转化为 y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得 y1＝4，
y2＝﹣1（不符合要求，舍去）．
当 y1＝4 时，x2＝4，x＝±2．
∴原方程的解为 x1＝2，x2＝﹣2．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0．
【分析】设 x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，求出 y 的值，再代入 x2﹣2＝y 求出 x 即可．
【解答】解：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0，
设 x2﹣2＝y，则原方程可化为 y2﹣13y+42＝0，
（y﹣6）（y﹣7）＝0，
y﹣6＝0 或 y﹣7＝0，
解得，：y1＝6，y2＝7，
当 x2﹣2＝6 时， ；
当 x2﹣2＝7 时，x＝±3，
所以原方程的解为 x1＝2 ，x2＝﹣2 ，x3＝3，x4＝﹣3．
题型 01 利用因式分解法解一元二次方程
【典例 1】一元二次方程 x2﹣2x＝0 的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1
【分析】直接提取公因式 x，进而分解因式解方程即可．
【解答】解：x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
则 x＝0 或 x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝0．
故选：B．
【变式 1】一元二次方程 x2﹣6x+5＝0 的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
【分析】利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣6x+5＝0
（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0 或 x﹣5＝0，
解得 x1＝1，x2＝5，
故选：A．
【变式 2】方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
【分析】先移项得到（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，再利用因式分解法把方程转化为 x﹣2＝0 或 x﹣2﹣2x＝
0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）2﹣2x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x﹣2﹣2x）＝0，
x﹣2＝0 或 x﹣2﹣2x＝0，
所以 x1＝2，x2＝﹣2．
故选：B．
【变式 3】解方程
（1） ； （2）x（5x+2）＝6（5x+2）．
【分析】（1）先移项，然后利用公式法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1） ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）x（5x+2）＝6（5x+2），
x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
（x﹣6）（5x+2）＝0，
x﹣6＝0 或 5x+2＝0，
∴ ．
【变式 4】解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0； （2）x﹣1＝2（x﹣1）2．
【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为 x﹣2＝0 或 x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
（2）先移项得到 2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，再利用因式分解法把方程转化为 x﹣1＝0 或 2x﹣2﹣1＝0，
然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
x﹣2＝0 或 x﹣1＝0，
所以 x1＝2，x2＝1；
（2）x﹣1＝2（x﹣1）2，
2（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（2x﹣2﹣1）＝0，
x﹣1＝0 或 2x﹣2﹣1＝0，
所以 x1＝1，x2＝ ．
题型 02 用整体法（换元法）解方程
【典例 1】已知方程 x2+2x﹣3＝0 的解是 x 21＝1，x2＝﹣3，则给出另一个方程（2x+3） +2（2x+3）﹣3＝0，
它的解是（ ）
A．﹣1 或 3 B．1 或 3 C．﹣1 或﹣3 D．1 或﹣3
【分析】先根据已知方程和方程的解，从而得到方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0 中的 2x+3 相当于第 1
个方程中的 x，从而得到 2x+3＝1 和 2x+3＝﹣3，解方程即可．
【解答】解：∵方程 x2+2x﹣3＝0 的解是 x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，
2x+3＝1，2x+3＝﹣3，
2x＝﹣2，2x＝﹣6，
x1＝﹣1，x2＝﹣3，
故选：C．
【变式 1】已知关于 x 的一元二次方程 a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，则方程 a（x+1﹣
m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（ ）
A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2
【分析】根据方程 a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，得到 x+1＝﹣2，或 x+1＝3，即可
求解．
【解答】解：∵a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，
∴a（x+1﹣m）2+n＝0（a≠0）中，x+1＝﹣2，或 x+1＝3，
解得：x＝﹣3 或 x＝2，
故选：C．
【变式 2】若关于 x 的一元二次方程 ax2+6x﹣4＝0 的解为 x1＝1，x2＝4，则关于 y 的一元二次方程
的解为 y1＝1，y2＝7 ．
【分析】设 t＝ ，则原方程可化为 at2+6t﹣4＝0，根据关于 x 的一元二次方程 ax2+6x﹣4＝0 的解为
x1＝1，x2＝4，得到 t1＝1，t2＝4，于是得到结论．
【解答】解：设 t＝ ，
则原方程可化为 at2+6t﹣4＝0，
∵关于 x 的一元二次方程 ax2+6x﹣4＝0 的解为 x1＝1，x2＝4，
∴t1＝1，t2＝4，
∴ ＝1 或 ＝4，
解得 y1＝1，y2＝7．
故答案为：y1＝1，y2＝7．
【变式 3】阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将 x2﹣1 视为一个整体，然后设 x2﹣
1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为 y2﹣5y+4＝0．①
解得 y1＝1，y2＝4
当 y＝1 时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝± ；
当 y＝4 时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝± ．
∴原方程的解为 x1＝ ，x2＝﹣ ，x3＝ ，x4＝﹣ ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元 法达到了降次的目的，体现了 换元
的数学思想．
（2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据换元法可以解答此方程．
【解答】解：（1）由题意可得，
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想，
故答案为：换元、换元；
（2）x4﹣x2﹣12＝0，
令 a＝x2，则原方程可化为：a2﹣a﹣12＝0，
解得，a＝﹣3 或 a＝4，
∴x2＝﹣3（舍去），x2＝4，
解得，x1＝2，x2＝﹣2，
故原方程的解是 x1＝2，x2＝﹣2．
【变式 4】阅读下列材料：为解方程 x4﹣x2﹣6＝0 可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0 然后设 x2＝t，则
（x2）2＝t2，原方程化为 t2﹣t﹣6＝0①，解①得 t1＝﹣2，t2＝3．当 t ＝﹣2 时，x21 ＝﹣2 无意义，舍去；
当 t2＝3 时，x2＝3，解得 ；∴原方程的解为 ；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂
的问题转化成简单的问题．
（1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0 时，新字母设为 t，则 t＝ x2﹣x ，原方程化
为 t2﹣4t﹣12＝0 ，解得 t＝ 6 或﹣2 ．
（2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0 的解．
【分析】（1）根据题意，可设 t＝x2﹣x，于是原方程变形为 t2﹣4t﹣12＝0，利用因式分解法求解即可．
（2）根据 t＝6，t＝﹣2，转化为方程 x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意，可设 t＝x2﹣x，于是原方程变形为 t2﹣4t﹣12＝0，
解得 t＝6，t＝﹣2，
故答案为：x2﹣x，t2﹣4t﹣12＝0；6 或﹣2．
（2）根据题意，得 t＝6，t＝﹣2，方程转化为 x2﹣x＝6，x2﹣x＝﹣2，
故 x2﹣x﹣6＝0，
解得 x1＝3，x2＝﹣2；
当 x2﹣x+2＝0 时，此时Δ＝（﹣1）2﹣4×1×2＜0，方程无解，
故原方程的解为 x1＝3，x2＝﹣2．
题型 03 利用整体法（换元法）求式子的值
【典例 1】若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则 a+b 的值是（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【分析】先根据平方差公式进行计算，求出（a+b）2＝16，再方程两边开方即可．
【解答】解：（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，
（a+b）2﹣1＝15，
（a+b）2＝16，
开方得：a+b＝±4，
故选：B．
【变式 1】已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则 x2+y2＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣2 或 3 D．﹣3 或 2
【分析】设 x2+y2＝a，原方程可化为 a2﹣a﹣6＝0，利用因式分解分求出 a 的值，进而得出 x2+y2 的
值．
【解答】解：（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，
（x2+y2）2﹣（x2+y2）﹣6＝0，
设 x2+y2＝a，
原方程可化为 a2﹣a﹣6＝0，
则（a﹣3）（a+2）＝0，
a﹣3＝0 或 a+2＝0，
解得 a＝3 或 a＝﹣2（不合题意），
故 x2+y2＝3．
故选：B．
【变式 2】若实数 x 满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式 3x2+6x+2011 的值是 2023 ．
【分析】设 x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8，解方程求出 a，再把所求代数式的前两项提取公
因数 3，再把 x2+2x 的值整体代入，进行计算即可．
【解答】解：设 x2+2x＝a，则原方程化成：a（a﹣2）＝8，
a2﹣2a﹣8＝0，
（a﹣4）（a+2）＝0，
a﹣4＝0，a+2＝0，
a1＝4，a2＝﹣2，
∴x2+2x 的值为 4 或﹣2，
当 x2+2x＝4 时，
3x2+6x+2011
＝3（x2+2x）+2011
＝3×4+2011
＝12+2011
＝2023，
∵x2+2x≥﹣1，
代数式 3x2+6x+2011 的值是 2023，
故答案为：2023．
【变式 3】若实数 x 满足 2（x2﹣x）2﹣x2+x﹣6＝0 则 x2﹣x+1＝ 3 ．
【分析】首先假设 x2﹣x＝y，得出方程等于 y2﹣y﹣6＝0，进而求出 y 即可．
【解答】解：假设 x2﹣x＝y，则原方程可化为：2y2﹣y﹣6＝0，
∴（2y+3）（y﹣2）＝0，
∴y1＝ ，y2＝2，
即 x2﹣x＝ 或 2．
当 x2﹣x＝ 时，x2﹣x+1＝ ，即 x2﹣x+ ＝0，Δ＝1﹣10＜0，原方程没有实数根，故不合题意，
舍去；
当 x2﹣x＝2 时，x2﹣x+1＝3，
故答案为：3．
【变式 4】若（a+b）2﹣4a﹣4b+4＝0，则 a+b+4＝ 6 ．
【分析】设 y＝a+b，由原方程得到：y2﹣4y+4＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：设 y＝a+b，则由原方程得到：y2﹣4y+4＝0，
整理，得（y﹣2）2＝0．
所以 y1＝y2＝2．
所以 a+b＝2．
所以 a+b+4＝2+4＝6．
故答案为：6．
题型 04 解含有绝对值的方程
【典例 1】阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当 x≥0 时，原方程化为 x2﹣3x﹣10＝0，解得 x1＝5，x2＝﹣2（舍去）；
②当 x＜0 时，原方程化为 x2+3x﹣10＝0，解得 x3＝﹣5，x4＝2（舍去）．
综上所述，原方程的解是 x1＝5，x2＝﹣5．
请参照上述方法解方程 x2﹣|x+1|﹣1＝0．
【分析】讨论：当 x+1≥0，原方程可化为 x2﹣（x+1）﹣1＝0，当 x+1＜0，原方程可化为 x2+（x+1）﹣
1＝0，然后分别利用因式分解法解方程，从而得到满足条件的 x 的值．
【解答】解：当 x+1≥0，即 x≥﹣1 时，
原方程可化为 x2﹣（x+1）﹣1＝0，
即 x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0 或 x+1＝0，
解得 x1＝2，x2＝﹣1，
当 x+1＜0，即 x＜﹣1 时，
原方程可化为 x2+（x+1）﹣1＝0，
即 x2+x＝0，
x（x+1）＝0，
x＝0 或 x+1＝0，
解得 x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去），
综上所述，原方程的解是 x1＝2，x2＝﹣1．
【变式 1】阅读下面的例题与解答过程：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当 x≥0 时，x2﹣x﹣2＝0，解得 x1＝2，x2＝﹣1（舍去）；
当 x＜0 时，x2+x﹣2＝0，解得 x3＝﹣2，x4＝1（舍去）．
∴原方程的解是 x1＝2，x2＝﹣2．
在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一
种重要思想——分类讨论思想．
请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0；
（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．
【分析】（1）当 x≥0 时，|x|＝x，当 x＜0 时，|x|＝﹣x．
（2）当 x≥1 时，|x﹣1|＝x﹣1，当 x＜1 时，|x﹣1|＝1﹣x．
【解答】解：（1）当 x≥0 时，x2﹣2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2；
当 x＜0 时，x2+2x＝0，解得 x3＝﹣2，x4＝0（舍去）；
∴原方程的解为 x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2；
（2）当 x≥1 时，x2﹣2x﹣4x+4+5＝0，即 x2﹣6x+9＝0，解得 x1＝x2＝3，
当 x＜1 时，x2﹣2x+4x﹣4+5＝0，即 x2+2x+1＝0，解得 x3＝x4＝﹣1，
∴原方程组的解为 x1＝x2＝3，得 x3＝x4＝﹣1．
题型 05 用合适的方法解一元二次方程
【典例 1】用适当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣3x+2＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2﹣8＝0，
2（x﹣1）2＝8，
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣3x+2＝0，
（x﹣1）（x﹣2）＝0，
x﹣1＝0 或 x﹣2＝0，
x1＝1，x2＝2．
【变式 1】解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0．
【分析】（1）先把方程变形得到（2x+3）2＝25，再把方程两边开方得到 2x+3＝±5，然后解两个一次方
程即可；
（2）先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程没有实数解．
【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0，
（2x+3）2＝25，
2x+3＝±5，
所以 x1＝1，x2＝﹣4；
（2）3x2﹣4x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×2＝﹣8＜0，
∴方程没有实数解．
【变式 2】解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x﹣1＝0； （2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）．
【分析】（1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解一元二次方程先移项再提公因式，令每个因式为 0，即可作答．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣1＝0，
则 x2﹣6x＝1，
那么 x2﹣6x+9＝1+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10，
解得 ，
即 ．
（2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2），
3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，
（3x+2）（x﹣2）＝0，
解得 3x+2＝0，x﹣2＝0，
即 ．
【变式 3】解一元二次方程：
（1）x2﹣6x+3＝0； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9．
【分析】（1）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）先根据完全平方公式进行变形，再方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即
可．
【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝0，
移项，得 x2﹣6x＝﹣3，
配方，得 x2﹣6x+32＝﹣3+32，
（x﹣3）2＝6，
开方，得 x﹣3＝± ，
解得：x1＝3+ ，x2＝3﹣ ；
（2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9，
（2x﹣1）2＝（x+3）2，
开方得：2x﹣1＝±（x+3），
2x﹣1＝x+3 或 2x﹣1＝﹣（x+3），
解得：x1＝4，x2＝﹣ ．
1．方程 x2﹣8x＝0 的解是（ ）
A．x1＝0 x2＝8 B．x＝8 C．x＝0 D．无解
【分析】分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：分解因式得：x（x﹣8）＝0，
x＝0，x﹣8＝0，
x1＝0，x2＝8，
故选：A．
2．已知一元二次方程的两根分别为 x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．
【解答】解：∵方程两根分别为 x1＝3，x2＝﹣4，
∴x1+x2＝3﹣4＝﹣1，x1x2＝﹣12，
∴方程为 x2+x﹣12＝0．
把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0，
故选：A．
3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0 或 3x﹣4＝0
B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0 或 x﹣1＝1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2 或 x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0
【分析】用因式分解法时，方程的右边为 0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个
不对，第四个漏了一个一次方程，应该是 x＝0，x+2＝0．
【解答】解：用因式分解法时，方程的右边为 0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第
三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是 x＝0，x+2＝0．
所以第一个正确．
故选：A．
4．关于 x 的方程 x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以（x﹣1）得 整理得 x2﹣4x＝﹣3 整理得 x2﹣4x＝﹣3， 移项得 x（x﹣1）﹣3（x﹣
x＝3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，配方得 x2﹣4x+2＝﹣1， 1）＝0，
∴b2﹣4ac＝28， ∴（x﹣2）2＝﹣1， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝±1， ∴x﹣3＝0 或 x﹣1＝0，
∴x＝ ＝2± ，
∴x1＝1，x2＝3 ∴x1＝1，x2＝3
∴x1＝2+ ，x2＝2﹣
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】分别利用解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解；
乙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以 c 的值错误；
丙的解法错误，配方时，方程两边应同时加上一次项系数一般的平方；
丁利用解一元二次方程﹣因式分解法，计算正确；
故选：D．
5．关于 x 的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则 x2+x 的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3 或 1 D．3 或﹣1
【分析】设 x2+x＝t，求出 t 的值，进而可得出结论．
【解答】解：设 x2+x＝t，则此方程可化为 t2+2t﹣3＝0，
∴（t﹣1）（t+3）＝0，
∴t﹣1＝0 或 t+3＝0，
解得 t1＝1，t2＝﹣3，
∴x2+x 的值是 1 或﹣3．
当 x2+x＝﹣3 时，x2+x+3＝0，
∵Δ＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程无解，
∴x2+x 的值是 1．
故选：B．
6．对于实数 a，b 定义运算“※”为 a×b＝a+b2，例如 3※2＝3+22＝7，则关于 x 的方程 x※（x+1）＝5 的
解是（ ）
A．x＝﹣4 B．x＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝﹣4
【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：由题意，可得：x+（x+1）2＝5，
整理得：x2+3x﹣4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4．
故选：D．
7．三角形两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x2﹣6x+8＝0 的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．﹣11 B．13 C．11 或 8 D．11 和 13
【分析】先用因式分解求出方程的两个根，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长，计算出三
角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0 或 x﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝4．
因为三角形两边的长分别为 3 和 6，所以第三边的长必须大于 3，
故周长＝3+6+4＝13．
故选：B．
8．关于 x 的方程 x2﹣2mx+m2＝4 的两个根 x1，x2 满足 x1＝2x2+3，且 x1＞x2，则 m 的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【分析】因式分解法可求 x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据 x1＝2x2+3，可得关于 m 的方程，解方程可求 m
的值．
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0 或 x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得 m＝3．
故选：C．
9．已知实数 x 满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式 x2﹣x+1 的值为（ ）
A．7 B．﹣1 C．7 或﹣1 D．﹣2 或 1
【分析】将 x2﹣x 看作一个整体，再用换元法解方程求出 x2﹣x 的值即可．
【解答】解：设 x2﹣x＝y，则原方程可化为：y2﹣4y﹣12＝0，
解得 y＝﹣2，y＝6；
当 y＝﹣2 时，x2﹣x＝﹣2，即 x2﹣x+2＝0，Δ＝1﹣8＜0，原方程没有实数根，故 y＝﹣2 不合题意，舍
去；
当 y＝6 时，x2﹣x＝6，即 x2﹣x﹣6＝0，Δ＝1+24＞0，故 y 的值为 6；
∴x2﹣x+1＝y+1＝6+1＝7．
故选：A．
10．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程 x2+2x﹣35＝0 为
例，公元 9 世纪，阿拉伯数学家阿尔 花拉子米采用的方法是：将原方程变形为
（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，
它又等于 35+1，因此可得方程的一个根 x＝5，根据阿尔 花拉子米的思路，解方程
x2﹣4x﹣21＝0 时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S 正确的是（ ）
A． S＝21+4＝25
B． S＝21﹣4＝17
C． S＝21+4＝25
D． S＝21﹣4＝17
【分析】利用配方法把方程变形，结合图形解答．
【解答】解：x2﹣4x﹣21＝0
x2﹣4x+4＝21+4
（x﹣2）2＝25
正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25，
故选：C．
11．如果 3x2+6x﹣8 的值与 2x2﹣1 的值相等，则 x＝ ﹣7 或 1 ．
【分析】根据题意得到方程 3x2+6x﹣8＝2x2﹣1，求出方程的解即可．
【解答】解：根据题意得：3x2+6x﹣8＝2x2﹣1，
∴x2+6x﹣7＝0，
分解因式得：（x+7）（x﹣1）＝0，
∴x+7＝0，x﹣1＝0，
解方程得：x1＝﹣7，x2＝1．
故答案为：﹣7 或 1．
12．若实数 x 满足 ，则 ＝ 3 ．
【分析】利用换元法设 x+ ＝t，解 t2﹣2t﹣3＝0 即可，注意 t＞0．
【解答】解；设 x+ ＝t，则（x+ ）2＝x2+ +2，x2+ ＝t2﹣2
原方程变为
t2﹣2t﹣3＝0
解得 t1＝3，t2＝﹣1（不合题意舍去）
∴x+ ＝3．
13．三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x2﹣16x+60＝0 的一个实数根，则该三角形
的面积是 24 或 8 ．
【分析】由 x2﹣16x+60＝0，可利用因式分解法求得 x 的值，然后分别从 x＝6 时，是等腰三角形；与 x＝
10 时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵x2﹣16x+60＝0，
∴（x﹣6）（x﹣10）＝0，
解得：x1＝6，x2＝10，
当 x＝6 时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD 是高，
∴BD＝4，AD＝ ＝2 ，
∴S△ABC＝ BC AD＝ ×8×2 ＝8 ；
当 x＝10 时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC 是直角三角形，∠C＝90°，
S△ABC＝ BC AC＝ ×8×6＝24．
∴该三角形的面积是：24 或 8 ．
故答案为：24 或 8 ．
14．一个菱形的边长是方程 x2﹣9x+18＝0 的一个根其中一条对角线长为 6，则该菱形的面积为
．
【分析】先解方程得出 x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为 6 得出菱形的边长为 6，利用勾股定理得出
菱形的另一条对角线为 ，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为 6，
∴菱形的边长为 6，
∴菱形的另一条对角线为 ，
∴菱形的面积为 ，
故答案为： ．
15．对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号 min{a，b}表示 a、b 中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，
按照这个规定，方程 min{x，x﹣1}＝x2﹣3 的解为 x1＝2，x2＝﹣1 ．
【分析】根据题意可得：x﹣1＝x2﹣3 从而整理可得：x2﹣x﹣2＝0，然后利用解一元二次方程﹣因式分
解法进行计算，即可解答．
【解答】解：∵min{x，x﹣1}＝x2﹣3，
∴x﹣1＝x2﹣3，
整理得：x2﹣x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0 或 x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
故答案为：x1＝2，x2＝﹣1．
16．选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）；
（2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2 x﹣5＝0（公式法）；
（4）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣ ）2＝ ，然后根据直接开平方法求解；
（2）先变形得到 3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；
（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣5x＝﹣1，
x2﹣5x+（ ）2＝﹣1+（ ）2，
（x﹣ ）2＝ ，
x﹣ ＝± ，
所以 x1＝ ，x2＝ ；
（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，
所以 x1＝2，x2＝3；
（3）△＝（﹣2 ）2﹣4×2×（﹣5）＝48
x＝ ＝ ＝ ，
所以 x1＝ ，x2＝ ；
（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0，
（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0，
y+2+3y﹣1＝0 或 y+2﹣3y+1＝0，
所以 y1＝﹣ ，y2＝ ．
17．T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a）
（1）化简 T；
（2）若 a 是方程 x2+3x﹣4＝0 的一个根，求 T 的值．
【分析】（1）利用乘法公式进行计算即可；
（2）把 x＝a 代入已知方程，得到 a2+3a＝4，然后代入化简后的 T 中求值即可．
【解答】解：（1）T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a）
＝a2+6a+9﹣（4﹣a2）
＝a2+6a+9﹣4+a2
＝2a2+6a+5；
（2）∵a 是方程 x2+3x﹣4＝0 的一个根，
∴a2+3a﹣4＝0，即：a2+3a＝4，
∴T＝2a2+6a+5＝2（a2+3a）+5＝2×4+5＝13．
18．已知关于 x 的方程 x2+bx+c＝0 可以变形为（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．
下面通过列表探究 x2﹣8x+4＝0 的变形：
变形 m n p
x（x﹣8）＝﹣4 0 8 ﹣4
（x﹣4）2＝12 4 4 12
（x﹣1）（x﹣t）＝3 1 t 3
（x+1）（x﹣9）＝﹣13 ﹣1 9 ﹣13
（1）依据表格解答：
①求表格中 t 的值．
②观察上述探究过程，直接写出表格中 m 与 n 满足的等量关系；
（2）记 x2+bx+c＝0 的两种变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1 和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求
的值．
【分析】（1）①把 x2﹣8x+4＝0 两边加上 3，然后把方程左边分解因式，从而得到 t 的值；
②m 与 n 的和等于一次项系数﹣8 的相反数；
（2）把（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1 和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2 化为一般式得到 m1n1﹣p1＝m2n2﹣p2，所以 p1
﹣p2＝m1n1﹣m2n2，从而得到所求代数式的值．
【解答】解：（1）①x2﹣8x+4＝0，
x2﹣8x+7＝3，
（x﹣1）（t﹣7）＝3，
所以 t＝7；
②m+n＝8；
（2）∵（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1，
∴x2﹣（m1+n1）x+m1n1＝p1，
即 x2﹣（m1+n1）x+m1n1﹣p1＝0，
同理可得 x2﹣（m2+n2）x+m2n2﹣p2＝0，
∴c＝m1n1﹣p1＝m2n2﹣p2，
∴p1﹣p2＝m1n1﹣m2n2，
∴ ＝1．
19．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次
方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y1＝1，y2＝2．
当 y＝1 时，|x|＝1，∴x＝±1；
当 y＝2 时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程： ﹣ ＝1．
（3）若实数 x 满足 x2+ ﹣3x﹣ ＝2，求 x+ 的值．
【分析】（1）设 x2＝a，则原方程可化为 a2﹣10a+9＝0，求得 a 的值之后，继而可得 x2＝1 或 x2＝9，解
之即可；
（2）设 ＝m，则原方程可化为 m﹣ ＝1，即 m2﹣m﹣2＝0，求得 m 的值后，即可得 ＝﹣1、
＝2，解之即可；
（3）设 x+ ＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即 y2﹣3y﹣4＝0，解之求得 y 之后，即可得．
【解答】解：（1）设 x2＝a，则原方程可化为 a2﹣10a+9＝0，
即（a﹣1）（a﹣9）＝0，
解得：a＝1 或 a＝9，
当 a＝1 时，x2＝1，∴x＝±1；
当 a＝9 时，x2＝9，∴x＝±3；
（2）设 ＝m，则原方程可化为 m﹣ ＝1，即 m2﹣m﹣2＝0，
∴（m+1）（m﹣2）＝0，
解得：m＝﹣1 或 m＝2，
当 m＝﹣1 时， ＝﹣1，即 x2+x+1＝0，由Δ＝1﹣4×1×1＝﹣3＜0 知此时方程无解；
当 m＝2 时， ＝2，即 2x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝1 或 x＝﹣ ，
经检验 x＝1 和 x＝﹣ 都是原分式方程的解；
（3）设 x+ ＝y，则原方程可化为：y2﹣2﹣3y＝2，即 y2﹣3y﹣4＝0，
∴（y+1）（y﹣4）＝0，
解得：y＝﹣1 或 y＝4，
即 x+ ＝﹣1（方程无解，舍去）或 x+ ＝4，
故 x+ ＝4．
20．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图 1 可以得到
（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请阅读并解答下列问题：
若 x 满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2 的值．
解：设 32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a b＝100，
∵a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，
∴（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【类比应用】
（1）若 xy＝8，x+y＝6，则 x2+y2 的值为 20 ；
（2）若 x 满足（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，求（2024﹣x）（x﹣2010）的值；
【迁移应用】
（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图 2 所示放置，其中 A，O，D 在一
直线上，连接 AC，BD，若 AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，则一块三角板的面积为 22 ．
【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2 计算即可；
②令 a＝2024﹣x，b＝x﹣2010，从而得到 a、b 的和，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2 计算即可；
（2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的
等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积．
【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵xy＝8，x+y＝6，
∴x2+y2＝62﹣2×8＝20，
故答案为：20．
②令 a＝2024﹣x，b＝x﹣2010，
∴a+b＝14，
∵（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，
∴a2+b2＝176
∴（a+b）2﹣2ab＝176，
∴ ，
∴（2024﹣x）（x﹣2010）＝10，
（2）设三角板的两条直角边 AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为 ，
∴m+n＝14， ，即 m2+n2＝108，
∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88，
∴mn＝44，
∴ ，
∴一块三角板的面积是 22．
故答案为：22．第 05 讲 因式分解法
课程标准 学习目标
1. 掌握因式分解的方法，并能够熟练利用因式分解法来解一元二
次方程。
①用因式分解法解一元二次方程
2. 掌握整体法（换元法）并能够熟练用其解方程。
②整体法（换元法）解方程
3. 熟练掌握解一元二次方程的所有方法，在解方程时能够选择合
适的方法解方程。
知识点 01 因式分解解一元二次方程
1. 因式分解解一元二次方程的定义：
解一元二次方程时，先分解因式，使方程化成两个一次式的乘积等于 0 的形式，在使两个一次式分别等
于 0，从而实现降次，这种方法叫做因式分解法。依据是若 A B 0，则 A＝ ，B＝ 。
2. 因式分解的方法：
①提公因式法： am bm cm ；
a2 b2②公式法：平方差公式： ；
2 2完全平方公式： a 2ab b ；
2③十字相乘法：分解 x bx c，若 c mn 且m n b，则 x2 bx c 。
3. 因式分解法解一元二次方程的步骤：
①移项：将方程的右边化为 0；
②分解：把方程左边因式分解成两个一次式的积的形式；
③转化：令每一个一次式都等于 0，转化成两个一元一次方程；
④求解：解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
【即学即练 1】
1．因式分解：2a2b+6ab2＝ ．
2．分解因式：9a2﹣16b2＝ ．
3．分解因式 4x2﹣4x+1＝ ．
4．分解因式：x2+x﹣12＝ ．
【即学即练 2】
5．用因式分解法解下列方程：
（1）x2﹣4x＋3＝0； （2）（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝0．
6．（3x﹣1）2＝（x+1）2．
知识点 02 整体法（换元法）解方程
1. 整体法（换元法）解方程：
在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，
起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。
2例题讲解：【例】解方程 x 1 5 x 1 4 0．
2
解：设 x 1 y ，则原方程可化为 y 5y 4 0．
解得 y1 1，y2 4 ．
当 y=1 时，即 x-1=1，解得 x=2；
当 y=4 时，即 x-1=4，解得 x=5．
所以原方程的解为 x1=2， x2=5．
【即学即练 1】
7．提出问题：
为解方程 x4﹣3x2﹣4＝0，我们可以令 x2＝y，于是原方程可转化为 y2﹣3y﹣4＝0，解此方程，得 y1＝4，
y2＝﹣1（不符合要求，舍去）．
当 y1＝4 时，x2＝4，x＝±2．
∴原方程的解为 x1＝2，x2＝﹣2．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：
运用上述换元法解方程：（x2﹣2）2﹣13（x2﹣2）+42＝0．
题型 01 利用因式分解法解一元二次方程
【典例 1】一元二次方程 x2﹣2x＝0 的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣1
【变式 1】一元二次方程 x2﹣6x+5＝0 的解为（ ）
A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3
【变式 2】方程（x﹣2）2＝2x（x﹣2）的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝﹣1
【变式 3】解方程
（1） ； （2）x（5x+2）＝6（5x+2）．
【变式 4】解方程：
（1）x2﹣3x+2＝0； （2）x﹣1＝2（x﹣1）2．
题型 02 用整体法（换元法）解方程
【典例 1】已知方程 x2+2x﹣3＝0 的解是 x1＝1，x2＝﹣3，则给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，
它的解是（ ）
A．﹣1 或 3 B．1 或 3 C．﹣1 或﹣3 D．1 或﹣3
【变式 1】已知关于 x 的一元二次方程 a（x﹣m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为﹣2，3，则方程 a（x+1﹣
m）2+n＝0（a≠0）的两个根分别为（ ）
A．﹣2，3 B．﹣1，3 C．﹣3，2 D．﹣1，﹣2
【变式 2】若关于 x 的一元二次方程 ax2+6x﹣4＝0 的解为 x1＝1，x2＝4，则关于 y 的一元二次方程
的解为 ．
【变式 3】阅读材料：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将 x2﹣1 视为一个整体，然后设 x2﹣
1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程化为 y2﹣5y+4＝0．①
解得 y1＝1，y2＝4
当 y＝1 时，x2﹣1＝1．∴x2＝2．∴x＝± ；
当 y＝4 时，x2﹣1＝4，∴x2＝5，∴x＝± ．
∴原方程的解为 x1＝ ，x2＝﹣ ，x3＝ ，x4＝﹣ ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了
的数学思想．
（2）解方程：x4﹣x2﹣12＝0．
【变式 4】阅读下列材料：为解方程 x4﹣x2﹣6＝0 可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0 然后设 x2＝t，则
（x2）2＝t2，原方程化为 t2﹣t﹣6＝0①，解①得 t1＝﹣2，t2＝3．当 t1＝﹣2 时，x2＝﹣2 无意义，舍去；
当 t2＝3 时，x2＝3，解得 ；∴原方程的解为 ；
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂
的问题转化成简单的问题．
（1）利用换元法解方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0 时，新字母设为 t，则 t＝ ，原方程化
为 ，解得 t＝ ．
（2）求方程（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0 的解．
题型 03 利用整体法（换元法）求式子的值
【典例 1】若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则 a+b 的值是（ ）
A．±2 B．±4 C．2 D．4
【变式 1】已知（x2+y2）2﹣y2＝x2+6，则 x2+y2＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣2 或 3 D．﹣3 或 2
【变式 2】若实数 x 满足方程（x2+2x）（x2+2x﹣2）＝8，那么代数式 3x2+6x+2011 的值是 ．
【变式 3】若实数 x 满足 2（x2﹣x）2﹣x2+x﹣6＝0 则 x2﹣x+1＝ ．
【变式 4】若（a+b）2﹣4a﹣4b+4＝0，则 a+b+4＝ ．
题型 04 解含有绝对值的方程
【典例 1】阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
①当 x≥0 时，原方程化为 x2﹣3x﹣10＝0，解得 x1＝5，x2＝﹣2（舍去）；
②当 x＜0 时，原方程化为 x2+3x﹣10＝0，解得 x3＝﹣5，x4＝2（舍去）．
综上所述，原方程的解是 x1＝5，x2＝﹣5．
请参照上述方法解方程 x2﹣|x+1|﹣1＝0．
【变式 1】阅读下面的例题与解答过程：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：当 x≥0 时，x2﹣x﹣2＝0，解得 x1＝2，x2＝﹣1（舍去）；
当 x＜0 时，x2+x﹣2＝0，解得 x3＝﹣2，x4＝1（舍去）．
∴原方程的解是 x1＝2，x2＝﹣2．
在上面的解答过程中，我们对绝对值符号内的代数式的正负性进行了分类讨论，这是解决数学问题的一
种重要思想——分类讨论思想．
请仿照上述例题的解答过程，利用分类讨论思想解下列方程：
（1）x2﹣2|x|＝0； （2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5＝0．
题型 05 用合适的方法解一元二次方程
【典例 1】用适当的方法解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣3x+2＝0．
【变式 1】解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0．
【变式 2】解下列一元二次方程：
（1）x2﹣6x﹣1＝0； （2）3x（x﹣2）＝﹣2（x﹣2）．
【变式 3】解一元二次方程：
（1）x2﹣6x+3＝0； （2）4x2﹣4x+1＝x2+6x+9．
1．方程 x2﹣8x＝0 的解是（ ）
A．x1＝0 x2＝8 B．x＝8 C．x＝0 D．无解
2．已知一元二次方程的两根分别为 x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
3．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）
A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0 或 3x﹣4＝0
B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0 或 x﹣1＝1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2 或 x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0
4．关于 x 的方程 x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以（x﹣1）得 整理得 x2﹣4x＝﹣3 整理得 x2﹣4x＝﹣3， 移项得 x（x﹣1）﹣3（x﹣
x＝3 ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，配方得 x2﹣4x+2＝﹣1， 1）＝0，
∴b2﹣4ac＝28， ∴（x﹣2）2＝﹣1， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝±1， ∴x﹣3＝0 或 x﹣1＝0，
∴x＝ ＝2± ，
∴x1＝1，x2＝3 ∴x1＝1，x2＝3
∴x1＝2+ ，x2＝2﹣
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．关于 x 的方程（x2+x）2+2x2+2x﹣3＝0，则 x2+x 的值是（ ）
A．﹣3 B．1 C．﹣3 或 1 D．3 或﹣1
6．对于实数 a，b 定义运算“※”为 a×b＝a+b2，例如 3※2＝3+22＝7，则关于 x 的方程 x※（x+1）＝5 的
解是（ ）
A．x＝﹣4 B．x＝﹣1
C．x1＝﹣1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝﹣4
7．三角形两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x2﹣6x+8＝0 的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．﹣11 B．13 C．11 或 8 D．11 和 13
8．关于 x 的方程 x2﹣2mx+m2＝4 的两个根 x1，x2 满足 x1＝2x2+3，且 x1＞x2，则 m 的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
9．已知实数 x 满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式 x2﹣x+1 的值为（ ）
A．7 B．﹣1 C．7 或﹣1 D．﹣2 或 1
10．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程 x2+2x﹣35＝0 为
例，公元 9 世纪，阿拉伯数学家阿尔 花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构
造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于 35+1，因此可得方程的一个根 x＝5，
根据阿尔 花拉子米的思路，解方程 x2﹣4x﹣21＝0 时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S 正确
的是（ ）
A． S＝21+4＝25
B． S＝21﹣4＝17
C． S＝21+4＝25
D． S＝21﹣4＝17
11．如果 3x2+6x﹣8 的值与 2x2﹣1 的值相等，则 x＝ ．
12．若实数 x 满足 ，则 ＝ ．
13．三角形两边的长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x2﹣16x+60＝0 的一个实数根，则该三角形
的面积是 ．
14．一个菱形的边长是方程 x2﹣ 9x+18＝ 0 的一个根其中一条对角线长为 6，则该菱形的面积
为 ．
15．对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号 min{a，b}表示 a、b 中的较小值．如：min{2，﹣3}＝﹣3，
按照这个规定，方程 min{x，x﹣1}＝x2﹣3 的解为 ．
16．选择适当方法解下列方程：
（1）x2﹣5x+1＝0（用配方法）； （2）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）；
（3）2x2﹣2 x﹣5＝0（公式法）； （4）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
17．T＝（a+3）2﹣（2+a）（2﹣a）
（1）化简 T；
（2）若 a 是方程 x2+3x﹣4＝0 的一个根，求 T 的值．
18．已知关于 x 的方程 x2+bx+c＝0 可以变形为（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．
下面通过列表探究 x2﹣8x+4＝0 的变形：
变形 m n p
x（x﹣8）＝﹣4 0 8 ﹣4
（x﹣4）2＝12 4 4 12
（x﹣1）（x﹣t）＝3 1 t 3
（x+1）（x﹣9）＝﹣13 ﹣1 9 ﹣13
（1）依据表格解答：
①求表格中 t 的值．
②观察上述探究过程，直接写出表格中 m 与 n 满足的等量关系；
（2）记 x2+bx+c＝0 的两种变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1 和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求
的值．
19．阅读材料：
在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次
方程来解．例如：
解方程：x2﹣3|x|+2＝0．
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2﹣3y+2＝0．
解得：y1＝1，y2＝2．
当 y＝1 时，|x|＝1，∴x＝±1；
当 y＝2 时，|x|＝2，∴x＝±2．
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
（1）解方程：x4﹣10x2+9＝0．
（2）解方程： ﹣ ＝1．
（3）若实数 x 满足 x2+ ﹣3x﹣ ＝2，求 x+ 的值．
20．【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图 1 可以得到
（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请阅读并解答下列问题：
若 x 满足（32﹣x）（x﹣12）＝100，求（32﹣x）2+（x﹣12）2 的值．
解：设 32﹣x＝a，x﹣12＝b，则（32﹣x）（x﹣12）＝a b＝100，
∵a+b＝（32﹣x）+（x﹣12）＝20，
∴（32﹣x）2+（x﹣12）2＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝202﹣2×100＝200，
我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想．
【类比应用】
（1）若 xy＝8，x+y＝6，则 x2+y2 的值为 20 ；
（2）若 x 满足（2024﹣x）2+（x﹣2010）2＝176，求（2024﹣x）（x﹣2010）的值；
【迁移应用】
（3）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图 2 所示放置，其中 A，O，D 在一
直线上，连接 AC，BD，若 AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，则一块三角板的面积为 22 ．
