第 05 讲 二次函数与一元二次方程
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量运
①二次函数与一元二次方程的关系 用它们的关系解决相关题目。
②二次函数与一元二次不等式的关系 2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运用
它们的关系解决相关题目。
知识点 01 二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与 x 轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y ax2 bx c a 0 与 x 轴有两个交点 ax2 bx c 0 a 0 有 2 个 的实数根
根的判别式 b2 4ac 0。
y ax2 bx c a 0 与 x 轴有 个交点 ax2 bx c 0 a 0 有 2 个相等的实数根
2
根的判别式 b 4ac 0。
y ax2 bx c a 0 与 x 2轴没有交点 ax bx c 0 a 0 实数根 根的判别
b2 4ac ＜ 0。
y ax2二次函数 bx c 图象与 x 轴的交点 2即为一元二次方程 ax bx c 0的解。
2. y ax2 bx c a 0 与 y m（m 为常数且不为 0）的交点：
①若 y ax2 bx c y m ax2与 有两个交点，则方程 bx c m的根的判别式 0，方程有
两个 的实数根。
y ax2②若 bx c 与 y m 2有一个交点，则方程 ax bx c m的根的判别式 0，方程有
两个 的实数根。
y ax2③若 bx c 与 y m 2没有交点，则方程 ax bx c m的根的判别式 0，方程没有
实数根。
3. y ax2 bx c a 0 与 y mx n （m 为常数且不为 0）的交点：
①若 y ax2 bx c 与 y mx n 2有两个交点，则方程 ax bx c mx n 的根的判别式 0，
方程有两个 的实数根。
y ax2②若 bx c 与 y mx n 2有一个交点，则方程 ax bx c mx n 的根的判别式 0，
方程有两个 的实数根。
③若 y ax2 bx c 2与 y mx n 没有交点，则方程 ax bx c m的根的判别式 0，方程
没有实数根。
【即学即练 1】
1．如图，无论 x 为何值，y＝ax2+bx+c 恒为正的条件是（ ）
A．a＞0，b2﹣4ac＜0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0
C．a＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0
【即学即练 2】
2．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2
【即学即练 3】
3．若函数 y＝（m﹣3）x2﹣4x+2 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的值是（ ）
A．3 或 5 B．3 C．4 D．5
知识点 02 二次函数与一元二次不等式
1. 二次函数与一元二次不等式：
b2 4ac＞0 b2 4ac 0 b2 4ac＜0
抛物线的图象
a
大
于 不等式 ax
2 bx c＞0
全体实数
0 的解集
不等式 ax2 bx c＜0
无解 无解
的解集
抛物线的图象
A
小
于 不等式 ax
2 bx c＞0
无解 无解
0 的解集
2
不等式 ax bx c＜0
全体实数
的解集
【即学即练 1】
4．如图抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴是直线 x＝﹣1，与 x 轴的一个交点为（﹣5，0）．则 y＞0 的解
集 ．
题型 01 根据二次函数图象判断根的情况
【典例 1】如图，是抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象，图象交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C，关于 x 的一元二
次方程 ax2+bx+c＝0 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【变式 1】二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1＝0 的根的情
况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【变式 2】已知抛物线 y＝mx2+4x 的对称轴为直线 x＝2，则关于 x 的方程 mx2+4x＝3 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【变式 3】函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣3＝0 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【变式 4】二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+ax﹣b＝0 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
题型 02 根据图象或根的情况求未知系数
【典例 1】若抛物线 y＝kx2﹣2x﹣1 与 x 轴有两个不同的交点，则 k 的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 且 k≠0 D．k≥﹣1 且 k≠0
【变式 1】已知函数 y＝mx2+3mx+m﹣2 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m 的值为 ．
【变式 2】二次函数 y＝kx2﹣4x+4 的图象与 x 轴有公共点，则 k 的取值范围是 ．
【变式 3】在平面直角坐标系中，若抛物线 y＝x2+4x+k 与 x 轴只有一个交点，则 k＝ ．
【变式 4】抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过（0，﹣3），对称轴为直线 x＝﹣1，关于 x 的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0 在
﹣4＜x＜1 的范围内有实数根，则 n 的取值范围为（ ）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
题型 03 根据图象求方程的根或近似根
【典例 1】若 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0 的另一个解为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【变式 1】已知二次函数 y＝x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的一元
二次方程 x2﹣3x+m＝0 的两实数根是 ．
【变式 2】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点，则一元二次
方程 ax2+bx+c＝0 的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【变式 3】如图，点 A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则
方程 ax2+bx+c＝0 的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【变式 4】下表列出了函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量 x 与函数 y 的部分对应值．根据表中数据，判断
一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7
A．1 与 2 之间 B．﹣2 与﹣1 之间
C．﹣1 与 0 之间 D．0 与 1 之间
题型 04 根据图象求一元二次不等式的解集
【典例 1】抛物线 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x＝﹣1，则当 y＜0，x 的取值范围是
（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
【变式 1】函数 y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值 y＜0 成立的 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4 或 x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0 或 x＞2 D．0＜x＜2
【变式 2】已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当 y＞0 时，x 的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1 或 x＞2
【变式 3】抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称
轴为直线 x＝1，则当 y＜0 时，x 的取值范围是 ．
1．抛物线 y＝﹣x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小
2．如图，二次函数 y＝﹣x2+mx+n 的图象与 x 轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于 x 的一元二次方程﹣
x2+mx﹣n＝0 的解为（ ）
第 2 题 第 3 题 第 5 题
A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝5，x2＝﹣1
C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x＝5
3．二次函数 y＝ax2+bx 的图象如图所示，若一元二次方程 ax2+bx+m＝0 有实数根，则 m 的最大值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
4．已知函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+2＝0 的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个同号不等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个相等实数根
5．二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②﹣ ＞0；③当﹣1＜x＜
3 时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．已知抛物线 y＝ax2+bx+c 上的某些点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 …
y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 …
则该函数与 x 轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19
C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17
7．如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，图象上有两点分别为 A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），则方程
ax2+bx+c＝0 的一个解有可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
8．一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两个根为﹣3 和﹣1，则二次函数 y＝ax2+bx+c 的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
9．已知二次函数 的图象 l1，现将 l1 向下平移 k 个单位长度得到图象 l2．若 l1，l2 都
与 x 轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则 k 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．我们定义一种新函数：形如 y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画
出了“鹊桥”函数 y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线 x＝1；
③当﹣1≤x≤1 或 x≥3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大；
④当 x＝﹣1 或 x＝3 时，函数的最小值是 0；
⑤当 x＝1 时，函数的最大值是 4，
A．4 B．3 C．2 D．1
11．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为（﹣2，0），线段 AB 的长为
8，则抛物线的对称轴为直线 ．
12．关于 x 的二次函数 y＝2mx2+（8m+1）x+8m 的图象与 x 轴有交点，则 m 的范围是 ．
13．根据表格估计方程 x2+2x＝6 其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据上表，求方程 x2+2x＝6 的一个解大约是 .（精确到 0.01）
14．如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，P 为抛物线对称轴上动点，
则 PA+PC 取最小值时，点 P 坐标是 ．
15．若关于 x 的方程 x2﹣（m+3）x+m+6＝0 的两根 x1，x 22 满足 1＜x1≤2＜x2，则二次函数 y＝x ﹣（m+3）
x+m+6 的顶点纵坐标的最大值是 ．
16．已知二次函数 y＝x2+2x﹣3．
（1）画出函数的图象．
①把如表补充完整：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 …
②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象．
（2）根据所画的图象直接写出当 y＜0 时，x 的取值范围．
17．已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a＜0）．
（1）求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与 x 轴总有两个公共点；
（2）若点 A（m，y1），B（8，y2），C（m+6，y3）都在抛物线上，且 y3＜y2＜y1，求 m 的取值范围．
18．如图，抛物线与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线在第一象限的一个动点，点 Q 在线段 BC 上，且点 Q 始终在点 P 正下方，求线段 PQ 的
最大值．
19．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数的图象的顶点 D 的坐标为（4，﹣3），该图象与 x 轴相交于点 A、
B，与 y 轴相交于点 C，其中点 A 的横坐标为 1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点 P（m，n）是该二次函数的图象上一动点，求 2m+3n 的最小值．
20．已知关于 x 的二次函数 y＝x2﹣bx+c
（1）若该函数的图象与 x 轴的交点坐标是（﹣1，0），（2，0），求 b﹣2c 的值；
（2）若该函数的图象的顶点纵坐标为 3，
①用含 b 的代数式表示 c；
②当 1＜x＜m 时，y 的取值范围是 3≤y＜4，求 c 的取值范围．第 05 讲 二次函数与一元二次方程
课程标准 学习目标
1. 掌握二次函数与一元二次方程的基本关系，并能够数量运
①二次函数与一元二次方程的关系 用它们的关系解决相关题目。
②二次函数与一元二次不等式的关系 2. 掌握二次函数与一元二次不等式的关系，并能够数量运用
它们的关系解决相关题目。
知识点 01 二次函数与一元二次方程的关系
1. 二次函数与 x 轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y ax2 bx c a 0 与 x 轴有两个交点 ax2 bx c 0 a 0 有 2 个 不相等 的实数根
根的判别式 b2 4ac ＞ 0。
y ax2 bx c a 0 与 x 轴有 1 个交点 ax2 bx c 0 a 0 有 2 个相等的实数根
2
根的判别式 b 4ac = 0。
y ax2 bx c a 0 2与 x 轴没有交点 ax bx c 0 a 0 没有 实数根 根的判别
b2 4ac ＜ 0。
二次函数图象与 x 轴的交点 横坐标 即为一元二次方程的解。
2. y ax2 bx c a 0 与 y m（m 为常数且不为 0）的交点：
①若 y ax2 bx c 与 y m 2有两个交点，则方程 ax bx c m的根的判别式 大于 0，方程
有两个 不相等 的实数根。
②若 y ax2 bx c 与 y m有一个交点，则方程 ax2 bx c m的根的判别式 等于 0，方程
有两个 相等 的实数根。
y ax2③若 bx c 与 y m 2没有交点，则方程 ax bx c m的根的判别式 小于 0，方程没
有实数根。
3. y ax2 bx c a 0 与 y mx n （m 为常数且不为 0）的交点：
y ax2①若 bx c 2与 y mx n 有两个交点，则方程 ax bx c mx n 的根的判别式 大于
0，方程有两个 不相等 的实数根。
y ax2②若 bx c 与 y mx n 有一个交点，则方程 ax2 bx c mx n 的根的判别式 等于
0，方程有两个 相等 的实数根。
y ax2③若 bx c 与 y mx n 2没有交点，则方程 ax bx c m的根的判别式 小于 0，方
程没有实数根。
【即学即练 1】
1．如图，无论 x 为何值，y＝ax2+bx+c 恒为正的条件是（ ）
A．a＞0，b2﹣4ac＜0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0
C．a＞0，b2﹣4ac＞0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0
【分析】利用二次函数的性质得到 a＞0，利用判别式的意义得到Δ＜0，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵无论 x 为何值，y＝ax2+bx+c 恒为正，
∴抛物线开口向上，抛物线与 x 轴没有公共点，
∴a＞0，Δ＝b2﹣4ac＜0．
故选：A．
【即学即练 2】
2．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的解为（ ）
A．x1＝﹣4，x2＝2 B．x1＝﹣3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2 D．x1＝﹣2，x2＝2
【分析】根据抛物线的对称性求解．
【解答】解：因为抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，
设另一个交点的横坐标为 x，
则 x+2＝2×（﹣1），
解得：x＝﹣4，
故选：A．
【即学即练 3】
3．若函数 y＝（m﹣3）x2﹣4x+2 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的值是（ ）
A．3 或 5 B．3 C．4 D．5
【分析】分 m﹣3＝0 及 m﹣3≠0 两种情况考虑：当 m＝3 时，由一次函数图象与 x 轴只有一个交点，可
得出 m＝3 符合题意；当 m≠3 时，由二次函数图象与 x 轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于
m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值．综上即可得出结论．
【解答】解：①当 m﹣3＝0，即 m＝3 时，y＝﹣4x+2，
令 y＝0，则﹣4x+2＝0，
解得 x＝ ，
∴此时函数 y＝（m﹣3）x2﹣4x+2 的图象与 x 轴只有一个交点，
②当 m﹣3≠0 时，
∵二次函数 y＝（m﹣3）x2﹣4x+2 的图象与 x 轴只有一个交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣8（m﹣3）＝0，
解得 m＝5．
综上所述，当图象与 x 轴有且只有一个交点时，m 的值为 3 或 5．
故选：A．
知识点 02 二次函数与一元二次不等式
1. 二次函数与一元二次不等式：
b2 4ac＞0 b2 4ac 0 b2 4ac＜0
抛物线的图象
a
大
2
于 不等式 ax bx c＞0 b x＜x1或x＞x2 x 全体实数
0 的解集 2a
2
不等式 ax bx c＜0
x1＜x＜x2 无解 无解
的解集
抛物线的图象
A
小
2
于 不等式 ax bx c＞0 x1＜x＜x2 无解 无解
0 的解集
2
不等式 ax bx c＜0
x＜x1或x x
b
＞ 2 x 全体实数
的解集 2a
【即学即练 1】
4．如图抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴是直线 x＝﹣1，与 x 轴的一个交点为（﹣5，0）．则 y＞0 的解集 ﹣
5＜x＜3 ．
【分析】依据题意，由对称轴是直线 x＝﹣1，与 x 轴的一个交点为（﹣5，0），结合对称性可得另一交点
为（3，0），再结合图象可以得解．
【解答】解：由题意，∵对称轴是直线 x＝﹣1，与 x 轴的一个交点为（﹣5，0），
∴根据对称性可得另一交点为（3，0）．
由抛物线开口向下，
∴当 y＞0 时，﹣5＜x＜3．
故答案为：﹣5＜x＜3．
题型 01 根据二次函数图象判断根的情况
【典例 1】如图，是抛物线 y＝ax2+bx+c 的图象，图象交 x 轴于点 A、B，交 y 轴于点 C，关于 x 的一元二
次方程 ax2+bx+c＝0 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】依据题意，由抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，
∴方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根．
故选：A．
【变式 1】二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1＝0 的根的情
况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】一元二次方程 ax2+bx+1＝0 的根即为二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线 y＝﹣1 的交点
的横坐标，结合图象即可得到答案．
【解答】解∵方程 ax2+bx+1＝0 可化为 ax2+bx＝﹣1，
∴一元二次方程 ax2+bx+1＝0 的根即为二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线 y＝﹣1 的交点的横坐
标，
结合图象，可知二次函数 y＝ax2+bx（a≠0）的图象与直线 y＝﹣1 有两个不同的交点，即方程 ax2+bx+1＝
0 有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式 2】已知抛物线 y＝mx2+4x 的对称轴为直线 x＝2，则关于 x 的方程 mx2+4x＝3 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
【分析】根据抛物线的对称轴求出 m 的值，再解方程即可．
【解答】解：∵抛物线 y＝mx2+4x 的对称轴为直线 x＝2，
∴﹣ ＝2，
解得 m＝﹣1，
∴﹣x2+4x＝3，
整理得 x2﹣4x+3＝0，
解得 x＝1 或 x＝3，
∴方程 mx2+4x＝3 有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式 3】函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣3＝0 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根
D．没有实数根
【分析】一元二次方程 ax2+bx+c﹣3＝0 的根可以看成 y＝ax2+bx+c 和 y＝3 的交点，即可求解．
【解答】解：一元二次方程 ax2+bx+c﹣3＝0 的根可以看成 y＝ax2+bx+c 和 y＝3 的交点，
从图象看，上述两个函数的交点只有一个，
故一元二次方程 ax2+bx+c﹣3＝0 的根为：有两个相等的实数根．
故选 C．
【变式 4】二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 x2+ax﹣b＝0 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据函数图象可知 a＞0，b＞0，从而可以得到关于 x 的一元二次方程 x2+ax﹣b＝0 的根的情况，
本题得以解决．
【解答】解：由函数图象可知，a＞0，b＞0，
∴Δ＝a2+4b＞0，
故一元二次方程 x2+ax﹣b＝0 有两个不相等的实数根，
故选：A．
题型 02 根据图象或根的情况求未知系数
【典例 1】若抛物线 y＝kx2﹣2x﹣1 与 x 轴有两个不同的交点，则 k 的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1 且 k≠0 D．k≥﹣1 且 k≠0
【分析】根据抛物线 y＝kx2﹣2x﹣1 与 x 轴有两个不同的交点，得出 b2﹣4ac＞0，进而求出 k 的取值范
围．
【解答】解：∵二次函数 y＝kx2﹣2x﹣1 的图象与 x 轴有两个交点
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0
∴k＞﹣1
∵抛物线 y＝kx2﹣2x﹣1 为二次函数
∴k≠0
则 k 的取值范围为 k＞﹣1 且 k≠0．
故选：C．
【变式 1】已知函数 y＝mx2+3mx+m﹣2 的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数 m 的值为 或
2 ．
【分析】函数 y＝mx2+3mx+m﹣2 的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣2＝
0，m＝2，②与 x、y 轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
【解答】解：当 m＝0 时，y＝﹣2，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当 m≠0 时，
∵函数 y＝mx2+3mx+m﹣2 的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣2＝0，
∴m＝2，
②与 x、y 轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣2）＝0，
解得 m＝0（舍去）或 m＝﹣ ，
综上所述：m 的值为 2 或﹣ ，
故答案为：2 或﹣ ．
【变式 2】二次函数 y＝kx2﹣4x+4 的图象与 x 轴有公共点，则 k 的取值范围是 k≤1 且 k≠0 ．
【分析】先根据二次函数的定义得到 k≠0，再根据抛物线与 x 轴的交点问题得到Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥
0，然后解不等式即可得到 k 的值．
【解答】解：∵二次函数 y＝kx2﹣4x+4 的图象与 x 轴有公共点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k×4≥0，解得 k≤1，
又∵y＝kx2﹣4x+4 是二次函数，
∴k≠0，
∴k 的取值范围是 k≤1 且 k≠0．
故答案为：k≤1 且 k≠0．
【变式 3】在平面直角坐标系中，若抛物线 y＝x2+4x+k 与 x 轴只有一个交点，则 k＝ 4 ．
【分析】由Δ＝0 求解．
【解答】解：∵抛物线 y＝x2+4x+k 与 x 轴只有一个交点，
∴Δ＝42﹣4k＝0，
解得 k＝4，
故答案为：4．
【变式 4】抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过（0，﹣3），对称轴为直线 x＝﹣1，关于 x 的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0 在
﹣4＜x＜1 的范围内有实数根，则 n 的取值范围为（ ）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
【分析】x＝﹣4 比 x＝1 离对称轴远，故关于 x 的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0 在﹣4＜x＜1 的范围内有实数根，
则 n 在 y＝﹣11 和顶点之间，进而求解．
【解答】解：由题意得 ，解得 ，
故抛物线的表达式为 y＝﹣x2﹣2x﹣3，
则抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
函数的大致图象如下：
当 x＝﹣4 时，y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣11，
∵x＝﹣4 比 x＝1 离对称轴远，故关于 x 的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0 在﹣4＜x＜1 的范围内有实数根，
则 n 在 y＝﹣11 和顶点之间，
即﹣11＜n≤﹣2，
故选：C．
题型 03 根据图象求方程的根或近似根
【典例 1】若 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c＝0 的另一个解为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方
程 ax2+bx+c＝0 的解．
【解答】解：∵根据图示知，抛物线与 x 轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线 x＝1，
∴根据对称性，抛物线与 x 轴的另一交点为（﹣1，0），
∴令 y＝0，即 ax2+bx+c＝0，
∴方程 ax2+bx+c＝0 的解是 x1＝﹣1，x2＝3．
即方程的另一解为﹣1．
故选：B．
【变式 1】已知二次函数 y＝x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），则关于 x 的一元
二次方程 x2﹣3x+m＝0 的两实数根是 x1＝1，x2＝2 ．
【分析】关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m＝0 的两实数根就是二次函数 y＝x2﹣3x+m（m 为常数）的图
象与 x 轴的两个交点的横坐标．
【解答】解：∵二次函数的解析式是 y＝x2﹣3x+m（m 为常数），
∴该抛物线的对称轴是：x＝ ．
又∵二次函数 y＝x2﹣3x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），
∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（2，0），
∴关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+m＝0 的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．
故答案为：x1＝1，x2＝2．
【变式 2】如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点，则一元二次
方程 ax2+bx+c＝0 的正数解的范围是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴 x＝1，可以算出
右侧交点横坐标的取值范围．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c 的顶点为（1，﹣4），
∴对称轴为 x＝1，
而对称轴左侧图象与 x 轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，
∴右侧交点横坐标的取值范围是 4＜x＜5．
故选：C．
【变式 3】如图，点 A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），在二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则
方程 ax2+bx+c＝0 的一个近似值可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51 和 0.54，可得当函数值为 0 时，x 的取值应在所
给的自变量两个值之间．
【解答】解：∵图象上有两点分别为 A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当 x＝2.18 时，y＝﹣0.51；x＝2.68 时，y＝0.54，
∴当 y＝0 时，2.18＜x＜2.68，
只有选项 D 符合，
故选：D．
【变式 4】下表列出了函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）中自变量 x 与函数 y 的部分对应值．根据表中数据，判断
一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在哪两个相邻的整数之间（ ）
x ﹣2 ﹣1 0 1 2
y 1 2 1 ﹣2 ﹣7
A．1 与 2 之间 B．﹣2 与﹣1 之间
C．﹣1 与 0 之间 D．0 与 1 之间
【分析】观察表格可知，y 随 x 的值逐渐增大，ax2+bx+c 的值在 0～1 之间由正到负，故可判断一元二次
方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解在 0～1 之间．
【解答】解：∵当 x＝0 时，y＝1，x＝1 时，y＝﹣2，
∴函数在 0～1 之间由正到负，
∴一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在 0 与 1 之间，
故选：D．
题型 04 根据图象求一元二次不等式的解集
【典例 1】抛物线 y＝ax2+bx+c 的部分图象如图所示，对称轴为直线 x＝﹣1，则当 y＜0，x 的取值范围是
（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣1 C．﹣3＜x＜1 D．﹣4≤x≤1
【分析】则根据函数的对称性，另外一个交点坐标为（﹣3，0），进而求解．
【解答】解：∵抛物线与 x 轴的一个交点为（1，0），函数的对称轴为 x＝﹣1，
则根据函数的对称性，函数与 x 轴另外一个交点坐标为（﹣3，0），
故当 y＜0 时，x 的取值范围是﹣3＜x＜1，
故选：C．
【变式 1】函数 y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值 y＜0 成立的 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4 或 x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0 或 x＞2 D．0＜x＜2
【分析】首先求出抛物线的对称轴方程，进而利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标
为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：抛物线 y＝ax2+2ax+m 的对称轴为直线：
x＝﹣
＝﹣1．
抛物线与 x 轴的一个交点坐标为：（2，0），
由二次函数图象性质可知，x 轴的另一个交点与（2，0）关于 x＝﹣1 对称，
所以另外一个交点的坐标为：（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当 x＜﹣4 或 x＞2 时，y＜0．
故选：A．
【变式 2】已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当 y＞0 时，x 的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1 或 x＞2
【分析】根据函数图象中的数据和二次函数的性质，可以写出当 y＞0 时，x 的取值范围，本题得以解
决．
【解答】解：由图象可知，
当 y＞0 时，x 的取值范围是 x＜﹣1 或 x＞2，
故选：D．
【变式 3】抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称
轴为直线 x＝1，则当 y＜0 时，x 的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据抛物线与 x 轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与 x 轴的另一个交
点，再根据抛物线的增减性可求当 y＜0 时，x 的取值范围．
【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线 x＝1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（﹣1，0），
由图象可知，当 y＜0 时，x 的取值范围是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
1．抛物线 y＝﹣x2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从表可知，下列说法中，错误的是（ ）
A．抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线
D．抛物线在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小
【分析】依据题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6），从而可得抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
与 y 轴交于点（0，6），故可判断 A、B；根又据表格数据可得抛物线对称轴是直线 x＝ ＝ ，故可
判断 C；又 a＝﹣1＜0，从而当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大，故可判断 D．
【解答】解：由题意，抛物线过（﹣2，0），（0，6），
∴抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），与 y 轴交于点（0，6），故 A、B 正确．
根据表格数据可得抛物线对称轴是直线 x＝ ＝ ，故 C 正确．
∵a＝﹣1＜0，
∴当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大，故 D 错误．
综上，错误的是 D．
故选：D．
2．如图，二次函数 y＝﹣x2+mx+n 的图象与 x 轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于 x 的一元二次方程﹣
x2+mx﹣n＝0 的解为（ ）
A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝5，x2＝﹣1
C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x＝5
【分析】依据题意，根据函数的图象可得，二次函数 y＝﹣x2+mx+n 的对称轴是直线 x＝2，又图象与 x
轴的一个交点坐标为（5，0），结合对称性可得图象与 x 轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，
0），进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，二次函数 y＝﹣x2+mx+n 的对称轴是直线 x＝2，
又图象与 x 轴的一个交点坐标为（5，0），
∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，0）．
∴关于 x 的一元二次方程﹣x2+mx﹣n＝0 的解为 x1＝5，x2＝﹣1．
故选：B．
3．二次函数 y＝ax2+bx 的图象如图所示，若一元二次方程 ax2+bx+m＝0 有实数根，则 m 的最大值为（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到该函数的最小值，再根据一元二次方程 ax2+bx+m＝0 有实数
根，从而可以求得 m 的取值范围，从而可以得到 m 的最大值．
【解答】解：由图象可得，
二次函数 y＝ax2+bx 的最小值是 y＝﹣3，
∵一元二次方程 ax2+bx+m＝0 有实数根，
即一元二次方程 ax2+bx＝﹣m 有实数根，
也就是 y＝ax2+bx 与 y＝﹣m 有交点，
∴﹣m≥﹣3，
解得：m≤3，
∴m 的最大值是 3，
故选：A．
4．已知函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 ax2+bx+c+2＝0 的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个同号不等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个相等实数根
【分析】由图象可知 a，b，c 的取值范围，利用根的判别式和根与系数的关系可得根的情况．
【解答】解：由图象可知 a＜0，b＞0，c＞0，b2﹣4ac＞0，
∴关于 x 的方程 ax2+bx+c+2＝0 的根的判别式为：Δ＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a，
∵a＜0，∴﹣8a＞0，
∵b2﹣4ac＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
又∵两根之和为 ＞0，两根之积为 ＜0，
∴两根异号，
故选：C．
5．二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②﹣ ＞0；③当﹣1＜x＜
3 时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】依据题意，由函数图象与 y 轴交于负半轴，则当 x＝0 时，y＝c＜0，故可判断①；又根据函数
的图象可得，a﹣b+c＝0，且 9a+3b+c＝0，进而 8a+4b＝0，则 b＝﹣2a，从而对称轴是直线 x＝﹣ ＝﹣
＝1＞0，故可判断②；依据题意，当 x＝﹣1 或 x＝3 时，y＝0，且抛物线 y＝ax2+bx+c 开口向上，
进而可以判断③．
【解答】解：由题意，∵函数图象与 y 轴交于负半轴，
∴当 x＝0 时，y＝c＜0，故①正确．
又根据函数的图象可得，a﹣b+c＝0，且 9a+3b+c＝0，
∴8a+4b＝0．
∴b＝﹣2a．
∴对称轴是直线 x＝﹣ ＝﹣ ＝1＞0，故②正确．
由题意，∵x＝﹣1 或 x＝3 时，y＝0，且抛物线 y＝ax2+bx+c 开口向上，
∴当﹣1＜x＜3 时，y＜0，故③正确．
故选：D．
6．已知抛物线 y＝ax2+bx+c 上的某些点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如下表：
x … ﹣7.21 ﹣7.20 ﹣7.19 ﹣7.18 ﹣7.17 …
y … ﹣0.04 ﹣0.03 0.01 0.02 0.03 …
则该函数与 x 轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ）
A．﹣7.21＜x＜﹣7.20 B．﹣7.20＜x＜﹣7.19
C．﹣7.19＜x＜﹣7.18 D．﹣7.18＜x＜﹣7.17
【分析】依据题意，可得抛物线随 x 的增大而增大，又当 x＝﹣7.20 时，y＝﹣0.03＜0，而当 x＝﹣7.19
时，y＝0.01＞0，进而在﹣7.20＜x＜﹣7.19 时，必有有一个 x 的值使得 y＝0，故可得判断得解．
【解答】解：由题意，抛物线随 x 的增大而增大，
又∵当 x＝﹣7.20 时，y＝﹣0.03＜0，而当 x＝﹣7.19 时，y＝0.01＞0，
∴在﹣7.20＜x＜﹣7.19 时，必有有一个 x 的值使得 y＝0．
∴该函数与 x 轴的其中一个交点的横坐标的范围是﹣7.20＜x＜﹣7.19．
故选：B．
7．如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，图象上有两点分别为 A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54），则方程
ax2+bx+c＝0 的一个解有可能是（ ）
A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45
【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51 和 0.54，可得当函数值为 0 时，x 的取值应在所
给的自变量两个值之间．
【解答】解：∵图象上有两点分别为 A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），
∴当 x＝2.18 时，y＝﹣0.51；x＝2.68 时，y＝0.54，
∴当 y＝0 时，2.18＜x＜2.68，
只有选项 D 符合，
故选：D．
8．一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两个根为﹣3 和﹣1，则二次函数 y＝ax2+bx+c 的对称轴是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣1
【分析】根据连根之和公式可以求出对称轴公式．
【解答】解：∵一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两个根为﹣3 和﹣1，
∴x1+x2＝﹣ ＝﹣4．
∴对称轴为直线 x＝﹣ ＝ ×（﹣ ）＝ ×（﹣4）＝﹣2．
故选：A．
9．已知二次函数 的图象 l1，现将 l1 向下平移 k 个单位长度得到图象 l2．若 l1，l2 都
与 x 轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则 k 的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】二次函数与 x 轴的交点问题，当 y＝0 时，求得抛物线与 x 轴的两个交点坐标为：（m，0），
（m+9，0），则抛物线与 x 轴的交点之间的距离为 9，根据题意四个交点间的距离都相等，即每相邻两点
间的距离为 3，于是得到平移后的抛物线与 x 轴的交点坐标为（m+3，0），（m+6，0），利用交点式写出
平移后的抛物线解析式为 ，即 ，接着
用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为 ，从而得到 k 的值．
【解答】解：当 y＝0 时， ，
解得：x1＝m，x2＝m+9，
∴抛物线 与 x 轴的两个交点坐标为：（m，0），（m+9，0），
∴抛物线与 x 轴的交点之间的距离为：m+9﹣m＝9，
∵二次函数 的图象 l1 与其向下平移 k 个单位长度得到图象 l2 也与 x 轴有两个交
点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
∴每相邻两点间的距离都为 3，
∴平移后的抛物线与 x 轴的交点坐标为：（m+3，0），（m+6，0），
∴平移后的抛物线 l2 解析式为： ，
即 ，
∵抛物线 向下平移 k 个单位所得的抛物线解析式为：
，
∴k＝6，
故选：A．
10．我们定义一种新函数：形如 y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画
出了“鹊桥”函数 y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线 x＝1；
③当﹣1≤x≤1 或 x≥3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大；
④当 x＝﹣1 或 x＝3 时，函数的最小值是 0；
⑤当 x＝1 时，函数的最大值是 4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以
看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，
发现当﹣1≤x≤1 或 x≥3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就
是与 x 轴的两个交点，根据 y＝0，求出相应的 x 的值为 x＝﹣1 或 x＝3，因此④也是正确的；从图象上
看，当 x＜﹣1 或 x＞3，函数值要大于当 x＝1 时的 y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之
后，可得出答案．
【解答】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数 y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 x＝1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1 或 x≥3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，因此③也是
正确的；
④函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据 y＝0，求出相应的 x 的值为 x＝﹣1 或 x＝3，因此④
也是正确的；
⑤从图象上看，当 x＜﹣1 或 x＞3，存在函数值要大于当 x＝1 时的 y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确
的；
故选：A．
11．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A，B 两点，若点 A 的坐标为（﹣2，0），线段 AB 的长为
8，则抛物线的对称轴为直线 x＝2 或 x＝﹣6 ．
【分析】由点 A 的坐标及 AB 的长度可得出点 B 的坐标，由抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴．
【解答】解：∵点 A 的坐标为（﹣2，0），线段 AB 的长为 8，
∴点 B 的坐标为（6，0）或（﹣10，0）．
∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于 A、B 两点，
∴抛物线的对称轴为直线 x＝ ＝2 或 x＝ ＝﹣6．
故答案为：x＝2 或 x＝﹣6．
12．关于 x 的二次函数 y＝2mx2+（8m+1）x+8m 的图象与 x 轴有交点，则 m 的范围是 且 m≠
0 ．
【分析】二次函数图象与 x 轴有交点，则Δ＝b2﹣4ac≥0，且 m≠0，列出不等式则可．
【解答】解：由题意知： ，解得 m 且 m≠0．
13．根据表格估计方程 x2+2x＝6 其中一个解的近似值．
x 1.63 1.64 1.65 1.66 …
x2+2x 5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 …
根据上表，求方程 x2+2x＝6 的一个解大约是 1.65 .（精确到 0.01）
【分析】先根据表中所给的数，再与 6 相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．
【解答】解：根据题意得：
6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，
可见 6.0225 比 5.9696 更逼近 6，
当精确度为 0.01 时，方程 x2+2x＝6 的一个解约是 1.65；
故答案为：1.65．
14．如图，抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，P 为抛物线对称轴上动点，
则 PA+PC 取最小值时，点 P 坐标是 （ ， ） ．
【分析】首先连接 BC 交抛物线的对称轴 l 于 P 点，此时 PA+PC 的值最小时，然后利用待定系数法求得
直线 BC 的解析式，继而求得答案．
【解答】解：连接 BC，交抛物线的对称轴于一点，由抛物线的对称性可知，该点即为所求的点 P，
∵抛抛物线 与 y 轴交于点 C，
∴点 C 的坐标为（0，2），
令 y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，
解得 x1＝ ，x2＝﹣ ，
∵A（﹣ ，0），B（ ，0），
设直线 BC 的函数表达式为 y＝kx+b，
把 B（ ，0）和 C（0，2）代入，
得： ，
解得： ，
∴直线 BC 的函数表达式为 y＝﹣ x+2．
∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝ ，
∴当 x＝ 时，y＝﹣ × +2＝ ，
∴点 P 的坐标为（ ， ），
即当 PA+PC 的值最小时，点 P 的坐标为（ ， ），
故答案为：（ ， ）．
15．若关于 x 的方程 x2﹣（m+3）x+m+6＝0 的两根 x1，x2 满足 1＜x1≤2＜x2，则二次函数 y＝x2﹣（m+3）
x+m+6 的顶点纵坐标的最大值是 ．
【分析】首先推导出二次函数的对称轴为直线 x＝ ，顶点为（ ，﹣ ），图象开口向
上，进而得到 x1 在对称轴的左侧，1＜x1≤2，当 x1＝2 时，点（x1，0）距对称轴最近，顶点最高，此时
顶点纵坐标取得最大值，代入求解即可．
【解答】解：∵关于 x 的方程 x2﹣（m+3）x+m+6＝0 的两根 x1，x2 满足 1＜x1≤2＜x2，
∴Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+6）＝m2+2m﹣15＝（m+5）（m﹣3）＞0，
∴m＞3 或 m＜﹣5，
∵x1+x2＝m+3＞1+2＝3，
∴m＞0，
∴m＞3，
∵二次函数 y＝x2﹣（m+3）x+m+6＝ ﹣ +4，
∴对称轴为直线 x＝ ，顶点为（ ，﹣ ），图象开口向上，
∴当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小，
∴x1 在对称轴的左侧，1＜x1≤2，
∴当 x1＝2 时，点（x1，0）距对称轴最近，顶点最高，此时顶点纵坐标取得最大值，
∴22﹣2（m+3）+m+6＝0，
∴m＝4，
∴顶点纵坐标的最大值是 +4＝﹣ ，
故答案为： ．
16．已知二次函数 y＝x2+2x﹣3．
（1）画出函数的图象．
①把如表补充完整：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 …
②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象．
（2）根据所画的图象直接写出当 y＜0 时，x 的取值范围．
【分析】（1）将 x＝1、﹣1、﹣2、﹣3 分别代入二次函数 y＝x2+2x﹣3 即可求解，
（2）由函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）①将 x＝1、﹣1、﹣2、﹣3 分别代入二次函数 y＝x2+2x﹣3，
解得 y＝0、﹣4、﹣3、0，
表格补充如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
画出图象如下图：
（2）由图象可知：
当 y＜0 时，则﹣3＜x＜1，
故答案为：﹣3＜x＜1．
17．已知抛物线 y＝ax2+bx+3（a＜0）．
（1）求证：在平面直角坐标系中，该抛物线与 x 轴总有两个公共点；
（2）若点 A（m，y1），B（8，y2），C（m+6，y3）都在抛物线上，且 y3＜y2＜y1，求 m 的取值范围．
【分析】（1）依据题意，由 a＜0，从而﹣12a＞0，又 b2≥0，故 b2﹣12a＞0，则△＞0，进而可以判断得
解；
（ 2）依据题意，由点 A（m， y1 ）C（m+6， y1 ）都在抛物线上，从而抛物线的对称轴为
，进而分 m+3＜0 与 m+3＞0 进行分类讨论，即可判断得解．
【解答】（1）证明：由题意，Δ＝b2﹣12a．
∵a＜0，
∴﹣12a＞0．
∵b2≥0，
∴b2﹣12a＞0，即△＞0．
∴该抛物线与 x 轴总有两个公共点．
（2）解：由题意，∵点 A（m，y1）C（m+6，y1）都在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为 ．
当 m+3＜0，即 m＜﹣3 时，
∵3＜y2＜y1，
∴可作抛物线草图如图 1、2，
由图可知，此时点 B 的横坐标小于 0，与题目矛盾，
∴舍去．
当 m+3＞0，即 m＞﹣3 时，
∵3＜y2＜y1，∴可作抛物线草图如图 3：
由图可得，
，
∴m＞8．
作抛物线草图如图 4：
由图可得，
，
∴1＜m＜2．
综上所述，m 的取值范围是 m＞8 或 1＜m＜2．
18．如图，抛物线与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（4，0），与 y 轴交于点 C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 是抛物线在第一象限的一个动点，点 Q 在线段 BC 上，且点 Q 始终在点 P 正下方，求线段 PQ 的
最大值．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）设经过点 B、C 的直线解析式为 y＝mx+n，求出经过点 B、C 的直线解析式为 y＝﹣x+4，设点
，点 Q（x，﹣x+4），求出 ，
然后求出最大值即可．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点 C（0，4），
∴可设抛物线解析式为 y＝ax2+bx+4，
将点 A（﹣2，0），B（4，0）代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为： ．
（2）设经过点 B、C 的直线解析式为 y＝mx+n，
将点 B（4，0），C（0，4）代入，得 ，
解得 ，
∴经过点 B、C 的直线解析式为 y＝﹣x+4，
设点 ，点 Q（x，﹣x+4），
∴ ，
∴当 x＝2 时，PQ 有最大值 2．
19．在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数的图象的顶点 D 的坐标为（4，﹣3），该图象与 x 轴相交于点 A、
B，与 y 轴相交于点 C，其中点 A 的横坐标为 1．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点 P（m，n）是该二次函数的图象上一动点，求 2m+3n 的最小值．
【分析】（1）根据顶点式设出二次函数解析式为 y＝a（x﹣4）2﹣3，再把点 A（1，0）代入解析式，求
出 ，从而可得出二次函数关系式为 ；
（2）由 P（m，n）是该二次函数的图象上一点求出 ，代入 2m+3n 可求解．
【解答】解：（1）∵图象与 x 轴相交于点 A，且点 A 的横坐标为 1，
∴A（1，0），
∵二次函数的图象的顶点 D 的坐标为（4，﹣3），
∴设二次函数的解析式为 y＝a（x﹣4）2﹣3，
把点 A（1，0）代入，得：a（1﹣4）2﹣3＝0
∴ ，
∴二次函数的解析工为： ；
（2） ，
∵P（m，n）是该二次函数的图象上一点，
∴ ，
∴
＝2m+m2﹣8m+7
＝m2﹣6m+7
＝（m﹣3）2﹣2，
∵（m﹣3）2≥0，
∴（m﹣3）2﹣2≥﹣2，即 2m+3n 的最小值为﹣2．
20．已知关于 x 的二次函数 y＝x2﹣bx+c
（1）若该函数的图象与 x 轴的交点坐标是（﹣1，0），（2，0），求 b﹣2c 的值；
（2）若该函数的图象的顶点纵坐标为 3，
①用含 b 的代数式表示 c；
②当 1＜x＜m 时，y 的取值范围是 3≤y＜4，求 c 的取值范围．
【分析】（1）依据题意得， ，可得①+②得，5﹣b+2c＝0，进而可以得解；
（2）①依据题意，由函数的图象的顶点纵坐标为 3，可得 ＝3，进而计算可以得解；
②依据题意得，y＝x2﹣bx+c＝（x﹣ ）2﹣ +c＝（x﹣ ）2+3，从而可得抛物线的对称轴是直线 x＝
，再分 时和 时，进行讨论即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意得， ，
∴①+②得，5﹣b+2c＝0．
∴b﹣2c＝5．
（2）①由题意，∵函数的图象的顶点纵坐标为 3，
∴ ＝3．
∴c＝ +3．
②由题意得，y＝x2﹣bx+c＝（x﹣ ）2﹣ +c＝（x﹣ ）2+3，
∴抛物线的对称轴是直线 x＝ ．
当 时，
∴4＝（m﹣ ）2+3．
∴m﹣ ＝±1．
∴ 或 （舍去）．
∴1＜ ≤ ．
∴2＜b≤4．
当 时，
∴4＝（1﹣ ）2+3．
∴b＝4 或 b＝0（舍去）．
综上：2＜b≤4．
∴4＜ +3≤7．
∴4＜c≤7．
