第 04 讲 二次函数 y ax2 bx c的图象和性质
课程标准 学习目标
①二次函数的三种形式 1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的
②二次函数 y ax2 bx c 的 转化。
图象与性质 2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象。
知识点 01 二次函数的三种形式
1. 二次函数的三种形式：
（1）一般式：
2
由定义可知，二次函数的一般式为 y ax bx c a 0 。
（2）顶点式：
能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。
即 y a x h 2 k a 0 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 k，k 。
（3）两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与 x 轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交
点式。即 y a x x1 x x2 a 0 。此时二次函数与 x 轴的两个交点坐标分别为 x1，0
与 x 0 x x2， 。二次函数的对称轴为 x 1 2 。函数值相等的两个点一定关于 对称轴 2
对称。
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
y ax2 bx c
b
a x2 x c
a
a x2 b b
2 b2
x
c
a 4a
2 4a2
b 2 b2 a x c
2a 4a
b 2a x 4ac b
2
2a 4a
【即学即练 1】
1．抛物线 y＝﹣（x+2）2﹣3 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3）
【分析】根据二次函数的顶点式即可得到抛物线 y＝﹣（x+2）2﹣3 的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
【解答】解：抛物线 y＝﹣（x+2）2﹣3 的顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：A．
【即学即练 2】
2．若抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过 A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【分析】由 A、B 两点的坐标，根据抛物线的对称性可求得答案．
【解答】解：∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（1，0）、B（3，0）两点，
∴抛物线对称轴为直线 x＝ ＝2，
故选：B．
【即学即练 3】
3．将二次函数 y＝x2﹣2x﹣1 化成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式是 y＝（x﹣1）2﹣2 ．
【分析】利用配方法再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣2＝（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣1）2﹣2．
知识点 02 二次函数的图象与性质（一般式）
1. 二次函数的一般式的图象与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
y ax2 bx c a 0 a＞0 a＜0
开口方向 开口向上 开口向下
a 的绝对值越大，开口越 小
开口大小
a 的绝对值越小，开口越 大
b 4ac b2 b 4ac b2
顶点坐标 （ ， ） （ ， ）
2a 4a 2a 4a
x b b x
2a 2a
对称轴
离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越远的函数值越 小
离对称轴越近的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大
对称轴右边 y 随 x 的增大而 增大 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 减小 。
增减性
对称轴左边 y 随 x 的增大而 减小 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 增大 。
函数轴最 小 值 函数轴最 大 值
最值 4ac b2 4ac b2
这个值是 。 这个值是 。
4a 4a
与 y 轴交点坐标 （0，c） （0，c）
【即学即练 1】
4．用配方法求出抛物线 y＝x2+2x﹣1 的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【分析】利用配方法把一般式变形为顶点式 y＝（x+1）2﹣2，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝x2+2x+1﹣2＝（x+1）2﹣2，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线 x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
【即学即练 2】
5．二次函数 y＝x2﹣2x﹣3 的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象与 y 轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与 x 轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
【分析】A、将 x＝0 代入 y＝x2﹣2x﹣3，求出 y＝﹣3，得出函数图象与 y 轴的交点坐标，即可判断；
B、将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断；
C、将 y＝0 代入 y＝x2﹣2x﹣3，求出 x 的值，得到函数图象与 x 轴的交点坐标，即可判断；
D、利用二次函数的增减性即可判断．
【解答】解：A、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0 时，y＝﹣3，
∴函数图象与 y 轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确；
B、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误；
C、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝0 时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得 x＝3 或﹣1，
∴函数图象与 x 轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确；
D、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线 x＝1，
又∵a＝1＞0，开口向上，
∴x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，
∴x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，故本选项说法正确；
故选：B．
【即学即练 3】
6．已知二次函数 y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点 A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则 y1，y2，
y3 的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线 x＝﹣ ＝ ，
∴当 x＞ 时，y 随 x 的增大而减小，
∵点 A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（ ，0），而 1＜ ＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
知识点 03 二次函数的图象与系数的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 a 决定， a＞0，开口向 上 ， a＜0，开口向 下 。
2. 二次函数的对称轴：
2由二次函数的性质可知，二次函数 y ax bx c a 0 b的对称轴为 x 。若 a，b同号，
2a
b b
则 x ＜ 0，二次函数的对称轴在 y 轴的 左边 ；若 a，b异号，则 x ＞ 0，
2a 2a
二次函数的对称轴在 y 轴的 右边 。简称左同右异。
b
①若二次函数的对称轴 x =1，则 2a b 0 。
2a
b
②若二次函数的对称轴 x =﹣1，则 2a b 0 。
2a
3. 二次函数与 y 轴的交点：
2二次函数 y ax bx c a 0 与 y 轴的交点坐标为 0，c 。
4. 二次函数与 x 轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y ax2 bx c a 0 2与 x 轴有两个交点 ax bx c 0 a 0 有 2 个 不相等 的实数根
2
根的判别式 b 4ac ＞ 0。
y ax2 bx c a 0 与 x 轴有 1 ax2个交点 bx c 0 a 0 有 2 个相等的实数根
b2根的判别式 4ac = 0。
y ax2 bx c a 0 2与 x 轴没有交点 ax bx c 0 a 0 没有 实数根 根的判别
b2 4ac ＜ 0。
2
拓展：在二次函数 y ax bx c 中：
a b c 是自变量为 1 的函数值， a b c 是自变量为 ﹣1 的函数值。
4a 2b c 是自变量为 2 的函数值， 4a 2b c 是自变量为 ﹣2 的函数值。
9a 3b c 是自变量为 3 的函数值，9a 3b c 是自变量为 ﹣3 的函数值。
【即学即练 1】
7．如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是直线 x＝﹣1，且过点（﹣3，0），如下结论：①
abc＞0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④若（﹣4，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则 y1＜y2；⑤a﹣b＞
m（am+b）；其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据图象判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，增减性判断④，最值判断⑤．
【解答】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为 ，与 y 轴交于负半轴，
∴a＞0，b＝2a＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，②正确；
∵图象过（﹣3，0），且对称轴为 x＝﹣1，
∴图象过（1，0），
∴a+b+c＝0；故③错误；
∵|﹣4﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，
∴y1＜y2；故④正确；
当 x＝﹣1 时，函数有最小值为 a﹣b+c，
∴a﹣b+c≤am2+bm+c，
∴a﹣b≤am2+bm＝m（am+b）；故⑤错误；
综上：正确的结论有 2 个；
故选：B．
知识点 04 待定系数法求二次函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
2
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 y ax bx c 。
2②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 y a(x h) k 。
③已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 y a(x x1)(x x2 ) 。
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。
【即学即练 1】
8．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）其图象经过（0，2），（﹣1，0），（2，0）三点；
（2）其图象顶点为（﹣1，4），且经过（2，﹣5）．
【分析】（1）设出二次函数的一般式 y＝ax2+bx+c，再把点（﹣1，7），（1，1），（2，﹣5）代入求解即可；
（2）由顶点坐标（1，4）设出顶点式 y＝a（x﹣1）2+4，再把点（﹣2，﹣5）代入求解即可．
【解答】解：（1）设 y＝ax2+bx+c，
把点（0，2），（﹣1，0），（2，0）代入得： ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 y＝﹣x2+x+2；
（2）∵顶点为（﹣1，4），
∴设 y＝a（x+1）2+4，
又∵过点（2，﹣5），
∴a（2+1）2+4＝﹣5，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为 y＝﹣（x+1）2+4，即 y＝﹣x2﹣2x+3．
题型 01 y ax2 bx c 的基本性质
【典例 1】对于二次函数 y＝x2﹣2x+3 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与 y 轴的交点为（0，2）
【分析】将函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵二次函数 y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数图象开口向上，故选项 A 错误，不符合题意；
对称轴是直线 x＝1，故选项 B 错误，不符合题意；
顶点坐标为（1，2），故选项 C 正确，符合题意；
与 y 轴的交点为（0，3），故选项 D 错误，不符合题意；
故选：C．
【变式 1】对二次函数 y＝ x2+2x+3 的性质描述正确的是（ ）
A．函数图象开口朝下
B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
C．该函数图象的对称轴在 y 轴左侧
D．该函数图象与 y 轴的交点位于 y 轴负半轴
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．
【解答】解：二次函数 y＝ x2+2x+3＝ （x+2）2+1，对称轴为直线 x＝﹣2．
A、a＝ ＞0，开口向上，本选项不符合题意；
B、当﹣2＜x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，本选项不符合题意；
C、该函数图象的对称轴在 y 轴左侧，本选项符合题意；
D、该函数图象与 y 轴的交点为（0，3），位于 y 轴，正半轴，本选项不符合题意；
故选：C．
【变式 2】已知抛物线 y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线 x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2）
D．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：抛物线 y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2 中，a＞0，抛物线开口向上，因此 A 选项正确，不符合
题意；
由解析式得，对称轴为直线 x＝1，因此 B 选项正确，不符合题意；
由解析式得，当 x＝1 时，y 取最小值，最小值为 2，所以抛物线的顶点坐标为（1，2），因此 C 选项正确，
不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝1，因此当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，因此 D 选项错误，符
合题意．
故选：D．
【变式 3】抛物线 y＝ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣5 0 3 n 3 …
则下列判断错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下
B．当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小
C．a﹣b+c＞0
D．该抛物线与 x 轴只有一个交点
【分析】先根据当 x＝﹣2 和当 x＝0 时的函数值相同，得到对称轴为直线 x＝﹣1，则由对称性可得，当
x＝1 时，y＝0，据此可判断 D；再由增减性即可判定 A、B；根据当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＞0，即可判
断 C．
【解答】解：∵当 x＝﹣2 和当 x＝0 时的函数值相同，
∴对称轴为直线 ，
∴由对称性可得，当 x＝1 时，y＝0，
∴抛物线与 x 轴有两个交点，故 D 说法错误，符合题意；
∵﹣3＜﹣2＜﹣1 且 0＜3，
∴在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，
∴抛物线开口向下，故 A 说法正确，不符合题意
∴当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小，n＞3＞0，故 B 说法正确，不符合题意
∴当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＞0，故 C 说法正确，不符合题意；
故选：D．
【变式 4】对于二次函数 y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．对称轴为直线 x＝1
B．一定经过点（2，3）
C．x＜1 时，y 随 x 增大而增大
D．当 a＞0，m≠1 时，am2﹣2am+3＞﹣a+3
【分析】根据各个选项中的说法和题目中的解析式可以判断各选项是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：A、y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）＝a（x﹣1）2﹣a+3，对称轴为直线 x＝1，不符合题意；
B、当 x＝2 时，y＝4a﹣4a+3＝3，一定经过点（2，3），不符合题意；
C、当 a＞0，x＜1 时，y 随 x 增大而减小，符合题意；
D、当 a＞0，m≠1 时，am2﹣2am+3＞﹣a+3，即 am2﹣2am+a＝a（m﹣1）2＞0，不符合题意．
故选：C．
题型 02 y ax2 bx c 的图象问题
【典例 1】二次函数 y＝ax2+4x+a 与一次函数 y＝ax+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分 a＞0 和 a＜0 两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解．
【解答】解：对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣ ，
a＞0 时，抛物线开口向上，对称轴在 y 轴左侧，与 y 轴正半轴的交于点（0，a），一次函数 y＝ax+a 经过
第一、二、三象限，与 y 轴正半轴的交于点（0，a），
a＜0 时，抛物线开口向下，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴负半轴的交于点（0，a），一次函数 y＝ax+a 经过
第二、三、四象限，与 y 轴正半轴的交于点（0，a）．
故选：D．
【变式 1】二次函数 y＝ax2+ax+c2+1（a，c 为常数，且 a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】求得抛物线的对称轴和与 y 轴的交点即可判断．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+ax+c2+1（a，c 为常数，且 a≠0），
∴对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣ ，在 y 轴的左侧，与 y 轴的交点为（0，c2+1）在正半轴，
故图象可能是 A．
故选：A．
【变式 2】一次函数 y＝cx+b 与二次函数 y＝ax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，与 y 轴的交点；一次函数经过的象限，与 y 轴的交点可得
相关图象，进而可得结论．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＞0，b＜0，c＞0，两
结论矛盾，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＞0，b＞0，c＞0，两结论一致，符
合题意；
C、由一次函数的图象可知，c＜0，b＜0，由二次函数的图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，两结论矛盾，不
符合题意；
D、由一次函数的图象可知，c＞0，b＞0，由二次函数的图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，两结论矛盾，不
符合题意；
故选：B．
【变式 3】一次函数 y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数 y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先由一次函数 y＝cx﹣a 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y＝ax2+x+c 的图象相比较看
是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知 a＜0，又 b＝1＞0，所以对称轴应该在 y 轴右侧，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＜0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知 a＜0，又 b＝1＞0，所以对称轴应该在 y 轴右侧，故本选项不符合题意．
故选：B．
【变式 4】二次函数 y＝ax2+2ax+b 与一次函数 y＝ax+b（a，b 是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐标系中
的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+2ax+b，
∴对称轴为直线 ，故 B，D 不符合题意；
∵当 x＝0 时，y＝ax2+2ax+b＝b，y＝ax+b＝b，
∴二次函数与一次函数交于 y 轴上的点（0，b），故 C 不符合题意，A 符合题意．
故选：A．
题型 03 y ax2 bx c 的点的坐标特征
【典例 1】已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为 A（3，y1）， ，
C ，则 y1，y2，y3 的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+b（a＜0），
∴二次函数的开口向下，对称轴是直线 ，
∴x＞1 时，y 随 x 的增大而减小，
∵C 点关于直线 x＝1 的对称点是 ，
∵ ，
∴y3＜y1＜y2，
故选：A．
【变式 1】已知抛物线 y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）经过 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 a＜0，则 y3＞y2＞y1 B．若 a＞0，则 y1＞y3＞y2
C．若 a＜0，则 y1＞y3＞y2 D．若 a＞0，则 y2＞y1＞y3
【分析】依据题意，由抛物线为 y＝﹣ax2+4ax+c，从而对称轴是直线 x＝﹣ ＝2，再由 a＞0
和 a＜0 进行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为 y＝﹣ax2+4ax+c，
∴对称轴是直线 x＝﹣ ＝2．
若 a＜0，则﹣a＞0，
∴抛物线开口向上．
∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
∵经过 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，
又 2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2，
∴y1＞y3＞y2，故 A 错误，C 正确．
若 a＞0，则﹣a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大
∵经过 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，
又 2﹣（﹣1）＞3﹣2＞2﹣2，
∴y2＞y3＞y1，故 B、D 错误．
故选：C．
【变式 2】已知点 M（x1，y1），点 N（x2，y2）是二次函数 y＝x2﹣2x 图象上的两点，其中 x1＜x2，则下列
说法不正确的是（ ）
A．若 x1＜x2＜0，则 y1＞y2
B．若 x1+x2＝2，则 y1＝y2
C．若|x1+1|＜|x2﹣1|，则 y1＞y2
D．若 0＜x1＜x2＜2，则 y1 y2＞0
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣ ＝1，抛物线与 x 轴的交点为（0，
0），（2，0），然后根据二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征进行判断即可．
【解答】解：由二次函数 y＝x2﹣2x 可知，抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣ ＝1，抛物线与 x
轴的交点为（0，0），（2，0），
A、若 x1＜x2＜0，则点 M（x1，y1），点 N（x2，y2）在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，
∴y1＞y2；故选项 A 正确，不合题意；
B、若 x1+x2＝2，则点 M（x1，y1），点 N（x2，y2）关于对称轴对称，
∴y1＝y2；故选项 B 正确，不合题意；
C、若|x1+1|＜|x2﹣1|，例如 x1＝0，x2＝5，满足|x1+1|＜|x2﹣1|，但点 M（0，y1）到对称轴的距离小于点 N
（5，y2）到对称轴的距离，此时 y1＜y2；故选项 C 不正确，符合题意；
D、若 0＜x1＜x2＜2，则点 M（x1，y1），点 N（x2，y2）在 x 轴的下方，y1＜0，y2＜0，
∴y1 y2＞0；故选项 D 正确，不合题意；
故选：C．
【变式 3】已知点 A（x1，y1）在直线 y＝﹣x﹣6 上，点 B（x2，y2），C（x ，y ）在抛物线 y＝﹣x23 3 ﹣4x﹣2
上，若 y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则 x1+x2+x3 的取值范围是（ ）
A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8
【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的 x 的
值，即可求得 x1 取值范围，根据抛物线的对称性求得 x2+x3＝﹣2，从而求得 x1+x2+x3 的取值范围．
【解答】解：令﹣x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣2，整理得 x2+3x﹣4＝0，
解得 x1＝1，x2＝﹣4，
∴直线 y＝﹣x﹣6 与抛物线的交点的横坐标为 1，﹣4，
∵y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝﹣2，顶点为（﹣2，2），
把 y＝2 代入 y＝﹣x﹣6，解得 x＝﹣8，
若 y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣4，x2+x3＝﹣4，
∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8，
故选：D．
【变式 4】若二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）图象，过不同的六点 A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，
n+1）、D（4，y1）、E（ ，y2）、F（2，y3），则 y1、y2、y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点 A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）求得抛物线对称
轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．
【解答】解：由二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）可知，抛物线开口向上，
∵A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，n+1）、
∴A 点关于对称轴的对称点在 5 与 6 之间，
∴对称轴的取值范围为 2＜x＜2.5，
∴y1＞y3，
∵点 E 到对称轴的距离小于 2.5﹣ ，点 D 到对称轴的距离大于 4﹣2.5＝1.5，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
题型 04 二次函数的最值问题
【典例 1】已知抛物线 y＝2x2﹣4x+3 在自变量 x 的值满足 m≤x≤m+2 时，与其对应的函数值 y 的最大值为
9，则 m 的值为（ ）
A．﹣1 或 5 B．﹣1 或 2 C．﹣1 或 1 D．1 或 4
【分析】依据题意，由抛物线为 y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，从而抛物线开口向上，当 x＝1 时，y 取
最小值为 1；当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，再根据 m+2≤1、m≥
1 和 m＜1＜m+2 分别进行分类讨论，结合对应的函数值 y 的最大值为 9，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为 y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线开口向上，当 x＝1 时，y 取最小值为 1；当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞1 时，y 随 x
的增大而增大．
①当 m+2≤1 时，即 m≤﹣1，
∴当 x＝m 时，y 取最大值为 2m2﹣4m+3＝9．
∴m＝﹣1 或 m＝3（舍去）．
②当 m≥1 时，
∴当 x＝m+2 时，y 取最大值为 2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9．
∴m＝﹣3（舍去）或 m＝1．
③当 m＜1＜m+2 时，即﹣1＜m＜1，
∴当 x＝m 或 x＝m+2 时，y 取最大值为 2m2﹣4m+3＝9 或 2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9．
∴m＝﹣1 或 m＝3，或 m＝﹣3 或 m＝1，均不符合题意．
综上，m＝﹣1 或 m＝1．
故选：C．
【变式 1】当 a﹣2≤x≤a 时，二次函数 y＝x2﹣4x+3 的最小值为 15，则 a 的值为（ ）
A．﹣2 或 8 B．8 C．6 D．﹣2 或 6
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当 y＝15 时 x 的值，结合当 a﹣2≤x≤a 时函数有最小值
15，即可得出关于 a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当 y＝15 时，有 x2﹣4x+3＝15，
解得：x1＝﹣2，x2＝6．
∵当 a﹣2≤x≤a 时，函数有最小值 15，
∴a﹣2＝6 或 a＝﹣2，
∴a＝8 或 a＝﹣2，
故选：A．
【变式 2】若当﹣4≤x≤2 时，二次函数 的最小值为 0，则 m＝（ ）
A． B． C． D． 或
【分析】分两组情况讨论，当 m≤2 时，则当 x＝m 时，有最小值求得 m＝ ；当 m＞2 时，则 x＝2 时，
y 有最小解得 m＝ ＜2，即可求得 m＝ ．
【解答】解：∵y＝ x2﹣mx+1＝ （x﹣m）2+（﹣ m2+1），
∴图象 f 的对称轴为 x＝m，
当 m≤2 时，抛物线开口向上，
∴当 x＝m 时，y 有最小值，y 最小＝﹣ m2+1＝0，
解得 m＝ ，
当 m＞2 时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2 时，y 随 x 的增大而减小，
∴x＝2 时，y 有最小值，y 最小＝ （2﹣m）2+（﹣ m2+1）＝0，
解得 m＝ （不合题意，舍去），
综上，m＝ ．
故选：B．
【变式 3】已知二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3 时，其对应的函数值 y 的最大值为
1，则 m 的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【分析】依据题意，由二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣3，从而可得对称轴是直线 x＝﹣ ＝m，且抛物
线开口向下，再由二次函数的性质分﹣1＜0＜m＜3 和 m≥3 两种情形进行讨论即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣3，
∴对称轴是直线 x＝﹣ ＝m，且抛物线开口向下，当 x＜m 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞m
时，y 随 x 的增大而减小．
①当﹣1＜0＜m＜3 时，此时 x＝m 时，y 取最大值为﹣m2+2m2﹣3＝m2﹣3＝1，
∴m＝2 或 m＝﹣2（舍去）．
②当 m≥3 时，当 x＝3 时，y 取最大值为﹣9+6m﹣3＝1，
∴m＝ ＜3，不合题意．
综上，m＝2．
故选：C．
【变式 4】已知二次函数 y＝x2﹣2mx+m2+1（m 为常数），当自变量 x 的值满足﹣3≤x≤﹣1 时，与其对应
的函数值 y 的最小值为 5，则 m 的值为（ ）
A．1 或﹣3 B．﹣3 或﹣5 C．1 或﹣1 D．1 或﹣5
【分析】利用配方法可得出：当 x＝m 时，y 的最小值为 1．分 m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1 和 m＞﹣1 三种情
况考虑：当 m＜﹣3 时，由 y 的最小值为 5 可得出关于 m 的一元二次方程，解之取其较小值；当﹣3≤m
≤﹣1 时，y 的最小值为 1，舍去；当 m＞﹣1 时，由 y 的最小值为 5 可得出关于 m 的一元二次方程，解
之取其较大值．综上，此题得解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，
∴当 x＝m 时，y 的最小值为 1．
当 m＜﹣3 时，在﹣3≤x≤﹣1 中，y 随 x 的增大而增大，
∴9+6m+m2+1＝5，
解得：m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）；
当﹣3≤m≤﹣1 时，y 的最小值为 1，舍去；
当 m＞﹣1 时，在﹣3≤x≤﹣1 中，y 随 x 的增大而减小，
∴1+2m+m2+1＝5，
解得：m1＝﹣3（舍去），m2＝1．
∴m 的值为﹣5 或 1．
故选：D．
题型 05 二次函数的图象与系数的关系
【典例 1】如图为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线 x＝1，则下列说法：①b＞0；②
2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数 m≠1）．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据
对称轴 x＝1 计算 2a+b 与 0 的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线的开口向下知 a＜0，对称轴为直线 x＝﹣ ＞0，则 b＞0，故本选项正确；
②由对称轴为直线 x＝1，
∴﹣ ＝1，∴b＝﹣2a，则 2a+b＝0，故本选项正确；
③由图象可知，当 x＝﹣2 时，y＜0，则 4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；
④从图象知，当 x＝﹣1 时，y＝0，则 a﹣b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴a+2a+c＝0，即 3a+c＝0，故本选项错误；
⑤∵对称轴为直线 x＝1，
∴当 x＝1 时，抛物线有最大值，
∴a+b+c＞m2a+mb+c，
∴m（ma+b）＜a+b（常数 m≠1），故本选项正确；
故选：B．
【变式 1】已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc
＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】该函数开口方向向下，则 a＜0，由对称轴可知，b＝2a＜0，与 y 轴交点在 y 轴正半轴，则 c＞
0，再根据一些特殊点，比如 x＝1，x＝0，顶点等进行判断即可．
【解答】解：∵函数开口方向向下，a＜0，
∵对称轴为 x＝﹣1，则﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵与 y 轴交点在 y 轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故③正确；
当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＞1，即 a﹣b+c＞1，故②正确；
当 x＝1 时，y＝a+b+c＜0，故①正确；
由抛物线的对称性可知，当 x＝﹣2 与 x＝0 时 y 值相同，此时 y＝4a﹣2b+c＞0，故④错误．
综上，正确的个数有三个．
故选：C．
【变式 2】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜
0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】利用对称轴的范围求 2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运
用．由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称
轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，﹣ ＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1 时，y＝a+b+c＝0，
∴c+3a＝0，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②正确；
③（1，0）关于 x＝﹣1 的对称点为（﹣3，0），
∴x＝﹣3 时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；
④抛物线与 x 轴有两个交点，
∴Δ＞0，
即 b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故④正确；
故选：D．
【变式 3】如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对
称轴是直线 x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；
⑥若两点（﹣2，y1）（3，y2）在二次函数图象上，则 y1＞y2，其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①由二次函数的图象可知：a＜0，c＞0，
由对称轴可知：x＝﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②由对称轴可知：﹣ ＝1，
∴2a+b＝0，故②错误；
③由图象可知，x＝3 时，y＜0，
而（3，0）关于直线 x＝1 的对称点为（﹣1，0），
当 x≤1 时，随 x 的增大而增大，
∴当 x＝﹣2 时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故③正确；
④由图象可知抛物线与 x 轴有两个交点，
故Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故④错误；
⑤∵﹣ ＝1，
∴a＝﹣ ，
∵（3，0）关于直线 x＝1 的对称点为（﹣1，0），且 x＝3 时，y＜0，
∴x＝﹣1 时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴﹣ ，
∴3b＞2c，故⑤错误；
⑥∵抛物线开口向下，且点（﹣2，y1）到直线 x＝1 的距离大于点（3，y2）到直线 x＝1 的距离，
∴y1＜y2，故⑥错误；
故选：B．
【变式 4】如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：①abc＜0；②b
＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1 的实数）．其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及
抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，
∵﹣ ＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故此选项正确；
②当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＜0，故 a﹣b+c＞0，错误；
③由对称知，当 x＝2 时，函数值大于 0，即 y＝4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当 x＝3 时函数值小于 0，y＝9a+3b+c＜0，且 x＝﹣ ＝1，
即 a＝﹣ ，代入得 9（﹣ ）+3b+c＜0，得 2c＜3b，故此选项正确；
⑤当 x＝1 时，y 的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当 x＝m（m≠1）时，y＝am2+bm+c，
所以 a+b+c＞am2+bm+c，
故 a+b＞am2+bm，即 a+b＞m（am+b），故此选项错误．
故①③④正确．
故选：B．
题型 06 待定系数法求二次函数解析式
【典例 1】已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线 x＝2，试求这条抛物线的
解析式．
【分析】根据题意设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2+b，把 （3，﹣2），（0，1）代入求得 a、b 即
可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为 x＝2，
∴可设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2+b，
把 （3，﹣2），（0，1）代入解析式得 ，
解得 a＝1，b＝﹣3，
∴所求抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2﹣3．
【变式 1】已知抛物线的顶点坐标为 M（2，﹣5），与 y 轴交于点 A（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 0≤x≤5 时，求 y 的取值范围．
【分析】（1）设顶点式 y＝a（x﹣2）2﹣5，然后把 A 点坐标代入求出 a 的值即可；
（2）先分别计算出自变量为 0 和 5 所对应的函数值，然后利用二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x﹣2）2﹣5，
把 A（0，3）代入得 a×（0﹣2）2﹣5＝3，
解得 a＝2，
∴抛物线解析式为 y＝2（x﹣2）2﹣5；
（2）当 x＝0 时，y＝3；
当 x＝5 时，y＝2×（5﹣2）2﹣5＝13，
而 x＝2 时，y 有最小值﹣5，
∴当 0≤x≤5 时，y 的取值范围为﹣5≤y＜13．
【变式 2】已知 x 与 y 之间的函数关系式为 y＝ax2+bx+1（其中 a、b 是常数），且有下列对应关系：
x 1 ﹣2
y ﹣1 17
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式：
（2）若点（3，n），点（m，n+10）均在抛物线 y＝ax2+bx+1 上，求 m 的值．
【分析】（1）由表格数据可知抛物线 y＝ax2+bx+1 经过点（1，﹣1），（﹣2，17），根据待定系数法即可
求得 y 与 x 之间的函数关系式．
（2）把点（3，n）代入 y＝2x2﹣4x+1 即可求得 n 的值，即可求得 n+10 的值，进一步即可求得 m 的
值．
【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ，
∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝2x2﹣4x+1；
（2）∵点（3，n）在抛物线 y＝2x2﹣4x+1 上，
∴n＝2×32﹣4×3+1＝7，
∴n+10＝17，
∵点（m，n+10）在抛物线 y＝2x2﹣4x+1 上，
∴17＝2m2﹣4m+1，
∴m1＝4，m2＝﹣2．
【变式 3】如图，已知抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当 0＜x＜3 时，求 y 的取值范围．
【分析】（1）把 A、B 两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即
可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分 0＜x＜1 和 1＜x＜3 分别求 y 的最大值和最小值
即可求得 y 的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为 y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为 x＝1，
∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大，
∴当 0＜x＜1 时，当 x＝0 时，y 有最大值为﹣3，当 x＝1 时，y 有最小值为﹣4，
当 1＜x＜3 时，当 x＝3 时，y 有最大值为 0，当 x＝1 时，y 有最小值为﹣4，
∴当 0＜x＜3 时，﹣4≤y＜0．
【变式 4】如图，已知抛物线经过两点 A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线 x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B），求△PAB 的面积的最大值，并求
出此时点 P 的坐标．
【分析】（1）因为对称轴是直线 x＝﹣1，所以得到点 A（﹣3，0）的对称点是（1，0），因此利用交点式
y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式．
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应
关系，可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线对称轴是直线 x＝﹣1 且经过点 A（﹣3，0）
由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）
即：y＝a（x﹣1）（x+3）
把 B（0，3）代入得：3＝﹣3a
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设直线 AB 的解析式为 y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴ ，
∴直线 AB 为 y＝x+3，
作 PQ⊥x 轴于 Q，交直线 AB 于 M，
设 P（x，﹣x2﹣2x+3），则 M（x，x+3），
∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝ （﹣x2﹣3x）×3＝﹣ （x+ ）2+ ．
当 x＝﹣ 时，S 最大＝ ，y＝﹣（﹣ ）2﹣2×（﹣ ）+3＝ ，
∴△PAB 的面积的最大值为 ，此时点 P 的坐标为（﹣ ， ）
1．将抛物线 y＝x2+4x﹣1 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣4，﹣2） C．（0，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
【分析】依据题意，由抛物线为 y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，
左加右减”，从而可得新的抛物线为 y＝（x+4）2﹣2，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线为 y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
又由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，
∴向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，可得新抛物线为 y＝（x+2+2）2﹣5+3，即 y＝（x+4）2﹣
2．
∴此时顶点坐标为（﹣4，﹣2）．
故选：B．
2．抛物线 y＝x2﹣bx+9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值一定为（ ）
A．0 B．6 C．﹣6 D．±6
【分析】抛物线 y＝x2﹣bx+9 的顶点在 x 轴上，则表示抛物线与 x 轴只有一个交点．x2﹣bx+9＝0 只有一
个解．
【解答】解：∵抛物线 y＝x2﹣bx+9 的顶点在 x 轴上，
∴x2﹣bx+9＝0 只有一个解．
∴b2﹣4×1×9＝0．
∴b2＝36．
即 b＝±6．
故选：D．
3．二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则 b，c 的值分别是（ ）
A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4
【分析】根据二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的二次项系数﹣1 来确定该函数的图象的开口方向，由二次函数 y＝
﹣x2+bx+c 的图象的最高点是（﹣1，﹣3）确定该函数的顶点坐标，然后根据顶点坐标公式解答 b、c 的
值．
【解答】解：∵二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的二次项系数﹣1＜0，
∴该函数的图象的开口方向向下，
∴二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象的最高点坐标（﹣1，﹣3）就是该函数的顶点坐标，
∴﹣1＝ ，即 b＝﹣2；①
﹣3＝ ，即 b2+4c+12＝0；②
由①②解得，b＝﹣2，c＝﹣4；
故选：D．
4．已知函数 y＝x2﹣2x+3，当 0≤x≤m 时，有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
【分析】根据对称轴求出 a，再根据二次函数的增减性和最值问题解答．
【解答】解：由二次函数 y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∵当 0≤x≤m 时，y 最大值为 3，最小值为 2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
5．已知一个二次函数 y＝ax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当 x＞0 时，y 的值随 x 值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线 x＝1
【分析】根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，
解得 ，
所以二次函数的解析式为 y＝﹣x2+2x．
因为 a＝﹣1＜0，
所以抛物线的开口向下．
故 A 选项不符合题意．
因为 y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
所以当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小．
故 B 选项不符合题意．
令 y＝0 得，
﹣x2+2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝2，
所以抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）．
又因为抛物线的顶点坐标为（1，1），
所以抛物线经过第一、三、四象限．
故 C 选项不符合题意．
因为二次函数解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+1，
所以抛物线的对称轴为直线 x＝1．
故 D 选项符合题意．
故选：D．
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+b 和二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由二次函数 y＝ax2+bx+c 图象得到字母系数的正负，再与一次函数 y＝ax+b 的图象相
比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣ ＜0，得 b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正
确；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得 b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．
故选：A．
7．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+2ax+a 的图象与 y 轴交于正半轴，其图象上有三点 A（﹣3，
y1），B（﹣1，y2），C（3，y3），则 y1、y2、y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【分析】先根据题意判断出 a 的符号，再把各点代入二次函数求出 y 的值，比较大小即可．
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+2ax+a 的图象与 y 轴交于正半轴，
∴a＞0，
∵A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）都在函数图象上，
∴y1＝9a﹣6a+a＝4a，
y2＝a﹣2a+a＝0，
y3＝9a+6a+a＝16a，
∵a＞0，
∴0＜4a＜16a，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
8．若要平移二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m 为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需
要平移的最短距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】首先求得抛物线的顶点在直线 y＝﹣x+1 上，根据题意得到原点 O 到直线 y＝﹣x+1 的距离就是
需要平移的最短距离，利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点为（m，﹣m+1），
∴抛物线的顶点在直线 y＝﹣x+1 上，如图，
∴原点 O 到直线 y＝﹣x+1 的距离就是需要平移的最短距离，
∵y＝﹣x+1，
∴A（0，1），B（1，0），
∴AB＝ ，
∵ OA OB＝ AB OD，即 1×1＝ OD，
∴OD＝ ，
∴需要平移的最短距离为 ，
故选：B．
9．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0）对称轴为直线 x＝2，下列结
论：
①abc＞0；
②4a+c＞2b；
③4a+2b≤m（am+b）（m 为常数）；
④3b﹣2c＞0．
其中正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在 y 轴右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与 y 轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误，
由图知，当 x＝﹣2 时，y＜0，即 4a﹣2b+c＜0，
∴4a+c＜2b，故②错误，
由图知，抛物线开口向下，对称轴为 x＝2，
∴抛物线有最大值为：4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥m（am+b）+c，
∴4a+2b≥m（am+b），故③错误，
∵﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a，
∵图象过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故正确，
故选：A．
10．已知抛物线 P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线 P 绕原点旋转 180°得到抛物线 P′，当 1≤x≤3 时，
在抛物线 P′上任取一点 M，设点 M 的纵坐标为 t，若 t≤3，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】设抛物线 P'上任意一点（x，y），则点（x，y）原点旋转 180°后对应的点为（﹣x，﹣y），由此
求出抛物线 P'的解析式为 y＝﹣x2+4ax+3，再分三种情况讨论：①当 2a＜1 时，2+4a≤3，此时 a≤ ；
②当 2a＞3 时，﹣6+12a≤3，此时 a 不存在；③当 1≤2a≤3 时，4a2+3≤3 此时 a 不存在．
【解答】解：设抛物线 P'上任意一点（x，y），
则点（x，y）原点旋转 180°后对应的点为（﹣x，﹣y），
∴﹣y＝x2﹣4ax﹣3，
∴抛物线 P'的解析式为 y＝﹣x2+4ax+3，
∵y＝﹣x2+4ax+3＝﹣（x﹣2a）2+4a2+3，
当 x＝2a 时，y 有最大值 4a2+3，
∵1≤x≤3，
①当 2a＜1 时，即 a＜ ，x＝1 时 y 有最大值，
∴2+4a≤3，
∴a≤ ，
此时 a≤ ；
②当 2a＞3 时，即 a＞ ，x＝3 时 y 有最大值，
∴﹣6+12a≤3，
∴a≤ ，
此时 a 不存在；
③当 1≤2a≤3 时，即 ≤a≤ ，x＝2a 时 y 有最大值，
∴4a2+3≤3
∴a＝0，
此时 a 不存在；
综上所述：0＜a≤ ，
故选：A．
11．二次函数 y＝（x﹣2）2﹣1 图象与 y 轴交点坐标为 （0，3） ．
【分析】依据题意，根据二次函数的图象与性质，令 x＝0，求出 y 的值，即可判断得解．
【解答】解：由题意，令 x＝0，
∴y＝（0﹣2）2﹣1＝3．
∴二次函数 y＝（x﹣2）2﹣1 图象与 y 轴交点坐标为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
12．已知二次函数 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与 x 轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数 y＝ax2
﹣2ax+c（a≠0）的图象与 x 轴的另一个交点的坐标是 （4，0） ．
【分析】依据题意，由二次函数 y＝ax2﹣2ax+c，可得对称轴是直线 x＝﹣ ＝1，又二次函数的图象
与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），可得另一个交点的横坐标为：1+（1+2）＝4，进而可以判断得
解．
【解答】解：由题意，∵二次函数 y＝ax2﹣2ax+c，
∴对称轴是直线 x＝﹣ ＝1．
又二次函数的图象与 x 轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴另一个交点的横坐标为：1+（1+2）＝4．
∴二次函数 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与 x 轴的另一个交点的坐标为（4，0）．
故答案为：（4，0）．
13．已知 A（x1，n），B（x2，n）是抛物线 y＝x2+bx+3 上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，
则 m 的值为 3 ．
【分析】先根据抛物线的对称性得到﹣ ＝ ，则 x1+x2＝﹣b，然后把（﹣b，m）代入 y＝x2+bx+3
可得到 m 的值．
【解答】解：∵A（x1，n），B（x2，n）是抛物线 y＝x2+bx+3 上不同的两点，
∴A（x1，n）和 B（x2，n）关于抛物线 y＝x2+bx+3 的对称轴对称，
∴﹣ ＝ ，
∴x1+x2＝﹣b，
∵点（x1+x2，m），即（﹣b，m）在抛物线上，
∴m＝b2+b （﹣b）+3＝3．
故答案为：3．
14．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点 A（3﹣m，y1），B（m+1，y2），C（2﹣n，1），D（n，1），且
y1＞y2，则 m 的取值范围是 m＜1 ．
【分析】利用二次函数的对称性求得抛物线的对称性，根据抛物线开口向上，且 y1＞y2，即可判断点 A
（3﹣m，y1）到对称轴的距离大于点 B（m+1，y2）到对称轴的距离，即|3﹣m﹣1|＞|m+1﹣1|，解方程即
可求解．
【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点 C（2﹣n，1），D（n，1），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝ ＝1，
∵抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点 A（3﹣m，y1），B（m+1，y2），且 y1＞y2，
∴点 A（3﹣m，y1）到对称轴的距离大于点 B（m+1，y2）到对称轴的距离，
∴|3﹣m﹣1|＞|m+1﹣1|，
解得 m＜1．
故答案为：m＜1．
15．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形 ABCO，B 点坐标为（4，2），A、C 分别在 y 轴、x 轴上；
若 D 点坐标为（1，0），连结 AD，点 E、点 F 分别从 A 点、B 点出发，在 AB 上相向而行，速度均为 1
个单位/每秒，当 E、F 两点相遇时，两点停止运动；过 E 点作 EG∥AD 交 x 轴于 H 点，交 y 轴于 G 点，
连结 FG、FH，在运动过程中，△FGH 的最大面积为 4.5 ．
【分析】先求得直线 AD 的解析式，进而得到设直线 EG 的解析式为 y＝﹣2x+b，则 G（0，b），由此得
出 BF＝AE＝ ，即可得出 EF＝6﹣b，利用 S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝ EF OG 得出 S△FGH＝＝ （6﹣
b） b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH 的最大面积．
【解答】解：由题意可知 A（0，2），
∴设直线 AD 为 y＝kx+2，
把 D（1，0）代入得，k+2＝0，解得 k＝﹣2，
∴直线 AD 为 y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线 EG 的解析式为 y＝﹣2x+b，则 G（0，b），
当 y＝2 时，x＝ ，
∴E（ ，2），
∴AE＝ ，
∴BF＝AE＝ ，
∴EF＝4﹣2× ＝6﹣b，
∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝ EF OG＝ （6﹣b） b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，
∵﹣ ＜0，
∴△FGH 的最大面积为 4.5，
故答案为：4.5．
16．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 2 …
y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …
求该二次函数的表达式．
【分析】通过待定系数法求函数解析式．
【解答】解：将（0，﹣3）代入 y＝ax2+bx+c 得 c＝﹣3，
∴y＝ax2+bx﹣3，
将点（2，5），（﹣1，﹣4）代入 y＝ax2+bx﹣3 得 ，
解得 ，
∴y＝x2+2x﹣3．
17．在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若 m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，若 mn＜0，比较 y1，y2，y3 的大小，并说明
理由．
【分析】（1）将点（1，3）和点（3，15）代入 y＝ax2+bx，利用待定系数法即可求得解析式，进而求得
对称轴．
（2）根据题意得出（a+b）（9a+3b）＜0，由点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．则 y1＝a
﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，求得 y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，y1﹣y2＝（a﹣b）
﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，即可求得 y2＜y1＜y3．
【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ，
抛物线为 y＝x2+2x，
∴该抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣1；
（2）∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线 y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴a+b 与 3a+b 异号，
∵a＞0，
∴3a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞0，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，
∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，
∴y3＞y1，
∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
18．已知二次函数 y＝x2﹣4x+3．
（1）将 y＝x2﹣4x+3 化成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式；
（2）画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；
（3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小．
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般
式转化为顶点式；
（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）根据二次函数的图象的单调性解答．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴该二次函数图象的对称轴是直线 x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）；
（3）由图象可知，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小．
19．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝x2﹣2mx+m2﹣1
（1）求抛物线的对称轴（用含 m 的式子去表示）；
（2）若点（m﹣2，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线 y＝x2﹣2mx+m2﹣1 上，则 y1、y2、y3 的大小
关系为 y3＞y1＞y2 ；
（3）直线 y＝﹣x+b 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，过点 B 作垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线 y
＝x2﹣2mx+m2﹣1 有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为 P，当△OAP 为钝角三角形时，求 m 的取
值范围．
【分析】（1）函数的对称轴为：x＝﹣ ＝m；
（2）函数对称轴为 x＝m，函数开口向上，x＝m 时函数取得最小值，即可求解；
（3）当△OAP 为钝角三角形时，则 m+2＜0 或 m+2＞3，分别求解即可．
【解答】解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣ ＝m；
（2）函数对称轴为 x＝m，函数开口向上，x＝m 时函数取得最小值，
故：y3＞y1＞y2；
（3）把点 A 的坐标代入 y＝﹣x+b 的表达式并解得：b＝3，
则点 B（0，3），直线表达式为：y＝﹣x+3，
当 y＝3 时，y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝3，
则 x＝m±2，则点 P（m+2，3），
当△OAP 为钝角三角形时，
则 m+2＜0 或 m+2＞3，
解得：m＜﹣2 或 m＞1．
20．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（0，6）和 B（﹣2，﹣2）．
（1）求 c 的值，并用含 a 的代数式表示 b．
（2）当 a＝1 时，
①求此函数的表达式，并写出函数值 y 随 x 的增大而增大时 x 的取值范围．
②当﹣4≤x≤2 时，求 y 的最大值和最小值．
（3）若线段 CD 的端点 C、D 的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段 CD 只有
一个公共点，直接写出 a 的取值范围．
【分析】（1）把 A、B 的坐标分别代入解析式即可求解；
（2）①把解析式化成顶点式即可求得结论；②根据图象上点的坐标特征即可求得；
（3）当 a＞0 时，若抛物线与线段 CD 只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a+10）在 D 点的上方，
即可求解；②当 a＜0 时，若抛物线的顶点在线段 CD 上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求
解．
【解答】解：（1）把（0，6）代入 y＝ax2+bx+c，得 c＝6．
把（﹣2，﹣2）代入 y＝ax2+bx+6，得 4a﹣2b+6＝﹣2，
∴b＝2a+4．
（2）①当 a＝1 时，此函数表达式为 y＝x2+6x+6．
∵y＝x2+6x+6＝（x+3）2﹣3，
∴当 x≥﹣3 时，y 随 x 的增大而增大．
②∵﹣4≤x≤2，
∴当 x＝﹣3 时，y 的最小值为﹣3．
当 x＝2 时，y 的最大值为（2+3）2﹣3＝22．
（3）①当 a＞0 时，若抛物线与线段 CD 只有一个公共点（如图 1），
y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a+4）x+6，当 x＝1 时，y＝3a+10，
则抛物线上的点（1，3a+10）在 D 点的上方，
∴25a﹣10a﹣20+6＜10．
解得 a＜ ．
∴0＜a＜ ；
②当 a＜0 时，若抛物线的顶点在线段 CD 上，
则抛物线与线段只有一个公共点，
∴ ＝10．即 ＝10．
解得 a＝﹣4+2 （舍去）或 a＝﹣4﹣2 ．
综上，a 的取值范围是 0＜a＜ 或 a＝﹣4﹣2 ．第 04 讲 二次函数 y ax2 bx c的图象和性质
课程标准 学习目标
①二次函数的三种形式 1. 掌握二次函数的三种形式并能够熟练的进行三种形式之间的
②二次函数 y ax2 bx c 的 转化。
图象与性质 2. 根据顶点式从而推导掌握二次函数一般式的性质与图象。
知识点 01 二次函数的三种形式
1. 二次函数的三种形式：
（1）一般式：
由定义可知，二次函数的一般式为 。
（2）顶点式：
能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。
即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。
（3）两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与 x 轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交
点式。即 。此时二次函数与 x 轴的两个交点坐标分别为 与 。
二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称。
（4）二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式：过程如下：
y ax2 bx c
a x2
b
x c
a
a x2 b
2 2
x
b b
c
a 4a
2 4a2
a x b
2
b2 c
2a 4a
b 2
a x 4ac b
2
2a 4a
【即学即练 1】
1．抛物线 y＝﹣（x+2）2﹣3 的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3 ） D．（﹣2，3）
【即学即练 2】
2．若抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）经过 A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【即学即练 3】
3．将二次函数 y＝x2﹣2x﹣1 化成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式是 ．
知识点 02 二次函数的图象与性质（一般式）
1. 二次函数的一般式的图象与性质：
把二次函数的一般式化成顶点式可知一般式的性质如下：
y ax2 bx c a 0 a＞0 a＜0
开口方向
a 的绝对值越大，开口越
开口大小
a 的绝对值越小，开口越
顶点坐标
对称轴
离对称轴越远的函数值越 离对称轴越远的函数值越
离对称轴越近的函数值越 离对称轴越近的函数值越
增减性 对称轴右边 y 随 x 的增大而 。 对称轴右边 y 随 x 的增大而 。
对称轴左边 y 随 x 的增大而 。 对称轴左边 y 随 x 的增大而 。
最值 函数轴最 值 函数轴最 值
这个值是 。 这个值是 。
与 y 轴交点坐标
【即学即练 1】
4．用配方法求出抛物线 y＝x2+2x﹣1 的开口方向、顶点坐标、对称轴．
【即学即练 2】
5．二次函数 y＝x2﹣2x﹣3 的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象与 y 轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与 x 轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
【即学即练 3】
6．已知二次函数 y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点 A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则 y1，y2，
y3 的大小关系为（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
知识点 03 二次函数的图象与系数的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由 决定， a＞0，开口向 ， a＜0，开口向 。
2. 二次函数的对称轴：
2由二次函数的性质可知，二次函数 y ax bx c a 0 的对称轴为 。若 a，b同号，则
x b b 0，二次函数的对称轴在 y 轴的 ；若 a，b异号，则 x 0，二次函
2a 2a
数的对称轴在 y 轴的 。简称左同右异。
b
①若二次函数的对称轴 x =1，则 2a b 。
2a
②若二次函数的对称轴 x b =﹣1，则 2a b 。
2a
3. 二次函数与 y 轴的交点：
2二次函数 y ax bx c a 0 与 y 轴的交点坐标为 。
4. 二次函数与 x 轴的交点（二次函数与一元二次方程）：
y ax2 bx c a 0 与 x 2轴有两个交点 ax bx c 0 a 0 有 2 个 的实数根 根
的判别式 b2 4ac 0。
y ax2 bx c a 0 与 x 轴有 个交点 ax2 bx c 0 a 0 有 2 个相等的实数根 根
的判别式 b2 4ac 0。
y ax2 bx c a 0 2与 x 轴没有交点 ax bx c 0 a 0 实数根 根的判别
b2 4ac 0。
2
拓展：在二次函数 y ax bx c 中：
a b c 是自变量为 的函数值， a b c 是自变量为 的函数值。
4a 2b c 是自变量为 的函数值， 4a 2b c 是自变量为 的函数值。
9a 3b c 是自变量为 的函数值，9a 3b c 是自变量为 的函数值。
【即学即练 1】
7．如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴是直线 x＝﹣1，且过点（﹣3，0），如下结论：①
abc＞0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④若（﹣4，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则 y1＜y2；⑤a﹣b＞
m（am+b）；其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
知识点 04 待定系数法求二次函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为 。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为 。
③已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为 。
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。
【即学即练 1】
8．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）其图象经过（0，2），（﹣1，0），（2，0）三点；
（2）其图象顶点为（﹣1，4），且经过（2，﹣5）．
题型 01 y ax2 bx c 的基本性质
【典例 1】对于二次函数 y＝x2﹣2x+3 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线 x＝﹣1
C．顶点坐标是（1，2） D．与 y 轴的交点为（0，2）
【变式 1】对二次函数 y＝ x2+2x+3 的性质描述正确的是（ ）
A．函数图象开口朝下
B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
C．该函数图象的对称轴在 y 轴左侧
D．该函数图象与 y 轴的交点位于 y 轴负半轴
【变式 2】已知抛物线 y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴为直线 x＝1
C．抛物线的顶点坐标为（1，2）
D．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
【变式 3】抛物线 y＝ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣5 0 3 n 3 …
则下列判断错误的是（ ）
A．该抛物线的开口向下
B．当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小
C．a﹣b+c＞0
D．该抛物线与 x 轴只有一个交点
【变式 4】对于二次函数 y＝ax2﹣2ax+3（a≠0），下列说法错误的是（ ）
A．对称轴为直线 x＝1
B．一定经过点（2，3）
C．x＜1 时，y 随 x 增大而增大
D．当 a＞0，m≠1 时，am2﹣2am+3＞﹣a+3
题型 02 y ax2 bx c 的图象问题
【典例 1】二次函数 y＝ax2+4x+a 与一次函数 y＝ax+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 1】二次函数 y＝ax2+ax+c2+1（a，c 为常数，且 a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 2】一次函数 y＝cx+b 与二次函数 y＝ax2+bx+c 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 3】一次函数 y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数 y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式 4】二次函数 y＝ax2+2ax+b 与一次函数 y＝ax+b（a，b 是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐标系中
的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型 03 y ax2 bx c 的点的坐标特征
【典例 1】已知抛物线 y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）的图象上三个点的坐标分别为 A（3，y1）， ，
C ，则 y1，y2，y3 的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【变式 1】已知抛物线 y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）经过 A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）三点，则下列
说法正确的是（ ）
A．若 a＜0，则 y3＞y2＞y1 B．若 a＞0，则 y1＞y3＞y2
C．若 a＜0，则 y1＞y3＞y2 D．若 a＞0，则 y2＞y1＞y3
【变式 2】已知点 M（x1，y1），点 N（x2，y2）是二次函数 y＝x2﹣2x 图象上的两点，其中 x1＜x2，则下列
说法不正确的是（ ）
A．若 x1＜x2＜0，则 y1＞y2
B．若 x1+x2＝2，则 y1＝y2
C．若|x1+1|＜|x2﹣1|，则 y1＞y2
D．若 0＜x1＜x2＜2，则 y1 y2＞0
【变式 3】已知点 A（x1，y1）在直线 y＝﹣x﹣6 上，点 B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线 y＝﹣x2﹣4x﹣2
上，若 y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则 x1+x2+x3 的取值范围是（ ）
A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6
C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8
【变式 4】若二次函数 y＝ax2+bx+c（a＞0）图象，过不同的六点 A（﹣1，n）、B（5，n﹣1）、C（6，
n+1）、D（4，y1）、E（ ，y2）、F（2，y3），则 y1、y2、y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y2＜y1
题型 04 二次函数的最值问题
【典例 1】已知抛物线 y＝2x2﹣4x+3 在自变量 x 的值满足 m≤x≤m+2 时，与其对应的函数值 y 的最大值为
9，则 m 的值为（ ）
A．﹣1 或 5 B．﹣1 或 2 C．﹣1 或 1 D．1 或 4
【变式 1】当 a﹣2≤x≤a 时，二次函数 y＝x2﹣4x+3 的最小值为 15，则 a 的值为（ ）
A．﹣2 或 8 B．8 C．6 D．﹣2 或 6
【变式 2】若当﹣4≤x≤2 时，二次函数 的最小值为 0，则 m＝（ ）
A． B． C． D． 或
【变式 3】已知二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3 时，其对应的函数值 y 的最大值为
1，则 m 的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【变式 4】已知二次函数 y＝x2﹣2mx+m2+1（m 为常数），当自变量 x 的值满足﹣3≤x≤﹣1 时，与其对应
的函数值 y 的最小值为 5，则 m 的值为（ ）
A．1 或﹣3 B．﹣3 或﹣5 C．1 或﹣1 D．1 或﹣5
题型 05 二次函数的图象与系数的关系
【典例 1】如图为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是直线 x＝1，则下列说法：①b＞0；②
2a+b＝0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数 m≠1）．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式 1】已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc
＞0；④4a﹣2b+c＜0．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式 2】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜
0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式 3】如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对
称轴是直线 x＝1．对于下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a﹣2b+c＜0；④b2＜4ac；⑤3b＜2c；
⑥若两点（﹣2，y1）（3，y2）在二次函数图象上，则 y1＞y2，其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【变式 4】如图，已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：①abc＜0；②b
＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1 的实数）．其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
题型 06 待定系数法求二次函数解析式
【典例 1】已知一条抛物线分别过点（3，﹣2）和（0，1），且它的对称轴为直线 x＝2，试求这条抛物线的
解析式．
【变式 1】已知抛物线的顶点坐标为 M（2，﹣5），与 y 轴交于点 A（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 0≤x≤5 时，求 y 的取值范围．
【变式 2】已知 x 与 y 之间的函数关系式为 y＝ax2+bx+1（其中 a、b 是常数），且有下列对应关系：
x 1 ﹣2
y ﹣1 17
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式：
（2）若点（3，n），点（m，n+10）均在抛物线 y＝ax2+bx+1 上，求 m 的值．
【变式 3】如图，已知抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当 0＜x＜3 时，求 y 的取值范围．
【变式 4】如图，已知抛物线经过两点 A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线 x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点 P 是抛物线上点 A 与点 B 之间的动点（不包括点 A，点 B），求△PAB 的面积的最大值，并求
出此时点 P 的坐标．
1．将抛物线 y＝x2+4x﹣1 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣4，﹣2） C．（0，﹣2） D．（﹣2，﹣4）
2．抛物线 y＝x2﹣bx+9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值一定为（ ）
A．0 B．6 C．﹣6 D．±6
3．二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象的最高点是（﹣1，﹣3），则 b，c 的值分别是（ ）
A．2，4 B．2，﹣4 C．﹣2，4 D．﹣2，﹣4
4．已知函数 y＝x2﹣2x+3，当 0≤x≤m 时，有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
5．已知一个二次函数 y＝ax2+bx+c 的自变量 x 与函数 y 的几组对应值如下表：
x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 …
y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．当 x＞0 时，y 的值随 x 值的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线 x＝1
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+b 和二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+2ax+a 的图象与 y 轴交于正半轴，其图象上有三点 A（﹣3，
y1），B（﹣1，y2），C（3，y3），则 y1、y2、y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
8．若要平移二次函数 y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+1（m 为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合，那么需
要平移的最短距离为（ ）
A． B． C．1 D．
9．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0）对称轴为直线 x＝2，下列结
论：
①abc＞0；
②4a+c＞2b；
③4a+2b≤m（am+b）（m 为常数）；
④3b﹣2c＞0．
其中正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．已知抛物线 P：y＝x2+4ax﹣3（a＞0），将抛物线 P 绕原点旋转 180°得到抛物线 P′，当 1≤x≤3 时，
在抛物线 P′上任取一点 M，设点 M 的纵坐标为 t，若 t≤3，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．二次函数 y＝（x﹣2）2﹣1 图象与 y 轴交点坐标为 ．
12．已知二次函数 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与 x 轴的一个交点的坐标为（﹣2，0），则二次函数 y＝ax2
﹣2ax+c（a≠0）的图象与 x 轴的另一个交点的坐标是 ．
13．已知 A（x1，n），B（x2，n）是抛物线 y＝x2+bx+3 上不同的两点，若点（x1+x2，m）也在抛物线上，
则 m 的值为 ．
14．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点 A（3﹣m，y1），B（m+1，y2），C（2﹣n，1），D（n，1），且
y1＞y2，则 m 的取值范围是 ．
15．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形 ABCO，B 点坐标为（4，2），A、C 分别在 y 轴、x 轴上；
若 D 点坐标为（1，0），连结 AD，点 E、点 F 分别从 A 点、B 点出发，在 AB 上相向而行，速度均为 1
个单位/每秒，当 E、F 两点相遇时，两点停止运动；过 E 点作 EG∥AD 交 x 轴于 H 点，交 y 轴于 G 点，
连结 FG、FH，在运动过程中，△FGH 的最大面积为 ．
16．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 2 …
y … ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …
求该二次函数的表达式．
17．在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线 y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若 m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，若 mn＜0，比较 y1，y2，y3 的大小，并说明
理由．
18．已知二次函数 y＝x2﹣4x+3．
（1）将 y＝x2﹣4x+3 化成 y＝a（x﹣h）2+k 的形式；
（2）画出该二次函数的图象，并写出其对称轴和顶点坐标；
（3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小．
19．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y＝x2﹣2mx+m2﹣1
（1）求抛物线的对称轴（用含 m 的式子去表示）；
（2）若点（m﹣2，y1），（m，y2），（m+3，y3）都在抛物线 y＝x2﹣2mx+m2﹣1 上，则 y1、y2、y3 的大小
关系为 ；
（3）直线 y＝﹣x+b 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，过点 B 作垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线 y
＝x2﹣2mx+m2﹣1 有两个交点，在抛物线对称轴右侧的点记为 P，当△OAP 为钝角三角形时，求 m 的取
值范围．
20．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点 A（0，6）和 B（﹣2，﹣2）．
（1）求 c 的值，并用含 a 的代数式表示 b．
（2）当 a＝1 时，
①求此函数的表达式，并写出函数值 y 随 x 的增大而增大时 x 的取值范围．
②当﹣4≤x≤2 时，求 y 的最大值和最小值．
（3）若线段 CD 的端点 C、D 的坐标分别为（﹣5，10）、（1，10），此二次函数的图象与线段 CD 只有
一个公共点，直接写出 a 的取值范围．
