第 07 讲 实际问题与一元二次方程
课程标准 学习目标
①列一元二次方程解决实际问题
的步骤 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能够熟练的从
②列一元二次方程解决实际问题 各种实际问题中抽象出方程并解决问题。
的各种类型
知识点 01 列一元二次方程解决实际问题的步骤
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 表示其他未知量，从而列出方程．
④解：准确求出方程的解．
⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
⑥答：写出答案。
知识点 02 一元二次方程与传播问题
1. 一元二次方程与传播问题：
计算公式： 。
【即学即练 1】
1．秋冬季节是流感高发期，有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个
人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121
C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121
【即学即练 2】
2．恼人的新冠病毒．有一个人感染了病毒，经过两轮传染，一共有 144 个人感染，则每轮传染中，平均一
个人传染了（ ）个人．
A．13 B．12 C．11 D．10
知识点 03 一元二次方程与数字问题
1. 一元二次方程与数字问题：
数字问题：个位数为 a，十位数是 b，则这个两位数表示为 。
【即学即练 1】
3．嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英
才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年
龄的个位数字是 x，则下列说法正确的是（ ）
A．列方程为 x2＝10（x+3）+x
B．列方程为 x2﹣10x+30＝0
C．列方程为 x2＝10（x﹣3）+x
D．周瑜去世时 25 岁
【即学即练 2】
4．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小 2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 1，
则这个两位数是（ ）
A．24 B．13 C．46 D．35
知识点 04 一元二次方程与单（双）循环问题
1. 一元二次方程与单（双）循环问题：
计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）： 。
双循环（两两之间比赛（握手）两次）： 。
【即学即练 1】
5．2024 年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球
比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了 36 场比赛，设有 x 支队伍参加了比赛，依题意可列方程为
（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
C． D．
【即学即练 2】
6．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了 56 场，共有多少支队伍参加比
赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
知识点 05 一元二次方程与平均增长率
1. 一元二次方程与平均增长率：
计算公式：平均增长类型： 。
平均下降类型： 。
【即学即练 1】
7．鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021 年到馆读者 134 万人次，2023 年人数增长至 289
万，设这两年到馆人数的年平均增长率为 x，可列方程（ ）
A．134（1+2x）＝289
B．134（1+x）2＝289
C．289（1﹣x）2＝134
D．134（1+x）+134（1+x）2＝289
【即学即练 2】
8．某药品加工厂两年前生产 1tⅠ型药品的成本是 6400 元，现在生产 1tⅠ型药品的成本是 3600 元．则Ⅰ型
药品的年平均下降率为（ ）
A．75% B．56.25% C．25% D．20%
知识点 06 一元二次方程与销售利润问题
1. 一元二次方程与销售利润问题：
计算公式：总利润＝
现单利＝
现数量＝
【即学即练 1】
9．上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店
购进一批袋装上党腊驴肉，进价为 40 元/袋，经市场调查发现，当销售单价为 60 元时，每天可售出 300
袋；销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 袋．若销售单价降低 x 元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可
获得利润 5000 元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣40+x）（300+20x）＝5000
B．（60﹣40+x）（300﹣20x）＝5000
C．（60﹣40﹣x）（300﹣20x）＝5000
D．（60﹣40﹣x）（300+20x）＝5000
【即学即练 2】
10．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果
按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低 1 元，日销售量增加 2
件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
知识点 07 一元二次方程与几何图形
2. 一元二次方程与几何图形：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。
【即学即练 1】
11．公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先
构造边长为 x 的正方形 ABCD，再分别以 BC，CD 为边作另一边长为 5 的长方形，最后得到面积为 64 的
正方形 AEGH．则能列出关于 x 的一元二次方程是（ ）
A．x2+10x＝25 B．x2+10x＝39 C．x2+10x＝64 D．x2+10x＝89
【即学即练 2】
12．如图，在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草
坪．要使草坪的面积为 540 平方米，则道路的宽为（ ）
A．5 米 B．3 米 C．2 米 D．2 米或 5 米
题型 01 由实际问题抽象一元二次方程
【典例 1】在“双减”政策推动下，某校八年级学生每天书面作业时长明显减少，七年级下学期平均每天
书面作业时长达 150 分钟，在八年级上学期和下学期两次调整后，平均每天书面作业时长为 100 分钟，
设该校八年级两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为 x，可列方程为（ ）
A．150（1+x2）＝100 B．100（1+x）2＝150
C．150（1﹣x2）＝100 D．150（1﹣x）2＝100
【变式 1】据统计，苏州市 2022 年中考人数约为 9.1 万人，随着中考人数逐年递增，2024 年中考人数达到
10.4 万人，若设苏州市中考人数近两年的年平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ）
A．9.1（1+x）2＝10.4
B．9.1+9.1（1+2x）＝10.4
C．9.1（1+2x）＝10.4
D．9.1+9.1（1+x）+9.1（1+x）2＝10.4
【变式 2】《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》
中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的
门，它的高比宽多 6 尺 8 寸，它的对角线长 1 丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽
为 x 尺，则依题意所列方程为（1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
【变式 3】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小
4，设个位数字为 x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4
C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4
D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
【变式 4】甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表
现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染 x 人，
经过两轮传染后共有 256 人感染了“甲流”．则关于 x 的方程为（ ）
A．x+x（x+1）＝256 B．x2+x＝256
C．1+x+x（x+1）＝256 D．（x+1）+（x+1）2＝256
【变式 5】某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排 42 场比
赛．设七年级共有 x 个班，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝42 B．
C．x（x+1）＝42 D．
【变式 6】使用墙的一边，再用 13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为 20m2 的长方形，求这个长方形的
两边长．设墙的对边长为 x m，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．x ＝20
C．x（13﹣ x）＝20 D．x ＝20
【变式 7】某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出 100 件，每件获利 30 元．为了尽快
减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低 1 元，那么平均
每天可多售出 10 件．商场要想平均每天获利 3640 元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产
品每件降价 x 元，根据题意可列方程为（ ）
A．（30+x）（100﹣10x）＝3640
B．（30+x）（100+10x）＝3640
C．（30﹣x）（100+10x）＝3640
D．（30﹣x）（100﹣10x）＝3640
题型 02 一元二次方程的实际应用
【典例 1】某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共
需安排 15 场比赛，求八年级有多少个班级．
【变式 1】某工厂生产 A 型产品，每件成本为 20 元，当 A 型产品的售价为 x 元时，销售量为 y 万件．要求
每件 A 型产品的售价不低于 20 元且不高于 30 元．经市场调查发现，y 与 x 之间满足一次函数关系，且
当 x＝21 时，y＝38；x＝25 时，y＝30．
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
（2）若某次销售刚好获得 192 万元的利润，则每件 A 型产品的售价是多少元？
【变式 2】聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思
路，某市从 2021 年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新
颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中 2021 年投入资金 1000 万元，2023 年投入资金 1440 万
元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023 年小区改造的平均费用为每个 80 万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市 2024 年最
多可以改造多少个小区？
【变式 3】有一个长、宽分别为 20m 和 12m 的矩形水池 ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边
互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与 AB 平行，
另两条与 BC 平行，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的
．
（1）设道路的宽为 x m，则正方形的面积为 m2．（用含 x 的代数式表示）
（2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽．
【变式 4】如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点 P 从点 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/s
的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 边以 2cm/s 的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t
（s）．
（1）若△PCQ 的面积是△ABC 面积的 ，求 t 的值？
（2）△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理
由．
【变式 5】在九年级迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视．同学们在八上期末、
八下开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的 150 人满分，到八
下半期满分人数上升至 216 人．
（1）如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；
（2）已知体测满分 50 分，该年级共 700 名学生，其中有 10 名同学因身体原因每次测试只能得到 35
分．年级计划通过一系列举措，力争在八下期末测试时满分人数比八下半期满分人数增加 25%．那么除
了满分同学和 10 名因身体原因同学之外，其余同学至少平均多少分，才能使全年级平均分不低于 46 分？
（结果精确到 0.1）
【变式 6】某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长 50 米，宽 32 米，中心建设一个直
径为 10 米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多 15
米，阴影铺设地砖的面积是 1125 平方米．（π 取 3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费 100 元，乙工程队
每平方米施工费 120 元，若完成此工程的工程款不超过 42000 元，至少要安排甲队施工多少平方米．
【变式 7】农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等
风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用 21 天的时间生产袋装粽子进行销
售，已知每袋粽子需要 0.3 斤馅料和 0.5 斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料 450 斤或者糯米 300 斤，但
因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种．
（1）若这 21 天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？
（2）为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在 10 天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本
为 13 元，售价为 25 元时每天可售出 225 袋，售价每降低 2 元，每天可多售出 75 袋．工厂按售价 25 元
销售了 2 天，余下 8 天进行降价促销，第 10 天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以 15 元/袋的价格将
余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利 40500 元，则工厂促销时每袋应降价多少元？
1．等腰三角形的两边长分别是方程 x2﹣10x+21＝0 的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17 或 13 B．13 或 21 C．17 D．13
2．用配方法解一元二次方程 x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝17 B．（x﹣6）2＝17 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
3．关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4 且 m≠2 D．m≤4 且 m≠2
4．随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选
择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计.2022 年春节假期国内旅游出游人数约 2.5 亿人次，2024
年达到 4.7 亿人次．设 2022 年到 2024 年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为 x，则根据题意所
列方程正确的是（ ）
A．2.5（1+x）2＝4.7 B．2.5（1+x2）＝4.7
C．2.5（1﹣x）2＝4.7 D．2.5（1﹣x2）＝4.7
5．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校 2021 年给贫困学生每人 400 元补贴，2023 年
给贫困学生每人 560 元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为 x，则下面列出的方程中正确的是
（ ）
A．400（1+x）2＝560
B．400+400（1+x）2＝560
C．400（1+2x）＝560
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝560
6．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了 1980 份留言，如果全班
同学有 x 名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980
C． D．
7．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只
云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 891 平方步，只知道它的长与宽共
60 步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（ ）步．
A．15 B．12 C．9 D．6
8．如图，若设从 2019 年到 2021 年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为 x，根据这个统计图可知，x
应满足（ ）
A．x＝
B．14.5%（1+x）2＝452.3%
C．1.98（1+x）2＝16.9
D．1.73（1+x）2＝3.06
9．对于实数 a，b 定义运算“☆”为 a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于 x 的方程（x﹣2）
☆2＝x﹣1 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点 P，Q 分别从 A，B 两点出发沿 AC，
BC 方向向终点 C 匀速运动，其速度均为 2cm/s．设运动时间为 t s，则当△PCQ 的面积是△ABC 的面积
的一半时，t 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．设 m，n 是方程 x2+x﹣2024＝0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 ．
12．定义新运算“a*b”：对于任意实数 a，b，都有 a*b＝ab+1，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例
如：3*4＝3×4+1＝13．若关于 x 的方程 x*（kx+1）＝0 有两个实数根，则实数 k 的取值范围
是 ．
13．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10（m/s）的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过 xs
离地面的高度（单位：m）为 10x﹣4.9x2．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间 x 约为 s
（结果保留整数）．
14．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为 45 元时，每天可售出 100
盒．每盒的售价每降低 1 元，每天的销量增加 10 盒．要使该款大礼包每天的销售额达到 6000 元，每盒
的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价 x 元，则可列方程为 ．
15．《代数学》中记载，形如 x2+8x＝33 的方程，求正数解的几何方法是：“如图 1，先构造一个面积为 x2 的
正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 2x 的矩形，得到大正方形的面积为 33+16＝49，
则该方程的正数解为 7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于 x 的方程 x2+12x＝m 时，构造出如图 2 所示的图形，
已知阴影部分的面积为 64，则该方程的正数解为 ．
16．小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
解方程：x2﹣6x+5＝0
x2﹣5x﹣x+5＝0…第 1 步
x2﹣5x＝x﹣5…第 2 步
（x﹣5）x＝x﹣5…第 3 步
∴x﹣5＝0…第 4 步
∴x＝5…第 5 步
（1）小明的解法从第 步开始出现错误；
（2）请用适当方法给出正确的解答．
17．【过程学习】对于代数式 x2+4x+3，我们可作如下变形：
x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，∵（x+2）2≥0，∴当 x＝﹣2 时，代数式 x2+4x+3 的最小值为﹣
1．这种方法叫做配方法求最值．
【初步应用】对于代数式 2x2﹣4x+3 可变形为＝2（x+ ）2+1，∴对于代数式 2x2﹣4x+3，当 x＝
时，最小值为 1．
【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价 2 万元，共销售 60 台．根据市场销售经验
知：当这种机床售价每增加 0.1 万元时，就会少售出 1 台．
①五月份该专卖店想将销售额提高 25%，求这种机床每件的售价；
②求五月份销售额最大值是多少？
18．如图，利用一面墙（墙长 25 米），用总长度 51 米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形
围栏，设 BC 长为 x 米．
（1）DC＝ 米（用含 x 的代数式表示）；
（2）若长方形围栏 ABCD 面积为 210 平方米，求 BC 的长；
（3）长方形围栏 ABCD 面积是否有可能达到 240 平方米？若有可能，求出相应 x 的值；若不可能，则说
明理由．
19．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅，每天可卖
出 150 千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千
克下降 2 元，则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变）．
（1）设售价每千克下降 x 元，则每天能售出 千克（用含 x 的代数式表示）；
（2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额；
（3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为 10000 元”的“小目标”，按题目的条件否能达成这个“小
目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．
20．阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为
一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求
解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将 x3﹣5x+2＝0 变形为 x3﹣（4+1）x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0．
∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0．
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0．
∴x﹣2＝0 或 x2+2x﹣1＝0．
∴原方程有三个根：x1＝2， ， ．
②换元法求解特殊的四次方程：
x4﹣5x2+4＝0
设 x2＝y，那么 x4＝y2，于是原方程可变为 y2﹣5y+4＝0，解得 y1＝1，y2＝4，
当 y＝1，x2＝1 时，∴x＝±1；
当 y＝4，x2＝4 时，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
【应用新知】（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）x3﹣10x+3＝0；
②（换元法）x4+3x2﹣4＝0；
【拓展延伸】（2）已知：x2﹣2x﹣1＝0，且 x＞0，请综合运用以上方法，通过“降次”求 x4﹣2x3﹣3x 的
值．第 07 讲 实际问题与一元二次方程
课程标准 学习目标
①列一元二次方程解决实际问题
的步骤 1. 掌握列一元二次方程解决实际问题的基本步骤，能够熟练的从
②列一元二次方程解决实际问题 各种实际问题中抽象出方程并解决问题。
的各种类型
知识点 01 列一元二次方程解决实际问题的步骤
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确 未知量 、 已知量 以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的 代数式 表示其他未知量，从而列出方程．
④解：准确求出方程的解．
⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
⑥答：写出答案。
知识点 02 一元二次方程与传播问题
1. 一元二次方程与传播问题：
计算公式： 原病例数 1 传播数 传播轮数 传播总数 。
【即学即练 1】
1．秋冬季节是流感高发期，有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个
人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则可列方程为（ ）
A．1+x＝121 B．（1+x2）＝121
C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121
【分析】由每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，可得出第一轮传染中有 x 人被传染，第二轮传染中有 x
（1+x）人被传染，结合“有 1 人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感”，即可得出关于 x 的
一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，
∴第一轮传染中有 x 人被传染，第二轮传染中有 x（1+x）人被传染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝121．
故选：D．
【即学即练 2】
2．恼人的新冠病毒．有一个人感染了病毒，经过两轮传染，一共有 144 个人感染，则每轮传染中，平均一
个人传染了（ ）个人．
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】设每轮传染中，平均一个人传染了 x 个人，根据题意可列出关于 x 的一元二次方程，解出 x 的
值，并舍去不合题意的值即可．
【解答】解：设每轮传染中，平均一个人传染了 x 个人，
根据题意有：1+x+x（1+x）＝144，
解得：x1＝11，x2＝﹣13．
∴每轮传染中，平均一个人传染了 11 个人．
故选：C．
知识点 03 一元二次方程与数字问题
1. 一元二次方程与数字问题：
数字问题：个位数为 a，十位数是 b，则这个两位数表示为 10b+a 。
【即学即练 1】
3．嘉琪改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英
才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．假设周瑜去世时年
龄的个位数字是 x，则下列说法正确的是（ ）
A．列方程为 x2＝10（x+3）+x
B．列方程为 x2﹣10x+30＝0
C．列方程为 x2＝10（x﹣3）+x
D．周瑜去世时 25 岁
【分析】根据个位平方与寿符，列出式子，然后求解即可．
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的个位数字是 x，则十位数字为 x﹣3，
由题意可得：x2＝10（x﹣3）+x，化简可得：x2﹣11x+30＝0，
解得 x1＝5，x2＝6，
则周瑜去世时年龄为 25 或 36 岁，
即 C 选项正确，A、B、D 选项错误，不符合题意，
故选：C．
【即学即练 2】
4．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小 2，个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 1，
则这个两位数是（ ）
A．24 B．13 C．46 D．35
【分析】设个位数字为 x，根据个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小 1，列出方程，解之取合适
的解即可．
【解答】解：设个位数字为 x，
由题意可得：x2+（x﹣2）2＝10（x﹣2）+x﹣1，
解得：x1＝5， （不合题意，舍去），
∴这个两位数是 35．
故选：D．
知识点 04 一元二次方程与单（双）循环问题
1. 一元二次方程与单（双）循环问题：
n n 1
计算公式：单循环（两两之间比赛（握手）一次）： 总数 。
2
双循环（两两之间比赛（握手）两次）： n n 1 总数 。
【即学即练 1】
5．2024 年元旦开始，梧州市体育训练基地吹响冬季足球训练“集结号”，该基地组织了一次单循环的足球
比赛（每两支队伍之间比赛一场），共进行了 36 场比赛，设有 x 支队伍参加了比赛，依题意可列方程为
（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
C． D．
【分析】根据每两队之间都赛一场，设邀请 x 个球队参加比赛，则每一个球队都会比赛（x﹣1）场，剔
除重复的一半，即可解题．
【解答】解：设应邀请 x 个球队参加比赛，
由题可知， ，
故选：D．
【即学即练 2】
6．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了 56 场，共有多少支队伍参加比
赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【分析】设有 x 支队伍，根据双循环比赛的制度规则，一共要赛 x（x﹣1）场．
【解答】解：设有 x 支队伍．
由题意得：x（x﹣1）＝56．
解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍）．
故选：A．
知识点 05 一元二次方程与平均增长率
1. 一元二次方程与平均增长率：
增长轮数计算公式：平均增长类型： 原数 1 增长率 后来数 。
下降轮数平均下降类型： 原数 1 下降率 后来数 。
【即学即练 1】
7．鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021 年到馆读者 134 万人次，2023 年人数增长至 289
万，设这两年到馆人数的年平均增长率为 x，可列方程（ ）
A．134（1+2x）＝289
B．134（1+x）2＝289
C．289（1﹣x）2＝134
D．134（1+x）+134（1+x）2＝289
【分析】根据 2021 年到馆读者 134 万人次，2023 年人数增长至 289 万，这两年到馆人数的年平均增长
率为 x，可得方程 134（1+x）2＝289，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
134（1+x）2＝289，
故选：B．
【即学即练 2】
8．某药品加工厂两年前生产 1tⅠ型药品的成本是 6400 元，现在生产 1tⅠ型药品的成本是 3600 元．则Ⅰ型
药品的年平均下降率为（ ）
A．75% B．56.25% C．25% D．20%
【分析】设Ⅰ型药品的年平均下降率为 x，利用现在生产 1tⅠ型药品的成本＝两年前生产 1tⅠ型药品的
成本×（1﹣Ⅰ型药品的年平均下降率）2，可列出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即
可得出结论．
【解答】解：设Ⅰ型药品的年平均下降率为 x，
根据题意得：6400（1﹣x）2＝3600，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝1.75（不符合题意，舍去），
∴Ⅰ型药品的年平均下降率为 25%．
故选：C．
知识点 06 一元二次方程与销售利润问题
1. 一元二次方程与销售利润问题：
计算公式：总利润＝ 单利润×数量
现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝ 原数量－ 变化基数（原数量＋ 变化基数）
涨价基础 降价基础
【即学即练 1】
9．上党腊驴肉是山西长治的传统名吃，其肉质肥而不腻、瘦而不柴，香味四溢、回味无穷．某特产专卖店
购进一批袋装上党腊驴肉，进价为 40 元/袋，经市场调查发现，当销售单价为 60 元时，每天可售出 300
袋；销售单价每降低 1 元，每天可多售出 20 袋．若销售单价降低 x 元，该专卖店每天销售这种腊驴肉可
获得利润 5000 元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣40+x）（300+20x）＝5000
B．（60﹣40+x）（300﹣20x）＝5000
C．（60﹣40﹣x）（300﹣20x）＝5000
D．（60﹣40﹣x）（300+20x）＝5000
【分析】设销售单价降低 x 元，则每天可售出（300+20x）袋，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即
可得出关于 x 的一元二次方程．
【解答】解：依题意得：（60﹣40﹣x）（300+20x）＝5000，
故选：D．
【即学即练 2】
10．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果
按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低 1 元，日销售量增加 2
件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元．（ ）
A．45 B．50 C．55 D．60
【分析】设每件售价应定为 x 元，根据按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件．每降低 1 元，日销售量增
加 2 件．日利润保持不变．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【解答】解：设每件售价应定为 x 元，
根据题意得：（x﹣40）[20+2（60﹣x）]＝（60﹣40）×20，
解得：x1＝50，x2＝60（不符合题意，舍去），
即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 50 元．
故选：B．
知识点 07 一元二次方程与几何图形
2. 一元二次方程与几何图形：
①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．
②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程。
【即学即练 1】
11．公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到图解一元二次方程的方法：如图，先
构造边长为 x 的正方形 ABCD，再分别以 BC，CD 为边作另一边长为 5 的长方形，最后得到面积为 64 的
正方形 AEGH．则能列出关于 x 的一元二次方程是（ ）
A．x2+10x＝25 B．x2+10x＝39 C．x2+10x＝64 D．x2+10x＝89
【分析】根据正方形的面积得出方程，再整理即可．
【解答】解：∵四边形 AIFH 是面积为 64 的正方形，
∴（x+5）2＝64，
整理得：x2+10x＝39，
故选：B．
【即学即练 2】
12．如图，在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草
坪．要使草坪的面积为 540 平方米，则道路的宽为（ ）
A．5 米 B．3 米 C．2 米 D．2 米或 5 米
【分析】设道路的宽为 x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程 20x+32x﹣x2＝20×32﹣540，解
方程即可求解．解题过程中要根据实际意义进行 x 的值的取舍．
【解答】解：设道路的宽为 x，根据题意得 20x+32x﹣x2＝20×32﹣540
整理得（x﹣26）2＝576
开方得 x﹣26＝24 或 x﹣26＝﹣24
解得 x＝50（舍去）或 x＝2
所以道路宽为 2 米．
故选：C．
题型 01 由实际问题抽象一元二次方程
【典例 1】在“双减”政策推动下，某校八年级学生每天书面作业时长明显减少，七年级下学期平均每天
书面作业时长达 150 分钟，在八年级上学期和下学期两次调整后，平均每天书面作业时长为 100 分钟，
设该校八年级两学期平均每天书面作业时长每学期的下降率为 x，可列方程为（ ）
A．150（1+x2）＝100 B．100（1+x）2＝150
C．150（1﹣x2）＝100 D．150（1﹣x）2＝100
【分析】利用学期平均每天书面作业时长＝学期平均每天书面作业时长×（1﹣该校这两学期平均每天书面
作业时长每学期的下降率）2，即可列出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：150（1﹣x）2＝100．
故选：D．
【变式 1】据统计，苏州市 2022 年中考人数约为 9.1 万人，随着中考人数逐年递增，2024 年中考人数达到
10.4 万人，若设苏州市中考人数近两年的年平均增长率为 x，则下列方程正确的是（ ）
A．9.1（1+x）2＝10.4
B．9.1+9.1（1+2x）＝10.4
C．9.1（1+2x）＝10.4
D．9.1+9.1（1+x）+9.1（1+x）2＝10.4
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），即可得出方程．
【解答】解：设游客人数的年平均增长率为 x，
根据题意得 9.1（1+x）2＝10.4．
故选：A．
【变式 2】《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．《九章算术》
中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意：有一形状是矩形的
门，它的高比宽多 6 尺 8 寸，它的对角线长 1 丈，问它的高与宽各是多少？利用方程思想，设矩形门宽
为 x 尺，则依题意所列方程为（1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸）（ ）
A．x2+（x+6.8）2＝102 B．x2+（x﹣6.8）2＝102
C．x（x+6.8）＝102 D．x（x﹣6.8）＝102
【分析】根据矩形门的高与宽之间的关系，可得出门高为（x+6.8）尺，利用勾股定理，即可得出关于 x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵矩形的门的高比宽多 6 尺 8 寸，且门宽为 x 尺，
∴门高为（x+6.8）尺．
根据题意得：x2+（x+6.8）2＝102．
故选：A．
【变式 3】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小
4，设个位数字为 x，则方程为（ ）
A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4
C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4
D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
【分析】根据个位数与十位数的关系，可知十位数为 x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的
平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差 4 即可得出答案．
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差 4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．
故选：C．
【变式 4】甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表
现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染 x 人，
经过两轮传染后共有 256 人感染了“甲流”．则关于 x 的方程为（ ）
A．x+x（x+1）＝256 B．x2+x＝256
C．1+x+x（x+1）＝256 D．（x+1）+（x+1）2＝256
【分析】由“每轮传染平均一个人传染 x 人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过
两轮传染后共有 256 人感染”，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵每轮传染平均一个人传染 x 人，
∴第一轮传染中有 x 人被感染，第二轮传染中有 x（1+x）人被感染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝256．
故选：C．
【变式 5】某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间赛两场，共需安排 42 场比
赛．设七年级共有 x 个班，则下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝42 B．
C．x（x+1）＝42 D．
【分析】利用比赛的总场数＝七年级班级数×（七年级班级数﹣1），即可得出关于 x 的一元二次方程．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝42．
故选：A．
【变式 6】使用墙的一边，再用 13m 的铁丝网围成三边，围成一个面积为 20m2 的长方形，求这个长方形的
两边长．设墙的对边长为 x m，可得方程（ ）
A．x（13﹣x）＝20 B．x ＝20
C．x（13﹣ x）＝20 D．x ＝20
【分析】根据铁丝网的总长度为 13m，长方形的面积为 20m2，来列出关于 x 的方程，由题意可知，墙的
对边为 xm，则长方形的另一对边为 m，则可利用面积公式求出即可．
【解答】解：设墙的对边长为 x m，可得方程：x× ＝20．
故选：B．
【变式 7】某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出 100 件，每件获利 30 元．为了尽快
减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低 1 元，那么平均
每天可多售出 10 件．商场要想平均每天获利 3640 元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产
品每件降价 x 元，根据题意可列方程为（ ）
A．（30+x）（100﹣10x）＝3640
B．（30+x）（100+10x）＝3640
C．（30﹣x）（100+10x）＝3640
D．（30﹣x）（100﹣10x）＝3640
【分析】设每件衬衫降价 x 元，则每件盈利（30﹣x）元，每天可以售出（10+x）件，根据总利润＝每件
的利润×销售数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：设每件衬衫降价 x 元，则每件盈利（30﹣x）元，每天可以售出（100+10x）件，
依题意，得：（30﹣x）（100+10x）＝3640，
故选：C．
题型 02 一元二次方程的实际应用
【典例 1】某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共
需安排 15 场比赛，求八年级有多少个班级．
【分析】设八年级有 x 个班，“根据各班均组队参赛，赛制为单循环形式且共需安排 15 场比赛”，即可得
出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可．
【解答】解：设八年级有 x 个班，
，
，
x2﹣x﹣30＝0，
（x﹣6）（x+5）＝0，
解得 x1＝6，x2＝﹣5（舍），
则八年级有 6 个班．
【变式 1】某工厂生产 A 型产品，每件成本为 20 元，当 A 型产品的售价为 x 元时，销售量为 y 万件．要求
每件 A 型产品的售价不低于 20 元且不高于 30 元．经市场调查发现，y 与 x 之间满足一次函数关系，且
当 x＝21 时，y＝38；x＝25 时，y＝30．
（1）求 y 与 x 的函数关系式；
（2）若某次销售刚好获得 192 万元的利润，则每件 A 型产品的售价是多少元？
【分析】（1）先设出 y 与 x 的函数关系式，然后根据当 x＝21 时，y＝38；x＝25 时，y＝30；即可求得 y
与 x 的函数关系式；
（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的方程，然后求解，再根据要求每件 A 型产品的售价不
低于 20 元且不高于 30 元，即可确定每件 A 型产品的售价．
【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
∵当 x＝21 时，y＝38；x＝25 时，y＝30；
∴ ，
解得 ，
即 y 与 x 的函数关系式为 y＝﹣2x+80；
（2）由题意可得，
（x﹣20）（﹣2x+80）＝192，
解得 x1＝28，x2＝32，
∵要求每件 A 型产品的售价不低于 20 元且不高于 30 元，
∴x＝28，
答：每件 A 型产品的售价是 28 元．
【变式 2】聚焦“绿色发展，美丽宜居”县城建设，围绕“老旧改造人人参与，和谐家园家家受益”的思
路，某市从 2021 年起连续投入资金用于“建设美丽城市，改造老旧小区”，让小区“旧貌”换“新
颜”．已知每年投入资金的增长率相同，其中 2021 年投入资金 1000 万元，2023 年投入资金 1440 万
元．
（1）求该市改造小区投入资金的年平均增长率；
（2）2023 年小区改造的平均费用为每个 80 万元，如果投入资金年增长率保持不变，求该市 2024 年最
多可以改造多少个小区？
【分析】（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为 x，根据 2023 年投入资金金额＝2021 年投入资
金金额×（1+年平均增长率）2，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）用 2024 年投入的费用除以改造的平均费用即可求解．
【解答】解：（1）设该市改造小区投入资金的年平均增长率为 x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），
答：该市改造小区投入资金的年平均增长率为 20%；
（2）1440×（1+20%）÷80≈21.6．
答：该市在 2024 年最多可以改造 21 个小区．
【变式 3】有一个长、宽分别为 20m 和 12m 的矩形水池 ABCD，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边
互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与 AB 平行，
另两条与 BC 平行，已知道路的宽为正方形边长的 ，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的
．
（1）设道路的宽为 x m，则正方形的面积为 16x2 m2．（用含 x 的代数式表示）
（2）根据题中所给的信息列方程求道路的宽．
【分析】（1）设道路的宽为 x m，则正方形的边长为 4x m，即可得出结论；
（2）根据道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的 ．即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其
正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设道路的宽为 x m，则正方形的边长为 4x m，
∴正方形的面积为（4x）2＝16x2（m2），
故答案为：16x2；
（2）依题意得：x（20﹣4x）+x（12﹣4x）+（4x）2＝ ×20×12，
整理得：x2+4x﹣5＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．
答：道路的宽为 1 米．
【变式 4】如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点 P 从点 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/s
的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 边以 2cm/s 的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为 t
（s）．
（1）若△PCQ 的面积是△ABC 面积的 ，求 t 的值？
（2）△PCQ 的面积能否为△ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理
由．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC 面积为 ×4×8＝16，△PCQ 的面积为 t（8﹣
2t），由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系 S△PCQ＝ S△ABC 列方程求出 t 的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝ t（8﹣2t），S△ABC＝ ×4×8＝16，
∴ t（8﹣2t）＝16× ，
整理得 t2﹣4t+4＝0，
解得 t＝2．
答：当 t＝2s 时△PCQ 的面积为△ABC 面积的 ；
（2）当 S△PCQ＝ S△ABC 时，
t（8﹣2t）＝16× ，
整理得 t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的一半．
【变式 5】在九年级迎战体考的氛围带动下，某校八年级同学对体育锻炼越来越重视．同学们在八上期末、
八下开学、八下半期举行的三次体育测试中获得满分的人数逐渐增多，从八上期末的 150 人满分，到八
下半期满分人数上升至 216 人．
（1）如果每次测试满分人数增加的百分率相同，求这个百分率；
（2）已知体测满分 50 分，该年级共 700 名学生，其中有 10 名同学因身体原因每次测试只能得到 35
分．年级计划通过一系列举措，力争在八下期末测试时满分人数比八下半期满分人数增加 25%．那么除
了满分同学和 10 名因身体原因同学之外，其余同学至少平均多少分，才能使全年级平均分不低于 46 分？
（结果精确到 0.1）
【分析】（1）设每次测试满分人数增加的百分率为 x，根据八下半期满分人数＝八上期末满分人数×
（1+每次测试满分人数增加的百分率）2，可列出关于 x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可
得出结论；
（2）设其余同学的平均得分为 y 分，根据全年级平均分不低于 46 分，可列出关于 y 的一元一次不等式，
解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设每次测试满分人数增加的百分率为 x，
根据题意得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：每次测试满分人数增加的百分率为 20%；
（2）设其余同学的平均得分为 y 分，
根据题意得：50×216×（1+25%）+35×10+[700﹣216×（1+25%）﹣10]y≥46×700，
解得：y≥43.7，
∴y 的最小值为 43.7．
答：其余同学至少平均得分为 43.7 分．
【变式 6】某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长 50 米，宽 32 米，中心建设一个直
径为 10 米的圆形喷泉，四周各角留一个矩形花坛，图中阴影处铺设地砖，已知矩形花坛的长比宽多 15
米，阴影铺设地砖的面积是 1125 平方米．（π 取 3）．
（1）求矩形花坛的宽是多少米；
（2）四个角的矩形花坛由甲、乙两个工程队负责绿化种植，甲工程队每平方米施工费 100 元，乙工程队
每平方米施工费 120 元，若完成此工程的工程款不超过 42000 元，至少要安排甲队施工多少平方米．
【分析】（1）设矩形花坛的宽是 x 米，则长是（x+15）米，根据阴影铺设地砖的面积是 1125 平方米，即
可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设安排甲队施工 y 平方米，则安排乙队施工（400﹣y）平方米，根据所需工程款＝甲工程队所需工
程款+乙工程队所需工程款，结合完成此工程的工程款不超过 42000 元，即可得出关于 y 的一元一次不等
式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设矩形花坛的宽是 x 米，则长是（x+15）米，
依题意得：50×32﹣4x （x+15）﹣3×（10÷2）2＝1125，
整理得：x2+15x﹣100＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣20（不合题意，舍去）．
答：矩形花坛的宽是 5 米．
（2）设安排甲队施工 y 平方米，则安排乙队施工[4×5×（5+15）﹣y]＝（400﹣y）平方米，
依题意得：100y+120（400﹣y）≤42000，
解得：y≥300．
答：至少要安排甲队施工 300 平方米．
【变式 7】农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等
风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用 21 天的时间生产袋装粽子进行销
售，已知每袋粽子需要 0.3 斤馅料和 0.5 斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料 450 斤或者糯米 300 斤，但
因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种．
（1）若这 21 天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？
（2）为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在 10 天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本
为 13 元，售价为 25 元时每天可售出 225 袋，售价每降低 2 元，每天可多售出 75 袋．工厂按售价 25 元
销售了 2 天，余下 8 天进行降价促销，第 10 天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以 15 元/袋的价格将
余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利 40500 元，则工厂促销时每袋应降价多少元？
【分析】（1）设总共生产这种粽子 a 袋，根据这 21 天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋
装粽子，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设工厂促销时每袋应降价 x 元，根据最终获利 40500 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值
即可．
【解答】解：（1）设总共生产这种粽子 a 袋，
由题意得： + ＝21，
解得：a＝9000，
答：总共生产这种粽子 9000 袋；
（2）设工厂促销时每袋应降价 x 元，
由题意可知，前 10 天的利润为：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225+ x），
第 10 天结束后工厂以 15 元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市的利润：（15﹣13）[9000﹣2
×225﹣8（225+ x）]，
由题意得：225×2×（25﹣13）+8（25﹣13﹣x）（225+ x）+（15﹣13）[9000﹣2×225﹣8（225+
x）]＝40500，
解得：x1＝4，x2＝0（不符合题意，舍去），
答：工厂促销时每袋应降价 4 元．
1．等腰三角形的两边长分别是方程 x2﹣10x+21＝0 的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A．17 或 13 B．13 或 21 C．17 D．13
【分析】解方程求得 x 的值，再分两种情况结合三角形的三边关系求三角形的周长即可．
【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
解得 x1＝3，x2＝7，
当等腰三角形的边长是 3、3、7 时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是 7、7、3 时，这个三角形的周长是 7+7+3＝17．
故选：C．
2．用配方法解一元二次方程 x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝17 B．（x﹣6）2＝17 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【分析】利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
3．关于 x 的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0 有两个实数根，则 m 的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥4 C．m≥﹣4 且 m≠2 D．m≤4 且 m≠2
【分析】由根的判别式可得Δ＝b2﹣4ac≥0，从而可以列出关于 m 的不等式，求解即可，还要考虑二次
项的系数不能为 0．
【解答】解：根据题意得 ，
解得 m≤4 且 m≠2．
故选：D．
4．随着经济的发展和人们生活水平的提高，春节旅游逐渐成为了人们追求幸福的新方式，越来越多的人选
择在春节期间出游，体验不一样的年味．据统计.2022 年春节假期国内旅游出游人数约 2.5 亿人次，2024
年达到 4.7 亿人次．设 2022 年到 2024 年春节假期国内旅游出游人数的年平均增长率为 x，则根据题意所
列方程正确的是（ ）
A．2.5（1+x）2＝4.7 B．2.5（1+x2）＝4.7
C．2.5（1﹣x）2＝4.7 D．2.5（1﹣x2）＝4.7
【分析】根据 2022 年春节假期国内旅游出游人数约 2.5 亿人次，2024 年达到 4.7 亿人次即可得到结
论．
【解答】解：根据题意，得 2.5（1+x）2＝4.7．
故选：A．
5．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校 2021 年给贫困学生每人 400 元补贴，2023 年
给贫困学生每人 560 元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为 x，则下面列出的方程中正确的是
（ ）
A．400（1+x）2＝560
B．400+400（1+x）2＝560
C．400（1+2x）＝560
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝560
【分析】设每年发放的资助金额的平均增长率为 x，根据 2021 年及 2023 年发放给每个经济困难学生的
金额，即可列出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：由题意，得：400（1+x）2＝560．
故选：A．
6．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言纪念，全班同学共写了 1980 份留言，如果全班
同学有 x 名学生，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x+1）＝1980
C． D．
【分析】全班同学有 x 名学生，则每人写（x﹣1）份留言，共写 x（x﹣1）份留言，进而可列出方程即
可．
【解答】解：全班同学有 x 名学生，则每人写（x﹣1）份留言，
根据题意得：x（x﹣1）＝1980，
故选：A．
7．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只
云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为 891 平方步，只知道它的长与宽共
60 步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多（ ）步．
A．15 B．12 C．9 D．6
【分析】设长为 x 步，则宽为（60﹣x）步，根据矩形田地的面积为 891 平方步，即可得出关于 x 的一元
二次方程，解之即可得出 x 的值，结合长不短于宽，可确定矩形田地的长，再将其代入 x﹣（60﹣x）中
即可求出结论．
【解答】解：设长为 x 步，则宽为（60﹣x）步，
依题意得：x（60﹣x）＝891，
解得：x1＝33，x2＝27．
又∵x≥60﹣x，
∴x≥30，
∴x＝33，
∴x﹣（60﹣x）＝33﹣（60﹣33）＝6，
∴长比宽多 6 步．
故选：D．
8．如图，若设从 2019 年到 2021 年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为 x，根据这个统计图可知，x
应满足（ ）
A．x＝
B．14.5%（1+x）2＝452.3%
C．1.98（1+x）2＝16.9
D．1.73（1+x）2＝3.06
【分析】利用 2021 年我国海上风电新增装机容量＝2019 年我国海上风电新增装机容量×（1+平均增长
率）2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：1.98（1+x）2＝16.9．
故选：C．
9．对于实数 a，b 定义运算“☆”为 a☆b＝a2﹣a+b，例如：4☆5＝42﹣4+5＝17，则关于 x 的方程（x﹣2）
☆2＝x﹣1 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】准确理解题意，再利用根的判别式即可得答案．
【解答】解：∵（x﹣2）☆2＝x﹣1，
∴方程为（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2＝x﹣1，
即 x2﹣6x+9＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝36﹣36＝0，
∴有两个相等的实数根，
故选：B．
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，点 P，Q 分别从 A，B 两点出发沿 AC，
BC 方向向终点 C 匀速运动，其速度均为 2cm/s．设运动时间为 t s，则当△PCQ 的面积是△ABC 的面积
的一半时，t 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由三角形面积公式结合题意△PCQ 的面积是△ABC 的面积的一半，列出一元二次方程，解方程
即可．
【解答】解：由题意得： （16﹣2t）（12﹣2t）＝ × ×16×12，
整理得：t2﹣14t+24＝0，
解得：t＝2 或 t＝12，
当 t＝2 时，16﹣2t＝12，12﹣2t＝8，符合题意；
当 t＝12 时，16﹣2t＝﹣8，12﹣2t＝﹣12，不符合题意，舍去；
∴t＝2，
故选：B．
11．设 m，n 是方程 x2+x﹣2024＝0 的两个实数根，则 m2+2m+n 的值为 2023 ．
【分析】由于 m、n 是方程 x2+x﹣2024＝0 的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到 m+n＝﹣1，并
且 m2+m﹣2024＝0，然后把 m2+2m+n 可以变为 m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果．
【解答】解：∵m、n 是方程 x2+x﹣2024＝0 的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m﹣2024＝0，
∴m2+m＝2024，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2024﹣1＝2023．
故答案为：2023．
12．定义新运算“a*b”：对于任意实数 a，b，都有 a*b＝ab+1，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例
如：3*4＝3×4+1＝13．若关于 x 的方程 x*（kx+1）＝0 有两个实数根，则实数 k 的取值范围是
且 k≠0 ．
【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不
等式组求解．
【解答】解：∵x*（kx+1）＝0，
∴x（kx+1）+1＝0，
整理可得 kx2+x+1＝0，
又∵关于 x 的方程 x*（kx+1）＝0 有两个实数根，
∴ ，
解得： 且 k≠0，
故答案为： 且 k≠0．
13．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10（m/s）的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过 xs
离地面的高度（单位：m）为 10x﹣4.9x2．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间 x 约为 2 s
（结果保留整数）．
【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说 S 为 0，建立方程求得答案即可．
【解答】解：S＝10x﹣4.9x2，
落回地面时 S＝0，
所以 10x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0（不合题意舍去），x2＝ ≈2，
答：物体经过约 2 秒回落地面．
故答案为：2．
14．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为 45 元时，每天可售出 100
盒．每盒的售价每降低 1 元，每天的销量增加 10 盒．要使该款大礼包每天的销售额达到 6000 元，每盒
的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价 x 元，则可列方程为 （45﹣x）（100+10x）＝
6000 ．
【分析】设该款大礼包每盒降价 x 元，根据该款大礼包每天的销售额达到 6000 元，列出方程即可．
【解答】解：设该款大礼包每盒降价 x 元，根据题意得：
（45﹣x）（100+10x）＝6000，
故答案为：（45﹣x）（100+10x）＝6000．
15．《代数学》中记载，形如 x2+8x＝33 的方程，求正数解的几何方法是：“如图 1，先构造一个面积为 x2 的
正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 2x 的矩形，得到大正方形的面积为 33+16＝49，
则该方程的正数解为 7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于 x 的方程 x2+12x＝m 时，构造出如图 2 所示的图形，
已知阴影部分的面积为 64，则该方程的正数解为 4 ．
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为 3，先计算出大正方形的面积＝阴影部
分的面积+4 个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解答】解：x2+12x＝m，
∵阴影部分的面积为 64，
∴x2+12x＝64，
设 4a＝12，
则 a＝3，
同理：先构造一个面积为 x2 的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 3x 的矩形，
得到大正方形的面积为 64+32×4＝64+36＝100，
则该方程的正数解为 10﹣6＝4，
故答案为：4．
16．小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
解方程：x2﹣6x+5＝0
x2﹣5x﹣x+5＝0…第 1 步
x2﹣5x＝x﹣5…第 2 步
（x﹣5）x＝x﹣5…第 3 步
∴x﹣5＝0…第 4 步
∴x＝5…第 5 步
（1）小明的解法从第 4 步开始出现错误；
（2）请用适当方法给出正确的解答．
【分析】（1）第 4 步符合方程的同解原理；
（2）先利用因式分解法把方程转化为 x﹣5＝0 或 x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）小明的解法从第 4 步开始出现错误；
（2）正确的解答为：
x2﹣6x+5＝0，
（x﹣5）（x﹣1）＝0，
x﹣5＝0 或 x﹣1＝0，
所以 x1＝5，x2＝1．
17．【过程学习】对于代数式 x2+4x+3，我们可作如下变形：
x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1，∵（x+2）2≥0，∴当 x＝﹣2 时，代数式 x2+4x+3 的最小值为﹣
1．这种方法叫做配方法求最值．
【初步应用】对于代数式 2x2﹣4x+3 可变形为＝2（x+ ﹣1 ）2+1，∴对于代数式 2x2﹣4x+3，当 x＝ 1
时，最小值为 1．
【问题解决】某工业设备专卖店销售一种机床，四月份的售价 2 万元，共销售 60 台．根据市场销售经验
知：当这种机床售价每增加 0.1 万元时，就会少售出 1 台．
①五月份该专卖店想将销售额提高 25%，求这种机床每件的售价；
②求五月份销售额最大值是多少？
【分析】【初步应用】把代数式 2x2﹣4x+3 进行配方，然后根据偶次方的非负性进行解答即可；
【问题解决】】①设这种机床每件的售价为 x 万元，根据销售额＝售价×台数，列出方程，求出答案即
可；
②根据销售额＝售价×台数，列出代数式，进行配方，求出最大值即可．
【解答】解：【初步应用】
2x2﹣4x+3
＝2（x2﹣2x+1﹣1）+3
＝2（x2﹣2x+1）﹣2+3
＝2（x﹣1）2+1，
∵2（x﹣1）2≥0，
∴对于代数式 2x2﹣4x+3，当 x＝1 时，最小值为 1，
故答案为：﹣1，1；
【问题解决】①设这种机床每件的售价为 x 万元，由题意得：
，
x（80﹣10x）＝150，80x﹣10x2﹣150＝0，
x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0 或 x﹣5＝0，
x1＝3，x2＝5，
答：这种机床每件的售价为 3 万元或 5 万元；
②由①得：销售额为：
＝x（80﹣10x）
＝﹣10x2+80x
＝﹣10（x2﹣8x）
＝﹣10（x2﹣8x+16﹣16）
＝﹣10（x﹣4）2+160，
∴当 x＝4 时，销售额最大，为 160 万元，
答：五月份销售额最大值是 160 万元．
18．如图，利用一面墙（墙长 25 米），用总长度 51 米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形
围栏，设 BC 长为 x 米．
（1）DC＝ 51﹣3x 米（用含 x 的代数式表示）；
（2）若长方形围栏 ABCD 面积为 210 平方米，求 BC 的长；
（3）长方形围栏 ABCD 面积是否有可能达到 240 平方米？若有可能，求出相应 x 的值；若不可能，则说
明理由．
【分析】（1）由题意知，3BC+CD＝51，代入求解即可；
（2）由题意知 DC≤25，即 51﹣3x≤25，且 3x≤51，求解可得 ，由题意知，BC×DC＝
210，即 x （51﹣3x）＝210，整理得，x2﹣17x+70＝0，计算求解满足要求的 x 的值即可；
（3）根据题意，令 x（ 51﹣3x）＝240，由Δ＝﹣31＜0，可知该方程没有实数根，进而可判断长方形围
栏 ABCD 面积是否有可能达到 240 平方米．
【解答】解：（1）由题意知，3BC+DC＝51，
∵BC＝x，
∴DC＝51﹣3x，
故答案为：51﹣3x；
（2）由题意知 DC≤25，即 51﹣3x≤25，
解得， ，
∵3x≤51，
解得，x≤17，
∴ ，
由题意知，BC×DC＝210，即 x （51﹣3x）＝210，
整理得，x2﹣17x+70＝0，
（x﹣7）（x﹣10）＝0，
解得，x1＝7（不合题意，舍去），x2＝10，
∴长方形围栏 ABCD 面积为 210 平方米，BC 的长为 10；
（3）不可能，理由如下：
令 x （51﹣3x）＝240，整理得 x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝172﹣4×1×80＝﹣31＜0，
∴该方程没有实数根，
∴长方形围栏 ABCD 面积不可能达到 240 平方米．
19．“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅，每天可卖
出 150 千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千
克下降 2 元，则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变）．
（1）设售价每千克下降 x 元，则每天能售出 （150+3x） 千克（用含 x 的代数式表示）；
（2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额；
（3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为 10000 元”的“小目标”，按题目的条件否能达成这个“小
目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由．
【分析】（1）根据某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅，每天可卖出 150 千克，已知杨梅售价每千克
下降 2 元，则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变）．即可得出结论；
（2）设售价每千克下降 x 元，根据每天能获得 9072 元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意
的值即可；
（3）设售价每千克下降 m 元，根据每天售出杨梅的销售额为 10000 元，列出一元二次方程，再由各边
的判别式即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意可知，每天能售出：（150+ ×6）千克，即（150+3x）千克，
故答案为：（150+3x）；
（2）设售价每千克下降 x 元，
由题意得：（60﹣x）（150+3x）＝9072，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6，
∴60﹣x＝60﹣4＝56 或 60﹣6＝54，
答：每千克售价为 54 元或 56 元时，每天能获得 9072 元的销售额；
（3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：
设售价每千克下降 m 元，
由题意得：（60﹣m）（150+3m）＝10000，
整理得：3m2﹣30m+1000＝0，
∴b2﹣4ac＝302﹣3×4×1000＝﹣11100＜0，
∴不能达到这个“小目标”．
20．阅读理解
【学习新知】我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为
一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求
解．
①因式分解法求解特殊的三次方程：
将 x3﹣5x+2＝0 变形为 x3﹣（4+1）x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0．
∴（x3﹣4x）﹣（x﹣2）＝0．
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．
∴（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0．
∴x﹣2＝0 或 x2+2x﹣1＝0．
∴原方程有三个根：x1＝2， ， ．
②换元法求解特殊的四次方程：
x4﹣5x2+4＝0
设 x2＝y，那么 x4＝y2，于是原方程可变为 y2﹣5y+4＝0，解得 y1＝1，y2＝4，
当 y＝1，x2＝1 时，∴x＝±1；
当 y＝4，x2＝4 时，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
【应用新知】（1）仿照以上方法，按照要求解方程：
①（因式分解法）x3﹣10x+3＝0；
②（换元法）x4+3x2﹣4＝0；
【拓展延伸】（2）已知：x2﹣2x﹣1＝0，且 x＞0，请综合运用以上方法，通过“降次”求 x4﹣2x3﹣3x 的
值．
【分析】（1）仿照题中所给方法，分别用因式分解法及换元法解方程即可．
（2）根据题意对所给代数式进行“降次”，再用整体思想即可解决问题．
【解答】解：（1）①将 x3﹣10x+3＝0 变形为 x3﹣（9+1）x+3＝0，
∴x3﹣9x﹣x+3＝0，
∴x（x+3）（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x2+3x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0 或 x2+3x﹣1＝0，
∴原方程有三个根：x1＝3， ．
②设 x2＝y，那么 x4＝y2，
于是原方程可变为 y2+3y﹣4＝0，
解得 y1＝1，y2＝﹣4；
因为 x2≥0，
所以 y＝﹣4 舍去．
当 y＝1 时，x2＝1，
∴x＝±1，
∴原方程有两个根：x1＝1，x2＝﹣1．
（2）∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1．
∴x4﹣2x3﹣3x＝x2（x2﹣2x）﹣3x＝x2﹣3x＝x2﹣2x﹣x＝1﹣x．
解方程 x2﹣2x﹣1＝0 得，
，
∵x＞0，
∴x＝1+ ，
∴x4﹣2x3﹣3x＝1﹣（1+ ）＝﹣ ．
