第 07 讲 实际问题与二次函数
课程标准 学习目标
①利用二次函数解决实际问题的 1. 掌握利用二次函数解决实际问题的基本步骤并能够在解决题
基本步骤 目时熟练应用。
②利用二次函数解决实际问题的 2. 掌握二次函数解决实际问题中的基本类型，抓住各类型的解决
基本类型 方法解决问题。
知识点 01 二次函数解决实际问题的步骤
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确 常量 、 变量 以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图象与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
知识点 02 二次函数解决面积问题
1. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为
二次函数问题，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。
【即学即练 1】
1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 40 米的篱笆围成，
已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，围成的苗圃面积为 y 平方米，
则 y 关于 x 的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【分析】先用含 x 的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出 y 关于 x 的函数关
系式．
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．
依题意可得：y＝x（40﹣2x）．
故选：C．
【即学即练 2】
2．如图，一块矩形草地的长为 100m，宽为 80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 x（m）的小路，这时
草坪的面积为 y（m2）．求 y 与 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围．
【分析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案．
【解答】解：设中间修筑两条互相垂直的宽为 x（m）的小路，草坪的面积为 y（m2），
根据题意得出：y＝100×80﹣80x﹣100x+x2＝x2﹣180x+8000（0＜x＜80）．
知识点 03 二次函数解决销售利润问题
1. 二次函数解决销售利润问题：
计算公式：总利润＝ 单利润×数量
现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝ 原数量－ 变化基数（原数量＋ 变化基数）
涨价基础 降价基础
【即学即练 1】
3．衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，
成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以 30 元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，
根据市场调查发现：售价定为 58 元/箱时，每天可销售 600 箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发
现每箱降价 1 元，每天可增加销量 60 箱，每天的利润 w（元）与每箱降价 x（元）之间的函数表达式为 w
＝﹣60x2+1080x+16800 ．
【分析】根据总利润＝单个的利润×销售量，列出函数解析式即可．
【解答】解：每天的利润 w（元）与每箱降价 x（元）之间的函数表达式为：
w＝（58﹣x﹣30）（600+60x）＝﹣60x2+1080x+16800．
故答案为：w＝﹣60x2+1080x+16800．
【即学即练 2】
4．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批
麻花礼盒进行销售，成本价为 30 元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为 40 元/件时，每天的
销售量为 300 件，销售单价每提高 10 元/件，将少售出 50 件．
（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出出
变量取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）依据题意，可得销售量 y＝300﹣50× ，再结合 x﹣40≥0 计算即可得解；
（2）依据题意，设每天获得的利润为 w，从而 w＝（x﹣30）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣65）2+6125，又﹣
5＜0，进而结合二次函数的性质可以判断得解；
【解答】解：（1）由题意，销售量 y＝300﹣50× ，
∴y＝﹣5x+500．
又 x﹣40≥0，
∴x≥40．
（2）由题意，设每天获得的利润为 w，
∴w＝（x﹣30）（﹣5x+500）
＝﹣5x2+650x﹣15000
＝﹣5（x﹣65）2+6125．
又﹣5＜0，
∴当 x＝65 时，w 取最大值为 6125．
答：当销售单价定 65 元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为 6125 元．
知识点 04 二次函数解决抛物线形问题
1. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。
（2）从已知条件和图象中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图象和性质解决实际问题。
【即学即练 1】
5．如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，
玉带桥的拱顶离水面的平均高度为 4.2m，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2+4.2（a＜
0），则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（ ）
A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴
B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为 x 轴
C．以水面为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴
D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴
【分析】根据题意和抛物线解析式得出结论．
【解答】解：∵玉带桥的拱顶离水面的平均高度为 4.2m，二次函数为 y＝ax2+4.2（a＜0），
∴抛物线的顶点坐标为（0，4.2），
∴该抛物线所在的平面直角坐标系是以抛物线的对称轴为 y 轴，以水面为 x 轴，
故选：C．
【即学即练 2】
6．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置
竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建
立如图所示的平面直角坐标系，主索 DPC 所在曲线的 y 与 x 之间近似满足函数关系 y＝a（x﹣h）2+k（a
＞0）．
某实践小组经过测量，桥面 AB 中点 M 处上方点 P 为该悬索桥主索的最低点，MP＝5m，MA＝40m，塔
桥 AD 高度为 25m．
（1）求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
（2）若想在距离 M 点 20 米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
（3）厂家生产了一条长 16.25m 的吊索，应将该吊索安置在距 A 点多远的桥面上？
【分析】（1）根据题意得 P（40，5），D（0，25），利用待定系数法求解即可；
（2）设点 N 在 A 点右侧 20m 处，则 xN＝40﹣20＝20，令 x＝20，代入解析式求出 y 值，再乘以 2 即可；
（3）令 y＝16.25，解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）由题意得，点 P（40，5），D（0，25），
设主索所在抛物线的解析式为 y＝a（x﹣40）2+5，
将 D（0，25）代入该解析式可得，25＝a（0﹣40）2+5，
∴ ，
∴该悬索桥主索所在抛物线的解析式为 ；
（2）设点 N 在 M 点左侧 20m 处，则 xN＝40﹣20＝20，
当 x＝20 时， ，
则这两条吊索的总长度为：2×10＝20（m），
∴这两条吊索的总长度为 20m．
（3）解：吊索长度为 16.25m，
则 ，
解得 x1＝10 或 x2＝70，
答：应将该吊索安置在距 A 点 10m 或 70m 的桥面上．
题型 01 二次函数解决面积问题
【典例 1】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 以 1cm/s
的速度运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，
Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形 PABQ 的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意，先根据题意列出函数关系式，再求其最值．
【解答】解：设点 P 的运动时间为 x，四边形 PABQ 面积为 y，
则 AP＝x，CQ＝2x，
在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，
∴CA＝ ＝3cm．
∴CP＝3﹣x，
∴y＝ ×3×4﹣ ×2x（3﹣x）＝（x﹣ ）2+ ．
∴当 x＝ 时，y 有最小值 ，
故选：C．
【变式 1】如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2cm/s 的
速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以 1cm/s 的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当
△PBQ 的面积为最大时，运动时间 t 为 2 s．
【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．先用含 t 的代数式表示出 PB、QB 再根据三角形的面
积公式计算．
【解答】解：根据题意得三角形面积为：
S＝ （8﹣2t）t＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
∵由以上函数图象知
∴当 t＝2 时，△PBQ 的面积最大为 4cm2．
【变式 2】如图，现打算用 60m 的篱笆围成一个“日”字形菜园 ABCD（含隔离栏 EF），菜园的一面靠墙
MN，墙 MN 可利用的长度为 39m．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为 252m2 吗？若可能，求边长 AB 的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度 AB 不能超过 8m，求该菜园面积的最大值．
【分析】（1）设 AB 的长为 x m，则 BC 的长为（60﹣3x）m，根据矩形的面积＝252 列出方程，解方程取
符合题意的值即可；
（2）设 AB 的长为 x m，菜园面积为 y m2，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设 AB 的长为 x m，则 BC 的长为（60﹣3x）m，
根据题意得：x（60﹣3x）＝252，
解得 x＝6 或 x＝14，
当 x＝6 时，BC＝60﹣18＝42＞39，舍去；
当 x＝14 时，BC＝60﹣42＝18＜39，满足题意，
∴花园面积可能是 252m2，此时边 AB 长为 14m；
（2）设 AB 的长为 x m，菜园面积为 y m2，
由题意得：y＝x（60﹣3x）＝﹣3x2+60x＝﹣3（x﹣10）2+300，
∵﹣3＜0，
∴当 x＜10 时，y 随 x 的增大而增大，
∵x≤8，
∴当 x＝8 时，y 最大，最大值为 288．
答：该菜园面积的最大值为 288 平方米．
【变式 3】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料
可建围墙的总长为 50m．设饲养室长为 x（m），占地面积为 y（m2）．
（1）如图 1，如果忽略门的计算，问饲养室长 x 为多少时，占地面积 y 最大？
（2）如图 2，现要求在图中所示位置留 2m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最小，小敏说：“只要饲养
室长比（1）中的长多 2m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
【分析】（1）根据题意用含 x 的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积＝长×宽计算，再根据二次函
数的性质分析即可；
（2）根据题意用含 x 的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积＝长×宽计算，再根据二次函数的性质
分析即可．
【解答】解：（1）根据题意得，y＝x ＝﹣ （x﹣25）2+ ，
故当 x＝25 时，占地面积最大，
即饲养室长 x 为 25m 时，占地面积 y 最大；
（2）∵y＝x ＝﹣ （x﹣26）2+338，
∴当 x＝26 时，占地面积最大，
即饲养室长 x 为 26m 时，占地面积 y 最大；
∵26﹣25＝1≠2，
∴小敏的说法不正确．
【变式 4】某家禽养殖场，用总长为 200m 的围栏靠墙（墙长为 65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形
EAGH 与矩形 HGBF 面积相等，矩形 EAGH 面积等于矩形 DEFC 面积的二分之一，设 AD 长为 x m，矩
形区域 ABCD 的面积为 y m2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形 EAGH 和矩形 DEFC 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40 元/平方米和
20 元/平方米，若要使安装成本不超过 30000 元，请直接写出 x 的取值范围．
【分析】（1）根据题意表示出矩形的长与宽，进而得出答案；
（2）把二次函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）设安装成本为 w 元，则 w＝﹣25x2+2000x，再根据二次函数的性质结合（1）中 x 的最值范围可得
答案．
【解答】解：（1）由题意得，AE＝HG＝ AD＝ x m，
DC＝AB＝ （200﹣ x）＝（100﹣ x）m，
故 y＝x（100﹣ x）＝﹣ x2+100x，
自变量 x 的取值范围为：28≤x＜80；
（2）由题意可得：
∵y＝﹣ x2+100x＝﹣ （ x2﹣80x）＝﹣ （ x﹣40）2+2000，
又∵28≤x＜80，
∴当 x＝40 时，y 有最大值，最大值为 2000 平方米；
（3）由题意得，S 矩形 EAGH＝AG AE＝ （100﹣ x） x＝﹣ x2+25x，S 矩形 DEFC＝DC DE＝（100﹣
x） x＝﹣ x2+50x，
设安装成本为 w 元，则 w＝40（﹣ x2+25x）+20（﹣ x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
令 w＝30000，则﹣25x2+2000x＝30000，
解得 x＝60 或 20，
∵28≤x＜80，
∴60≤x＜80 时，安装成本不超过 30000 元．
题型 02 二次函数解决销售利润问题
【典例 1】将进货单价为 90 元的某种商品按 100 元售出时，能卖出 500 个，单价每上涨 1 元，其销售量就
减小 10 个，为了获得最大利润，售价应定为每件（ ）
A．110 元 B．120 元 C．130 元 D．150 元
【分析】设售价上涨 x 元，利润 y 元，根据将进货价为 90 元的某种商品按 100 元出售时，能卖出 500 个，
商品每个上涨 1 元，其销售量就减少 10 个，则售价为（100+x）元，销售量为（500﹣10x）个，可列出
二次函数解析式，把二次函数解析式化为顶点式即可求得结果．
【解答】解：设在售价 100 元的基础上涨价 x 元，获总利润 y 元，
则 y＝（100+x﹣90）（500﹣10x）＝﹣10（x﹣20）2+9000，
所以 x＝20 时，y 值最大，
所以售价应定为 120 元，
故选：B．
【变式 1】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出
200 顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出 20
顶．已知头盔的进价为每顶 50 元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
【分析】根据题意，可以先设出每顶头盔降价 x 元，利润为 w 元，然后根据题意可以得到 w 与 x 的函数
关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w 取得最大值，从而可以得到该商店每
月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
【解答】解：每顶头盔降价 x 元，利润为 w 元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当 x＝10 时，w 取得最大值，此时 80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 70 元，
故选：C．
【变式 2】昆明某电商平台以每件 20 元的价格购进了一批商品进行销售，销售时该商品的售价不低于进价
且不超过 28 元．经市场调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间满足如图所
示的一次函数关系．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0），然后用待定系数法求函数解析式；
（2）根据利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数
最值．
【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知： ，
解得： ，
∴y 与 x 的函数关系式为 y＝﹣10x+420；
（2）设每天销售这种商品所获的利润为 w，
∵y＝﹣10x+420，
∴w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣10x+420）
＝﹣10x2+620x﹣8400
＝﹣10（x﹣31）2+1210，
∵﹣10＜0，
∴当 x＜31 时，w 随 x 的增大而增大，
∵20≤x≤28，
∴当 x＝28 时，w 有最大值，最大值为 1120，
∴售价定为 28 元/件时，每天最大利润为 1120 元．
【变式 3】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调
查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要
求销售单价不得低于成本，且不高于 100 元．
（1）求每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
＝（x﹣50）（﹣5x+550）
＝﹣5x2+800x﹣27500
所以 y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500
＝﹣5（x﹣80）2+4500
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线 x＝80，
∴当 x＝80 时，y 最大值＝4500；
即销售单价为 80 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 4500 元．
【变式 4】为满足市场需求，某超市在中秋节前夕购进价格为 12 元/盒的某品牌月饼，根据市场预测，该品
牌月饼每盒售价 14 元时，每天能售出 200 盒，并且售价每上涨 1 元，其销售量将减少 10 盒，为了维护
消费者利益，物价部门规定：该品牌月饼的售价不能超过 20 元/盒．
（1）当销售单价为多少元时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为 720 元；
（2）当销售单价为多少元时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设销售单价为 x 元/盒，由题意得：（x﹣12）[200﹣10（x﹣14）]＝720，即可求解；
（2）由题意得：w＝（x﹣12）[200﹣10（x﹣14）]＝﹣10（x﹣23）2+1210（x≤20），利用函数的增减性
即可求解．
【解答】解：（1）设销售单价为 x 元/盒，由题意得：（x﹣12）[200﹣10（x﹣14）]＝720，
解得 x＝16 或 30，
∴x≤20，
∴舍去 x＝30，
∴x＝16；
故销售单价为 16 元/盒时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为 720 元；
（2）销售单价为 x 元/盒时，超市每天销售该品牌月饼获得利润 w 元，
由题意得：w＝（x﹣12）[200﹣10（x﹣14）]＝﹣10（x﹣23）2+1210（x≤20），
∵a＝﹣10＜0，故抛物线开口向下，当 x＜23 时，w 随 x 的增大而增大，
故 x＝20（元/盒）时，w 最大，w 的最大值为 1120（元）
故当销售单价为 20 元/盒时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大，最大利润是 1120 元．
题型 03 二次函数解决抛物线形的形状与运动轨迹问题
【典例 1】如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物
线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h
＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到 15m
B．小球的飞行高度可以达到 25m
C．小球从飞出到落地要用时 4s
D．小球飞出 1s 时的飞行高度为 10m
【分析】直接利用 h＝15 以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【解答】解：A、当 h＝15 时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到 15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故 t＝2 时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0 时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时 4s，故此选项正确；
D、当 t＝1 时，h＝15，
故小球飞出 1s 时的飞行高度为 15m，故此选项错误；
故选：C．
【变式 1】一次足球训练中，小天在球门正前方的 A 处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在
离地面 4 米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为 6 米．已知球门高 OB 为 2.44 米，足球离地面
3 米时，其与球门的水平距离为 10 米．现以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；
（2）若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为 2.31 米，求辉辉
需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？
【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标为（6，4），且抛物线过点（10，3），故可设抛物线的解析
式为 y＝a（x﹣6）2+4，又过（10，3），可得 3＝a（10﹣6）2+4，求出 a 可得解析式；又令 x＝0，则 y＝﹣
（0﹣6）2+4＝1.75，可得 OB 进而可以判断得解；
（2）依据题意，令 y＝2.31，则 2.31＝﹣ （x﹣6）2+4，可得 x＝11.2 或 x＝0.8，由防守队员辉辉正在
抛物线对称轴的左侧加强防守，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线的顶点坐标为（6，4），且抛物线过点（10，3），
设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣6）2+4，
又过（10，3），
∴3＝a（10﹣6）2+4．
∴a＝﹣ ．
∴抛物线的解析式为 y＝﹣ （x﹣6）2+4．
令 x＝0，则 y＝﹣ （0﹣6）2+4＝1.75．
∵OB＝2.44＞1.75，
∴此次射门在不受干扰的情况下能进球．
（2）由题意，令 y＝2.31，则 2.31＝﹣ （x﹣6）2+4，
∴x＝11.2 或 x＝0.8．
∵防守队员辉辉正在抛物线对称轴的左侧加强防守，
∴x＝0.8．
答：辉辉需要站在离球门 0.8m 以内的地方才可能防住这次射门．
【变式 2】如图，某跳水运动员在 10 米跳台上进行跳水训练，水面边缘点 D 的坐标为（﹣1，﹣10），运动
员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点 O 的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空
中最高处 A 点的坐标为 ，正常情况下，运动员在距水面高度 5 米之前，必须完成规定的翻腾、
打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；（不写自变量的取值范围）
（2）正常情况下，若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点 D 的水平距离为 4 米，问该运动员此
次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 y＝﹣10，解方程即可求得点 B 的坐标；
（2）利用二次函数的解析式求得 x＝3 时的 y 值，依据题意求得运动员此时距水面高度，通过比较与 5
米的大小即可得出结论．
【解答】解：（1）∵运动员在空中最高处 A 点的坐标为（ ），
∴A 点为抛物线的顶点，
∴设该抛物线的解析式为 y＝a ，
∵该抛物线经过点（0，0），
∴ a＝﹣ ，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣ ＝﹣x2+ x．
∵跳水运动员在 10 米跳台上进行跳水训练，
∴令 y＝﹣10，则﹣x2+ x＝﹣10，
∴x＝4 或 x＝﹣ ，
∴B（4，﹣10）；
（2）该运动员此次跳水不会失误，理由：
∵运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点 E 的水平距离为 4 米，点 E 的坐标为（﹣1，﹣10），
∴运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为 3，
当 x＝3 时，y＝﹣32+3× ＝﹣ ，
∴运动员距水面高度为 10﹣ ＝5.5（米），
∵5.5＞5，
∴该运动员此次跳水不会失误．
【变式 3】小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为 x 轴方向，1m
为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从 y 轴上的 A 点出手，运动路径可看作抛物线，
在 B 点处达到最高位置，落在 x 轴上的点 C 处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点 C 与出手点 A 的水平距离 OC 的长度）不小于 10m，成绩为优秀．请
通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
【分析】（1）根据题意画出图象即可；
（2）设该抛物线的表达式为 y＝a（x﹣4）2+3，由抛物线过点 A 得到 16a+3＝2．求得 ，于是得
到结论；
（3）根据题意解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示．
（2）解：依题意，抛物线的顶点 B 的坐标为（4，3），点 A 的坐标为（0，2）．
设该抛物线的表达式为 y＝a（x﹣4）2+3，
由抛物线过点 A，有 16a+3＝2．
解得 ，
∴该抛物线的表达式为 ；
（3）解：令 y＝0，得 ．
解得 ， （C 在 x 轴正半轴，故舍去）．
∴点 C 的坐标为（ ，0）．
∴ ．
由 ，可得 ．
∴小明此次试投的成绩达到优秀．
【典例 2】如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时水面宽 4m．水面下降 1m，水面宽度为（ ）
A．2 m B．2 m C． m D． m
【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为 y＝ax2，把点（2，﹣2）代入求出解析式，继而求得 y＝﹣3
时 x 的值即可得解．
【解答】解：建立如图所示直角坐标系：
可设这条抛物线为 y＝ax2，
把点（2，﹣2）代入，得
﹣2＝a×22，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ x2，
当 y＝﹣3 时，﹣ x2＝﹣3．
解得：x＝±
∴水面下降 1m，水面宽度为 2 m．
故选：A．
【变式 1】如图 1 是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图 2 所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式
为 y＝ ，正常水位时水面宽 AB 为 36m，当水位上升 5m 时水面宽 CD 为（ ）
A．10m B．12m C．24m D．48m
【分析】根据正常水位时水面宽 AB，求出当 x＝18 时 y＝﹣9，再根据水位上升 5 米时 y＝﹣4，代入解
析式求出 x 即可．
【解答】解：∵AB＝36 米，
∴当 x＝18 时，y＝﹣ ×182＝﹣9，
当水位上升 5 米时，y＝﹣4，
把 y＝﹣4 代入抛物线表达式得：﹣4＝﹣ x2，
解得 x＝±12，
此时水面宽 CD＝24（m），
故选：C．
【变式 2】如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱最高点 C
到 AB 的距离为 8m，AB＝40m，D，E 为桥拱底部的两点，且 DE∥AB，点 E 到直线 AB 的距离为 10m，
则 DE 的长为 60 m．
【分析】首先建立平面直角坐标系，设 AB 与 y 轴交于 H，求出 OC 的长，然后设该抛物线的解析式为：
y＝ax2+k，根据题干条件求出 a 和 k 的值，再令 y＝0，求出 x 的值，即可求出 D 和 E 点的坐标，DE 的
长度即可求出．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系．
设 AB 与 y 轴交于点 H，
∵AB＝40，
∴AH＝BH＝20，
由题可知：
OH＝10，CH＝8，
∴OC＝10+8＝18，
设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，
∵顶点 C（0，18），
∴抛物线 y＝ax2+18，
代入点（20，10），
∴10＝400a+18，
∴400a＝﹣8，
∴a＝﹣ ，
∴抛物线：y＝﹣ +18，
当 y＝0 时，0＝﹣ +18，
∴﹣ ＝﹣18，
∴x2＝900，
∴x＝±30，
∴E（30，0），D（﹣30，0），
∴OE＝OD＝30，
∴DE＝OD+OE＝30+30＝60，
故答案为：60．
【变式 3】如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．最大高
度为 6 米，底部宽度为 12m，AO＝3m．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点 A 及抛物线顶点 P 的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式．
【分析】（1）根据所建坐标系易求 A、P 的坐标；
（2）可设解析式为顶点式，把 A 点（或 B 点）坐标代入求待定系数求出解析式．
【解答】解：（1）由题意得：A（0，3），P（6，6）；
（2）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+6，
∵抛物线 y＝a（x﹣6）2+6 经过点（0，3），
∴3＝a（0﹣6）2+6，即 a＝﹣ ，
∴y＝﹣ （x﹣6）2+6，即 y＝﹣ x2+x+3
∴抛物线解析式为 y＝﹣ x2+x+3．
【变式 4】某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，
在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如
图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必
须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的
直径扩大到 24 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建
改造后喷水池水柱的最大高度．
【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（﹣8，0），求出 a 值，此题得解；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当 y＝1.8 时 x 的值，由此即可得出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与 y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造
后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 y＝﹣ x2+bx+ ，代入点（12，0）可求出 b 值，
再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于 y 轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为（﹣3，5），
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为 y＝a（x+3）2+5（a≠0），
将（﹣8，0）代入 y＝a（x+3）2+5，得：25a+5＝0，
解得：a＝﹣ ，
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为 y＝﹣ （x+3）2+5（﹣8＜x＜0）；
（2）当 y＝1.8 时，有﹣ （x+3）2+5＝1.8，
解得：x1＝﹣7，x2＝1，
∴为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在离水池中心 7 米以内；
（3）当 x＝0 时，y＝﹣ （x+3）2+5＝ ，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为 y＝﹣ x2+bx+ ，
∵该函数图象过点（﹣12，0），
∴0＝﹣ ×（﹣12）2+（﹣12）b+ ，
解得：b＝﹣ ，
∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为 y＝﹣ x2﹣ x+ ＝﹣ （x+ ）
2+ ，
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 米．
1．如图，将一根长 30cm 的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为
x（cm），它的面积为 y（cm2），则 y 与 x 之间的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15
【分析】根据铁丝的长度及弯成的长方形的一边长，可得出与该边相邻的一边长为（15﹣x）cm，利用长
方形的面积公式，即可找出 y 与 x 之间的函数关系式．
【解答】解：∵铁丝的长度为 30cm，且弯成的长方形的一边长为 x cm，
∴与该边相邻的一边长为 ＝（15﹣x）cm．
根据题意得：y＝x（15﹣x），
即 y＝﹣x2+15x．
故选：B．
2．学习兴趣小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，得到如下数据：
支撑物高度 h（cm） 5 10 15 20 25 30 35 40
小车下滑时间 t（s） 2.11 1.50 1.23 1.07 0.94 0.85 0.79 0.75
下列说法一定错误的是（ ）
A．当 h＝25cm 时，t＝0.94s
B．随着 h 逐渐变大，t 逐渐变小
C．h 每增加 5cm，t 减小 0.61s
D．当 h＝45cm 时，时间 t 小于 0.75s
【分析】根据表格中的数据逐项判断即可．
【解答】解：由表格可知，当 h＝25cm 时，t＝0.94s，故 A 正确，不符合题意；
由表格可知，随着 h 逐渐变大，t 逐渐变小，故 B 正确，不符合题意；
h 每增加 5cm，t 减小不一定是 0.61s，故 C 错误，符合题意；
当 h＝45cm 时，时间 t 小于 0.75s，故 D 正确，不符合题意；
故选：C．
3．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制
动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离 s
（m）与时间 t（s）的函数关系式为 s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采
取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）m．
A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】依据题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即 s 的最大值．把抛物线解析式化
成顶点式后，即可判断得解．
【解答】解：由题意得，S＝16t﹣4t2＝﹣4（t﹣2）2+16，
∵﹣4＜0，
∴当 t＝2 时，s 最大．
∴当 t＝2 时，汽车停下来，滑行了 16m．
故选：D．
4．一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于 y 轴对称，
如图所示（1cm 对应一个单位长度），AB∥x 轴，AB＝4cm，最低点 C 在 x 轴上，CH⊥AB 且 CH＝1cm，
BD＝2cm．则轮廓线 DFE 所在抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以求得点 C、点 B 的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于 y
轴对称，从而可以求得点 D 和点 F 的坐标，然后设出右轮廓线 DFE 所在抛物线的函数顶点式，从而可
以解答本题．
【解答】解：∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于 y 轴对称，AB∥x 轴，AB＝4cm，最低点 C
在 x 轴上，高 CH＝1cm，BD＝2cm，
∴点 C 的坐标为（﹣3，0），点 B（﹣1，1），
∴点 D（1，1），点 F（3，0），
设轮廓线 DFE 所在抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣3）2，
则 1＝a（1﹣3）2，
解得，a＝ ，
∴右轮廓线 DFE 所在抛物线的函数解析式为：y＝ （x﹣3）2，
故选：B．
5．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被
削离时与开水锅的高度差 h＝0.45m，与锅的水平距离 L＝0.3m，锅的半径 R＝0.5m．若将削出的小面圈
的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度 v0 不可能为
（提示 ，g＝10m/s2，水平移动距离 s＝vt）（ ）
A．2.5m/s B．3m/s C．3.5m/s D．5m/s
【分析】根据高度求出运动时间，结合水平移动的范围求出运动的初速度范围，从而确定速度的大小．
【解答】解：∵ ，
∴t＝ ＝0.3（s），
∵L＜x＜L+2R，
根据 x＝v0t，
可得最小速度为： ＝ ＝1（m/s），
最大速度为： ＝ ＝ （m/s），
由此可知，选项 A，B，C 在此范围内，不符合题意，选项 D.5m/s 不在此范围内，符合题意，
故选：D．
6．在平面直角坐标系 xOy 中，M 是抛物线 y＝x2+x﹣2 在第三象限上的一点，过点 M 作 x 轴和 y 轴的垂线，
垂足分别为 P，Q，则四边形 OPMQ 的周长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【分析】设 M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则 MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2，于是
四边形 OPMQ 的周长 L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6，根据二次函数性
质求解．
【解答】解：令 y＝0，则 x2+x﹣2＝0，
解得 x1＝﹣2，x2＝1，
∴抛物线与 x 轴的交点为（﹣2，0），（1，0），
设 M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则 MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2，
∴令四边形 OPMQ 的周长为 L，L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6，
∵﹣2＜0，
∴m＝﹣1 时，L 取最大值，为 6．
故选：D．
7．如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴
对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，图中点 E，F 关于 y 轴对称，其中点 E
的坐标为（3n﹣4，m+1），点 F 的坐标为（n2，2m），若点 E 到 x 轴的距离小于它到 y 轴的距离，则二次
函数 y＝x2+nx+m 图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3）
C． D． 或（2，﹣3）
【分析】根据点 E，F 关于 y 轴对称，可得两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列出方程得到 m 和 n
的值，进而根据点 E 到 x 轴的距离小于它到 y 轴的距离可得 n 的具体值，代入二次函数，整理成顶点式
可得二次函数的顶点坐标．
【解答】解：∵点 E，F 关于 y 轴对称，其中点 E 的坐标为（3n﹣4，m+1），点 F 的坐标为（n2，2m），
∴3n﹣4+n2＝0，m+1＝2m．
解得：n＝﹣4 或 n＝1；m＝1．
当 n＝﹣4 时，3n﹣4＝﹣16；当 n＝1 时，3n﹣4＝﹣1．
当 m＝1 时，m+1＝2．
∵点 E 到 x 轴的距离小于它到 y 轴的距离，|2|＜|﹣16|，
∴n＝﹣4．
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣4x+1
＝（x2﹣4x+4）﹣3
＝（x﹣2）2﹣3．
∴二次函数 y＝x2+nx+m 图象的顶点坐标是（2，﹣3）．
故选：B．
8．如图 1，质量为 m 的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，
弹簧的初始长度为 12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整
个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度 v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象
如图 2 所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 6cm
【分析】根据图象给出的信息分析出小球何时开始减速，小球下落最低点时弹簧的长度，小球速度最大
时，弹簧的长度即可解答．
【解答】解：由图象可知，弹簧压缩 2cm 后开始减速，
故选项 A 不符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短，小球的速度最小为 0，
故选项 B 不符合题意；
由图象可知小球速度最大时，弹簧压缩 2cm，
此时弹簧的长度为 12﹣2＝10（cm），
故选 C 不符合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为 6cm 时，
此时弹簧的长度为 12﹣6＝6（cm），
故选项 D 符合题意；
故选：D．
9．如图，一男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：米）是水平距离 x（单位：米）的二次函数，即铅球飞行
轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为 1.6 米；铅球飞行至水平距离 4 米时，铅球高
度为 4 米，铅球落地时水平距离为 8 米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离 3.5 米时，铅球到达最大
高度，最大高度为 4.05 米；
②当 0≤x≤8 时，y 与 x 之间的函数关系式为： ；
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】依据题意，抛物线过（0，1.6），（4，4），（8，0），再设二次函数的关系式为 y＝ax2+bx+c（0≤
x≤8），进而建立方程组求出 a，b，c 即可判断②；依据题意可得，函数的对称轴是直线 x＝﹣
＝ ，从而求出铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为 米，而从最高点运动至落地的水平距离为 8﹣
＝ （米），故可判断③；依据题意可得，当铅球飞行至水平距离 3.5 米时，铅球到达最大高度，最大
高度为 y＝﹣ ×（ ）2+ × + ＝4.05（米），故可判断①．
【解答】解：由题意，抛物线过（0，1.6），（4，4），（8，0），
设二次函数的关系式为 y＝ax2+bx+c（0≤x≤8），
∴ ．
∴ ．
∴函数的表达式为 y＝﹣ x2+ x+ ，故②正确．
由题意，函数的对称轴是直线 x＝﹣ ＝ ，
∴铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为 米，而从最高点运动至落地的水平距离为 8﹣ ＝
（米），故③错误．
由题意，当铅球飞行至水平距离 3.5 米时，铅球到达最大高度，最大高度为 y＝﹣ ×（ ）2+ × +
＝4.05（米），故①正确．
综上，正确的有①②共 2 个．
故选：B．
10．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每
星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，有下列结论：
①设每件涨价 x 元，则实际卖出（300﹣10x）件；
②在降价的情况下，降价 5 元，即定价 55 元时，利润最大，最大利润是 6250 元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价 57.5 元时利润最大；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【分析】①根据每涨价 1 元，每星期要少卖出 10 件，可得涨价 x 元，要在买出 300 件的基础上减少 10x
件，可得相应的代数式；
②设每件降价 m 元，每星期售出商品的利润为 w，w＝每件商品的利润×可售出的件数，把相关数值代
入可得相应的函数解析式，进而根据二次函数的二次项系数，可得二次函数的开口方向，那么 m＝﹣
时，w 有最大值及最大值是多少，即可判断②正确与否；
③设涨价后的利润为 y．y＝每件商品的利润×可售出的件数，把相关数值代入可得相应的函数解析式，
整理成顶点式后可得 x 为多少时，y 有最大值及最大值是多少，与②中的结果比较后即可判断③正确与
否，即可判断出正确的结论有几个．
【解答】解：①∵每涨价 1 元，每星期要在卖出 300 件的基础上少卖出 10 件，
∴每件涨价 x 元，每星期实际可卖出（300﹣10x）件．
故①正确；
②设每件降价 m 元，每星期售出商品的利润为 w，则
w＝（60﹣40﹣m）（300+20m）＝﹣20m2+100m+6000，
∵﹣20＜0，
∴m＝﹣ ＝2.5 时，利润最大．最大利润＝6125．
故②错误；
③设涨价后的利润为 y 元．
y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250．
∴在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是 6250 元．
∵6125＜6250
∴综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价 65 元时利润最大．
故③错误．
∴正确结论的个数是 1 个．
故选：B．
11．从地面竖直向上抛出一小球，t（秒）后小球的高度 h（米）适用公式 h＝30t﹣5t2，那么经过 6 秒
后，小球回到地面．
【分析】取 h＝0，解方程求得合适的 t 的值即可．
【解答】解：∵小球回到地面，
∴h＝0．
∴0＝30t﹣5t2．
5t（6﹣t）＝0．
解得：t1＝0（不合题意，舍去），t2＝6．
故答案为：6．
12．如图，小明的父亲想用长为 60 米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长 40
米，则可围成的菜园的最大面积是 450 平方米．
【分析】依据题意，设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，又墙长为 40 米，从
而可得 0＜60﹣2x≤40，故 10≤x＜30，又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60＝﹣2（x﹣15）2+450，
进而结合二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米，
又墙长为 40 米，
∴0＜60﹣2x≤40．
∴10≤x＜30．
又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60＝﹣2（x﹣15）2+450，
∴当 x＝15 时，可围成的菜园的最大面积是 450，
即垂直于墙的边长为 15 米时，可围成的菜园的最大面积是 450 平方米．
故答案为：450．
13．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（米）
与飞行时间 t（秒）之间满足函数关系 h＝20t﹣5t2.则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 2
秒．
【分析】依据题意，令 h＝0，解方程求 t，进而可以判断得解．
【解答】解：令 h＝0，
∴20t﹣5t2＝0，
∴解得 t1＝0（舍去），t2＝4．
∴小球从飞出到落地要用 4 秒．
又由对称性，
∴小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 2 秒．
故答案为：2．
14．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面 3 米高时，水面宽 l 为 6 米，则当水面下降 3 米时，
水面宽度为 6 米．（结果保留根号）
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意
计算可得结果．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
则抛物线顶点的坐标为（0，3），
设抛物线的解析式为 y＝ax2+3，
将 A 点坐标（﹣3，0）代入，
可得：0＝9a+3，
解得：a＝﹣ ，
故抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+3，
将 y＝﹣3 代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣ x2+3，
解得：x＝±3 ，
所以水面宽度为 6 米，
故答案为：6 ．
15．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形 ABCO，B 点坐标为（4，2），A、C 分别在 y 轴、x 轴上；
若 D 点坐标为（1，0），连结 AD，点 E、点 F 分别从 A 点、B 点出发，在 AB 上相向而行，速度均为 1
个单位/每秒，当 E、F 两点相遇时，两点停止运动；过 E 点作 EG∥AD 交 x 轴于 H 点，交 y 轴于 G 点，
连结 FG、FH，在运动过程中，△FGH 的最大面积为 4.5 ．
【分析】先求得直线 AD 的解析式，进而得到设直线 EG 的解析式为 y＝﹣2x+b，则 G（0，b），由此得
出 BF＝AE＝ ，即可得出 EF＝6﹣b，利用 S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝ EF OG 得出 S△FGH＝＝ （6﹣
b） b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH 的最大面积．
【解答】解：由题意可知 A（0，2），
∴设直线 AD 为 y＝kx+2，
把 D（1，0）代入得，k+2＝0，解得 k＝﹣2，
∴直线 AD 为 y＝﹣2x+2，
∵EG∥AD，
∴设直线 EG 的解析式为 y＝﹣2x+b，则 G（0，b），
当 y＝2 时，x＝ ，
∴E（ ，2），
∴AE＝ ，
∴BF＝AE＝ ，
∴EF＝4﹣2× ＝6﹣b，
∴S△FGH＝S△EFG+S△EFH＝ EF OG＝ （6﹣b） b＝﹣ （b﹣3）2+4.5，
∵﹣ ＜0，
∴△FGH 的最大面积为 4.5，
故答案为：4.5．
16．“端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋 35 元，45 元，这个
超市用 4300 元购进甲、乙两款粽子共 100 袋．
（1）购进甲、乙两款粽子各是多少袋？
（2）市场调查发现：乙款粽子每天的销售量 m（袋）与销售单价 n（元）满足如下关系：m＝﹣n+105
（65≤n≤105），设乙款粽子每天的销售利润是 w 元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的
销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设购进甲、乙两款粽子各是 x 袋，y 袋，根据题意列出方程组求解即可；
（2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设购进甲、乙两款粽子各是 x 袋，y 袋，
根据题意得： ，
解得： ，
答：购进甲、乙两款粽子各是 20 袋，80 袋；
（2）w＝（n﹣45）（﹣n+105）
＝﹣n2+150n﹣4725，
∴对称轴为 ，
∵抛物线开口向下，
∴当 n＝75 元时，w 最大＝（75﹣45）×（﹣75+105）＝900（元），
答：当乙款粽子的销售单价是 75 元时，乙款粽子的销售利润最大；最大利润是 900 元．
17．某城区公园内有一个直径为 7m 的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心 O 处修喷水装置，喷出水柱
呈抛物线状，当水管 OA 高度在 6m 处时，距离 OA 水平距离 1m 处喷出的水柱达到最大高度为 8m，建立
如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣h）2+k，其中 x（m）是水柱距水管的水
平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，并且使水柱落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考
虑边宽），则水管 OA 的高度应调节为多少？
【分析】（1）根据顶点设抛物线的表达式为 y＝a（x﹣1）2+8，把 A 的坐标代入可得解析式解答即可；
（2）设抛物线的表达式为 y＝﹣2（x﹣1）+k，把（3.5，0）代入得出解析式，再求出抛物线与 y 轴的交
点即可．
【解答】（1）∵抛物线的顶点为（1，8），
∴设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣1）2+8，
把 A（0，6）代入可得：a＝﹣2，
∴抛物线解析式为 y＝﹣2（x﹣1）2+8；
（2）抛物线的表达式为 y＝﹣2（x﹣1）2+k，
把（3.5，0）代入可得：k＝12.5，
∴抛物线解析式为 y＝﹣2（x﹣1）2+12.5，
当 x＝0 时，y＝10.5，
答：水管 OA 的高度调整为 10.5 米．
18．习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，
计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为 30m 的篱笆围
成．已知墙长为 18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为 x m，平行于墙的一边的长为 ym，
矩形劳动实践基地的面积为 Sm2．
（1）请直接写出 y 与 x，S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．
（2）能否围成一个 100m2 的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说
明理由．
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过 14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践
基地的面积最大？并求出这个最大值．
【分析】（1）依据题意，由总长度﹣垂直于墙的两边的长度＝平行于墙的这边的长度，依据矩形面积公
式即可得出 S 与 x 的函数关系式，根据墙的长度就可以求出 x 的取值范围；
（2）依据题意，结合（1），令 S＝100，从而建立方程计算可以判断得解；
（3）依据题意，利用将 S 关于 x 的函数化成顶点式，再根据二次函数的性质即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵2x+y＝30，
∴y＝30﹣2x．
∴S＝xy＝x（30﹣2x）．
∵0＜y≤18，
∴0＜30﹣2x≤18．
∴6≤x＜15．
∴y＝30﹣2x；S＝x（30﹣2x）；6≤x＜15．
（2）由题意，令 S＝100，
∴x（30﹣2x）＝100．
∴x＝5（不合题意，舍去）或 x＝10．
∴能围成一个 100m2 的矩形劳动实践基地，此时垂直于墙的一边的长为 10m．
（3）由题意，∵S＝x（30﹣2x）＝﹣2（x﹣7.5）2+112.5．
又可利用的墙的长度不超过 14m，
∴0＜30﹣2x≤14．
∴8≤x＜15．
∵﹣2＜0，
∴当 x＞7.5 时，S 随 x 的增大而减小．
∴当 x＝8 时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最大值为：﹣2（8﹣7.5）2+112.5＝112．
答：垂直于墙的一边长为 8m 时，这个矩形劳动实践基地的面积最大，最大值 112m2．
19．某文具商店用销售进价为 28 元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒 40 元的价格销售，平均每天
销售 80 盒，价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为 x（x＞40）元，平均
每天销售 y 盒，平均每天的销售利润为 W 元．
（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式： y＝﹣2x+160 ．
（2）求 W 与 x 之间的函数关系式．
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于 50 元，当每盒的销售价为多少元时，平
均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 盒”可列出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）由总利润＝每盒利润×销售量可得 W 与 x 之间的函数关系式；
（3）结合（2），把关系式化为顶点式，再由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝80﹣2（x﹣40）＝﹣2x+160，
故答案为：y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：W＝y（x﹣28）＝（﹣2x+160）（x﹣28）＝﹣2x2+216x﹣4480，
∴W 与 x 之间的函数关系式为 W＝﹣2x2+216x﹣4480；
（3）W＝﹣2x2+216x﹣4480＝﹣2（x﹣54）2+1352，
∵﹣2＜0，x≤50，
∴当 x＝50 时，W 取最大值，最大值为﹣2×（50﹣54）2+1352＝1320，
∴当每盒的销售价为 50 元时，平均每天获得的利润最大，最大利润是 1320 元．
20．实验与探究
某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 x（单位：
m）、飞行高度 y（单位：m）随飞行时间 t（单位：s）变化的数据如下表：
飞行时间 t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 x/m 0 9 18 27 36 …
飞行高度 y/m 0 22 40 54 64 …
【探究发现】
通过分析数据可以发现 x 随 t 的变化满足一次函数关系，y 随 t 的变化满足二次函数关系．
（1）请直接写出 x 关于 t 的函数解析式和 y 关于 t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
【解决问题】
如图，活动小组在水平安全线上 A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探
究发现解决下面的问题：
（1）若发射平台相对于水平安全线的高度为 0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域 MN，AM＝112.5m，MN＝4.5m．若飞机落到回收区域 MN 内（不包
括端点 M、N），求发射平台相对于水平安全线的高度变化范围．
【分析】】探究发现：（1）依据题意，由 x 与 t 是一次函数关系，y 与 t 是二次函数关系，故可设 x＝kt，y
＝at2+bt，进而可得 9＝2k， ，计算即可得解；
解决问题：（1）依据题意，由 y＝﹣ t2+12t，令 y＝0＝﹣ t2+12t，计算出 t 即可判断得解；
（2）依据题意，设发射平台相对于安全线的高度为n m，飞机相对于安全线的飞行高度y′＝﹣ t2+12t+n，
又 112.5＜x＜117，故 112.5＜ t＜117，可得 25＜t＜26．结合在 y′＝﹣ t2+12t+n 中，求出当 t＝25，
y′＝0 时，n＝12.5；当 t＝26，y′＝0 时，n＝26，进而可以判断得解．
【解答】】解：探究发现：（1）由题意，x 与 t 是一次函数关系，y 与 t 是二次函数关系，
设 x＝kt，y＝at2+bt，
由题意得：9＝2k， ．
∴k＝ ， ．
∴一次函数的关系式为 x＝ t，二次函数的关系式为 y＝﹣ t2+12t．
解决问题：（1）由题意，∵y＝﹣ t2+12t，
令 y＝0＝﹣ t2+12t，
∴t1＝0（舍），t2＝24．
∴当 t＝24 时，x＝108．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为 108m．
（2）设发射平台相对于安全线的高度为 n m，飞机相对于安全线的飞行高度 y′＝﹣ t2+12t+n，
∵112.5＜x＜117，
∴112.5＜ t＜117．
∴25＜t＜26．
在 y′＝﹣ t2+12t+n 中，
当 t＝25，y′＝0 时，n＝12.5；
当 t＝26，y′＝0 时，n＝26．
∴12.5＜n＜26．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 12.5m 且小于 26m．第 07 讲 实际问题与二次函数
课程标准 学习目标
①利用二次函数解决实际问题的 1. 掌握利用二次函数解决实际问题的基本步骤并能够在解决题
基本步骤 目时熟练应用。
②利用二次函数解决实际问题的 2. 掌握二次函数解决实际问题中的基本类型，抓住各类型的解决
基本类型 方法解决问题。
知识点 01 二次函数解决实际问题的步骤
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确 、 以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图象与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
知识点 02 二次函数解决面积问题
1. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为
二次函数问题，然后利用二次函数的图象与性质解决问题。
【即学即练 1】
1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为 40 米的篱笆围成，
已知墙长为 18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 x 米，围成的苗圃面积为 y 平方米，
则 y 关于 x 的函数关系式为（ ）
A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x）
C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）
【即学即练 2】
2．如图，一块矩形草地的长为 100m，宽为 80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 x（m）的小路，这时
草坪的面积为 y（m2）．求 y 与 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围．
知识点 03 二次函数解决销售利润问题
1. 二次函数解决销售利润问题：
计算公式：总利润＝ 单利润×数量
现单利＝ 原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝ 原数量－ 变化基数（原数量＋ 变化基数）
涨价基础 降价基础
【即学即练 1】
3．衡山红脆桃，湖南省衡阳市衡山县特产，全国农产品地理标志，衡山红脆桃为早熟品种，肉质甜脆爽口，
成熟果肉血红色、多汁、离核，深受人们喜爱．某特产批发店以 30 元/箱的价格购进了一批衡山红脆桃，
根据市场调查发现：售价定为 58 元/箱时，每天可销售 600 箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发
现每箱降价1元，每天可增加销量60箱，每天的利润w（元）与每箱降价x（元）之间的函数表达式为 ．
【即学即练 2】
4．麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，其色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批
麻花礼盒进行销售，成本价为 30 元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为 40 元/件时，每天的
销售量为 300 件，销售单价每提高 10 元/件，将少售出 50 件．
（1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间的函数关系式，并求出出
变量取值范围；
（2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润．
知识点 04 二次函数解决抛物线形问题
1. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。
（2）从已知条件和图象中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图象和性质解决实际问题。
【即学即练 1】
5．如图，福州西湖公园上有一座造型为抛物线形状的拱桥，因其宛如玉带，从而被人称为玉带桥，经测量，
玉带桥的拱顶离水面的平均高度为 4.2m，若玉带桥所在的这条抛物线表示的二次函数为 y＝ax2+4.2（a＜
0），则该抛物线所在的平面直角坐标系是如下的（ ）
A．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴
B．以抛物线与水面的左交点为原点，以水面为 x 轴
C．以水面为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴
D．以图中夕阳所在位置为原点，以抛物线的对称轴为 y 轴
【即学即练 2】
6．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置
竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建
立如图所示的平面直角坐标系，主索 DPC 所在曲线的 y 与 x 之间近似满足函数关系 y＝a（x﹣h）2+k（a
＞0）．
某实践小组经过测量，桥面 AB 中点 M 处上方点 P 为该悬索桥主索的最低点，MP＝5m，MA＝40m，塔
桥 AD 高度为 25m．
（1）求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
（2）若想在距离 M 点 20 米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
（3）厂家生产了一条长 16.25m 的吊索，应将该吊索安置在距 A 点多远的桥面上？
题型 01 二次函数解决面积问题
【典例 1】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝4cm，AB＝5cm，点 P 从点 A 出发，沿 AC 向点 C 以 1cm/s
的速度运动，同时点 Q 从点 C 出发，沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（当点 Q 运动到点 B 时，点 P，
Q 同时停止运动）．在运动过程中，四边形 PABQ 的面积最小为（ ）
A． B． C． D．
【变式 1】如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2cm/s 的
速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以 1cm/s 的速度移动，如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当
△PBQ 的面积为最大时，运动时间 t 为 s．
【变式 2】如图，现打算用 60m 的篱笆围成一个“日”字形菜园 ABCD（含隔离栏 EF），菜园的一面靠墙
MN，墙 MN 可利用的长度为 39m．（篱笆的宽度忽略不计）
（1）菜园面积可能为 252m2 吗？若可能，求边长 AB 的长，若不可能，说明理由．
（2）因场地限制，菜园的宽度 AB 不能超过 8m，求该菜园面积的最大值．
【变式 3】某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料
可建围墙的总长为 50m．设饲养室长为 x（m），占地面积为 y（m2）．
（1）如图 1，如果忽略门的计算，问饲养室长 x 为多少时，占地面积 y 最大？
（2）如图 2，现要求在图中所示位置留 2m 宽的门，且仍使饲养室的占地面积最小，小敏说：“只要饲养
室长比（1）中的长多 2m 就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
【变式 4】某家禽养殖场，用总长为 200m 的围栏靠墙（墙长为 65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形
EAGH 与矩形 HGBF 面积相等，矩形 EAGH 面积等于矩形 DEFC 面积的二分之一，设 AD 长为 x m，矩
形区域 ABCD 的面积为 y m2．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
（3）现需要在矩形 EAGH 和矩形 DEFC 区域分别安装不同种类的养殖设备，单价分别为 40 元/平方米和
20 元/平方米，若要使安装成本不超过 30000 元，请直接写出 x 的取值范围．
题型 02 二次函数解决销售利润问题
【典例 1】将进货单价为 90 元的某种商品按 100 元售出时，能卖出 500 个，单价每上涨 1 元，其销售量就
减小 10 个，为了获得最大利润，售价应定为每件（ ）
A．110 元 B．120 元 C．130 元 D．150 元
【变式 1】一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶 80 元，每月可售出
200 顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价 1 元，每月可多售出 20
顶．已知头盔的进价为每顶 50 元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60 B．65 C．70 D．75
【变式 2】昆明某电商平台以每件 20 元的价格购进了一批商品进行销售，销售时该商品的售价不低于进价
且不超过 28 元．经市场调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）之间满足如图所
示的一次函数关系．
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少元？
【变式 3】某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调
查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天就可多售出 5 件，但要
求销售单价不得低于成本，且不高于 100 元．
（1）求每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【变式 4】为满足市场需求，某超市在中秋节前夕购进价格为 12 元/盒的某品牌月饼，根据市场预测，该品
牌月饼每盒售价 14 元时，每天能售出 200 盒，并且售价每上涨 1 元，其销售量将减少 10 盒，为了维护
消费者利益，物价部门规定：该品牌月饼的售价不能超过 20 元/盒．
（1）当销售单价为多少元时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为 720 元；
（2）当销售单价为多少元时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大？最大利润是多少？
题型 03 二次函数解决抛物线形的形状与运动轨迹问题
【典例 1】如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物
线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h
＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到 15m
B．小球的飞行高度可以达到 25m
C．小球从飞出到落地要用时 4s
D．小球飞出 1s 时的飞行高度为 10m
【变式 1】一次足球训练中，小天在球门正前方的 A 处射门，足球射向球门的运动路线为抛物线，足球在
离地面 4 米处到达最高点，此时足球与球门的水平距离为 6 米．已知球门高 OB 为 2.44 米，足球离地面 3
米时，其与球门的水平距离为 10 米．现以 O 为原点建立如图所示的直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式，并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；
（2）若防守队员辉辉在抛物线对称轴的左侧进行防守，他跳起后能拦截的最大高度为 2.31 米，求辉辉
需要站在离球门多远的地方才可能防住这次射门？
【变式 2】如图，某跳水运动员在 10 米跳台上进行跳水训练，水面边缘点 D 的坐标为（﹣1，﹣10），运动
员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点 O 的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空
中最高处 A 点的坐标为 ，正常情况下，运动员在距水面高度 5 米之前，必须完成规定的翻腾、
打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员人水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；（不写自变量的取值范围）
（2）正常情况下，若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点 D 的水平距离为 4 米，问该运动员此
次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
【变式 3】小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为 x 轴方向，1m
为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从 y 轴上的 A 点出手，运动路径可看作抛物线，
在 B 点处达到最高位置，落在 x 轴上的点 C 处．小明某次试投时的数据如图所示．
（1）在图中画出铅球运动路径的示意图；
（2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
（3）若铅球投掷距离（铅球落地点 C 与出手点 A 的水平距离 OC 的长度）不小于 10m，成绩为优秀．请
通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
【典例 2】如图，图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m 时水面宽 4m．水面下降 1m，水面宽度为（ ）
A．2 m B．2 m C． m D． m
【变式 1】如图 1 是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图 2 所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式
为 y＝ ，正常水位时水面宽 AB 为 36m，当水位上升 5m 时水面宽 CD 为（ ）
A．10m B．12m C．24m D．48m
【变式 2】如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A，B 两点，桥拱最高点 C
到 AB 的距离为 8m，AB＝40m，D，E 为桥拱底部的两点，且 DE∥AB，点 E 到直线 AB 的距离为 10m，
则 DE 的长为 m．
【变式 3】如图，某隧道横截面上的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成．最大高
度为 6 米，底部宽度为 12m，AO＝3m．现以 O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点 A 及抛物线顶点 P 的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式．
【变式 4】某游乐园有一个直径为 16 米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，
在距水池中心 3 米处达到最高，高度为 5 米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如
图所示，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必
须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的
直径扩大到 24 米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建
改造后喷水池水柱的最大高度．
1．如图，将一根长 30cm 的铁丝弯成一个长方形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个长方形的一边长为
x（cm），它的面积为 y（cm2），则 y 与 x 之间的函数关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+30x B．y＝﹣x2+15x C．y＝x2﹣30x D．y＝﹣2x2+15
2．学习兴趣小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，得到如下数据：
支撑物高度 h（cm） 5 10 15 20 25 30 35 40
小车下滑时间 t（s） 2.11 1.50 1.23 1.07 0.94 0.85 0.79 0.75
下列说法一定错误的是（ ）
A．当 h＝25cm 时，t＝0.94s
B．随着 h 逐渐变大，t 逐渐变小
C．h 每增加 5cm，t 减小 0.61s
D．当 h＝45cm 时，时间 t 小于 0.75s
3．《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制
动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离 s
（m）与时间 t（s）的函数关系式为 s＝16t﹣4t2，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采
取紧急制动措施的最小安全距离为（ ）m．
A．13 B．14 C．15 D．16
4．一副眼镜的两个镜片下半部分轮廓分别对应两条抛物线的一部分，且在平面直角坐标系中关于 y 轴对称，
如图所示（1cm 对应一个单位长度），AB∥x 轴，AB＝4cm，最低点 C 在 x 轴上，CH⊥AB 且 CH＝1cm，
BD＝2cm．则轮廓线 DFE 所在抛物线对应的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被
削离时与开水锅的高度差 h＝0.45m，与锅的水平距离 L＝0.3m，锅的半径 R＝0.5m．若将削出的小面圈
的运动轨迹视为抛物线的一部分，要使其落入锅中（锅的厚度忽略不计），则其水平初速度 v0 不可能为
（提示 ，g＝10m/s2，水平移动距离 s＝vt）（ ）
A．2.5m/s B．3m/s C．3.5m/s D．5m/s
6．在平面直角坐标系 xOy 中，M 是抛物线 y＝x2+x﹣2 在第三象限上的一点，过点 M 作 x 轴和 y 轴的垂线，
垂足分别为 P，Q，则四边形 OPMQ 的周长的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7．如图，剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，如图，蝴蝶剪纸是一幅轴
对称图形，若以这个蝴蝶图案的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，图中点 E，F 关于 y 轴对称，其中点 E
的坐标为（3n﹣4，m+1），点 F 的坐标为（n2，2m），若点 E 到 x 轴的距离小
于它到 y 轴的距离，则二次函数 y＝x2+nx+m 图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3）
C． D． 或（2，﹣3）
8．如图 1，质量为 m 的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，
弹簧的初始长度为 12cm）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整
个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度 v（cm/s）和弹簧被压缩的长度△l（cm）之间的关系图象
如图 2 所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为 2cm
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为 6cm
9．如图，一男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：米）是水平距离 x（单位：米）的二次函数，即铅球飞行
轨迹是一条抛物线．该男生推铅球出手时，铅球的高度为 1.6 米；铅球飞行至水平距离 4 米时，铅球高
度为 4 米，铅球落地时水平距离为 8 米．有下列结论：①铅球飞行至水平距离 3.5 米时，铅球到达最大
高度，最大高度为 4.05 米；
②当 0≤x≤8 时，y 与 x 之间的函数关系式为： ；
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离与从最高点运动至落地的水平距离相等．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
10．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：如调整价格，每涨价 1 元，每
星期要少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，有下列结论：
①设每件涨价 x 元，则实际卖出（300﹣10x）件；
②在降价的情况下，降价 5 元，即定价 55 元时，利润最大，最大利润是 6250 元；
③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价 57.5 元时利润最大；
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
11．从地面竖直向上抛出一小球，t（秒）后小球的高度 h（米）适用公式 h＝30t﹣5t2，那么经过 秒
后，小球回到地面．
12．如图，小明的父亲想用长为 60 米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长 40
米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．
13．如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（米）
与飞行时间 t（秒）之间满足函数关系h＝20t﹣5t2.则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 秒．
14．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面 3 米高时，水面宽 l 为 6 米，则当水面下降 3 米时，
水面宽度为 米．（结果保留根号）
15．如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点，矩形 ABCO，B 点坐标为（4，2），A、C 分别在 y 轴、x 轴上；
若 D 点坐标为（1，0），连结 AD，点 E、点 F 分别从 A 点、B 点出发，在 AB 上相向而行，速度均为 1
个单位/每秒，当 E、F 两点相遇时，两点停止运动；过 E 点作 EG∥AD 交 x 轴于 H 点，交 y 轴于 G 点，
连结 FG、FH，在运动过程中，△FGH 的最大面积为 ．
16．“端午节”期间，某超市销售甲、乙两款粽子，甲、乙两款粽子的进价分别是每袋 35 元，45 元，这个
超市用 4300 元购进甲、乙两款粽子共 100 袋．
（1）购进甲、乙两款粽子各是多少袋？
（2）市场调查发现：乙款粽子每天的销售量 m（袋）与销售单价 n（元）满足如下关系：m＝﹣n+105
（65≤n≤105），设乙款粽子每天的销售利润是 w 元，当乙款粽子的销售单价是多少元时，乙款粽子的
销售利润最大？最大利润是多少元？
17．某城区公园内有一个直径为 7m 的圆形水池，水池边安有排水槽，在中心 O 处修喷水装置，喷出水柱
呈抛物线状，当水管 OA 高度在 6m 处时，距离 OA 水平距离 1m 处喷出的水柱达到最大高度为 8m，建立
如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣h）2+k，其中 x（m）是水柱距水管的水
平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若不改变（1）中抛物线的形状和对称轴，并且使水柱落地点恰好落在圆形水池边排水槽内（不考
虑边宽），则水管 OA 的高度应调节为多少？
18．习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，
计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为 30m 的篱笆围
成．已知墙长为 18m，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为 x m，平行于墙的一边的长为 ym，
矩形劳动实践基地的面积为 Sm2．
（1）请直接写出 y 与 x，S 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．
（2）能否围成一个 100m2 的矩形劳动实践基地，若能，请求出此时垂直于墙的一边的长；若不能，请说
明理由．
（3）若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过 14m，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践
基地的面积最大？并求出这个最大值．
19．某文具商店用销售进价为 28 元/盒的彩色铅笔，市场调查发现，若以每盒 40 元的价格销售，平均每天
销售 80 盒，价格每提高 1 元，平均每天少销售 2 盒，设每盒彩色铅笔的销售，价为 x（x＞40）元，平均
每天销售 y 盒，平均每天的销售利润为 W 元．
（1）直接写出 y 与 x 之间的函数关系式： ．
（2）求 W 与 x 之间的函数关系式．
（3）为稳定市场，物价部门规定每盒彩色铅笔的售价不得高于 50 元，当每盒的销售价为多少元时，平
均每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
20．实验与探究
某课外科技小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 x（单位：
m）、飞行高度 y（单位：m）随飞行时间 t（单位：s）变化的数据如下表：
飞行时间 t/s 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 x/m 0 9 18 27 36 …
飞行高度 y/m 0 22 40 54 64 …
【探究发现】
通过分析数据可以发现 x 随 t 的变化满足一次函数关系，y 随 t 的变化满足二次函数关系．
（1）请直接写出 x 关于 t 的函数解析式和 y 关于 t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
【解决问题】
如图，活动小组在水平安全线上 A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探
究发现解决下面的问题：
（1）若发射平台相对于水平安全线的高度为 0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域 MN，AM＝112.5m，MN＝4.5m．若飞机落到回收区域 MN 内（不包
括端点 M、N），求发射平台相对于水平安全线的高度变化范围．
