由数列递推公式求通项公式的八种方法

数列专题：递推公式求通项公式
题型一：
⑴.（差后等差数列）
例1. 数列中，，，求
⑵ （差后等比数列）
例2. 已知数列{an}中，a1=1，且an=an－1+3n－1，求{an}的通项公式．
题型二：
=+ (相邻两项满足线性关系)
例.数列满足＝2+3, a1=1求通项.
解：（+）＝2(+) ∴=3 ∴ +3=2(+3) 即｛+3｝成G.P 公比q=2首项a1+3=4 ∴+3=42∴=-3
练习：在数列{an}中，a1=2，且an+1=，求{an}的通项公式．
解：an+12=an2+
∴an+12－1=（an2－1）
∴{an+12－1}是以3为首项，公比为的等差数列．
∴an+12－1=3×，即an=
题型三：
＝+
例：数列满足＝4+3n-2, a1=1,求通项.
解法一：＝4+3（n+1）-2
=4+3n-2 因此有-＝4（-）+3，
令＝-，则＝4+3
+＝4（+）+3 ∴ ＝1 +1＝4（ +1），C1+1=a2-a1+1=5 { +1}成等比数列 ＝5， ＝5-1
∴-＝5-1 ∵-＝3+3n-2
即5-1＝3+3n-2 ∴＝。
解法二：设
解得∴
∴∴
题型四：
＝+
例1：数列满足＝3+2, a1=1,求通项.
解法一： 令＝， C1＝
+＝（+）∴＝1 ∴{ +1}成等比数列,
C1+1=+1= ， ＝
∴＝-1 ＝＝ -
解法二：设
∴
∴∴
例2：（05江西文）数列的前n项和满足-＝3（），且=1， =-,求通项公式.
＝+＝＝3
+＝3，令＝-2＝-6
+＝2（+）， 2-＝-6＝-6-6＝2（-6）∵=-2=-2
∴-6=-8, -6=-8 =-∴=6-=(6-)=3-4
即＝ .
题型五：=f(n)
由＝f(n-1)f(n-2)┈f(1)a1 即“累积法”求
例：数列满足a1=1，＝ （n2）求的通项公式.
解：＝
＝+n ∴ -= n, =n+1,注意n2且a1=1，
∴＝＝n(n-1)┈3 ∴2= (n2) ∴=
题型六：=p+q (p、q均为常数)
=p+q -＝（-）∴解出、因此｛-｝是等比数列
例1：a1=1，a2= =-,求数列｛｝的通项公式。
解：-＝（-）解得：＝1、＝
-＝（-）， a2-a1= ∴-= ∴＝（-）+（-）+┈+（a2-a1）+a1=++┈++1=3-.
∴＝3-
题型七：
连续两项之间不满足线性关系的。
例1．（倒数法）已知数列{an}中，a1=，an+1=，求{an}的通项公式．
解：
∴是以为首项，公差为2的等差数列，
即+2（n－1）=
∴an=
例2：（对数法）数列满足a1=2，2＝+，求的通项。
解：＝，且2>2>1 ∴>1恒成立。
+1＝， -1＝成等比数列
q=3,首项lg3, ∴lg= ∴=
例3．（三角代换法）已知数列{an}中，a1=2，an=，求{an}的通项公式．
解：令an－1=tan，则an+1==tan
∴an=tan．
题型八
用求解：数列的前n项和与的隐含关系为，利用这个关系揭示与的关系或与的关系，使数列化归为两个基本的数列求解
例1、为数列的前n项和，且，首项
（1） 若，求证：数列为等比数列
（2）、设，求证：数列为等比数列
（3）、求数列的通项公式及前n项和公式
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