第 1 章 坐标平面上的直线 单元综合检测（重点）
一、填空题
1．直线3x + 3y -1 = 0 的倾斜角为 ．
【答案】120
2p
° /
3
【分析】根据斜率和倾斜角的关系先求斜率再求倾斜角即可.
【解析】3x + 3y -1 = 0
3
y = - 3x + ，所以直线的斜率 k = - 3，
3
设直线的倾斜角为q ，则 tanq = k = - 3 ，解得q =120°，
故答案为：120°
2．点 A 2,3 到直线3x + 4y - 6 = 0的距离是 ．
12
【答案】 /2.4
5
【分析】利用点到直线的距离公式可得答案.
3 2 + 4 3- 6
【解析】由题意点 A 2,3 12到直线3x + 4y - 6 = 0的距离是 d = = .
32 + 42 5
12
故答案为：
5
3．已知直线 l过点 (0,7)，且与直线 y = -4x + 2平行，则直线 l的方程为
【答案】 4x + y - 7 = 0
【分析】根据题意，得到直线 l的斜率为 k = -4 ，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【解析】由直线 y = -4x + 2，可得斜率为 k = -4 ，
又因为直线 l与直线 y = -4x + 2平行，所以直线 l的斜率为 k = -4
又由直线 l过点 (0,7)，所以直线 l的方程为 y - 7 = -4x ，可得 y = -4x + 7，
即直线 l的方程为 4x + y - 7 = 0 .
故答案为： 4x + y - 7 = 0 .
r
4．若 n = 2,-1 是直线 l的一个法向量，则直线 l的倾斜角为 .
【答案】 arctan 2
【分析】由直线的法向量得其斜率，进而利用反三角函数得到其倾斜角.
r
【解析】因为 n = 2,-1 是直线 l的一个法向量，所以直线 l的斜率为 2，
则直线的倾斜角为 arctan 2 .
故答案为： arctan 2 .
5．过点P 1,1 且与直线 x + 2y -1 = 0 5的夹角大小为 arccos 的直线的一般方程为 .
5
【答案】3x - 4y +1 = 0或 x =1
【分析】首先分斜率是否存在分类讨论，然后设出相应的直线方程，求出相应的方向向量，将直线的夹角
转换为向量的方向向量的余弦来求直线方程中的参数即可得解.
r
【解析】由题意直线 x + 2y -1 = 0的方向向量为 a = 2,-1 ，
r
若斜率不存在，则直线方程为 x =1，其方向向量为b = 0,1 ，
r r
r r a ×b
夹角的余弦值为 cos a,b
1 5
= r r = = ，符合题意，
a × b 5 5
r
若斜率存在， 设为 k ，则直线方程为 y -1 = k x -1 kx - y - k +1 = 0，其方向向量为 c = 1,k ，
5 k - 2 r r
则夹角的余弦值为 = = cos a,c k
3 3 x y 1 = - + = 0 3x - 4y +1 = 0，
5 k 2 +1 5 4 4 4
则一般式方程为3x - 4y +1 = 0或 x =1 .
故答案为：3x - 4y +1 = 0或 x =1 .
6．已知直线 l1： 3x - 2y + 2 = 0 ，直线 l2： 3x - 2 y +1 = 0，则 l1与 l2之间的距离为 .
7 1
【答案】 / 7
7 7
【分析】根据两平行线间的距离公式求得正确答案.
2 -1 1 7
= =
【解析】依题意， l1与 l2之间的距离为 2 .3 + 22 7 7
7
故答案为：
7
7．已知集合 A = x, y x + ay + 6 = 0 、B = x, y 3x + 3y + 2a = 0 ，若 A B = ，则a = ．
【答案】1
【分析】即两图像没有交点，即两直线平行.
【解析】依题知两直线平行，则1 3- a 3 = 0，解得 a =1，
经验证 a =1时，两直线不重合，所以 a =1 .
故答案为：1
8．无论实数 λ 取何值，直线 2l -1 x + l + 3 y - l -11 = 0恒过定点 .
【答案】 2,-3
【分析】将直线方程化为l 2x + y -1 - x - 3y -11 = 0，进而分析求解.
【解析】由 2l -1 x + l + 3 y - l -11 = 0，可得l 2x + y -1 - x - 3y -11 = 0，
ì2x + y -1 = 0 ìx = 2
令 í
x - 3y -11
，解得 ，
= 0 í y = -3
所以直线 2l -1 x + l + 3 y - l -11 = 0恒过定点 2,-3 .
故答案为： 2,-3 .
9．设点 A 3, -3 ，B -2,-2 ，直线 l 过点P 1,1 且与线段 AB 相交，则 l 的斜率 k 的取值范围是 ．
【答案】 (- , -2]U[1,+ )
【分析】根据题意，求得 kPA = -2, kPB =1，要使得直线 l 过点P 1,1 且与线段 AB 相交，结合图象，得到 kl 1
或 kl -2，即可求解.
【解析】如图所示，由 A 3, -3 ，B -2,-2 ，且P 1,1 ，
可得 k
-3 -1 -2 -1
PA = = -2, k3-1 PB
= =1，
-2 -1
要使得直线 l 过点P 1,1 且与线段 AB 相交，则满足 kl 1或 kl -2，
所以直线 l的斜率 k 的取值范围是 (- , -2]U[1,+ ) .
故答案为： (- , -2]U[1,+ ) .
10．已知 a 0,2 ，直线 l1的方程为 ax - 2 y - 2a + 4 = 0 ，直线 l 的方程为 2x + a2 y - 2a22 - 4 = 0，记 l1， l2与
两坐标轴围成的四边形的面积为 S，则 S 的最小值为 .
15
【答案】
4
【分析】确定两直线经过的定点，求出直线与 y 轴的交点的坐标和直线与 x 轴的交点的坐标，进而表示出围
成的四边形面积，结合二次函数的性质求得答案.
【解析】因为 a 0,2 ，
所以由 ax - 2y - 2a + 4 = 0 2 y - 2 = a x - 2 y 2 a - = x - 2 ，
2
因此直线 l1恒过点 2,2 ，且该直线的斜率 k1 0,1
2 2 2 2
所以由 2x + a y - 2a - 4 = 0 a y - 2 = -2 x - 2 y - 2 = - 2 x - 2 ，a
l 2,2 k , 1 因此直线 2也恒过点 ，且该直线的 2 - - ，
è 2 ÷
设直线 l1与纵轴的交点为 A 0, 2 - a ，直线 l 22与横轴的交点为B 2 + a ,0 ，
点 2,2 为C 点，
所以 l1， l2与两坐标轴围成的四边形为四边形OACB，
如图所示：
1 2SOACB = SVAOC + SVOCB = 2 a 2
1
- × + × 2 + a22 2 × 2 = a
2 - a + 4 1 15= a -
+ ，
è 2 ÷ 4
1
当 a = 时， S
15
2 OACB
有最小值 ，
4
15
故答案为：
4
【点睛】关键点睛：本题的关键是判断两直线所过的定点.
11．如图，在等腰直角三角形 ABC 中， AB = AC = 4，点 P 是边 AB 上异于 A, B的一点，光线从点 P 出发，
经BC ，CA发射后又回到原点 P ，若光线QR 经过VABC 的重心，则 AP = ．
4
【答案】 .
3
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线BC 与直线QR 的解析式，即可得出 AP 的长.
【解析】由题意，
如图建立直角坐标系：
则 B(4,0),C(0, 4) ，直线BC 方程为 x + y = 4 即 y = -x + 4，
0 + 0 + 4 0 + 4 + 0 4 4
三角形重心为 , ÷ 即 ,
è 3 3 è 3 3 ÷
设 P(a,0),0 < a < 4 , 关于直线BC 对称点为 P1(x, y)
ìa + x y
+ = 4 2 2
í 解得 P1(4, 4 - a)
y =1
x - a
由光的反射可知 P1,Q, R, P2 四点共线，P2 (-a,0)
4 - a - 0 4 - a
直线QR 斜率为 =
4 - a
4 - -a 4 + a , 直线方程为 y = (x + a) 过重心，4 + a
即 3a2 - 4a = 0 ，
4
解得 a = 0 舍去， a = ，
3
∴ P
4 4
,0÷， AP =
è 3 3
4
故答案为： .
3
12．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离
测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则曼哈
uuur uuur
顿距离 d A, B = x1 - x2 + y1 - y2 ，余弦距离 e A, B =1- cos A, B ，其中 cos A, B = cos OA,OB （O 为坐
标原点）.已知点 M 2,1 ,d M , N =1，则 e M , N 的最大值近似等于 .（保留3 位小数）（参考数据：
2 1.41, 5 2.24 .）
【答案】 0.104
uuuur uuur
【分析】根据题意分析可得 N 在正方形 ABCD的边上运动，结合图象分析 OM ,ON 的最大值，即可得结果.
【解析】设 N x, y ，
由题意可得： d M , N = 2 - x + 1- y =1，即 x - 2 + y -1 =1，
可知 x - 2 + y -1 =1表示正方形 ABCD，其中 A 2,0 , B 3,1 ,C 2,2 , D 1,1 ，
即点 N 在正方形 ABCD的边上运动，
uuur uuur
因为OM = 2,1 ,ON = x, y ，由图可知：
uuuur uuur uuuur uuur
当 cos M , N = cos OM ,ON 取到最小值，即 OM ,ON 最大，
点 N 有如下两种可能：
uuur uuur uuur
①点 N 为点 A，则ON = 2,0 ，可得 cos M , N = cos OM ,ON 4 2 5= = ；
5 2 5
uuur uuur uuur
②点 N 在线段CD 上运动时，此时ON 与DC = 1,1 同向，不妨取ON = 1,1 ，
uuur uuur
则 cos M , N = cos OM ,ON 3 3 10= = ；
5 2 10
3 10 2 5
因为 > ，
10 5
所以 e M , N 2 5的最大值为1- 0.104 .
5
故答案为： 0.104 .
【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题.
二、单选题
13．直线 ax +by + c = 0经过第一、二、四象限，则 a，b，c 应满足（ ）
A． ab > 0,bc < 0 B． ab < 0,bc < 0 C． ab > 0,bc > 0 D． ab < 0,bc > 0
【答案】A
【分析】写成斜截式，由斜率和与 y 轴交点纵坐标确定直线经过的象限.
【解析】若b = 0，则直线不会经过三个象限，所以b 0 ，
所以 ax + by + c
a c
= 0 y = - x - ，
b b
因为直线经过第一、二、四象限，
a
所以斜率 k = - < 0，与 y
c
轴交点纵坐标- > 0，
b b
解得 ab > 0,bc < 0，
故选：A
14．已知直线 l1 : (t -1)x + 2y - t = 0， l2 : x + ty + t - 2 = 0 t R ,则下列说法中错误的是（ ）
1
A．直线 l2过定点 2,-1 B．当 t = 时， l ^ l3 1 2
C．当 t = -1时， l1与 l
2 5
2重合 D．当 t = 2时， l1、 l2之间的距离为 5
【答案】C
【分析】对 A：将点代入即可得；对 B、C、D，将对应的 t 代入即可得.
【解析】对 A：将点 2,-1 代入，有 2 - t + t - 2 = 0，故正确；
t 1 -2对 B：当 = 时， l1 : x + 2y
1
- = 0 ，
3 3 3
即 l1 : 2x - 6y +1 = 0
2 1
， k1 = - = ，-6 3
l 1 12 : x + y + - 2 = 0，3 3
即 l2 : 3x + y - 5 = 0， k
3
2 = - = -3，1
k 1有 1k2 = -3 = -1，即 l1 ^ l2，故正确；3
对 C：当 t = -1时， l1 : -2x + 2y +1 = 0，
即 l1 : 2x - 2y -1 = 0，即 l1 : x - y
1
- = 0，
2
l2 : x - y -1- 2 = 0 ，即 l2 : x - y - 3 = 0 ， l1与 l2平行，故错误；
对 D：当 t = 2时， l1 : x + 2y - 2 = 0，
l2 : x + 2y + 2 - 2 = 0，即 l2 : x + 2y = 0，
-2 - 0
d 2 5= = ，故正确.
12 + 22 5
故选：C.
π
15．已知a R ，a + kπ k Z ，设直线 l : y = x tana + m ，其中m 0 ，给出下列结论：
2
①直线 l的法向量与向量 a
r
= cosa ,sina 垂直；
0 a π π②若 < < ，则直线 l与直线 y = x 的夹角为 -a ；
4 4
③直线 l与直线 x sina - y cosa + n = 0 n m 平行；上述结论正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个
【答案】B
【分析】对①，写出方向向量，由向量共线与坐标的关系即可判断；对②，由斜率及倾斜角的关系求得两
直线倾斜角，即可求得夹角；对③，两直线平行需进一步判断是否存在重合.
r
【解析】对于①，直线 l的方向向量是 n = 1,tana ，则 cosa tana = sina ，
r
所以向量 n = 1,tana r与向量 a = cosa ,sina 共线，
r
故直线 l的法向量与向量 a = cosa ,sina 垂直，即①正确；
对于②，当0 < a
π
< 时，直线 l的斜率是 tana ，倾斜角是a ，
4
直线 y = x
π π
的斜率是1， 斜角是 ，两直线的夹角为 -a ，故②正确；
4 4
对于③，直线 l的斜率是 k = tana ，在 y 轴上的截距是m ，
直线 xsina - ycosa + n = 0
n
的斜率是 k = tana ，且在 y 轴上的截距是 ，
cosa
n
当m = 时，两直线重合，不平行，故③错误；
cosa
综上，是真命题的序号是①②；
故选：B.
16．已知点 A -1,0 ，B 2,0 与直线 l : mx - y + m = 0 m R ，若在直线 l上存在点 P ，使得 PA = 2 PB ，
则实数m 的取值范围是（ ）
é 3 , 3
ù
, 3
ù é 3
A． ê- ú B． - - ú U ê ,+ 3 3 3 3 ÷÷ è
C． é ù ù é - 3, 3 D． - , - 3 3, +
【答案】A
【分析】设出 P 点坐标，由 PA = 2 PB 进行化简，结合二次函数的性质求得m 的取值范围.
【解析】对于直线 l : mx - y + m = 0 m R ，
即 y = m x +1 ，所以 A -1,0 在直线 l上，
设P t, m t +1 ，其中 t -1，
由 PA = 2 PB 2 2两边平方得 PA = 4 PB ，
t +1 2 2即 + m t +1 2 = 4 é t - 2
2 + m2 t +1 2 ù ，
整理得 t +1 2 m2 + t 2 - 6t + 5 = 0，
2
2 t - 6t + 5 t
2 + 2t +1-8
m t +1 +12由于 t +1 0，所以 = - = - t +1 2 t +1 2
12 8
= - + -1 1
t +1 2 t +1 ，其中 0，t +1
1 1 12 8
根据二次函数的性质可知，当 = , t = 2时，- 2 + -1 t +1 t +1 取得最大值，t +1 3
1 2 é 1ù é 3 3 ù
且最大值为 ，则m ê0, ú，解得m - , .3 3 ê 3 3 ú
故选：A
三、解答题
17．已知常数 a R ，设直线 l1 : x + ay + a +1 = 0，直线 l2 : a -1 x + 6y + 3 = 0 .
(1)若 l1 ^ l2，求 a的值；
(2)若 l1与 l2平行，求 l1与 l2的距离.
1
【答案】(1)
7
(2) 10
4
【分析】（1）由已知结合直线垂直的条件求解即可；
（2）结合直线平行的条件先求出 a，然后结合平行线间的距离公式求解即可.
【解析】（1）由题意知 l1的法向量为 1, a ， l2的法向量为 a -1,6 ，
l ^ l a 1 6a 0 a 1若 1 2，则 - + = = ；7
（2）若 l1与 l2平行，则 a a -1 = 6 a = 3或 a = -2 ，
当 a = -2 时，直线 l1 : x - 2y -1 = 0，直线 l2 : -3x + 6y + 3 = 0，两直线重合，舍去，
当 a = 3时，则直线 l1 : x + 3y + 4 = 0，直线 l2 : x 3y
3
+ + = 0，
2
4 3-
则 l1与 l2的距离为 2 10= .
32 +12 4
18．已知直角坐标系中三点 A 2,2 ，B 2, -3 ，C -3, -1 .
(1)求以 A、B、C 三点为顶点的三角形中 AB 边上的高所在直线的方程
(2)求以 A、B、C 三点为顶点的三角形的面积
【答案】(1) y = -1
25
(2)
2
【分析】（1）根据 A、B两点坐标可得答案；
（2）求出 AB ，利用三角形的面积公式计算可得答案.
【解析】（1）因为 A 2,2 ，B 2, -3 ，所以直线 AB 与 y 轴平行，
所以三角形中 AB 边上的高所在直线的方程为 y = -1；
（2） AB = 2 - -3 = 5，
由于直线 AB 与 y 轴平行，所以C 到直线 AB 的距离为 5，
1 25
所以三角形 ABC 的面积为 5 5 = .
2 2
19．设直线 l的方程为 (a +1)x + y + 2 - a = 0(a R) .
(1)求证：不论 a为何值，直线必过定点M ；
(2)若 l在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2) y = -3x 或 x + y + 2 = 0
【分析】（1）化简直线方程为 a(x -1) + x + y + 2 = 0，列出方程组，求得定点坐标，即可可证；
（2）根据题意，分直线 l过坐标原点和不过坐标原点，两种情况讨论，结合直线的点斜式和截距式方程，
即可求解.
【解析】（1）解：由直线 l的方程为 (a +1)x + y + 2 - a = 0，可化为 a(x -1) + x + y + 2 = 0，
ìx -1 = 0
由 í x =1, y = -3 M (1, -3)
x + y + 2 = 0
，解得 ，即 ，
所以不论 a为何值，直线 l比过定点M (1, -3) .
（2）解：由（1）知，直线 l恒过定点M (1, -3) ，
当直线 l过坐标原点时，此时直线方程为 y = -3x ，符合题意；
x y
当直线 l不过坐标原点时，设直线 l的方程为 + =1(a 0)，
a a
将点M (1, -3)
1 -3
代入直线方程，可得 + =1，解得 a = -2 ，即 x + y + 2 = 0，
a a
综上可得，直线 l的方程为 y = -3x 或 x + y + 2 = 0 .
20．已知直线 l : ax - y + 2 - a = 0恒过点 P ，且与 x 轴， y 轴分别交于 A, B 两点，O为坐标原点.
(1)求点 P 的坐标；
(2)当点O到直线 l的距离最大时，求直线 l的方程；
(3)当 PA × PB 取得最小值时，求VAOB的面积.
【答案】(1) 1,2
(2) x + 2y - 5 = 0
9
(3) 12 或 2
【分析】（1）把直线 l的方程可化为 a(x -1) - (y - 2) = 0，联立方程组，即可求解；
（2）当OP ^ l 时，点O到直线 l的距离最大，结合 k × k = -1 k
1
OP l ，求得 l = - ，即可求得直线 l的方程；2
A(a - 2
1
（3）分别求得 ,0)和 B(0,2 - a) ，得到 PA × PB = 2( a + )a ，结合基本不等式，得到 a = ±1，分类讨a
论，即可求得VAOB的面积.
【解析】（1）解：直线 l的方程可化为 a(x -1) - (y - 2) = 0，
ìx -1 = 0
令 í x =1, y = 2 P 1,2 .
y - 2 = 0
，解得 ，即点 的坐标为
（2）解：当OP ^ l 时，点O到直线 l的距离最大，
此时直线OP的斜率 kOP 与直线 l的斜率 kl 满足 kOP × kl = -1，
1 1
因为 kOP = 2，所以 kl = - ，即 a = - ，2 2
1 5
所以直线 l的方程为- x - y + = 0，即 x + 2y - 5 = 0 .
2 2
y 0 x a - 2 A(a - 2（3）解：令 = ，可得 = ，所以 ,0)；
a a
令 x = 0，可得 y = 2 - a ，所以 B(0,2 - a) ，且 a 0, a 2，
PA (a - 2可得 = -1)2 + (0 - 2)2 1= 2 2 +1, PB = (1- 0)
2 + (2 - a - 2)2 = a2 +1，
a a
1
所以 PA × PB = 2 +1 1+ a
2 2( a 1 ) 2 2 a 1= + = 4
a a a
当且仅当 a = ±1时，等号成立，
当 a =1时，直线 l的方程为 x - y +1 = 0 ，此时 A(-1,0), B(0,1) ，
可得VAOB
1 1
的面积为 S = OA OB = ；
2 2
当 a = -1时，直线 l的方程为 x + y - 3 = 0，此时 A(3,0), B(0,3) ，
可得VAOB
1 9
的面积为 S = OA OB = ，
2 2
1 9
综上可得，VAOB的面积为 或 .2 2
1 1
21．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知 AB = OB = 1， AB ^ OB ，点P , 是三角形内
è 2 4 ÷
一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点 P 的一条直线MN ，将三角板
铝成VAMN ，问：应该如何锯法，即直线MN 斜率为多少时，可使三角板VAMN 的面积最大？
1 1
【答案】 k = - , S
2 max
=
3
【分析】由已知及直线的斜截式方程求M 、 N 坐标，再由三角形面积公式写出△ AMN 的面积 S，并指出 k
的取值范围 ; 由面积 S 的解析式构造函数，并研究函数的单调性，进而求 S 的最值．
1 1 1 1
【解析】依题意，直线 MN 过点P , ÷且斜率存在，则 MN 的方程为 y - = k x - ÷，
è 2 4 4 è 2
AB ^ OB ， AB = OB =1，
\直线 OA 的方程为 y = x ，直线 AB 的方程为 x =1，
ìy 1 1 - = k
x -
÷ 2k -1 2k -1 2k -1 1
由 í 4 è 2 知：M , 0
è 4 k -1 4 k -1 ÷
÷且
4 k -1
，可得 k >1或 k ，
2
y = x
ì 1 1
y - = k x -4 2 ÷ N 1, 2k +1 2k +1 1由 í è 知： ÷且 0，可得 k - ，
4 4 2x =1 è
1 k 1
M 2k -1 , 2k -1
\- ，故 ÷÷， N
1, 2k +1 ，
2 2 ÷è 4 k -1 4 k -1 è 4
S 1 1 2k +1
é 2k -1 1 1 ù
VAMN = AN h =
1- 1-
ù= é 4 1- k + + 4 ，
2 2 è 4 ÷
ê ú
ê 4 k -1 ú 32 ê 1- k ú
S 1 [4 1 k 1 1 1∴ VAMN = - + + 4]，且- k .32 1- k 2 2
t 1 k 1 3 1设 = - [ , ]， f t = 4t + ，
2 2 t
1 3 f t f t 4t 1 1 t1 - t2 4t1t2 -1 当 t1 < t2 时， 1 - 2 = 1 + ÷ - 4t2 + = ，2 2 è t1 è t
÷
2 t1t2
1
∵ t1 < t
3
2 2
，
2
\t1t2 > 0， t1 - t2 < 0 ， 4t1t2 > 0，则 f t1 - f t2 < 0，即 f t1 < f t2 ，
\ f t [1 , 3在 ]是增函数，
2 2
3 20 1 1 20 1\当 t = 时， f t = k = - S = + 4 ，即 时，
2 3 2 max 32 3 ÷
= ．
è 3
【点睛】关键点点睛：应用直线的斜截式方程及三角形面积公式写出面积 S 及 k 的范围，利用函数的单调
性求 S 的最值.第 1 章 坐标平面上的直线 单元综合检测（重点）
一、填空题
1．直线3x + 3y -1 = 0 的倾斜角为 ．
2．点 A 2,3 到直线3x + 4y - 6 = 0的距离是 ．
3．已知直线 l过点 (0,7)，且与直线 y = -4x + 2平行，则直线 l的方程为
r
4．若 n = 2,-1 是直线 l的一个法向量，则直线 l的倾斜角为 .
5．过点P 1,1 且与直线 x + 2y -1 = 0的夹角大小为 arccos 5 的直线的一般方程为 .
5
6．已知直线 l1： 3x - 2y + 2 = 0 ，直线 l2： 3x - 2 y +1 = 0，则 l1与 l2之间的距离为 .
7．已知集合 A = x, y x + ay + 6 = 0 、B = x, y 3x + 3y + 2a = 0 ，若 A B = ，则a = ．
8．无论实数 λ 取何值，直线 2l -1 x + l + 3 y - l -11 = 0恒过定点 .
9．设点 A 3, -3 ，B -2,-2 ，直线 l 过点P 1,1 且与线段 AB 相交，则 l 的斜率 k 的取值范围是 ．
10．已知 a 0,2 ，直线 l1的方程为 ax - 2 y - 2a + 4 = 0 ，直线 l 的方程为 2x + a2 y - 2a22 - 4 = 0，记 l1， l2与
两坐标轴围成的四边形的面积为 S，则 S 的最小值为 .
11．如图，在等腰直角三角形 ABC 中， AB = AC = 4，点 P 是边 AB 上异于 A, B的一点，光线从点 P 出发，
经BC ，CA发射后又回到原点 P ，若光线QR 经过VABC 的重心，则 AP = ．
12．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离
测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则曼哈
uuur uuur
顿距离 d A, B = x1 - x2 + y1 - y2 ，余弦距离 e A, B =1- cos A, B ，其中 cos A, B = cos OA,OB （O 为坐
标原点）.已知点 M 2,1 ,d M , N =1，则 e M , N 的最大值近似等于 .（保留3 位小数）（参考数据：
2 1.41, 5 2.24 .）
二、单选题
13．直线 ax +by + c = 0经过第一、二、四象限，则 a，b，c 应满足（ ）
A． ab > 0,bc < 0 B． ab < 0,bc < 0 C． ab > 0,bc > 0 D． ab < 0,bc > 0
14．已知直线 l1 : (t -1)x + 2y - t = 0， l2 : x + ty + t - 2 = 0 t R ,则下列说法中错误的是（ ）
A．直线 l2过定点 2,-1 1B．当 t = 时， l1 ^ l3 2
C．当 t = -1时， l1与 l2重合 D．当 t = 2
2 5
时， l1、 l2之间的距离为 5
π
15．已知a R ，a + kπ k Z ，设直线 l : y = x tana + m ，其中m 0 ，给出下列结论：
2
r
①直线 l的法向量与向量 a = cosa ,sina 垂直；
0 a π②若 < < ，则直线 l与直线 y = x
π
的夹角为 -a ；
4 4
③直线 l与直线 x sina - y cosa + n = 0 n m 平行；上述结论正确的个数是（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个
16．已知点 A -1,0 ，B 2,0 与直线 l : mx - y + m = 0 m R ，若在直线 l上存在点 P ，使得 PA = 2 PB ，
则实数m 的取值范围是（ ）
é 3 3 ù ù é
A． ê- , ú B． - ,
3 3
- ú U ê ,+ ÷÷
3 3 è 3 3
C． é ù - 3, 3 D． - , - 3ù é 3, +
三、解答题
17．已知常数 a R ，设直线 l1 : x + ay + a +1 = 0，直线 l2 : a -1 x + 6y + 3 = 0 .
(1)若 l1 ^ l2，求 a的值；
(2)若 l1与 l2平行，求 l1与 l2的距离.
18．已知直角坐标系中三点 A 2,2 ，B 2, -3 ，C -3, -1 .
(1)求以 A、B、C 三点为顶点的三角形中 AB 边上的高所在直线的方程
(2)求以 A、B、C 三点为顶点的三角形的面积
19．设直线 l的方程为 (a +1)x + y + 2 - a = 0(a R) .
(1)求证：不论 a为何值，直线必过定点M ；
(2)若 l在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程.
20．已知直线 l : ax - y + 2 - a = 0恒过点 P ，且与 x 轴， y 轴分别交于 A, B 两点，O为坐标原点.
(1)求点 P 的坐标；
(2)当点O到直线 l的距离最大时，求直线 l的方程；
(3)当 PA × PB 取得最小值时，求VAOB的面积.
1 1
21．有一块直角三角形的板置于平面直角坐标系中，已知 AB = OB = 1， AB ^ OB ，点P ,2 4 ÷是三角形内è
一点，现在由于三角板中阴影部分受到损坏，为把损坏部分锯掉，可用经过点 P 的一条直线MN ，将三角板
铝成VAMN ，问：应该如何锯法，即直线MN 斜率为多少时，可使三角板VAMN 的面积最大？
