第 1 章 坐标平面上的直线 单元综合检测（难点）
一、填空题
1．已知 A -1,0 , B 0,2 ，直线 l : 2x - 2ay + 3 + a = 0上存在点 P ，满足 PA + PB = 5 ，则实数 a的取值范围
是 ．
【答案】 (- ,-1] [1, + )
【分析】根据条件先判断点 P 在线段 AB 上，结合点 P 在直线 l上得出点 P 是线段 AB 与直线 l的公共点，接
着判断直线 l过定点，最后通过直线 l的斜率范围求得数 a的取值范围.
【解析】
如图，由 A -1,0 , B 0,2 可得 |AB|= 5,
因点 P 满足 PA + PB = 5 ，即 PA + PB = |AB| ,
故点 P 在线段 AB 上，
又因 l : 2x - 2ay + 3+ a = 0过点 P ，则点 P 是线段 AB 与直线 l的公共点.
由 l : 2x - 2ay + 3+ a = 0整理得： (1- 2y)a + 3 + 2x = 0，
3 1
则易得直线 l过定点C(- , )，
2 2
2 1 1-
直线CB的斜率为 k = 2CB 3 =1,直线CA的斜率为 k
2
CA = 3 = -1.
- +1
2 2
3
又由 l : 2x - 2ay + 3+ a = 0知其斜率必存在（否则直线 l : x = - 与线段 AB 无公共点），
2
1 1 1依题意，其斜率 需满足- 1，解得： a -1或a 1 .a a
故答案为： (- ,-1] [1, + ) .
2．函数 f x = x2 + 6x + 73 + x2 - 4x + 8 的最小值是 .
【答案】5 5
【分析】由函数 f x = x + 3 2 + 64 + x - 2 2 + 4 的几何意义为点 x,0 至 -3,8 和 2,2 的距离之和，结
合图形即可求得.
【解析】函数 f x = x2 + 6x + 73 + x2 - 4x + 8 = x + 3 2 + 64 + x - 2 2 + 4 ，
即为点P x,0 至 A -3,8 和B 2,2 的距离之和，
点 A -3,8 关于 x 轴对称的点为 A -3, -8 ，
所以 PA + PB = PA + PB ,
由图形易得最小值为 A B = 2 + 3 2 + 2 + 8 2 = 5 5 .
故答案为: 5 5 .
3．已知点M 3,5 ，在直线 l : x - 2y + 2 = 0和 y 轴上各找一点 P 和Q，则VMPQ 的周长的最小值为 .
【答案】 4 5
【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可.
【解析】设点M 3,5 关于直线 l : x - 2y + 2 = 0的对称点为M1 x, y ，
ì3+ x
- 2
5 + y
× + 2 = 0
2 2
则有 í M 5,1 5 y 1 1 ， - × = -1
3 - x 2
点M 3,5 关于 y 轴的对称点为M 2 -3,5 ，如图所示：
当M 2 ,Q, P, M1四点共线时，VMPQ 的周长的最小，
2 2
最小值为 M 2M1 = 5 + 3 + 1- 5 = 4 5 .
故答案为： 4 5
3 3
4．已知函数 y = x + 与函数 y = 2x+1 - 2-1-x 的图象交于M , N , P 三点，则此三点中最远的两点间的距离
2 2
为 .
【答案】 13
【分析】由题意可得，三个交点中一个必是点 -1,0 ，另外两个点关于点 -1,0 对称．不妨记 N -1,0 ，设
M (x 3 31, x1 + ), x1 > -1，由 f (x1) = g(x1)求得x1，所以此三点中最远的两点间的距离为 2 | MN |．2 2
y = f (x) 3 x 3 3= + = (x +1), y = g(x) = 2x+1 - 2-1-x x+1 -(1+x)【解析】不妨记 1 2 2 2 2
= 2 - 2 ，
y 3函数 = x与 y = 2x - 2- x 是奇函数且关于坐标原点对称，
2
易知 f x , g x 两个函数的图象均以点 (-1,0) 为对称中心，
所以三个交点中一个必是点 -1,0 ，另外两个点关于点 -1,0 对称．
3 3
不妨记 N -1,0 ，设M (x1, x1 + ), x1 > -1，所以 f (x1) = g(x1)，2 2
3 (x +1) = 2x1 +1 - 2-(1+x即 1 )1 ，解得 x1 +1 =1， x1 = 0 ，2
则 MN = (x1 +1)
2 + (3 x 3 13 131 + )
2 = = ，
2 2 4 2
所以此三点中最远的两点间的距离为 2 | MN |= 13 ．
故答案为： 13 ．
5．已知点P
r
0,1 ，A 是直线 l : ax + by = 0 ab 0 上一点，单位向量 n是 l的一个法向量，设Q是平面上的动
r r r r r r r r r点，且满足 2 AP × n AP + AQ × n ，若 AQ × n = AP × n ，则实数 的取值范围是 .
【答案】 0,3
r
n a b
r r r r r
【分析】求出 = , ，设 A x0 , y0 ，Q x1, y1 ，则 ax0 + by0 = 0，根据 2 AP ×n AP + AQ ×n
a2 + b2
a2 + b2
ax + by r r r r ax + by
得到-3 1 1 1，由 AQ × n = AP × n 计算出 = 1 1 0,3 .
b b
【解析】设直线 l : ax + by = 0 ab 0 的一个法向量为 a,b ，
r a b
则 n = , ，
a2 + b2 a2 + b2
r
设 A x0 , y0 ，满足 ax0 + by0 = 0且 AP = -x0 ,1- y0 ，
r r
所以 AP
-ax + b - by
×n = 0 0 b=
2 2 2 2 ，a + b a + b
r
设Q x1, y1 ，则 AQ = x1 - x0 , y1 - y0 ，
r r
AP + AQ = -x0 ,1- y0 + x1 - x0 , y1 - y0 = x1 - 2x0 ,1+ y1 - 2y0 ，
r r r AP + AQ × n = x1 - 2x0 ,1+ y1 - 2y a0 × , b
a2 + b2
a2 + b2
ax1 - 2ax0 + b + by1 - 2by0 b + ax1 + by= = 1
a2 + b2 a2
，
+ b2
根据题意可得 2 b b + ax1 + by1 ，
b + ax1 + by ax故 1 2，故 1+ 1
+ by1 2，
b b
2 1 ax1 + by1 2 3 ax1 + by即- + ，解得- 1 1，
b b
r r
AQ × n = x1 - x0 , y
a b
1 - y0 × ,
a2
+ b2 a2 + b2
ax1 - ax0 + by1 - by0 ax1 + by= = 1 ，
a2 + b2 a2 + b2
r r r r
∵ AQ × n = AP × n ，
ax1 + by1 b∴ = ，
a2 + b2 a2 + b2
ax1 + by\ = 1 0,3 .
b
故答案为： 0,3
6．直线 l1过点 A 0,2 , B 2,0 ，直线 l2： y = kx + b过点C 1,0 ，且把VAOB分成面积相等的两部分，其中靠
近原点的那部分是一个三角形，则直线 l2的方程为 ．
【答案】 y = -2x + 2
【分析】先判断出 l2与坐标轴的交点，根据已知条件中面积的关系列方程，化简求得直线 l2的斜率，进而求
得正确答案.
x y
【解析】直线 l1的方程为 + = 1，即 x + y - 2 = 0，2 2
直线 l2 : y = kx + b 过点C 1,0 ，即 k + b = 0,b = -k ，所以 y = kx - k ，
设 l2过点D 0, -k ，依题意可知0 < -k < 2, -2 < k < 0，
1
且 1
1 1
-k = 2 2 , k = -2，此时 A, D两点重合.2 2 2
所以直线 l2的方程为 y = -2x + 2 .
故选： y = -2x + 2
7．已知直线 l : 3m +1 x + 2 + 2m y -8 = 0（m 为任意实数）过定点 P，则点 P 的坐标为 ；若直线 l
与直线 l1 : x = -1， l2 : y = -1分别交于 M 点，N 点，则 PM × PN 的最小值为 ．
【答案】 -4,6 42
【分析】利用直线方程变换主元计算可得定点；设直线 l方程计算 M、N 坐标，再由两点距离公式及基本不
等式计算即可.
【解析】直线 l : m 3x + 2y + x + 2y -8 = 0 ，
ì3x + 2y = 0
联立 í ，解得 x = -4， y = 6，故P -4,6 ；
x + 2y -8 = 0
易知直线 l的斜率存在且不为 0，
设直线 l : y - 6 = k x + 4 ，
令 x=-1，得 y = 3k + 6；
令 y = -1，得 x
7
= - - 4，
k
则M -1,3k + 6 7， N - - 4, -1
，
k
49 1 1
故 PM × PN = 9 + 9k 2 × 2 + 49 = 21 1+ k
2 × 2 +1 = 21 2 + k
2 + 42，
k k k 2
2 1
当且仅当 k = 2 ，即 k = ±1时等号成立．k
故答案为： -4,6 ， 42
8．一质点在矩形 ABCD内运动，从 AB 的中点O沿一确定方向发射该质点，依次由线段BC 、CD 、DA反
射.反射点分别为 P1、 P2、 P3 （入射角等于反射角），最后落在线段OA上的 P4（不包括端点）.若 A -1,0 、
B 1,0 、C 1,1 和D -1,1 ，则OP1的斜率的取值范围是 .
1
【答案】 ,
2
2 3
【分析】根据题意线段OP1 P P2P3，P1P2 P P3P4，分别找出P4点落在线段OA上的临界位置，即可求解.
【解析】由题意知：OP1 P P2P3，P1P2 P P3P4，设P1 1,b ，则线段OP k
b - 0
1的斜率： = = b，1- 0
为使P4点落在线段OA上（不包括端点），所以得：当P4落到点O，点A 时为相应的两种临界位置，
当P4落到点O时：
由题意知：O点为 AB 的中点，且从O点出发又回到O点，所以可得：此时P1位于线段BC 的中点位置，
所以得此时OP
1
1的斜率： k1 = b = ；2
当P4落到点A 时：
P4点与P3 点重合，如下图所示，设 P1OB = q ，可得： P1P2C = DP2P3 = q ，且 tanq = b，
所以得：CP =1- b CP
1- b 1
1 ， 2 = = -1，DP 3
1
2 = - ，b b b
tanq DP= 3 1= = b 2
所以得： DP2 3 1- ，解之得：b = ,
b 3
所以此时斜率： k
2
2 = ，3
OP 1 2< k <
1 , 2 综上所述：可得 1的斜率范围为： ，即 .2 3 2 3
1 2
故答案为： ,2 3
.
9．已知直线 l1： x - y + 2 = 0 ， l2： x - y - 2 = 0 ，直线 l3 垂直于 l1， l2，且垂足分别为 A，B，若C -4,0 ，
D 4,0 ，则 CA + AB + BD 的最小值为 ．
【答案】 2 10 + 2 2
【分析】根据条件设出直线 l3 的方程为 x + y = 2m ，求出点A ， B 坐标，用m 表示出 CA + AB + BD ，再借
助几何意义即可计算得解．
【解析】由直线 l3 垂直于 l1， l2，则设 l3 的方程为 x + y = 2m(m R) ，
ìx + y = 2m ìx + y = 2m
由 í A(m -1,m +1) B(m +1,m -1)
x - y = -2
，得 ，由 í ，得 ，
x - y = 2
由C(-4,0)，D(4, 0) ，得 | CA | + | AB | + | BD |= (m + 3)2 + (m +1)2 + 2 2 + (m - 3)2 + (m -1)2 ，
(m + 3)2 + (m +1)2 + (m - 3)2 + (m -1)2 表示动点M (m,m)到定点E(-3, -1) 与F (3,1)的距离的和，
动点M (m,m)在直线 y = x 上，点E(-3, -1) 与F (3,1)在直线 y = x 两侧，
则有 ME + MF EF = 2 10 ，
1
当且仅当M 是直线 y = x 与线段 EF : y = x(-3 x 3)3 的交点，即原点时取“
=”，此时m = 0，
所以 (m + 3)2 + (m +1)2 + (m - 3)2 + (m -1)2 取最小值 2 10 ，
则 CA + AB + BD 的最小值为 2 10 + 2 2 ．
故答案为： 2 10 + 2 2 ．
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知动点 P a,b 到两直线 l : y = 2x l : y 11 与 2 = - x +1的距离之和为 5 ，则2
b
的取值范围是 .
a + 5
é 3
【答案】 ê- ,
9 ù
11 17 ú
【分析】由题意可知 P a,b 满足 2a - b + a + 2b - 2 = 5 b为四边形的四边上任意一点，然后画图由 几何意
a + 5
义求解即可.
【解析】将直线 l1 : y = 2x与 l2 : y
1
= - x +1的方程化为一般式为 l1 : 2x - y = 0，2
l2 : x + 2y - 2 = 0，所以 P a,b
2a - b a + 2b - 2
到两直线的距离之和为： + = 5 ，
5 5
所以 2a - b + a + 2b - 2 = 5 ①.
ì2a - b 0
当 í 时，①式变形为：3a + b = 7
a + 2b - 2
；
0
ì2a - b 0
当 í ① a - 3b = 3
a + 2b 2
时， 式变形为： ；
- < 0
ì2a - b < 0
当 ía 2b 2 0时，
①式变形为：-a + 3b = 7；
+ -
ì2a - b < 0
当 í ①a 2b 2 0时， 式变形为：
-3a - b = 3；
+ - <
则动点 P a,b 为如图所示的四边形的边，
b
的几何意义为正方形边上任意一点与E -5,0 连线的斜率.
a + 5
C 3 , 6 8 9- - 3 9 5 5
，D - , ， k = - ， k = .
5 5 CE 11 DE 17
b é 3 9 ù
则 的取值范围是：
a + 5 ê
- , .
11 17 ú
é 3 9
故答案为： ê- ,
ù
ú . 11 17
11．关于直线 y = 2tx - t 2 t R ，有下列说法:
①对任意 t R ，直线 y = 2tx - t 2 不过定点；
② 2平面内任给一点，总存在 t0 R ，使得直线 y = 2t0x - t0 经过该点；
③当 t R 时，点 0，1 到直线 y = 2tx - t 2 3的距离最小值为 ；
2
④对任意 t1, t2 R t1 t2 ，且有 t 21 + t2 = 2t1t2 ，则直线 y = 2t1x - t1 与 y = 2t2x - t 22 的交点轨迹为一直线.
其中正确的是 .
【答案】①③
t
【分析】① y = 2tx - t 2 变形为 y = 2tx - t 2 = 2t x - ，可得到直线 y = 2tx - t 2 不过定点；
2
②可举出反例；
③利用点到直线距离公式和基本不等式进行求解；
t + t
④联立两直线方程，求出交点坐标 1 2 , t2 1
t2 ，结合 t1 + t2 = 2t1t2 ，得到交点轨迹方程.
【解析】①对任意 t R ， y = 2tx - t 2 = 2t
x t- t 随着 t 的变化， ,0 也随之变化，故直线 y = 2tx - t 22 不过 2
定点，①正确；
2 2
平面内取点 1,4 ，则 2t0 - t0 = 4，即 t0 - 2t0 + 4 = 0，无解，故②错误；
2
点
1+ t
0，1 到直线 y = 2tx - t 2 的距离 d = ，令m = 1+ 4t 2 ，
1+ 4t 2
m2t 2 -1则 = m 1 ，
4
3+ m2 3 m 3 m 3
因此 d = = + 2 × = ，
4m 4m 4 4m 4 2
3 m
当且仅当 = ，即m = 3 时，等号成立，③正确；
4m 4
2
联立直线 y = 2t1x - t1 与 y = 2t2x - t
2
2 ，得到 x
t1 + t= 2 , y = t1t2 ，2
t
故交点坐标为 1
+ t2
, t1t2 ，
2
又因为 t1 + t2 = 2t1t2 ，
所以交点坐标满足方程 y = x ，
但当 t1t2 =0 时， t1=t2 =0，不合题意，所以交点取不到 0,0 ，
所以交点轨迹为一直线的一部分，④错误.
故答案为：①③.
12．已知矩形OABC 中，O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，B 的坐标为 (10,5)，点 P 在边BC
上，点 A 关于OP的对称点为 A ，若点 A 到直线BC 的距离为 4，则点 A 的坐标可能为 ．
【答案】 (-3 11,1)， (- 19,9) ， ( 19,9)
【分析】设出点 A 的坐标，根据给定条件，列出方程组，解方程组并判断作答.
5 1
【解析】依题意，点 A(10,0) ，直线BC ： y = 5，而点 P 在边BC 上，则直线OP的斜率 k = 或 OP 在
10 2
y 轴上，
设点 A (a,b) ，由点 A 到直线BC 的距离为 4，得 | b - 5 |= 4，即b =1或b = 9，
又点 A 关于OP的对称点为 A ，则 | OA |=| OA |=10，即 a2 + b2 =102 ，
当b =1时， a = -3 11或 a = 3 11，若 a = -3 11，有 A (-3 11,1)，点 A 与 A 的中点 (
10 - 3 11 , 1) 在直线OP
2 2
上，
此时直线OP斜率 k
1
= =10 + 3 11 1> ，符合题意，则 A 2 (-3 11,1)，10 - 3 11
10 + 3 11 1
若 a = 3 11，有 A (3 11,1)，点 A 与 A 的中点 ( , )在直线OP上，
2 2
1 1
此时直线OP斜率 k = =10 - 3 11 < 2 ，不符合题意， 10 + 3 11
当b = 9时， a = - 19 或 a = 19 ，若 a = - 19 ，有 A (- 19,9)，点 A A 10 - 19 9与 的中点 ( , )在直线OP上，
2 2
此时直线OP 9 10 + 19 1斜率 k = = > ，符合题意，则 A (- 19,9)，
10 - 19 9 2
若 a = 19 ，有 A ( 19,9) ，点 A A (10 + 19 9与 的中点 , )在直线OP上，
2 2
9 10 - 19 1
此时直线OP斜率 k = = > ，符合题意，则 A ( 19,9) ，
10 + 3 11 9 2
所以点 A 的坐标可能为 (-3 11,1)， (- 19,9) ， ( 19,9) .
故答案为： (-3 11,1)， (- 19,9) ， ( 19,9)
二、单选题
13．过点P -1, -2 的直线 l可表示为m x +1 + n y + 2 = 0，若直线 l与两坐标轴围成三角形的面积为 6，则
这样的直线有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【答案】D
【分析】先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案.
【解析】m x +1 + n y + 2 = 0可化为mx + ny + m + 2n = 0 ①，
要使 l与两坐标轴能围成三角形，则mn 0 且m + 2n 0 ，
y m + 2n y 0 x m + 2n由①令 x = 0得 = - ；令 = 得 = - ，
n m
1 m + 2n m + 2n 1 m + 2n m + 2n 1 m2 + 4mn + 4n2
依题意，
2
-
n
- = =
m 2 n m 2 mn
1 m 4n
= + + 4 = 6 m 4n，所以 + + 4 =12
m 4n
或 + + 4 = -12 ,
2 n m n m n m
m 4n m 4n
所以 + = 8或 + = -16，
n m n m
m 4
设 t = ，则 t + = 8 t
4
或 + = -16n ，t t
则 t 2 -8t + 4 = 0或 t 2 +16t + 4 = 0
t 8 ± 64 -16 t -16 ± 256 -16解得 = 或 = ，
2 2
即 t = 4 ± 2 3 或 t = -8 ± 2 15 ，
m m
即 = 4 ± 2 3 或 = -8 ± 2 15 ，
n n
所以这样的直线有 4条.
故选：D
14．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几
2
何问题加以解决，如可以 x - a + y - b 2 转化为平面上点 x, y 与点 N a,b 的距离.结合上述观点，下列
说法正确的是（ ）
A．函数 f x = x2 + 4x + 20 + x2 + 2x +10 的最小值为5 2
B 2 2．已知 x，y 满足 x2 + y2 + 8y +12 = 0，则 x +1 + y +1 的最大值为 10 + 2
C．已知 x，y 满足 x2
y
+ y2 + 8y +12 = 0，则 的取值范围是 é - 3, 3ùx
D．已知 x，y 满足 x2 + y2 + 8y +12 = 0，则 3x - y 的最大值为 0
【答案】A
【分析】函数表示P x,0 到点 A -2,4 和B -1, -3 的距离之和，计算距离得到 A 正确，举反例得到 BCD 错
误，得到答案.
【解析】对选项 A： f x = x2 + 4x + 20 + x2 + 2x +10 = x + 2 2 + 42 + x +1 2 + 32 ，
表示P x,0 到点 A -2,4 和B -1, -3 的距离之和，最小值为 AB = 12 + 72 = 5 2 ，
正确；
2 2
对选项 B：取 x = 0， y = -6满足条件，此时 x +1 + y +1 = 26 > 10 + 2，错误；
y
对选项 C：取 x = 2， y = -4 满足条件，此时 = -2，错误；
x
对选项 D：取 x = 0， y = -6满足条件，此时 3x - y = 6 > 0 ，错误；
故选：A
15．若对一个角a 0,2π ，存在角 b 0, 2π 满足 cos a + b = cosa + cosb ，则称b 为a 的“伴随角”.有以
下两个命题：
①若a
π , π ÷ è ÷÷，则必存在两个“伴随角”
b 0, 2π ；
3 2
π② 若a 0, 3 ，则必不存在“伴随角”
b 0, 2π ；
则下列判断正确的是（ ）
A．①正确②正确； B．①正确②错误；
C．①错误②正确； D．①错误②错误.
【答案】B
【分析】将已知方程变形为 cosa -1 cosb + -sina sinb = cosa ，则 cosb ,sinb 为直线
cosa -1 x + -sina y = cosa 与单位圆 x2 + y2 =1的交点.用圆心到直线的距离解决问题
【解析】将已知方程变形为 cosa -1 cosb + -sina sinb = cosa ，
则 cosb ,sinb 为直线 cosa -1 x + -sina y = cosa 与单位圆 x2 + y2 =1的交点.
考虑圆心到直线的距离
cosa
d cosa 1 a 1= = = - sin = - t ，其中 t = sin
a
.
(cosa -1)2 + (-sina )2 2sin a 2sin a 2 2t 2
2 2
π π 1 2 1
对于①，若a ÷ , ÷÷，则 t , ，于是 d = - t
0,
1
，即 d <1è3 2 ， 2 2 2t 2
直线与圆必有两个不同交点，
cosb ,sinb 为直线 cosa -1 x + -sina y = cosa 与单位圆 x2 + y2 =1的交点，
故必存在两个“伴随角” b 0, 2π ，即①正确；
π 1 1 1a 0, t 0, d = - t , + 对于②若 3 ，则 ，于是 ， 2 2t 2
即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角” b 0, 2π ，即②错误；
综上，①正确②错误，
故选:B.
【点睛】关键点点睛: 把 cosb ,sinb 转化为直线 cosa -1 x + -sina y = cosa 与单位圆 x2 + y2 =1的交点是
解题的关键点.
16．如图，用 35 个单位正方拼成一个矩形，点P1, P2 , P3 , P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集
合Ω = P1, P2 , P3 , P4 ，点P Ω，过 P 作直线 lP ，使得不在 lP 上的“▲”的点分布在 lP 的两侧.用D1 lP 和D2 lP
分别表示 lP 一侧和另一侧的“▲”的点到 lP 的距离之和，若过 P 的直线 lP 中有且只有一条满足
D1 lP = D2 lP ，则Ω 中所有这样的 P 有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可.
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示
则记为“▲”的四个点是 A 0,3 , B 1,0 ,C 7,1 , D 4,4 ，
线段 DA, AB, BC,CD,的中点分别为E, F ,G, H ，
易知四边形EFGH 为平行四边形，设其对角线交于M x, y ，
r r r r r
则MA + MB + MC + MD = 0 .
由此求得M 3,2 与点P2重合，
根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线 lP 一定经过点P2 .
而过点P1和P2的直线有且仅有一条；过点P3 和P2的直线有且仅有一条；
过点P4和P2的直线有且仅有一条.
所以符合条件的点是P1, P3 , P4，故 3 个.
故选：D.
三、解答题
π
17．已知点 P 是直线 l上的一点，将直线 l绕点 P 逆时针方向旋转角a 0 < a <
，所得直线方程是
2
x - y - 2 = 0 π，若将它继续旋转 -a 角，所得直线方程是 2x - y - 3 = 0，
2
(1)求直线 l的方程；
(2) 5若直线m 过点 2,1 ，且直线m 与直线 l的夹角为 arccos ，求直线m 的方程.
5
【答案】(1) x + 2y +1 = 0
(2) x = 2或3x - 4y - 2 = 0
【分析】（1）先求得 P 点的坐标，然后根据点斜式求得直线 l的方程.
（2）根据直线m 的斜率是否存在进行分类讨论，通过夹角公式求得直线m 的方程.
ìx - y - 2 = 0 ìx =1
【解析】（1）由 í2x y 3 0解得- - = í
P 1, -1 .
y = -1
，故
直线 2x - y - 3 = 0
1
斜率为 2，所以直线 l的斜率为- ，
2
1
所以直线 l的方程为 y +1 = - x -1 , x + 2y +1 = 0 .
2
2 m l q q arccos 5 q cosq 5（ ）设直线 与直线 的夹角为 ，且 = ，则 为锐角，且 = ，
5 5
sinq 1 cos2 q 2 5 sinq所以 = - = , tanq = = 2，
5 cosq
直线 l : x + 2y +1 = 0
1
的斜率为- ，
2
当直线m 的斜率不存在，即直线m ^ x轴时， tanq = 2，符合题意，m : x = 2 .
当直线m 的斜率存在时，设其斜率为 k ，
k 1- 1 - k +
则 tanq =
2 = 2 = 2 3
1 ，解得
k = ，
1+ k - 1
1
- k 4 2 2
所以直线m 的方程为 y -1
3
= x - 2 ,3x - 4y - 2 = 0 .
4
所以直线m 的方程为 x = 2或3x - 4y - 2 = 0 .
18．已知直线 l： m +1 x + m - 3 y + 2m +10 = 0(m R) .
(1)求证：直线 l与直线3x + 7 y - 2 = 0总有公共点；
(2)若直线 l交 x 轴的负半轴于点A ，交 y 轴的正半轴于点 B ，O为坐标原点，设VAOB的面积为S ，求S 的最
小值及此时直线 l的方程.
【答案】(1)证明过程见解析
(2) S 最小值为16，此时直线 l的方程为 x - 2y + 8 = 0 .
【分析】（1）直线 l变形为m x + y + 2 + x - 3y +10 = 0 ，得到方程组，求出直线 l恒过点 -4,2 ，又 -4,2
在3x + 7 y - 2 = 0上，从而证明出结论；
（2）先根据题意得到直线 l的斜率存在且大于 0，故m +1 0, m - 3 0，得到 A, B点的坐标，得到
2 m + 5 2
-1 < m < 3，表达出 S = - ，换元后得到最值，进一步得到直线 l的方程.
m +1 m - 3
【解析】（1）直线 l变形为m x + y + 2 + x - 3y +10 = 0 ，
ìx + y + 2 = 0 ìx = -4
令 í ，解得 í ，故直线 l恒过点 -4,2 ，
x - 3y +10 = 0 y = 2
又3 -4 + 7 2 - 2 = 0，故点 -4,2 在3x + 7 y - 2 = 0上，
故直线 l与直线3x + 7 y - 2 = 0总有公共点；
（2）直线 l交 x 轴的负半轴于点A ，交 y 轴的正半轴于点 B ，
故直线 l的斜率存在且大于 0，故m +1 0, m - 3 0，
m +1 x + m - 3 y + 2m +10 = 0(m R) 2m +10中，令 y = 0 ，得 x = - ，
m +1
m +1 x + m - 3 y + 2m +10 = 0(m R) 2m +10中，令 x = 0，得 y = - ，
m - 3
ì 2m +10
- < 0 m +1
显然 í ，解得 -1 < m < 3
2m +10
，
- > 0
m - 3
2
S 1 2m +10= × 2m +10
2 m + 5
则 - = - ，
2 m +1 m - 3 m +1 m - 3
令m + 5 = t 4,8 ，
y 2t
2 2t 2 2 2
= - = - = - = -
则 t - 4 t -8 t 2 -12t + 32 32 12 2- +1 1 3 1 ，
t 2 t 32 -t 16
-
8
1 1 , 1 1 3因为 t 8 4 ，所以当
= 时， y 取得最小值，最小值为16，所以S 的最小值为 16，
t 16
此时m + 5
16
= m 1， = ，直线 l的方程为 x - 2y + 8 = 0 .
3 3
19．设直线 l 的方程为 a +1 x + y - 5 - 2a = 0 a R ．
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 必过一定点 P；
(2)若直线 l 分别与 x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点 A xA ,0 , B 0, yB ，当VAOB面积最小时，求VAOB的周长
及此时的直线方程；
(3)当直线 l 在两坐标轴上的截距均为正整数且 a 也为正整数时，求直线 l 的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)周长为10 + 2 13 ，直线方程为3x + 2y -12 = 0
(3) 3x + y - 9 = 0
ìx - 2 = 0
【分析】（1）将 a +1 x + y - 5 - 2a = 0整理成 x - 2 a + x + y - 5 = 0，令 íx y 5 0 ，即可得解； + - =
5 + 2a
（2）由题意知 xA = ， yB = 5 + 2a ，可得VAOB面积 S
1
= × x × y 的表达式，变形后结合基本不等式
a +1 2 A B
求解；
（3）由题意不妨设5 + 2a = k a +1 , k N* k - 5，则 a = ，又 a 也为正整数，即 2 < k < 5，所以 k = 3或 4，
2 - k
进而可得直线 l 的方程．
【解析】（1）将 a +1 x + y - 5 - 2a = 0整理成 x - 2 a + x + y - 5 = 0，
ìx - 2 = 0
令 í ，解得 x = 2, y = 3x y 5 0 ，所以定点 P 为
2,3 ，
+ - =
故不论 a 为何值，直线 l 必过一定点 P 2,3 ．
x 5 + 2a（2）由题意知， A = > 0， yB = 5 + 2a > 0a 1 ，则 a > -1，+
VAOB 1 1 5 + 2a
2
所以 面积 S = × xA × yB = × × 5 2a
1 4a + 20a + 25
+ = ×
2 2 a +1 2 a +1
1 4(a +1)2 +12(a +1) + 9 1
= × = × é4(a 1) 9ê + + +12
ù
2 a +1 2 a +1 ú
1 é ù
× ê2 4(a +1)
9
× +12ú =12，2 a +1
9 1
当且仅当 4(a +1) = ，即 a =a 1 时，等号成立，+ 2
1
所以 a = 时，VAOB面积最小，
2
此时 A(4,0), B(0,6),| AB |= 42 + 62 = 2 13 ，
所以VAOB的周长为 4 + 6 + 2 13 =10 + 2 13，
x y
直线方程为 + =1，即3x + 2y -12 = 0．
4 6
故当VAOB面积最小时，VAOB的周长为10 + 2 13 ，此时直线方程为3x + 2y -12 = 0．
（3）因为直线 l 在两坐标轴上的截距均为正整数，
所以不妨设5 + 2a = k a +1 , k N* a k - 5，则 = ，
2 - k
k - 5
又 a 也为正整数，所以 > 0，即 2 < k < 5，所以 k = 3或 4，
2 - k
当 k = 3时， a = 2，此时 A 3,0 , B 0,9 ，
x y
所以直线 l 的方程为 + =1，即3x + y - 9 = 0；
3 9
当 k
1
= 4时， a = ，不符合题意，舍去，
2
综上所述，直线 l 的方程为3x + y - 9 = 0．
20．某学校在平面图为矩形的操场 ABCD内进行体操表演，其中 AB = 40 ， BC =15，O为 AB 上一点（不
与端点重合），且 BO =10，线段OC，OD，MN 为表演队列所在位置（M，N 分别在线段OD，OC 上），
VOCD内的点 P 为领队．位置，且点 P 到OC 、OD 的距离分别为 13 、 5 ，记 OM = d ，我们知道当VOMN
面积最小时观赏效果最好．
(1)当d 为何值时， P 为队列MN 的中点？
(2)求观赏效果最好时VOMN 的面积．
【答案】(1) 13 5
4
65
(2) ．
4
3 1
【分析】（1）建立平面直角坐标系，易得OC : y = x；OD ： y = - x，可设P a,b a < 0,b > 0 ，
2 2
M -2m, m N 3 ， n, n m > 0, n > 0 ，利用点线距离公式可求得点 P 的坐标，再利用中点坐标公式即可求
2
M 13 13 得 - , ，最后用两点距离公式可求得 OM ，即2 4 d
.
5 13
（2）由M，N，P 三点共线，推出 + = 4 ，再利用基本不等式以及三角形面积公式即可求解.
n 2m
【解析】（1）以O为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，过点O且垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立如图所示的
平面直角坐标系，
则C 10,15 ，B 10,0 ，D -30,15 ，
y 3 x OD 1∴直线OC 的方程为 = ，直线 的方程为 y = - x，
2 2
设P a,b a < 0,b > 0 ，M -2m, m N n, 3 ， n m > 0, n > 0 ．
2
ì 3
a - b
2 = 13
9
+1 ìa = -2
ì
a
9
= -
4 2
由题意得 í ,\í 或b 7 í
（舍去）,
1 = 1a + b 2 b = - 2 4
= 5
1 +1
4
ì-2m + n = -4 ì
13
7
m =
∴ P -2,
4
2 ． P为
MN 的中点，\í 3 ,解得 ,
m
í
+ n = 7
2 n
5
=
2
13 13
\M 13 5 - , ，∴ ，
2 4
d = OM =
4
∴ d 13 5当 = 时，P 为队列MN 的中点．
4
m 7 3- n 7- 13 5 13
（2）由M，N，P三点共线，得 2 = 2 2 ，即5m + n = 4mn ，即 + = 4 ，
-2m + 2 n + 2 2 n 2m
S 1 1 5∴ △OMN = OM 5 + ON 13 = m
13
+ n ，
2 2 2 4
5 13 1 5 m 13 n 5 13 65 1 25m 169n又∵ + = + + = +
65 1 25m 169n 65
n 2m 4 2 4 n 2m
+ + 2 × = ，
8 4 2n 8m 8 4 2n 8m 4
ì25m 169n ìm 13 = = 2n 8m 4
当且仅当 í ，即 í 时，等号成立，
5 13 5+ = 4 n =
n 2m 2
65
∴观赏效果最好时VOMN 的面积为 ．
4
21．已知直线 l : ax + by + c = 0和点P(x0 , y0 )，点 P 到直线 l的有向距离 d (P,l)用如下方法规定：若b 0 ，
d (P,l) | b || ax= 0 + by0 + c | b 0 d (P,l) ax，若 = ， = 0
+ c
b a2 + b2
．
a
(1)已知直线 l1 : 3x - 4y +12 = 0，直线 l2 : 2x + 3 = 0，求原点O到直线 l1, l2 的有向距离 d (O,l1),d (O,l2 )；
(2)已知点 A(2,1)和点B(3, -1)，是否存在通过点A 的直线 l3 ，使得 d (B,l3 ) = 2？如果存在，求出所有这样的直
线 l3 ，如果不存在，说明理由；
(3)设直线 l4 : xcosa + 2ysina - 2 = 0 ，问是否存在实数 t > 0，使得对任意的参数a 都有：点 F1(-t,0), F2 (t,0)到
l4的有向距离 d F1,l4 ,d F2 ,l4 满足 d F1,l4 × d F2 ,l4 = 1？如果满足，求出所有满足条件的实数 t ；如果不存
在，请说明理由．
12 3
【答案】(1) d (O,l1) = - ， d (O,l2 ) =5 2
(2) y -1 = 0或 4x - 3y - 5 = 0
(3)存在， t = 3
【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可.
(2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程.
(3)分sina = 0和 sina 0 ，分别计算出 d F1,l4 ,d F2 ,l4 ，然后根据题意
d F1,l4 × d F2 ,l4 = 1可得出关于 t 和a 的等量关系，进行求出 t 的结果.
【解析】（1）由直线 l1 : 3x - 4y +12 = 0，直线 l2 : 2x + 3 = 0，根据点到直线的有向距离公式得，
d (O,l ) | -4 || 0 + 0 +12 | 12= = - 2 ×0 + 3 31 2 2 5 ， d (O,l ) = = ；-4 3 + (-4) 2 2 2
即 d (O,l )
12
1 = - ， d (O,l2 )
3
=
5 2
（2）当直线 l3 的斜率不存在时，直线 l3 的方程为 x - 2 = 0，
d (B,l ) 1 3 - 2此时 3 = = 1 2，舍去；1
当直线 l3 的斜率存在时，直线 l3 的方程为 y -1 = k(x - 2)，
由题意b > 0 ,所以直线可化为-kx + y -1+ 2k = 0 ，
d (B,l ) |1 || -3k -1-1+ 2k | 4假设 3 = = 22 ，则3k
2 - 4k = 0 ，解得 k = 0或 ．
1 k +1 3
所以存在直线 l3 的方程为 y -1 = 0或 4x - 3y - 5 = 0；
（3）当sina = 0时，直线 l4 : x cosa - 2 = 0，
d F1, l
-t cosa - 2
4 = , d F , l
t cosa - 2
= ，
cosa 2 4 cosa
由 d F1, l4 ×d F2 , l4
(-t cosa - 2)(t cosa - 2)
= =1，整理得
cos2 a
4 - t 2 cos2 a = cos2 a ， sin2 a + cos2 a =1，\ t2 = 3， t > 0，即 t = 3 ，
当 sina 0 时，直线 l4 : xcosa + 2ysina - 2 = 0 ，
2sina -t cosa - 2 2sina t cosa - 2得 d F1, l4 = ,d F , l =
(2sina ) cos2
2 4 ，
a + 4sin2 a (2sina ) cos2 a + 4sin2 a
(t cosa - 2)(-t cosa - 2)由 d F1, l4 ×d F2 , l4 = =1，cos2 a + 4sin2 a
即 4 - t 2 cos2 a = cos2 a + 4sin2 a = 4 - 3cos2 a ，
4 - t 2 cos2 a = 4 - 3cos2 a 或 4 - t 2 cos2 a = 3cos2 a - 4，解得
t2 = 3或 (t 2 + 3)cos2 a = 8，
由题意对任意的参数a 都有 d F1,l4 × d F2 ,l4 = 1恒成立，所以 t = 3 ，
综上所述，存在实数 t > 0满足题目条件，即 t = 3第 1 章 坐标平面上的直线 单元综合检测（难点）
一、填空题
1．已知 A -1,0 , B 0,2 ，直线 l : 2x - 2ay + 3+ a = 0上存在点 P ，满足 PA + PB = 5 ，则实数 a的取值范围
是 ．
2．函数 f x = x2 + 6x + 73 + x2 - 4x + 8 的最小值是 .
3．已知点M 3,5 ，在直线 l : x - 2y + 2 = 0和 y 轴上各找一点 P 和Q，则VMPQ 的周长的最小值为 .
3 3
4．已知函数 y = x + 与函数 y = 2x+1 - 2-1-x 的图象交于M , N , P 三点，则此三点中最远的两点间的距离
2 2
为 .
r
5．已知点P 0,1 ，A 是直线 l : ax + by = 0 ab 0 上一点，单位向量 n是 l的一个法向量，设Q是平面上的动
r r
点，且满足 2 AP n r r r r r r rAP + AQ n ，若 AQ n = AP n ，则实数 的取值范围是 .
6．直线 l1过点 A 0,2 , B 2,0 ，直线 l2： y = kx + b过点C 1,0 ，且把VAOB分成面积相等的两部分，其中靠
近原点的那部分是一个三角形，则直线 l2的方程为 ．
7．已知直线 l : 3m +1 x + 2 + 2m y -8 = 0（m 为任意实数）过定点 P，则点 P 的坐标为 ；若直线 l
与直线 l1 : x = -1， l2 : y = -1分别交于 M 点，N 点，则 PM PN 的最小值为 ．
8．一质点在矩形 ABCD内运动，从 AB 的中点O沿一确定方向发射该质点，依次由线段BC 、CD 、DA反
射.反射点分别为 P1、 P2、 P3 （入射角等于反射角），最后落在线段OA上的 P4（不包括端点）.若 A -1,0 、
B 1,0 、C 1,1 和D -1,1 ，则OP1的斜率的取值范围是 .
9．已知直线 l1： x - y + 2 = 0 ， l2： x - y - 2 = 0 ，直线 l3 垂直于 l1， l2，且垂足分别为 A，B，若C -4,0 ，
D 4,0 ，则 CA + AB + BD 的最小值为 ．
1
10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知动点 P a,b 到两直线 l1 : y = 2x与 l2 : y = - x +1的距离之和为 5 ，则2
b
的取值范围是 .
a + 5
11．关于直线 y = 2tx - t 2 t R ，有下列说法:
①对任意 t R ，直线 y = 2tx - t 2 不过定点；
② 2平面内任给一点，总存在 t0 R ，使得直线 y = 2t0x - t0 经过该点；
③当 t R 时，点 0，1 3到直线 y = 2tx - t 2 的距离最小值为 ；
2
④对任意 t1, t2 R t1 t2 ，且有 t1 + t2 = 2t1t2 ，则直线 y = 2t1x - t 21 与 y = 2t x - t 22 2 的交点轨迹为一直线.
其中正确的是 .
12．已知矩形OABC 中，O 为坐标原点，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，B 的坐标为 (10,5)，点 P 在边BC
上，点 A 关于OP的对称点为 A ，若点 A 到直线BC 的距离为 4，则点 A 的坐标可能为 ．
二、单选题
13．过点P -1, -2 的直线 l可表示为m x +1 + n y + 2 = 0，若直线 l与两坐标轴围成三角形的面积为 6，则
这样的直线有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
14．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几
2 2
何问题加以解决，如可以 x - a + y - b 转化为平面上点 x, y 与点 N a,b 的距离.结合上述观点，下列
说法正确的是（ ）
A．函数 f x = x2 + 4x + 20 + x2 + 2x +10 的最小值为5 2
B．已知 x，y 满足 x2 + y2 + 8y +12 = 0 2 2，则 x +1 + y +1 的最大值为 10 + 2
y
C．已知 x，y 满足 x2 + y2 + 8y +12 = 0，则 的取值范围是 é - 3, 3ùx
D．已知 x，y 满足 x2 + y2 + 8y +12 = 0，则 3x - y 的最大值为 0
15．若对一个角a 0,2π ，存在角 b 0, 2π 满足 cos a + b = cosa + cosb ，则称b 为a 的“伴随角”.有以
下两个命题：
①若a
π π÷
, ÷÷，则必存在两个“伴随角” b 0, 2π è ；3 2
a 0, π② 若 3 ÷，则必不存在“伴随角” b 0, 2π ；è
则下列判断正确的是（ ）
A．①正确②正确； B．①正确②错误；
C．①错误②正确； D．①错误②错误.
16．如图，用 35 个单位正方拼成一个矩形，点P1, P2 , P3 , P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集
合Ω = P1, P2 , P3 , P4 ，点P Ω，过 P 作直线 lP ，使得不在 lP 上的“▲”的点分布在 lP 的两侧.用D1 lP 和D2 lP
分别表示 lP 一侧和另一侧的“▲”的点到 lP 的距离之和，若过 P 的直线 lP 中有且只有一条满足
D1 lP = D2 lP ，则Ω 中所有这样的 P 有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
三、解答题
π
17．已知点 P 是直线 l上的一点，将直线 l绕点 P 逆时针方向旋转角a 0 < a < ÷，所得直线方程是
è 2
x - y - 2 = 0 π，若将它继续旋转 -a 角，所得直线方程是 2x - y - 3 = 0，
2
(1)求直线 l的方程；
(2)若直线m 过点 2,1 ，且直线m 5与直线 l的夹角为 arccos ，求直线m 的方程.
5
18．已知直线 l： m +1 x + m - 3 y + 2m +10 = 0(m R) .
(1)求证：直线 l与直线3x + 7 y - 2 = 0总有公共点；
(2)若直线 l交 x 轴的负半轴于点A ，交 y 轴的正半轴于点 B ，O为坐标原点，设VAOB的面积为S ，求S 的最
小值及此时直线 l的方程.
19．设直线 l 的方程为 a +1 x + y - 5 - 2a = 0 a R ．
(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 必过一定点 P；
(2)若直线 l 分别与 x 轴正半轴，y 轴正半轴交于点 A xA ,0 , B 0, yB ，当VAOB面积最小时，求VAOB的周长
及此时的直线方程；
(3)当直线 l 在两坐标轴上的截距均为正整数且 a 也为正整数时，求直线 l 的方程．
20．某学校在平面图为矩形的操场 ABCD内进行体操表演，其中 AB = 40 ， BC =15，O为 AB 上一点（不
与端点重合），且 BO =10，线段OC，OD，MN 为表演队列所在位置（M，N 分别在线段OD，OC 上），
VOCD内的点 P 为领队．位置，且点 P 到OC 、OD 的距离分别为 13 、 5 ，记 OM = d ，我们知道当VOMN
面积最小时观赏效果最好．
(1)当d 为何值时， P 为队列MN 的中点？
(2)求观赏效果最好时VOMN 的面积．
21．已知直线 l : ax + by + c = 0和点P(x0 , y0 )，点 P 到直线 l的有向距离 d (P,l)用如下方法规定：若b 0 ，
d (P,l) | b || ax0 + by= 0 + c | ，若b = 0， d (P,l)
ax0 + c= ．
b a2 + b2 a
(1)已知直线 l1 : 3x - 4y +12 = 0，直线 l2 : 2x + 3 = 0，求原点O到直线 l1, l2 的有向距离 d (O,l1),d (O,l2 )；
(2)已知点 A(2,1)和点B(3, -1)，是否存在通过点A 的直线 l3 ，使得 d (B,l3 ) = 2？如果存在，求出所有这样的直
线 l3 ，如果不存在，说明理由；
(3)设直线 l4 : xcosa + 2ysina - 2 = 0 ，问是否存在实数 t 0，使得对任意的参数a 都有：点 F1(-t,0), F2 (t,0)到
l4的有向距离 d F1,l4 ,d F2 ,l4 满足 d F1,l4 d F2 ,l4 = 1？如果满足，求出所有满足条件的实数 t ；如果不存
在，请说明理由．
