第 2 章 圆锥曲线 单元综合检测（重点）
一、填空题
π
1．若直线 l : x = tan - ÷ ，则直线 l的倾斜角是
è 6
2．经过 A(x,2), B(3,-4)两点的直线的一个方向向量为 (1,3)，则 x = ．
3．两条平行直线 4x - 3y + 5 = 0和 4x - 3y - 5 = 0的距离为 .
4．在平面直角坐标系中，已知 A(2,0), B(-3,4)两点，O为坐标原点，则 AOB 的平分线所在直线的方程
为 .
5．直线 x =1与直线 3x - y +1 = 0的夹角大小为 .
2
6．若圆 (x - 2)2 + y2 =1与双曲线C : x2 - y
2 =1(a > 0)的渐近线相切，则双曲线的离心率为 .
a
7．已知圆 C1： x2 + y2 - 6x + 4y +12 = 0与圆 C2： x2 + y2 - 6x - 2y + a = 0，若圆 C1与圆 C2有且仅有一个公
共点，则实数 a 的值为 .
8．已知抛物线 y2 = 2 px( p > 0)的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，直线 AF 与 y 轴交于点 B ，且
AF = FB ，则直线 AB 的斜率为 .
x2 y29．已知 F1，F2是椭圆 C： 2 + 2 =1（a> 0，b> 0）的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且PF1 ^ PF2，若△PFa b 1
F2
的面积为 9，则 b= .
2 2 x210．已知离心率为 的椭圆 + y2 = 1(m > 1)的左、右顶点分别为A ， B ，点 P 为该椭圆上一点，且 P 在
3 m
8
第一象限，直线 AP 与直线 x = 4交于点C ，直线BP与直线 x = 4交于点D，若 CD = ，则直线 AP 的斜率
3
为 .
2 2
11 x y．已知双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左 右焦点分别为F1 F2 , M 为右支上一点， MF2F1 =120°，VMF2F 的a b 1
内切圆圆心为Q，直线MQ 交 x 轴于点 N , MQ = 2 QN ，则双曲线的离心率为 .
12．如图，在矩形 ABCD中， AB = 2 AD ， A1， A2分别为边 AB ，CD 的中点，M ， N 分别为线段 A2C （不
MA2 DN
含端点）和 AD 上的动点，满足 = A M A N P PCD AD ，直线 1 ， 2 的交点为 ，已知点 的轨迹为双曲线的一
部分，则该双曲线的渐近线方程为 .
二、单选题
13．抛物线 y＝4x2的焦点坐标是（ ）
1 1
A．（0，1） B．（1，0） C． (0, ) D． ( ,0)
16 16
14．若直线 l : ax + by +1 = 0始终平分圆M : x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0的周长，则 (a - 2)2 + (b - 2)2 的最小值为（ ）
A． 5 B．5 C． 2 5 D．10
2 2
15．已知椭圆C : x y2 + 2 =1(a > b > 0)，M ， N 分别为椭圆C 的左 右顶点，若在椭圆C 上存在一点 H ，使a b
得 k
1
MH ×kNH
- ,0
÷，则椭圆C 的离心率 e的取值范围为（2 ）è
2 2 3 ,1 0, ,1 0, 3
A． ÷÷ B． ÷÷ C．
è 2 è 2
D．
è 2
÷÷ 2 ÷÷ è
16．在平面上，定点F1、F2 之间的距离 | F1F2 |= 2c ，曲线 C 是到定点F1、F2 距离之积等于 c2 (c > 0)的点的
轨迹.以点F1、F2 所在直线为 x 轴，线段F1F2 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系.已知点P(x0 , y0 )是曲线 C 上
一点，下列说法中正确的有（ ）
①曲线 C 是中心对称图形；
c c
②曲线 C 上的点的纵坐标的取值范围是 - , 2 2
；
③曲线 C 上有两个点到点F1、F2 距离相等；
④曲线 C 上的点到原点距离的最大值为 2c
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①③
三、解答题
17．已知圆C : x2 + y2 - 4x - 5 = 0．
(1)求直线 y = 2x被圆截得弦长；
(2)已知 A 0, 5 为圆 C 上一点，求与圆 C 外切于点 A，且半径为 6 的圆M 的方程．
18 2．已知抛物线C : x = 2 py p > 0 的焦点F 在直线 x - y +1 = 0 上
(1)求抛物线C 的方程
(2)设直线 l经过点 A -1, -2 ，且与抛物线C 有且只有一个公共点，求直线 l的方程
2 2
19 x y．如图，若F1, F2 是双曲线 - =1的两个焦点.9 16
（1）若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离；
（2）若 P 是双曲线左支上的点，且 | PF1 | × | PF2 |= 32，试求△F1PF2 的面积.
2 2
20．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C : x y2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左顶点到右焦点的距离是 3，且C 的离a b
心率是 2．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)点 A x0 , y0 是C 上位于第一象限的一点，点 A, B关于原点O对称，点 A, D关于 y 轴对称．延长 AD 至E 使
1
得 DE = AD ，且直线 BE 和C 的另一个交点F 位于第二象限中．
3
π
（ⅰ）求 x0 的取值范围，并判断 OAF = 是否成立？2
（ⅱ）证明： AE 不可能是 BAF 的三等分线．
2
21 x．已知椭圆C : 2 + y
2 = 1(t > 1)的左 右焦点分别为F1、F2 ，直线 l : y = kx + m(m 0)与椭圆 C 交于 M N 两点，t
（点 M 在点 N 的上方），与 y 轴交于点 E.
(1)当 t = 2时，点 A 为椭圆 C 上除顶点外任一点，求△AF1F2 的周长；
(2)当 t = 3且直线 l 过点D(-1,0)时，设EM = lDM , EN = m DN ，求证：l + m 为定值，并求出该值；
(3) 3若椭圆 C 离心率为 ，当 k 为何值时， | OM |2 + | ON |2 恒为定值，并求此时三角形MON 面积的最大
2
值.第 2 章 圆锥曲线 单元综合检测（重点）
一、填空题
1．若直线 l : x = tan
π
-
÷ ，则直线 l的倾斜角是
è 6
p
【答案】 / 90o
2
【分析】根据直线的方程即可求解.
【解析】由 l : x = tan
π
-
可得
6 ÷ l : x
3
= - ，
è 3
π
故直线的倾斜角为 ，
2
π
故答案为：
2
2．经过 A(x,2), B(3,-4)两点的直线的一个方向向量为 (1,3)，则 x = ．
【答案】5
【分析】根据直线方向向量即可计算．
-4 - 2
【解析】由条件可知， = 3，解得 x = 5．
3 - x
故答案为：5．
3．两条平行直线 4x - 3y + 5 = 0和 4x - 3y - 5 = 0的距离为 .
【答案】2
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
5- -5
【解析】根据平行线间距离公式可得 d = =2 ，
42 + -3 2
故答案为：2
4．在平面直角坐标系中，已知 A(2,0), B(-3,4)两点，O为坐标原点，则 AOB 的平分线所在直线的方程
为 .
【答案】 y = 2x
【分析】设 AOB 的平分线的倾斜角为q ，根据斜率公式结合 kOB = tan 2q 可得 tanq ，由q 的范围即可求解.
【解析】由题意，可设 AOB 的平分线的倾斜角为q ，如图，
tan 2q k 4 2 tanq 4则 = OB = - ，即 2 = - .3 1- tan q 3
π
则 tan 2
1
q = 或- ，又0 < 2q < π ，故0 < q < ，
2 2
故 k = tanq = 2，
故 AOB 的平分线所在直线的方程为 y = 2x，
故答案为： y = 2x
5．直线 x =1与直线 3x - y +1 = 0的夹角大小为 .
p
【答案】 / 30o
6
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
π
【解析】因为直线 x =1的斜率不存在，倾斜角为 ，
2
π
直线 3x - y +1 = 0的斜率为 3，倾斜角为 ，3
π π π
故直线 x =1与直线 3x - y +1 = 0的夹角为 - = ，
2 3 6
π
故答案为： ．
6
2
6．若圆 (x - 2)2 + y2 =1 x与双曲线C : - y22 =1(a > 0)的渐近线相切，则双曲线的离心率为 .a
2 3 2
【答案】 / 3
3 3
1
【分析】求得双曲线的渐近线方程为 y = ± x，由于渐近与圆相切，所以圆心到渐近线的距离为 1，列方程
a
可求出 a，从而可求出双曲线的离心率.
x2
【解析】双曲线C : 2 y
1
= ± x
a2
- y =1(a > 0)的渐近线方程为
a
圆 (x - 2)2 + y2 =1的圆心为 (2,0)，半径为 1，由直线和圆相切，
2
可得 =12 ，解得 a = 3，1+ a
c 1+ 3 2 3
则离心率 e = = = .，
a 3 3
2 3
故答案为：
3
7．已知圆 C ： x2 + y21 - 6x + 4y +12 = 0与圆 C2： x2 + y2 - 6x - 2y + a = 0，若圆 C1与圆 C2有且仅有一个公
共点，则实数 a 的值为 .
【答案】6 或-6
【分析】根据两圆是外切或者内切，由圆心距和半径的关系即可求解.
【解析】C1： x2 + y2 - 6x + 4y +12 = 0的圆心为 3，- 2 ，半径为 r =1，圆 C ： x2 + y22 - 6x - 2y + a = 0的圆心
为 3，1 ，半径为R = 10 - a ，由于两圆只有一个公共点，则两圆外切或者内切，因此
3 3 2 2 2- + -2 -1 2 = 10 - a +1或 3 - 3 + -2 -1 = 10 - a -1 ，解得 a = 6或 a = -6 ，
故答案为：6 或-6
8．已知抛物线 y2 = 2 px( p > 0)的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，直线 AF 与 y 轴交于点 B ，且
AF = FB ，则直线 AB 的斜率为 .
【答案】 2 2
【分析】由题意可设A 、 B 、F 的坐标，运用 AF = FB 可解出 x1 = p ，利用抛物线解析式可得 y1 = 2 p ，由
斜率公式解出即可.
【解析】由题意可设 A x , y F p ,0 1 1 ， ÷，B 0, y2 ，
è 2
Q
p p
AF = FB ， AF = - x1,0 - y1 ÷ ，FB = 0 - , y2 - 02 2 ÷è è
\ p - x1=0
p
-
2 2
\ x1 = p
\ y2 21 = 2 px1 = 2 p
Q A 为抛物线上第一象限内一点
\ y1 = 2 p
y1 - 0 2 p
\直线 AF k = = = 2 2的斜率为；
x p p
1 - p -2 2
\直线 AB 的斜率为： 2 2
故答案为： 2 2 .
2
9 F F C x y
2
．已知 1， 2是椭圆 ： 2 + 2 =1（a> 0，b> 0）的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且PF1 ^ PFa b 2
，若△PF1F2
的面积为 9，则 b= .
【答案】3
【分析】结合已知三角形面积根据椭圆的定义可得．
【解析】设 PF1 = m， PF2 = n ，
ìm2 + n2 = 4c2
因为PF1 ^ PF2，所以 í ，所以 2mn = (m + n)2 - (m2 + n2 ) = 4a2 - 4c2 = 4b2
m + n = 2a
mn = 2b2 ，
又 S
1
!PF F = mn = 9 ，所以 22 2b =18
，b2 = 9，b = 3．
1 2
故答案为：3．
2
10 2 2 x．已知离心率为 的椭圆 + y2 = 1(m > 1)的左、右顶点分别为A ， B ，点 P 为该椭圆上一点，且 P 在
3 m
8
第一象限，直线 AP 与直线 x = 4交于点C ，直线BP与直线 x = 4交于点D，若 CD = ，则直线 AP 的斜率
3
为 .
1
【答案】
21
1 2 2 y20
【分析】由椭圆离心率及焦点位置知 1- = 求m，设P x0 , y0 则 kPA ×kPB = 2 ，若 AP 为 y = k x + 3 ，m 3 x0 - 9
y 1则BP为 = - (x - 3) ，即可求C 、D坐标，结合题设求 k 值，注意验证 k 值是否符合题意.
9k
1 2 2
【解析】由 e = 1- = ，得m = 9，则 A(-3,0), B(3,0) ，
m 3
x20
设P x0 , y0 ，易知 k k y
2 1-
0 9 1 ，
PA × PB = = = -x20 - 9 x
2
0 - 9 9
设 kPA = k k > 0 ，则 k
1
PB = - ，9k
若直线 AP 的方程为 y = k x + 3 ，则C 的坐标为 4,7k .
1 1
直线BP的方程为 y = - (x - 3) ，则D 4,- 的坐标为
9k 9k ÷
，
è
CD 7k 1 8 k 1 1∴ = + = ，解得 = 或 .
9k 3 3 21
1 1
当 k = 时， P 在 y 轴上，故 k = .
3 21
1
故答案为：
21
11 x
2 y2
．已知双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左 右焦点分别为F1 F2 , M 为右支上一点， MF2F1 =120°，VMF F 的a b 2 1
内切圆圆心为Q，直线MQ 交 x 轴于点 N , MQ = 2 QN ，则双曲线的离心率为 .
5
【答案】 /1.25
4
【分析】作出辅助线求出 yM = 3m，由线段比例关系得到VMF2F
3
1的内切圆半径为 r = m ，结合双曲线定
3
c2 - a2
义和内切圆半径得到VMF2F1的面积，再由面积公式得到方程，由余弦定理得到 = m，进而得到 a,c2a - c
的关系式，求出离心率.
【解析】过点M 作MA ⊥ x 轴于点A ，
因为 MF2F1 =120°，所以 MF2 A = 60°，
设 F2 A = m，则 AM = 3m, F2M = 2m，即 yM = 3m，
由双曲线定义可知， F1M - F2M = 2a，所以 F1M = 2a + 2m ，
因为 MQ = 2 QN y 3 3，故 Q = m，故VMF2F1的内切圆半径为 r = m ，3 3
1
则 SVMF F = MF1 + MF2 + F1F2 r 1 3× = 2a + 2m + 2m + 2c × m2 1 2 2 3
3
= am + 2m2 + cm ，
3
又 S 1 1 3VMF F = MF2 × F1F2 sin120° = 2m × 2c × = 3cm ，2 1 2 2 2
3 a
故 3cm = am + 2m2 + cm ，化简得m = c - ，3 2
在VMF2F1中，由余弦定理得
MF 2 + F 2 2 2 22 1F2 - MF1 4m + 4c - 2m + 2a
2
cos MF2F
1 = = ，2 MF2 × F1F2 2 2m ×2c
4c2 -8ma - 4a2 1 c2 - a2
即 = - ，整理得 = m，
8mc 2 2a - c
c2 - a2 a c 5
故 = c - ，整理得 = ，
2a - c 2 a 4
5
则双曲线的离心率为 .
4
5
故答案为：
4
12．如图，在矩形 ABCD中， AB = 2 AD ， A1， A2分别为边 AB ，CD 的中点，M ， N 分别为线段 A2C （不
MA2 DN
含端点）和 AD 上的动点，满足 =CD AD ，直线
A1M ， A2N 的交点为 P ，已知点 P 的轨迹为双曲线的一
部分，则该双曲线的渐近线方程为 .
2
【答案】 y = ± x
2
【分析】以 A1A2 所在的直线为 y 轴，线段 A1A2 的中垂线所在的直线为 x 轴，求出直线 A1M ， A2N 的方程，
联立两方程解出点 P 的坐标，进而可得点 P 所在双曲线方程，从而求解.
【解析】以 A1A2 所在的直线为 y 轴，线段 A1A2 的中垂线所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系：
设 AD = BC = m m > 0 ，则 AB = CD = 2m，
则有 A(-m,
m m
- )，B(m, - )， A
1 0,
m
- m÷， A2 (0, )，C(m,
m) D( m, m， - )， A(
m
-m, - )，
2 2 è 2 2 2 2 2
M 设 x0 ,
m
÷ 0 < x0 < m
m m
， N -m, y0 - y 2 0 ÷ ，è è 2 2
MA = x DN m所以 2 0， = - y0，2
MA DN m2 - y
又因为 =CD AD ，所以
x0 = 2
0 ，
2m m
所以 x0 = m - 2y y
m - x0
0 ，即 0 = ，2
m m- - ÷
又因为 k = 2 è 2 m= ，A1M x0 - 0 x0
m m
所以直线 A M
1 的方程为： y - - ÷ =
m m
x - 0 ，即 y = x -2 x x 2 ，è 0 0
m m m - x0 m
同理可得直线 A2N
y - y -
的方程为： m 0 2 0y x 0 ，即 y m 2 x m
-
2 2 x m x- = - - = - = - = + 0 x ，
2 m 2 m 2 m 2 2m
ì 2x m2ì m x0 x = 0
y = + x 2 2 2 2m 2m - x0
由 í
y m x m
，可得 í
= - y 2m
3 ，+ mx2
= 0
x0 2 2 2 2 2m - x0
2x m2 2m3 + mx2
即P( 0 02m2 2
, )
- x 20 2(2m - x
2 ) ，0
2x m2 2m3 + mx20 0
因为 x = y =p 2m2 2
， p
- x0 2 2m2 - x20
2m3 + mx2 m0 2m2 + x20 yp = =2 2m2 - x2 2 2m2 ，0 - x20
2 2 2m 2m + x2 2 2m2 - x2 + 8m2m x2 m2 8m2x2 y2 0 ÷ · 0 0 · 1 0 ÷ m
2 x2
p = = = + = +
p
2 2m2 - x2 ÷ 4 2m2 - x2 2 4
，
2m2 2è 0 0 è - x2 ÷ 4 20
2 2
x2 2
yp x
2 p m 2 -
p =1
即有 yp - = ，得 m m2 ,2 4
4 2
y2p x
2
p
2 - 2 =1所以点 P 所在双曲线方程为： m m ，
4 2
m2 2
所以， a2 = ,b2 m= ，
4 2
2
所以渐近线方程为 y = ± x ，
2
y 2故答案为： = ± x .
2
【点睛】思路点睛：椭圆或双曲线中，要求渐近线，就要求出 a,b的值.
二、单选题
13．抛物线 y＝4x2的焦点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（1，0） C． (0,
1 ) 1D． ( ,0)
16 16
【答案】C
【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.
1 1
【解析】解：将抛物线 y＝4x2的化为标准方程为 x2＝ y，p＝ ，开口向上，焦点在 y 轴的正半轴上，故
4 8
1
焦点坐标为（0， ）.
16
故选：C．
14．若直线 l : ax + by +1 = 0始终平分圆M : x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0的周长，则 (a - 2)2 + (b - 2)2 的最小值为（ ）
A． 5 B．5 C． 2 5 D．10
【答案】B
【分析】由题意已知 (a - 2)2 + (b - 2)2 可表示直线 2a + b -1 = 0上的点到点 (2, 2)的距离最小值，代入点到直线
的距离即可求得答案.
【解析】解：由题意知，圆的一般方程为 x2 + y2 + 4x + 2y +1 = 0
圆的标准方程为： (x + 2)2 + (y +1)2 = 4
因为 l : ax + by +1 = 0恰好过圆心，且圆心为 (-2,-1)，代入得： 2a + b -1 = 0
(a - 2)2 + (b - 2)2 的最小值可表示点 (2, 2)到直线 2a + b -1 = 0的距离平方的最小值
2 2 + 2 -1
又由 (2, 2)到直线 2a + b -1 = 0距离为 d = = 5
22 +12
所以 (a - 2)2 + (b - 2)2 得最小值为 5.
故选：B
x2 y215．已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0)，M ， N 分别为椭圆C 的左 右顶点，若在椭圆C 上存在一点 H ，使a b
k ×k 1 得 MH NH - ,0÷，则椭圆C 的离心率 e的取值范围为（2 ）è
2 2 3 3
A． ,1÷÷ B． 0, ÷÷ C． ,1÷ D． 0, ÷÷
è 2 è 2 2 ÷è è 2
【答案】A
b2 2
【分析】设H x0 , y0
1
，得到 y2 2 20 = a - x0 ，结合 kMH ×kNH
b 1
- ,0÷，得到- 2
- ,0
，结合离心率的
a2 è 2 a ÷è 2
定义，即可求解.
x2 y2
【解析】由题意，椭圆C : + =1(a > b > 0)，可得M (-a,0)， N (a,0)
a2 b2
，
b2
设H x0 , y0 ，代入椭圆的方程，可得 y2 = a20 - x2 ，a2 0
b2 a2 - x2y y y2 2 0 2则 k ×k = 0 × 0 = 0 b 1MH NH = a = - - ,0 ，x0 + a x0 - a x2 2 20 - a x0 - a2 a2 ÷è 2
c2 - a2 2 1 1
即 2 = e -1
- ,0
2
÷，即 e ,1 .a ÷è 2 è 2
2
又因为0 < e <1，所以 e ,12 ÷÷
.
è
故选：A.
16．在平面上，定点F1、F2 之间的距离 | F1F2 |= 2c ，曲线 C 是到定点F1、F 22 距离之积等于 c (c > 0)的点的
轨迹.以点F1、F2 所在直线为 x 轴，线段F1F2 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系.已知点P(x0 , y0 )是曲线 C 上
一点，下列说法中正确的有（ ）
①曲线 C 是中心对称图形；
c c
②曲线 C 上的点的纵坐标的取值范围是 - , ； 2 2
③曲线 C 上有两个点到点F1、F2 距离相等；
④曲线 C 上的点到原点距离的最大值为 2c
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①③
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出曲线 C 的方程，再利用各项的条件计算、判断作答.
【解析】依题意，令F1(-c,0), F2 (c,0)，设点M (x, y)是曲线 C 上任意一点，
则有 (x + c)2 + y2 × (x - c)2 + y2 = c2 ，
显然 (-x + c)2 + (-y)2 × (-x - c)2 + (-y)2 = (x + c)2 + y2 × (x - c)2 + y2 = c2，
即点M (x, y)关于原点对称点M (-x,- y)在曲线 C 上，因此曲线 C 是中心对称图形，①正确；
当 y0 0
1
时， | F1F2 | × | y0 |= S
1
VPF F = | PF1 || PF2 | sin F1PF
1 2 1 2
2 ，即 c | y0 |= c sin F1PF2 c ，2 1 2 2 2 2
当且仅当 F1PF = 90
o x2 22 ，即 0 + y0 = c
2 3
，亦即 x0 = ± c, y
1
0 = ± c 时取等号，2 2
1 1 1
此时0 <| y0 | c，而点 (0,0)在曲线 C 上，即 y0 = 0成立，因此- c y0 c，2 2 2
c c
曲线 C 上的点的纵坐标的取值范围是 - , 2 2
，②正确；
曲线 C 上点 P 满足 | PF1 |=| PF2 |，则点 P 在 y 轴上，由 x = 0得 c2 + y2 × c20 0 + y
2
0 = c
2 ，解得 y0 = 0，
因此曲线 C 上只有一个点 (0,0)到点F1、F2 距离相等，③不正确；
1
因为PO = (PF1 + PF2 )，则 4 | PO |2 =| PF1 |
2 + | PF 22 | +2 | PF1 || PF2 | cos F2 1
PF2 ，
当 y0 0时，由余弦定理得 4c2 =| PF |21 + | PF2 |
2 -2 | PF1 || PF2 | cos F1PF2 ，
于是得 | PO |2 = c2 + | PF1 || PF2 | cos F1PF2 = c
2 (1+ cos F1PF2 ) < 2c
2 ， | PO |< 2c，
当 y0 = 0时， x0 = 0或 x0 = ± 2c，有 | PO |= 0 或 | PO |= 2c ，
因此曲线 C 上的点到原点距离的最大值为 2c ，④正确，
所以说法中正确的有①②④.
故选：B
【点睛】结论点睛：曲线 C 的方程为F (x, y) = 0，(1)如果F (-x, y) = 0，则曲线 C 关于 y 轴对称；(2)如果
F (x, -y) = 0，则曲线 C 关于 x 轴对称；(3)如果F (-x, -y) = 0，则曲线 C 关于原点对称.
三、解答题
17．已知圆C : x2 + y2 - 4x - 5 = 0．
(1)求直线 y = 2x被圆截得弦长；
(2)已知 A 0, 5 为圆 C 上一点，求与圆 C 外切于点 A，且半径为 6 的圆M 的方程．
【答案】(1) 2 145
5
2
(2) x + 4 2 + y - 3 5 = 36
【分析】（1）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式即可求解，
（2）根据外切的性质，由点点距离公式即可求解.
【解析】（1）C : x2 + y2 - 4x - 5 = 0的圆心为 2,0 ，半径 r = 3，
4 - 0
圆心到直线的距离为 d
4
= = ，
5 5
2 r 2 d 2 2 9 16 2 145故弦长为 - = - = ，
5 5
（2）由题意可知M 在直线 AC 上，由于 A 0, 5 ，C 2,0 ,
5
所以直线 AC 方程为 y = - x + 5，
2
2
设M
5
2 5 a,- a + 5 ÷÷，则2 MC = a - 2 + - a + 5 ÷÷ = r + 6 = 9，è è 2
化简可得 a2 - 4a - 32 = 0，解得 a = -4 或a = 8，
由于两圆外切，且点A 为切点，所以a = 8不符合，舍去，
2
故 a = -4 ，圆心为M -4,3 5 2则圆的方程为 x + 4 + y - 3 5 = 36
18 2．已知抛物线C : x = 2 py p > 0 的焦点F 在直线 x - y +1 = 0 上
(1)求抛物线C 的方程
(2)设直线 l经过点 A -1, -2 ，且与抛物线C 有且只有一个公共点，求直线 l的方程
【答案】(1) x2 = 4y
(2) l的方程为 x=-1、 y = x -1、 y = -2x - 4
【分析】（1）求得F 点的坐标，由此求得 p ，进而求得抛物线C 的方程.
（2）结合图象以及判别式求得直线 l的方程.
2
【解析】（1）抛物线C : x = 2 py p > 0 的焦点在 y 轴上，且开口向上，
直线 x - y +1 = 0 与 y 轴的交点为 0,1 ，则F 0,1 ，
p
所以 =1, p = 2，抛物线的方程为 x2 = 4y .
2
（2）当直线 l的斜率不存在时，直线 x=-1与抛物线只有一个公共点.
那个直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y + 2 = k x +1 ，
ìy + 2 = k x +1 x2
í 2 + 2 = kx + k ， 2x 4y 4 x - 4kx + 8 - 4k = 0
，
=
D =16k 2 - 4 8 - 4k =16k 2 +16k - 32 = 0， k 2 + k - 2 = 0 解得 k =1或 k = -2 .
所以直线 l的方程为 y = x -1或 y = -2x - 4 .
综上所述， l的方程为 x=-1、 y = x -1、 y = -2x - 4 .
2 2
19．如图，若F1, F
x y
2 是双曲线 - =1的两个焦点.9 16
（1）若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，求点 M 到另一个焦点的距离；
（2）若 P 是双曲线左支上的点，且 | PF1 | × | PF2 |= 32，试求△F1PF2 的面积.
【答案】（1）10 或 22；（2） S△F1PF2 =16 .
【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到 | PF | - | PF |= 6，两边平方求得 | PF |2 + | PF |22 1 1 2 ，即证 | PF1 |
2 + | PF 2 22 | =| F1F2 | =100，
F1PF2 = 90°，再计算直角三角形面积即可.
x2 y2
【解析】解：（1）F1, F2 是双曲线 - =1的两个焦点，则 a = 3,b = 4,c = 5，9 16
点 M 到它的一个焦点的距离等于 16，设点M 到另一个焦点的距离为m ，
则由双曲线定义可知， | m -16 |= 2a = 6 ，解得m =10或m = 22 ，
即点M 到另一个焦点的距离为10或 22；
（2）P 是双曲线左支上的点，则 | PF2 | - | PF1 |= 2a = 6，
则 | PF2 |
2 -2 | PF1 | × | PF2 | + | PF |
2
1 = 36，而 | PF1 | × | PF2 |= 32，
所以 | PF1 |
2 + | PF |22 = 36 + 2 32 =100，
即 | PF 2 21 | + | PF2 | =| F1F2 |
2 =100，
所以△F1PF2 为直角三角形， F1PF2 = 90°，
1 1
所以 SVF PF = | PF1 | × | PF2 |= 32 =16 .1 2 2 2
2 2
20 x y．在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线C : 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的左顶点到右焦点的距离是 3，且C 的离a b
心率是 2．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)点 A x0 , y0 是C 上位于第一象限的一点，点 A, B关于原点O对称，点 A, D关于 y 轴对称．延长 AD 至E 使
1
得 DE = AD ，且直线 BE 和C 的另一个交点F 位于第二象限中．
3
π
（ⅰ）求 x0 的取值范围，并判断 OAF = 是否成立？2
（ⅱ）证明： AE 不可能是 BAF 的三等分线．
2
【答案】(1) x2 y- =1
3
3 2
(2)（ⅰ） ,+ ÷÷；（ⅱ）证明见解析
è 4
ì c
= 2
a
【分析】（1）结合题意可得 ía c 3 ，解出 a,b,c+ = ，写出双曲线方程即可.
c2 = a
2 + b2
5
（2）（ⅰ）根据题意，得到 B -x0 , -y0 , E - x3 0 , y0 ÷，求得直线 BF 的方程，联立方程组，结合韦达定理，è
求得F 点的坐标，列出不等式关系式，求得 x0 的范围，再由（ⅰ），求得直线 AF 的斜率并化简，得到
kAF kOA = -1
π
，即 OAF = ，（ⅱ）求得 tan BAE 的范围，进而证得 AE 不可能是 BAF 的三等分线.
2
【解析】（1）因为双曲线C 的左顶点到右焦点的距离是 3，且C 的离心率是 2，
ì c
= 2 ìa =1 a
所以 ía + c = 3 ，解得 í
c = 2 ，
c2 = a2 + b2
b = 3
C y
2
故双曲线 的标准方程为 x2 - =1；
3
（2）（ⅰ）因为点 A x0 , y0 是C 上位于第一象限的一点，点 A, B关于原点O对称，点 A, D关于 y 轴对称．延
长 AD 至E 使得 DE
1
= AD ，
3
5 3y
所以B -x0 , -y0 , E - x , y
k = - 00 0 ÷，所以 BF ，
è 3 x0
y 3yBF 0可得直线 的方程为 = - x - 4yx 0 ，0
ìy 3y = -
0 x - 4y
x 0 2 20
联立 í ，消去 y
9y0 - 3 x2 24y ÷ + 0 2并整理得 2 x +16y0 + 3 = 0，y2 2 x x
x - =1
è 0 0
3
因为直线 BF 与双曲线C 有两个交点，并设F xF , yF ,
2
2 x x 16y0 + 3 x 16y
2
0 + 39y0 - =- 3 0 F 0 2 F
= 2
所以 2 ，由韦达定理得 9y0 3 ，解得 3x 9y ，x 00 x 2
- 0 -
0 x0
y 3y= - 0则 F xF - 4y > 0
4
x 0 ，所以 xF < - x0 < 0 成立，0 3
2
x 16y0 + 3 4F = < - x 3 2
此时只需 3x 9y
2 3 0 x 3 2- 0 ，解得 0 > ，则
x0 的取值范围为 ,+ 4 ÷÷
，
0 x 4 è 0
y 3y0 3y00 + xF + 4y0 - x0 - xF + 8y
易知 k x0 x
0
0
AF = =x0 - xF x0 - xF
72y 30
3y 8y 3y - 24xx 0
y0
= - 0 + 0 0
x 16y 2
= - +
0 x 0 + 3 x 9y
2 +16y 2 + 3- 3x 2+ 0 0 0 00 9y 20 - 3x
x 00
72y 30
3y - 24x0 y0
= - 0
3y
+ x = - 0 72y0 24x0 y0 y2 + - 2 = -
0
x0 24y0 x0 24x0 24y0 x0
所以 kAF kOA = -1
π
，即 OAF = ，
2
π
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知 OAF = ，
2
因为 tan BAE k
y0 3 1 1 3= OA = = - 2 ÷ , 3 ÷ ,x0 è x0 è 3 ÷
π π
所以 BAE
,
÷，故 AE 不可能是 BAF 的三等分线．
è 6 3
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
21 C : x
2
．已知椭圆 2 + y
2 = 1(t > 1)的左 右焦点分别为F1、F2 ，直线 l : y = kx + m(m 0)与椭圆 C 交于 M N 两点，t
（点 M 在点 N 的上方），与 y 轴交于点 E.
(1)当 t = 2时，点 A 为椭圆 C 上除顶点外任一点，求△AF1F2 的周长；
(2)当 t = 3且直线 l 过点D(-1,0)时，设EM = lDM , EN = m DN ，求证：l + m 为定值，并求出该值；
(3)若椭圆 C 3离心率为 ，当 k 为何值时， | OM |2 + | ON |2 恒为定值，并求此时三角形MON 面积的最大
2
值.
【答案】(1) 4 + 2 3
9
(2)证明见解析，
4
1
(3) k = ± 1
2 ，最大值为
【分析】（1）根据椭圆定义求解三角形周长；
2
（2）联立 l : y = kx + m(m 0) x与C : + y2 =1，得到两根之和两根之积，由EM = lDM , EN = m DN 得到
9
l x x+ m = 1 + 2
x +1 x +1，结合两根之和，两根之积求出答案；1 2
（3）先由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出
6m22 2 4k 2 -1 + 6 4k 2 +1 OM + ON = 2 + 2 ，结合 | OM |2 + | ON |2 1为定值得到 k = ± ，并求出此时 MN ，和 4k 2 +1 2
点O到直线 l的距离d ，利用基本不等式得到 S△MON 1.
1 t = 2 C : x
2
【解析】（ ） 时，椭圆方程为 + y2 =1，故 a = 2且 c = 3，
4
由椭圆定义可得，△AF1F2 的周长为 2a + 2c = 4 + 2 3 ；
2 2
（2） t = 3 x时，椭圆方程为C : + y2 =1，故联立 l : y = kx + m(m 0) x与C : + y2 =1可得，
9 9
9k 2 +1 x2 +18k 2x + 9k 2 - 9 = 0
2 2
设M x1, y1 , N x2 , y -18k2 ，则 x1 + x2 = 2 , x1x
9k - 9
= ，
9k +1 2 9k 2 +1
因为EM = lDM , EN = m DN ，
所以 x1 = l x1 +1 , x2 = m x2 +1
-18k 2
x x x 2 + 2
l + m = 1 + 2 = 2 - 1 + x2 + 2 2 9k +1 2 1 9= - = + =
x1 +1 x2 +1 x1x2 + x1 + x2 +1 9k
2 - 9 2
2 +
-18k 4 4
9k +1 9k 2
+1
+1
t 23 -1 3（ ）由题意得 t = 2
t 2
= ，解得 ，
2
x2 y = kx + m
椭圆方程 + y2
ì
=1，联立 í ，
4 x2 + 4y
2 = 4
4k 2消元得 +1 x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0，
Δ = 64k 2 2当 m -16 4k 2 +1 m2 -1 > 0，即 4k 2 - m2 +1 > 0时，
2
则 x -8km 4m - 41 + x2 = , x × x = ，4k 2 +1 1 2 4k 2 +1
2 2
则 OM 2 + ON 2 = x2 1 x x1 + - 1 + x
2
2 +1- 24 4
3 2 2
2 2
2 2 24k m - 6m
2 + 24k 2 + 6 6m 4k -1 + 6 4k 2 +1
= 2 + x1 + x2 = 2 + 2 = 2 +4 2 2 2 ，4k +1 4k +1
OM 2当 + ON 2
1
为定值时，即与m2 无关，故 4k 2 -1 = 0 ，得 k = ± 2 ，
2 2
此时 MN = k 2 +1 x 4k +1- m1 + x
2 2
2 - 4x1x2 = 4 k +1 = 5 2 - m2 ，1+ 4k 2
m 2 m
又点O到直线 l的距离 d = = ，
1+ k 2 5
1 m2 + 2 - m2
所以 S△MON = d MN = m × 2 - m
2 =1，
2 2
当且仅当 m = 2 - m2 ，即m = ±1时，等号成立，
经检验，此时Δ > 0成立，所以△MON 面积的最大值为 1.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的
最值或范围．
