第 3 章 空间向量及其应用 单元综合检测（重点）
一、填空题
uuur
1．已知点 A 1,-2,5 ，B 4,2,10 ，则 AB = .
【答案】5 2
uuur
【分析】先表示出 AB 的坐标，然后根据空间向量模长的坐标表示求解出结果.
uuur
【解析】因为 A 1,-2,5 ，B 4,2,10 ，所以 AB = 3,4,5 ，
uuur
AB = 32所以 + 42 + 52 = 5 2 ，
故答案为：5 2 .
r r r r
2．已知向量 a = x,0,3 ，b = 1, y, 2 ，a ^ b ，则 x = .
【答案】-6
【分析】根据向量垂直得到方程，求出 x = -6 .
r r
【解析】由题意得 a ×b = x,0,3 × 1, y, 2 = x + 3 2 = 0，解得 x = -6 .
故答案为：-6
r
3．已知平面a 的一个法向量 n = 1, 3,2 r，直线 l的方向向量 v = 1,0, -1 ，则直线 l与平面a 所成角的正弦
值为 .
1
【答案】 / 0.25
4
【分析】根据题意，由线面角的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【解析】设直线 l与平面a 所成角为q ，
r r
r r n ×v 1- 2
则 sinq = cos < n,v > = r r
1
= = ，
n × v 8 2 4
1
即直线 l与平面a 所成角的正弦值为 .
4
1
故答案为：
4
r uuur
4．在四面体P - ABC 中，若底面 ABC 的一个法向量为 n = 0,1,1 ，且CP = 2,2,-1 ，则顶点 P 到底面 ABC
的距离为 .
2
【答案】
2
【分析】根据点面距公式代入计算即可得.
r uuur| n × CP | | 2 - 1 | 1 2
【解析】由点面距公式得d = r = = = ，| n | 12 + 12 2 2
2
故答案为： .
2
5．正四棱锥P- ABCD的侧面PAB是等边三角形，E 为PC 的中点，则异面直线 BE 和PA所成角的余弦值
为 .
3 1
【答案】 / 3
3 3
uuur uuur uuur
【分析】设等边VPAB 的边长为 2，设 AC I BD = O ，以点O为坐标原点，OA、OB 、OP 的方向分别为 x 、
y 、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线 BE 和PA所成角的余弦值.
【解析】设等边VPAB 的边长为 2，设 AC I BD = O ，则PO ^平面 ABCD，
又因为四边形 ABCD为正方形，则 AC ^ BD ，且 AC = 2AB = 2 2 ，
1
易知O为 AC 的中点，则OA = AC = 2 ，
2
因为PO ^平面 ABCD， AC 平面 ABCD，则PO ^ AC ，
所以，OP = PA2 - OA2 = 22 - 2 = 2 ，
uuur uuur uuur
以点O为坐标原点，OA、OB 、OP 的方向分别为 x 、 y 、 z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则 A 2,0,0 、P 0,0, 2 、B 0, 2,0 、C - 2,0,0 、 E 2 - ,0, 22 2 ÷÷ ，è
uuur uuur 2 2
所以， AP = - 2,0, 2 ，BE = - , - 2, ，
è 2 2 ÷
÷
uuur uuur uuur uuur
所以， cos AP, BE = u
AuuPr × BuuEur 2 3= =
AP × BE 2 3 3 ，
3
因此，异面直线 BE 和PA所成角的余弦值为 .
3
3
故答案为： .
3
r r r r r r
6．已知空间三个向量 a , b , c的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 60°．若 ka + b + c > 6 ，则 k 的取值范
围为 ．
【答案】 - , -3 1, +
【分析】利用向量数量积运算求解.
r r r r r
【解析】因为 a，b ， c
r r2 2 r2 ar·b cr·b ar·cr 1的模均为 1，他们之间的夹角均为60°，所以： a = b = c =1， = = = .2
r rka b cr 2 k 2ar r r2 b 2 cr2 2kar·b 2kar·cr 2cr r又 + + = + + + + + ·b = k 2 + 2k + 3 > 6
所以： k 2 + 2k - 3 > 0 k + 3 k -1 > 0 k < -3或 k >1.
故答案为： - , -3 1, +
r r r r r r r r r r r r
7．已知 a,b ,c 是空间不共面的一组向量， a,b + c,b - c 是空间不共面的另一组向量，若向量 p 在 a,b ,c
r r
下的坐标为 2,3, 1 pr ar- ，则向量 在 ,b + cr,b - cr 下的坐标是 ．
【答案】 2,1,2
【分析】由向量相等列出方程组，求解即可.
r r r r r r
【解析】由向量 p
r ar,b ,cr在 下的坐标为 2,3, -1 r r r r r，则 p = 2a + 3b - c，设向量 p 在 a,b + c,b - c 下的坐标是
r r r r r r r r x, y, z p xa y b c z b c xa y z b y z cr，则 = + + - - = + + + - ，
ìx = 2
则 íy + z = 3 ，解得 x = 2, y = 1, z = 2，
y - z = -1
r
所以向量 p 在 rar,b cr r+ ,b cr- 下的坐标是 2,1,2 ，
故答案为： 2,1,2
8．如图在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = AA1 = 2， AD = 4，点M 为 AB 的中点，点 N 为BC 的中点.则
uuuur uuuur
A1M × B1N = .
【答案】 4
【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可求得结果.
uuur uuur uuuur
【解析】以D为坐标原点， DA, DC, DD1 正方向为 x, y, z轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 A1 4,0,2 ，M 4,1,0 ，B1 4,2,2 ， N 2,2,0 ，
uuuur uuuur
\ A1M = 0,1,-2 ，B1N = -2,0, -2 ，
uuuur uuuur
\ A1M × B1N = 0 -2 +1 0 + -2 -2 = 4 .
故答案为： 4 .
9．如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD 和侧面 BCC1B1都是矩形，E 是 CD 的中点，
D1E⊥CD，AB＝2BC＝2
3
，且平面 BCC1B1与平面 D1EB 的夹角的余弦值为 ，则线段 D1E 的长度
3
为 ．
【答案】 2
uuur uuur uuuur
【分析】先证明D1E ^平面 ABCD，以 E 为坐标原点，CB, EC , ED x, y, z1 分别为 轴正方向建立空间直角坐
标系，求出平面BED1的一个法向量与平面BCC1B1的一个法向量，由平面BCC1B1与平面BED1夹角的余弦值
3
为 ，列式求得线段D1E 的长度．
3
【解析】Q底面 ABCD 和侧面BCC1B1是矩形，\BC ^ CD ，BC ^ CC1，
又QCD ICC1 = C ，CC1 平面DCC1D1 ，
CD 平面DCC1D1 ，\BC ^平面DCC1D1 ，
Q D1E 平面DCC1D1 ，\BC ^ D1E ；
又QD1E ^ CD，且BC CD = C ，CD 平面 ABCD, BC 平面 ABCD．
\D1E ^平面 ABCD．
uuur uuur uuuur
以 E 为坐标原点，过 E 作 EF / /CB 交 AB 于E ，以 EF , EC , ED1 分别为 x, y, z轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系，
则E(0, 0, 0) ，B(1, 1, 0) ，C(0, 1, 0) ，F (1, 0, 0) ．
设D1E = a ，则D1(0, 0, a)，C1(0, 2, a)．
设平面BED
r
1的一个法向量为 n = (x,y, z)，
uuur uuuur
EB = (1, 1, 0) ，ED1 = (0, 0, a)，
r uuurì n × EB = x + y = 0
由 í r uuuur ，
n × ED1 = az = 0
r
令 x =1，得 n = 1, -1,0 ；
r
设平面BCC1B1的一个法向量为m = x1, y1, z1 ，
uuur uuuur
CB = (1, 0, 0) ，BC1 = (-1, 1, a)，
r uuur
ìm ×CB = x1 = 0
由 í uuuur ，
m
r
× BC1 = -x1 + y1 + az1 = 0
令 z1 =1 m
r
，得 = 0, -a,1 ．
由平面BCC1B1与平面BED
3
1所成的夹角的余弦值为 ，
3
得 | cos m
r , nr | a 3= = ，解得 (负值舍去)．
2 × a2 +1 3
a = 2
\D1E = 2 ．
故答案为： 2
10 2．体积为 a3的正四面体内有一个球O，球O与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，M ， N 是球
12
uuuur uuuur uuur
O的表面上的两动点，点 P 在该正四面体的表面上运动，当 MN 最大时，PM × PN 的最大值是 .
1 2
【答案】 a
3
【分析】记该正四面体为 ABCD，题意得出球O是该正四面体的内切球，球心O也是外接球的球心，O在
uuuur
高 AH 上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径， MN 最大时，MN 是球O的直径，由数量积
uuuur uuur uuur
的运算得出PM × PN 取最大时，只要 PO 最大即可得．
【解析】记该正四面体为 ABCD，如图，由题意球O是该正四面体的内切球，
显然O在其高 AH 上， H 是底面正△BCD的中心，设 AB = x DH 2 3，则 = x 3= x，
3 2 3
AH AD2 DH 2 6= - = x，
3
V 1 S AH 1 1 x2 3 6 2= × = x = x3 2ABCD !BCD = a
3 ，所以 x = a，
3 3 2 2 3 12 12
O是 ABCD内切球球心也是其外接球球心，设内切球半径为 r ，即OH = r ，又 AO = OD，
由OH 2 + DH 2 3 6 6= OD2 得 r 2 + ( a)2 = ( a - r)2 ， r = a ，
3 3 12
uuuur
MN 最大时，MN 是球O的直径，
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur2 uuuur2 uuur2
PM × PN = (PO + OM ) 1× (PO + ON ) = (PO + OM ) × (PO - OM ) = PO - OM = PO - a2，
24
uuur
点 P
6 6 6
在该正四面体的表面，当 P 是正四面体的顶点时， PO 取得最大值为 a - a = a，
3 12 4
uuuur uuur
( 6 a)2 1 1所以PM × PN 的最大值是 - a2 = a2 ．
4 24 3
1 2
故答案为： a ．
3
uuur uuur uuur
11．在空间中，O是一个定点，OA,OB,OC 给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
向量OP 满足 OA ×OP = OA ， OB ×OP = 2 OB ， OC ×OP = 3 OC ，则满足题意的点 P 的个数为 .
【答案】8
【分析】确定点 P 在与OA垂直，且到O的距离为1的平面上，在与OB垂直，且到O的距离为 2的平面上，
在与OC 垂直，且到O的距离为3的平面上，计算得到答案.
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur OA ×OP OA ×OP uuur uuur uuur
【解析】 OA ×OP = OA ，故 uuur =1， uuur = ±1， OP cos OA,OP = ±1，
OA OA
故点 P 在与OA垂直，且到O的距离为1的平面上，共两个平面；
同理得到：
故点 P 在与OB垂直，且到O的距离为 2的平面上，共两个平面；
故点 P 在与OC 垂直，且到O的距离为3的平面上，共两个平面.
6个两两平行的平面共有8个交点，故满足条件的 P 共有8个.
故答案为：8
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
12．点O是正四面体 A1A2 A3 A4 的中心， OAi =1 i =1,2,3,4 .若OP = l1OA1 + l2OA2 + l3OA3 + l4OA4 ，其中
0 li 1 i =1,2,3,4 ，则动点 P 扫过的区域的体积为 .
16 3 16
【答案】 / 3
9 9
【分析】将正四面体 A1A2 A3 A4 放入正方体中，得到正方体的体对角线是 2 OA1 ，从而得到该正方体的边长，
再根据条件得到 P 扫过的区域的体积即可.
【解析】图，作出正四面体 A1A2 A3 A4 ，
将正四面体 A1A2 A3 A4 放入正方体中，如下图所示：
则O是该正方体的中心，
设该正方体的棱长为 a，则 a2 + a2 + a2 =1 2 a 2 3，解得： = ，
3
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
又OP = l1OA1 + l2OA2 + l3OA3 + l4OA4 ，0 li 1 i =1,2,3,4 ，
则知 P 扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两
个面如下图所示：
可得动点 P 扫过的区域的体积为该正方体体积的 2倍，
3
2 3 16 3
即动点 P 扫过的区域的体积V = 2 ÷÷ = .
è 3 9
16 3
故答案为： .
9
二、单选题
13．已知三棱柱 ABC
uuur
- A1B1C1 ，点 P 为线段 B1C1 的中点，则 AP =（ ）
1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
A． AB + AC + AA
1 1
1 B． AB + AC + AA2 2 2 2 1
1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur
C． AB + AC - AA1 D． AB + AC + AA2 2 2 2 1
【答案】D
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可
【解析】解：在三棱柱 ABC - A1B1C1 ，点 P 为线段 B1C1 的中点，则
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur
AB = A1B1, BC = B1C , B P PC
1
1 1 = 1 = B1C1 ，2
uuur uuur uuur uuur uuuur 1 uuuur
所以 AP = AA1 + A1P = AA1 + A1B1 + B2 1
C1
uuur uuur 1 uuur uuur
= AA1 + AB + (BA + AC)2
1 uuurAB 1
uuur uuur
= + AC + AA
2 2 1
，
故选：D
14．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）
r
①若{ar,b ,cr}是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
r
pr xar yb zcr= + + ；
r r r
②若两条不同直线 l，m 的方向向量分别是 a，b ，则 l∥m ar//b ；
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
③若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，且OD = OA + OB + OC ，则 A，B，C，D 四点共面；
3 3 3
r r r r
④若两个不同平面 α，β 的法向量分别是u,v ，且u = (1, 2,-2) ， v = (-2,-4,4)，则 α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①由空间向量基本定理判断；②由方向向量的定义判断；③由空间向量共面定理判断；④由法
向量的定义判断.
r
【解析】① {ar若 ,b ,cr}是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使
r r
得 p = xar + yb r+ zc ，由空间向量基本定理知，正确；
r r r
② r若两条不同直线 l，m 的方向向量分别是 a，b ，则 l∥m a //b ，由方向向量的定义知，正确；
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur
③若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，且OD = OA + OB
1
+ OC ，则 A，B，C，D 四点共面，由空间向
3 3 3
量共面定理知，正确；
r r
④若两个不同平面 α，β 的法向量分别是 u
r,vr ，且u = (1, 2,-2) ， v = (-2,-4,4)，则 α∥β．由法向量的定义知，
正确.
故选：D
15．在棱长为 a的正方体 ABCD- A B C D 中， E, F 分别是BC, A D 的中点，下列说法错误的是（ ）
A 15．四边形B EDF 是菱形 B．直线 A C 与DE 所成的角的余弦值是
15
C．直线 AD 与平面B EDF 3所成角的正弦值是 D．平面B EDF 与平面 ABCD所成角的正弦值是
3
30
6
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量法求出空间角，判断各选项．
【解析】分别以 AB, AD, AA 为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，如图，则 A(0,0,0) ，
B(a,0,0),C(a, a,0), D(0, a,0)， A (0,0,a), B (a,0,a),C (a,a, a), D (0, a,a) E(a,
a ,0) F (0, a， ， , a) ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
B E = (0, a , -a), FD = (0, a , -a)，B E = FD ，B E // FD, B E = FD，所以B EDF 是平行四边形，由正方体知2 2
DE = DF，因此B EDF 为菱形，A 正确；
uuuur uuur a
A C = (a, a,-a)，DE = (a, - ,0) ，
2
2
uuuuv uuuv 2 auuuuv uuuv A a -cos A C, DE = uuuCuv ×uDuuEv = 2 15=
A C DE ，B 正确；
3a a2 a
2 15
+
4
uuur a rDE = (a, - ,0) ，设平面B EDF 的一个法向量为 n = (x, y, z) ，
2
uuuv ìa
ìnv B E y - az = 0× uuuv = 0
2 r
由 í v 得： í ，取 y = 2，则 x = 1, z = 1a ，即 n = (1, 2,1)， n × DE = 0 ax - y = 0
2
uuur
AD = (0,a,0)，
uuur r uuur r
cos AD × n 2a 6< AD, n >= uuur r = =
AD n a 6 3 ，
6
直线 AD 与平面B EDF 所成的角正弦值是 ，C 错；
3
ur
平面 ABCD的一法向量是m = (0,0,1) ，
ur r ur r
cos m × n 1 6< m, n >= ur r = =
m n 6 6 ，
平面B EDF 与面 ABCD 6 30所成角的所以的余弦值为 ，其正弦值为 ，D 正确．
6 6
故选：C.
16．设空间直角坐标系中有A 、 B 、C 、D四个点，其坐标分别为 A 1,0,0 、B 0,1,0 、C 2,1,4 、
D -1, -2,8 ，下列说法正确的是（ ）
A．存在唯一的一个不过点A 、 B 的平面a ，使得点A 和点 B 到平面a 的距离相等
B．存在唯一的一个过点C 的平面b ，使得 AB//b ，CD ^ b
C．存在唯一的一个不过A 、 B 、C 、D的平面g ，使得 AB//g ，CD//g
12
D．存在唯一的一个过C 、D点的平面a 使得直线 AB 与a 的夹角正弦值为
35
【答案】B
【解析】由 AB//平面a 或平面a 过线段 AB 的中点可判断 A 选项的正误；推导出 AB ^ CD 以及A 、 B 、C 、
D四点不共面，利用点C 且与CD 垂直的平面b 有且只有一个以及 AB//b 可判断 B 选项的正误；在 AB 、CD
r
的公垂线MN 上的点作MN 的垂面满足题意，可判断 C 选项的正误；设平面a 的法向量为 n = 1, y, z ，根据
题意可得出关于 y 、 z 的方程组，判断方程组解的个数，进而可判断 D 选项的正误.
【解析】对于 A 选项，当 AB//平面a 或平面a 过线段 AB 的中点时，点A 和点 B 到平面a 的距离相等，A 选
项错误；
uuur uuur uuur uuur
对于 B 选项， AB = -1,1,0 ，CD = -3, -3,4 ，\ AB ×CD = -1 -3 +1 -3 = 0，
\ AB ^ CD，
uuur uuur ì-x + y = -2uuur uuur uuur
Q AC = 1,1,4 AD ， = -2, -2,8 ，设 AD = xAB + y AC ，则 íx + y = -2 ，
4y = 8
该方程组无解，所以，A 、 B 、C 、D四点不共面，则 AB 与CD 异面，
而过点C 且与CD 垂直的平面b 有且只有一个，
若 AB b ，由于CD b ，则 AB 与CD 共面，矛盾，所以， AB//b ，B 选项正确；
对于 C 选项，由于 AB 、CD 异面，设MN 为 AB 、CD 的公垂线段，且M AB， N CD ，
在直线MN （异于M 、 N ）的任意一点作平面g ，使得g ^ MN ，则 AB//g ，CD//g ，
这样的平面g 有无数个，C 选项错误；
r uuur uuur
对于 D 选项，设平面a 的一个法向量为 n = 1, y, z ， AB = -1,1,0 ，CD = -3, -3,4 ，
r uuur
由题意可得 n ×CD = -3- 3y + 4z = 0，
uuur r
uuur r AB ×n y -1
cos < AB,n 12> = uuur r = = ，
AB × n 2 y2 + z2 +1 35
ì3y - 4z = -3
所以， í y -1 12 2= ，整理得775y
2 - 2774y + 775 = 0，
y2 + z2 +1 35
D = 27742 - 4 7752 = 27742 -15502 > 0，
即方程775y2 - 2774y + 775 = 0有两个不等的实数解，
12
所以，存在两个过C 、D点的平面a 使得直线 AB 与a 的夹角正弦值为 ，D 选项错误.
35
故选：B.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，
解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与
平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
三、解答题
r r
17．（1）已知向量 a = 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 .
r r r r①计算 2a - 3b 和 2a - 3b
r
②求 a
r,b .
r r
（2）已知向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 .
①若 r rkar + b ∥ ar - 3b ，求实数 k ；
r r
②若 ka + b ^ ar r- 3b ，求实数 k .
r r r r
【答案】（1）① 2a
r
- 3b r p 1 106= 1,-5,8 ， 2a - 3b = 3 10 ；② a,b = ；（2）① k = - ；② k =
4 3 3
【分析】（1）由空间向量的坐标运算求解，
（2）由空间向量平行与垂直的坐标表示求解，
r r
【解析】（1）①Q向量 a = 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 ，
r r r
\2a - 3b = 1,-5,8 ， 2ar - 3b = 12 + (-5)2 + 82 = 3 10 ，
r r r r r
② a ×b a
r
= × b cos ar,b ，即 2 -1+ 8
r
= 4 +1+ 4 1+1+16cos a,b
r r r r
cos ar,b 2= ，Q a,b 0,p ，\ ar,b p=
2 4
r r
（2）因为向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 ，
r r
\ka + b = k - 2,5k + 3,-k + 5 ，
r ra - 3b = 7, -4, -16
r r r r
①Q ka + b ∥ a - 3b ，
k - 2 5k + 3 -k + 5 1
\ = = ，解得 k = - ，
7 -4 -16 3
r r
②Q ka + b r^ ar - 3b ，
\7 k - 2 - 4 5k + 3 -16 -k + 5 = 0 k 106，解得 = .
3
18．如图，M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA、BC 的中点，P、Q 是 MN 的三等分点（点 P 靠近点 N），
uuur r uuur r uuur r
若 AO = a, AB = b, AC = c，解答下列问题：
r r r uuur(1)以 a,b,c 为基底表示OP ；
r r r uuur
(2)若 a = b = c =1
π
， OAB = OAC = ， CAB
2π
= ，求 OP 的值．
2 3
uuur 5 r 1 r r
【答案】(1) OP = - a
1
+ b + c
6 3 3
(2) 29
6
【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合图形计算即可；
uuur 5 r 1 r 1 r 2
（2）根据 OP = - a + b + c ÷ 结合数量积的运算律计算即可.
è 6 3 3
uuur uuuur uuur 1 uuur 2 uuuur 1 uuur 2 uuur uuur uuur
【解析】（1）解：OP = OM + MP = - AO + MN = - AO + MA + AB + BN2 3 2 3
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= - AO 2+ 1 - AO + AB
1 BC 5 2 1+ ÷ = - AO + AB + AC - AB2 3 è 2 2 6 3 3
5 uuurAO 1
uuur 1 uuur 5 r 1 r 1 r
= - + AB + AC = - a + b + c；
6 3 3 6 3 3
uuur r r r 2
（2 5 1 1 ）解： OP = - a + b + c
è 6 3 3 ÷
25 r 2 1 r2 1 r2 5 r r 5 r r r r
= a + b + c - a ×b - a ×c 2+ c ×b
36 9 9 9 9 9
25 1 1 2 1 29
= + + - 0 - 0 + 1 1
36 9 9 9
- ÷ = .
è 2 6
uuur uuur
19．如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，四边形 ABCD是正方形， AA1 = 6， AB = 4 ，设CD = a ，CB = b，
uuuur
CC1 = c .
r
(1)若CC1 ^ 底面 ABCD a
r cr，试用 ，b ， 表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）
π
(2)若O是B1D的中点，且 C1CB = C1CD = ，求线段DO 的长.3
ì1 ar 1
r
, b , 1 crü【答案】(1) í (答案不唯一)；
4 4 6
(2) 17 .
【分析】（1）根据单位正交基底的概念即得；
uuuur r r r
（2）由题可得B1D = a - b - c ，然后利用向量的数量积的定义及运算律可得模长，进而即得.
【解析】（1）因为CC1 ^ 底面 ABCD，四边形 ABCD是正方形， AA1 = 6， AB = 4 ，
ì1 r
所以空间的一个单位正交基底为 í a
r, 1 b , 1 crü ；
4 4 6
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur r
（2）因为B1D = B1C + CD = -CC1 - CB CD a
r b cr+ = - - ，
r r r
由题意知 a = 4， b = 4， c
r
= 6 ， ar ×b = 0，
r
ar cr× = b r π×c = 4 6cos =12 π= 4 6cos =12，
3 3
uuuur 2 r r r r r r
所以 B 21D = (a - b - c) = a
r2 + b 2 cr2 2ar+ - ×b - 2ar r×c + 2b ×cr = 68，
uuuur
即 B1D = 2 17 ，
1
所以DO = B D = 17 .
2 1
20．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，CA = CB =1， ACB = 90o，棱 AA1 = 2，M 、 N 分别为 A1B1 、 AA1
的中点．
(1)求 A1B 与B1C 所成角的余弦值；
(2)求证：BN ^平面C1MN .
【答案】(1) 30
10
(2)证明见解析
uuur uuur uuuur
【分析】（1）以点C 为坐标原点，CA、CB、CC1 的方向分别为 x 、 y 、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
利用空间向量法可求得 A1B 与B1C 所成角的余弦值；
（2）利用空间向量法证明出BN ^ C1M ，BN ^ C1N ，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.
【解析】（1）解：在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，CA = CB =1， ACB = 90o， AA1 = 2，
uuur uuur uuuur
以点C 为坐标原点，CA、CB、CC1 的方向分别为 x 、 y 、 z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标
系，
uuur uuur
则B 0,1,0 、 A1 1,0,2 、C 0,0,0 、B1 0,1,2 ， A1B = -1,1, -2 ，B1C = 0, -1, -2 ，
uuur uuur uuur uuur
cos A B, B C uA1 1 = u1u
Br × Buu1Cur 3 30= =
A1B × B1C 6 5 10
，
所以， A1B 与B1C
30
所成角的余弦值为 .
10
（2）证明：由题意可得B 0,1,0 、C1 0,0,2 M
1 , 1、 , 2
N 1,0,1
è 2 2 ÷
、 ，
uuur uuuur
BN = 1, -1,1 C M = 1 1
uuur
则 ， 1 , ,0÷，C N = 1,0, -1 ，
è 2 2 1
uuur uuuur 1 1 uuur uuuur
则BN ×C1M = - = 0，BN ×C1N =1-1 = 0，所以，BN ^ C1M ，BN ^ C2 2 1
N ，
因为C1M IC1N = C1 ，C1M 、C1N 平面C1MN ，所以，BN ^平面C1MN .
21．如图，等腰直角VABC ， C = 90°，BC = 4，D、E 分别为 AC 、 AB 中点，将VADE 沿DE 翻折成
△ PDE ，得到四棱锥P - BCDE，M 为 PB中点.
(1)证明：EM ^平面PBC ；
(2)若直线PE与平面PBC 成角为30°，求直线PC 与平面PEB所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2) 6
3
【分析】（1）根据题意结合三线合一可得DN ^ PC ，EM ^ PB，在结合平行的性质可得EM ^ PC ，进而
可得结果；
（2）根据题意可知直线PE与平面PBC 成角为 EPM = 30°，进而可证PD ^平面BCDE ，建系，利用空间
向量求线面夹角.
【解析】（1）取PC 的中点 N ，连接MN , DN ，
因为M , N 分别为PB, PC
1
的中点，则MN ∥ BC ，MN = BC ，
2
1
又因为E, D 分别为 AB, AC 的中点，则ED ∥ BC ，ED = BC ，
2
可得ED ∥ MN ，ED = MN ，则DEMN 为平行四边形，可得DN ∥ EM ，
由PD = DC ，且 N 分别为PC 的中点，则DN ^ PC ，可得EM ^ PC ，
由PE = EB ，且M 分别为 PB的中点，则EM ^ PB，
且PC I PB = P ，PC, PB 平面PBC ，所以EM ^平面PBC .
（2）由（1）可知：EM ^平面PBC ，则直线PE与平面PBC 成角为 EPM = 30°，
可得PB = 2PM = 2 6 ，
连接DB，则DB = BC 2 + DC 2 = 2 5, PD = 2 ，
即DB2 + PD2 = PB2，可得PD ^ DB，
又因为PD ^ DE ，DB, DE 平面BCDE ，所以PD ^平面BCDE ，
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则P 0,0,2 ,C 0,2,0 , E 2,0,0 , B 4,2,0 ，
uuur uur uur
可得PC = 0,2, -2 , PE = 2,0, -2 , EB = 2,2,0 ，
uuur
r ì n
r
× PE = 2x - 2z = 0
设平面PEB的法向量 n = x, y, z ，则 í uuur ，
n
r
× EB = 2x + 2y = 0
r
令 x =1，则 y = -1, z =1，可得 n = 1, -1,1 ，
r uuur r uuur
则 cos n, PC
n × PC -4 6
= r uuur = = -
n × PC 2 2 3 3
，
且直线PC 与平面PEB 6所成角为锐角，所以PC 与平面PEB所成角的正弦值 .
3
22．如图 1，在VABC 中，D，E 分别为 AB ， AC 的中点，O为DE 的中点， AB = AC = 2 5 ，BC = 4 .将
VADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE ^ 平面BCED ，如图 2.
（1）求证： A1O ^ BD .
（2）求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值.
A F
（3）线段 A1C 上是否存在点F ，使得直线DF
35 1
和BC 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若
7 A1C
不存在，说明理由.
A F 3
【答案】（1）证明见解析；（2 2 2） ；（3 1）存在， =
3 A1C 4
.
【分析】（1）推导出 DF / /BC ， AD = AE ，从而 A1D = A1E ，进而 A1O ^ DE ，由此得到 A1O ^平面 BCED ，
从而能证明 A1O ^ BD ；
（2）取BC 中点G ，连接OG ，OE ^ OG ，再由 A1O ^ OE ， A1O ^ OG，建立空间直角坐标系O- xyz，利
用法向量能求出直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值；
uuuur uuur
（3）线段 A1C 上存在点F 适合题意，设 A1F = l A1C ，其中l [0,1]，利用向量法能求出线段 A1C 上存在点F
A1F 3
适合题意，且 =A1C 4
.
【解析】（1）因为在VABC 中，D，E 分别为 AB ， AC 的中点，
所以DE //BC ， AD = AE .
所以 A1D = A1E ，又O为DE 的中点，所以 A1O ^ DE .
因为平面 A1DE ^ 平面BCED ，且 A1O 平面 A1DE ，
所以 A1O ^平面BCED ，
所以 A1O ^ BD .
（2）取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE ^ OG .
由（1）得 A1O ^ OE ， A1O ^ OG .
如图建立空间直角坐标系O- xyz .
由题意得， A1 0,0,2 ，B 2, -2,0 ，C 2,2,0 ，D 0, -1,0 .
uuur uuuur uuur
所以 A1B = 2,-2,-2 ， A1D = 0, -1, -2 ， A1C = 2,2,-2 .
设平面 A1BD
r
的法向量为 n = x, y, z .
uuur
ì n
r
× A B = 0,
则 í v uu
1uur
n × A1D = 0,
ì2x - 2y - 2z = 0,
即 í
-y - 2z = 0.
r
令 x =1，则 y = 2， z = -1，所以 n = 1,2,-1 .
设直线 A1C 和平面 A1BD 所成的角为q ，
r uuuruuur n × A1C 2 + 4 + 2
则 sinq = cos n
r, AC 2 21 =
nr
uuur = = .
A1C 1+ 4 +1 × 4 + 4 + 4 3
2 2
故所求角的正弦值为 .
3
（3）线段 A1C 上存在点F 适合题意.
uuuur uuur
设 A1F = l A1C ，其中l 0,1 .
设F x1, y1, z1 ，则有 x1, y1, z1 - 2 = 2l, 2l,-2l ，
所以 x1 = 2l ， y1 = 2l ， z1 = 2 - 2l ，从而F 2l, 2l, 2 - 2l ，
uuur uuur
所以DF = 2l,2l +1,2- 2l ，又BC = 0,4,0 ，
uuur uuur
uuur uuur DF × BC 4 2l +1
所以 cos DF , BC = uuur uuur =
DF BC 4 2l 2 + 2l +1 2 + 2 - 2l 2
2l +1 35
令 = ，
2l 2 + 2l +1 2 + 2 - 2l 2 7
3
整理得16l 2 - 24l + 9 = 0 .解得l = .4
A F 3
所以线段 A1C
1
上存在点F 适合题意，且 =A1C 4
.
【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和
逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严
密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向
量的夹角公式求解.第 3 章 空间向量及其应用 单元综合检测（重点）
一、填空题
uuur
1．已知点 A 1,-2,5 ，B 4,2,10 ，则 AB = .
r r r r
2．已知向量 a = x,0,3 ，b = 1, y, 2 ，a ^ b ，则 x = .
r r
3．已知平面a 的一个法向量 n = 1, 3,2 ，直线 l的方向向量 v = 1,0, -1 ，则直线 l与平面a 所成角的正弦
值为 .
r uuur
4．在四面体P - ABC 中，若底面 ABC 的一个法向量为 n = 0,1,1 ，且CP = 2,2,-1 ，则顶点 P 到底面 ABC
的距离为 .
5．正四棱锥P- ABCD的侧面PAB是等边三角形，E 为PC 的中点，则异面直线 BE 和PA所成角的余弦值
为 .
r r r r r r
6．已知空间三个向量 a , b , c的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 60°．若 ka + b + c > 6 ，则 k 的取值范
围为 ．
r r r r r r ra,b ,c a,b c,b cr pr r r r7．已知 是空间不共面的一组向量， + - 是空间不共面的另一组向量，若向量 在 a,b ,c
r r r r r 2,3, 1 r下的坐标为 - ，则向量 p 在 a,b + c,b - c 下的坐标是 ．
8．如图在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = AA1 = 2， AD = 4，点M 为 AB 的中点，点 N 为BC 的中点.则
uuuur uuuur
A1M × B1N = .
9．如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD 和侧面 BCC1B1都是矩形，E 是 CD 的中点，
D1E⊥CD，AB
3
＝2BC＝2，且平面 BCC1B1与平面 D1EB 的夹角的余弦值为 ，则线段 D1E 的长度
3
为 ．
10 2．体积为 a3的正四面体内有一个球O，球O与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，M ， N 是球
12
uuuur uuuur uuur
O的表面上的两动点，点 P 在该正四面体的表面上运动，当 MN 最大时，PM × PN 的最大值是 .
uuur uuur uuur
11．在空间中，O是一个定点，OA,OB,OC 给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
向量OP 满足 OA ×OP = OA ， OB ×OP = 2 OB ， OC ×OP = 3 OC ，则满足题意的点 P 的个数为 .
uuur uuur uuuur uuuur uuuur
12．点O是正四面体 A1A2 A3 A4 的中心， OAi =1 i =1,2,3,4 .若OP = l1OA1 + l2OA2 + l3OA3 + l4OA4 ，其中
0 li 1 i =1,2,3,4 ，则动点 P 扫过的区域的体积为 .
二、单选题
uuur
13．已知三棱柱 ABC - A1B1C1 ，点 P 为线段 B1C1 的中点，则 AP =（ ）
1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
A． AB + AC + AA AB
1 1
1 B． + AC + AA2 2 2 2 1
1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
C． AB + AC - AA
1 1
1 D． AB + AC + AA2 2 2 2 1
14．下列四个命题中，正确命题的个数是（ ）
r
①若{ar,b ,cr}是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
r
pr = xar r+ yb + zc ；
r r r
②若两条不同直线 l，m 的方向向量分别是 a，b ，则 l∥m ar//b ；
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
③若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，且OD = OA + OB + OC ，则 A，B，C，D 四点共面；
3 3 3
r r r r
④若两个不同平面 α，β 的法向量分别是u,v ，且u = (1, 2,-2) ， v = (-2,-4,4)，则 α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
15．在棱长为 a的正方体 ABCD- A B C D 中， E, F 分别是BC, A D 的中点，下列说法错误的是（ ）
A．四边形B EDF 是菱形 B．直线 A C 与DE 15所成的角的余弦值是
15
C．直线 AD 与平面B EDF 3所成角的正弦值是 D．平面B EDF 与平面 ABCD所成角的正弦值是
3
30
6
16．设空间直角坐标系中有A 、 B 、C 、D四个点，其坐标分别为 A 1,0,0 、B 0,1,0 、C 2,1,4 、
D -1, -2,8 ，下列说法正确的是（ ）
A．存在唯一的一个不过点A 、 B 的平面a ，使得点A 和点 B 到平面a 的距离相等
B．存在唯一的一个过点C 的平面b ，使得 AB//b ，CD ^ b
C．存在唯一的一个不过A 、 B 、C 、D的平面g ，使得 AB//g ，CD//g
12
D．存在唯一的一个过C 、D点的平面a 使得直线 AB 与a 的夹角正弦值为
35
三、解答题
r r
17．（1）已知向量 a = 2, -1, -2 ,b = 1,1, -4 .
r r r
①计算 2ar - 3b 和 2a - 3b
r r
②求 a,b .
r r
（2）已知向量 a = 1,5,-1 ,b = -2,3,5 .
r r r r
①若 ka + b ∥ a - 3b ，求实数 k ；
②若 kar r r+ b r^ a - 3b ，求实数 k .
18．如图，M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA、BC 的中点，P、Q 是 MN 的三等分点（点 P 靠近点 N），
uuur r uuur r uuur r
若 AO = a, AB = b, AC = c，解答下列问题：
r r r uuur(1)以 a,b,c 为基底表示OP ；
r r r uuur
(2)若 a = b = c =1， OAB = OAC
π 2π
= ， CAB = ，求 OP 的值．
2 3
uuur uuur
19．如图，在四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，四边形 ABCD是正方形， AA1 = 6， AB = 4 ，设CD = a ，CB = b，
uuuur
CC1 = c .
(1)若CC
r
1 ^ 底面 ABCD a
r
，试用 ，b ， c
r
表示出空间的一个单位正交基底；（无需写出过程）
(2)若O是B1D的中点，且 C1CB = C1CD
π
= ，求线段DO 的长.
3
20．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，CA = CB =1， ACB = 90o，棱 AA1 = 2，M 、 N 分别为 A1B1 、 AA1
的中点．
(1)求 A1B 与B1C 所成角的余弦值；
(2)求证：BN ^平面C1MN .
21．如图，等腰直角VABC ， C = 90°，BC = 4，D、E 分别为 AC 、 AB 中点，将VADE 沿DE 翻折成
△ PDE ，得到四棱锥P - BCDE，M 为 PB中点.
(1)证明：EM ^平面PBC ；
(2)若直线PE与平面PBC 成角为30°，求直线PC 与平面PEB所成角的正弦值.
22．如图 1，在VABC 中，D，E 分别为 AB ， AC 的中点，O为DE 的中点， AB = AC = 2 5 ，BC = 4 .将
VADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE ^ 平面BCED ，如图 2.
（1）求证： A1O ^ BD .
（2）求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值.
35 A1F
（3）线段 A1C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 AC 的值；若7 1
不存在，说明理由.
