3.2 空间向量基本定理 课件(共33张PPT) 2023-2024学年高二数学同步课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

(共33张PPT)
3.2空间向量基本定理
第3章 空间向量及其应用
教师
xxx
沪教版（2020）选择性必修第一册
向量共面的充要条件
空间向量基本定理的应用
空间向量的基本定理
01
03
02
CONTANTS
目 录
向量共面的充要条件
01
向量共面的充要条件（平面向量基本定理）：
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，μ，使
＝ ＋ μ ．
若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
例题1.如图３- ２- ２，在长方体ABCD-A１B１C１D１ 中，点E是棱AA１ 的中点，点O是面对角线BC１ 与B１C的交点，试判断向量 是否共面．
例题2.利用向量证明：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面（即垂直于这个平面中的任何直线）．
空间向量的基本定理
02
思考：任意一个空间向量可以用任意三个向量来表示吗？
情况一：共面
情况二：不共面
？
对于任意三个不共面的向量能否表示空间中任意向量，我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
三个两两垂直的向量
i
j
k
P
Q
α
O
表示为
吗？
i
j
k
yj
zk
xi
P
xi
i
j
k
P
yj
zk
三个两两垂直的向量
我们称，， 分别为向量在 上的分向量.
思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
α
O
P
B
C
A
Q
x
O
Q
y
B
C
A
思考：如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，μ，使
＝ ＋ μ ．
若 ， 不共线，我们把{， }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
你能类比平面向量基本定理，写出空间向量基本定理吗？
空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得
.
若三个向量不共面，我们把叫做空间向量的一个基底，都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
空间的基底有无数个
特别地，我们常研究基向量两两垂直的情况
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
由空间向量基本定理知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，， ，使
.
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
则2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3)
=(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3.
∵{e1,e2,e3}为空间的一个基底,
反思感悟 用基底表示空间向量的解题策略
1.空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.
2.用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.
3.在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.
空间向量基本定理的应用
03
1.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1．
2如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，AC=BC=AA’，，D，E 分别为 AB ，BB’的中点
（1）求证：CE；
（2）求异面直线 CE 与 A’C所成角的余弦值.
解：设 ，，，
根据题意得 ，且 ∴ ，
.∴ =，∴ ，即CE .
2如图，在直三棱柱ABC-A’B’C’中，AC=BC=AA’，，D，E 分别为 AB ，BB’的中点
（1）求证：CE；
（2）求异面直线 CE 与 A’C所成角的余弦值.
（2）∵ ，∴，，
∵=，∴cos.
∴异面直线CE与A’C所成角的余弦值为.
利用空间向量基本定理解决几何问题的步骤：
(1)把几何问题转化为向量问题．
(2)选择空间的某个基底表示未知向量．
(3)证明垂直问题时，需结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
求异面直线所成角，利用夹角公式cos θ＝|cos〈a，b〉|.
(4)将向量问题回归到几何问题．
方法总结
3.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设 ＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量 ；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解：(1)＝＋＋＝＋＋＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.
3.如图，三棱柱ABC A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设 ＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示向量 ；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，
∴|a＋b＋c|＝， ∴||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝ .
1.已知空间的一个基底{a,b,c},向量m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x+y等于(　　)
A.2 B.-2
C.1 D.0
解析:因为m与n共线,所以存在实数λ,使得n=λm,即xa+yb+c=λ(a-b+c).
答案:D
课堂练习
答案:D
3.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,若λe1+μe2+ve3=0,则λ2+μ2+v2=　　　.
解析:∵{e1,e2,e3}是空间的一个基底,
∴e1,e2,e3为不共面向量.又λe1+μe2+ve3=0,∴λ=μ=v=0.
∴λ2+μ2+v2=0.
答案:0
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