4.2 等比数列（第2课时） 课件(共39张PPT) 2023-2024学年高二数学同步课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

(共39张PPT)
4.2等比数列（第2课时）
等比数列的前n项和
第4章 数列
教师
xxx
沪教版（2020）选择性必修第一册
等比数列的前n项和
等比数列的前n项和的性质及应用
01
02
CONTANTS
目 录
等比数列的前n项和
01
国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个
格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
思考：一般地，如何求一个等比数列的前项和呢？
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则{an}的前n项和是Sn＝a1+a2+a3+…+an.
根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sn＝a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得 qSn＝a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn. ②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得 Sn-qSn＝a1-a1qn， 即 （1-q）Sn＝a1（1-qn）.
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前项和公式
因为an＝a1qn-1，所以公式（1）还可以写成
Sn＝na1
当q=1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？
对于等比数列的前项和公式应注意以下三点：
（1）在推导等比数列的前项和公式时，通过乘公比错位相减推导公式的方法我们
称为错位相减法.
（2）设等比数列{an}的首项为a1，公比为，则其前项和为
当未知时，要分两种情况讨论.
（3）当时，要注意公式的灵活选择.
当已知时，用
当已知时，用
下面，解决情景引入中提出的问题.
由 ，q=2，n=64，可得
这个数很大，超过了 .
如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016—2017年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言.
【典例1】已知数列{an}是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，；
（3）若，，求
解：（1）因为＝，＝，所以
（2）由，可得，即＝.
又由，所以
（3）把，代入
整理，得＝ 解得.
对于等比数列的相关量，，已知几个量就可以确定其他量？
【典例2】 已知等比数列的公比 ，前n项和为，
证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：
（1）当 时，
所以 ，， 成等比数列，公比为1.
证明：
（2）当 时，
所以
因为 为常数，
所以 ，，成等比数列，公比为 .
[学透用活]
已知在等比数列{an}中，S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
等比数列的前n项和的性质及应用
02
思考
1. 类比等差数列，等比数列的前 n 项和 有什么函数特性？
提示：
1. ①等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论， 即 和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.
② 当q=1时，是n的正比例函数.
当 时，等比数列的前n项和公式是
它可以变形为
设 ，
上式可写成
是一个指数式与一个常数的和，
且指数式的系数与常数项互为相反数.
其中
一、等比数列前n项和公式的函数特征
1 数列是等比数列
2 若等比数列的前n项和为，则
成等比数列
（其中均不为0，即当 q=-1,n为偶数时，上述性质不成立）
3 若等比数列的公比为q，则
等比数列的项数是偶数时，
等比数列的项数是奇数时，
二、等比数列前n项和的性质
【典例3】 如图4.3-2，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：
可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.
三、等比数列前n项和的应用
解：
设正方形ABCD的面积 ，后继各正方形的面积依次为，，，，，则
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以
因此，是以25为首项， 为公比的等比数列.
设的前n项和为 .
（1）
所以，当10个正方形的面积之和为
（2）当n无限增大时，无限趋近于所有四方形的面积和 而
随着n的无限增大，将趋近于0，将趋近于50 .
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
【典例4】 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：
由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.
解：
设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为（单位：万吨），则
当n=5时，
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
【典例5】某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中 k, r为常数；
（3）求 的值（精确到1）.
分析：
（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；
（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式的形式，通过比较系数，得到方程组；
（3）利用（2）的结论可得出解答.
解：
（1）由题意，得 ，并且
①
（2）将 化成
②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以，（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
所以
【练一练】 在数列中，（c为非零常数）且前n项和，则实数k的取值是什么？
提示：
由题知，是等比数列
∴ 的系数与常数项互为相反数.
而 的系数为 ，∴
（同类巩固）
① 若等比数列中，，则m=__
② 已知等比数列的前n项和为，则 x 的值为 __
③ 已知等比数列的前n项和为，则 a 的值为 __
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