第 2 章 圆锥曲线 单元综合检测（难点）
一、填空题
1．已知动点A 到P 1,3 的距离是到Q 4,0 的距离的 2 倍，记动点A 的轨迹为C ，直线 l： x - ty - 4 = 0 与C
交于E ，F 两点，若 S
1
△OQF = S△OQE （点O为坐标原点，S 表示面积），则 t = ．3
【答案】 -1
【分析】由题意求出A 的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解
2
【解析】设 A x, y ，则 x -1 + y - 3 2 = 2 x - 4 2 + y2 ，
整理得 x - 5 2 + y +1 2 = 8．
ì 2 2
设E x , y F x , y x - 5 + y +1 = 81 1 ， 2 2 ．联立 í
x = ty + 4
2
整理得 t +1 y2 - 2t - 2 y - 6 = 0，
2t - 2
故 y1 + y2 = 2 ①， y1 y
6
2 = - ②．t +1 t 2 +1
S 1又 △OQF = S3 △OQE
，故 y1 = -3y2 ③．
联立①②③，解得 t = -1．
故答案为： -1
| PA | 2 2
2．若平面内两定点 A、B 间的距离为 2，动点 P = 2 PA + PB满足 PB ，则 的最大值为 ．2
【答案】18 +12 2 /12 2 +18
| PA | PA 2 + PB 2
【分析】建立直角坐标系，利用 = 2PB 列式化简，可得点 P 的轨迹方程，再代入 ，从而可2
得答案.
【解析】以经过 A, B的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，
| PA |
则 A -1,0 , B 1,0 ，设P x, y ，由 = 2PB ，
x +1 2 + y2
所以 = 2 ，两边平方并整理得 x - 3 2 + y2 = 8，
x -1 2 + y2
所以点 P 的轨迹为以 3,0 为圆心， 2 2 为半径的圆，
所以 y2 = 8 - x - 3 2 3- 2 2 x 3+ 2 2 ，
PA 2 + PB 2
则有 = x2 + y2 +1 = x2 + 8 - x - 3 2 +1 = 6x 18 +12 2 ，
2
PA 2 + PB 2
所以 的最大值为18 +12 2 .
2
故答案为：18 +12 2 .
3 a R 2 cosa 1
2 2
．存在实数 使得 + + sin2 a - cos2 a + ÷ sina
1
- ÷ m，则实数m 的取值范围为 .
è 2 è 2
17 ù
【答案】 - , 2 úè
2 1 2
【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为 f a = cosa + 2 + sin2 a - cos2 a + sina -
÷ ，利用两
è 2
点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求m 的取值范围.
2
1 1
2 2
1
【解析】 2 2 2 2 cosa + ÷ + sin a - cos a + sina - ÷ = 5+4cosa - cos a + sina -
2 2 2 ÷è è è
2
= cosa + 2 2 + sin2 a - cos2 a + sina
1
- ÷ ，
è 2
设P cosa ,sina ，Q -2,0 S 0, 1 ， 2 ÷，è
2
则 f a = cosa + 2 2 + sin2 a - cos2 a + sina
1
- ÷ = PQ - PB ，
è 2
如图，
2
又 QB = 0 + 2 2 + 1 17 - 0
÷ = ，故 f a
17
的最大值为 ，
è 2 2 2
2 2
1 1
因为存在实数a R 使得 2 2 2 cosa + ÷ + sin a - cos a + sina - ÷ m
è 2 è 2
2 2
m 2 cosa 1+ + sin2 a - cos2 a + sina 1- 所以 ÷
è è 2
÷ ÷
è 2 ÷ max
即m 17
2
, 17
ù
故答案为： -
è 2
ú
【点睛】本题考查与三角函数有关的最值问题，重点考查构造函数的几何意义求最值，数形结合思想，属
于中档题型，本题的关键是构造两点间距离公式，转化几何意义求最值.
x2 y24 2 2 2．已知点 P ，Q是椭圆上C : + =1 a b 0 的两点，且线段 PQ恰为 x + y = r r 02 2 的一条直径，a b
uuur 3 uur
点 P 关于 x 轴的对称点为A ，设PD = PA，直线QD 与椭圆C 的另一个交点为 B ，且直线 PQ， PB斜率之
5
1
积为- ，则椭圆C 的离心率 e为 .
2
2 5
【答案】 ．
5
【分析】已知得P,Q 关于原点对称，设P(x0 , y0 )，则Q(-x0 , -y0 ) ， A(x0 ,-y0 )，
b2
由向量线性运算求得D点坐标，求得QP,QB 的斜率关系，再设B(x1, y1)，用点差法可求得 kBPkBQ = - 2 ，再a
由已知斜率之积可得 a,b的等式，从而求得离心率．
【解析】因为线段 PQ是圆 x2 + y2 = r 2 的一条直径，所以P,Q 关于原点对称，
设P(x0 , y0 )，则Q(-x0 , -y0 ) ， A(x0 ,-y0 )，
uuur 3 uur 3 1 1
又PD = PA，即 yD - y0 = (-2y0 ) ， yD = - y0 ，即D(x0 ,- y ) ，5 5 5 5 0
y 1k = 0 - y0 + y0所以 PQ ， k 2 y 2x QB = k = 5 = × 0 = k ，
①
0 QD x0 + x0 5 x 5
PQ
0
2 2
设B(x1, y1)，则 kBP ×k
y1 - y0 y + y y - y
BQ = ×
1 0 = 1 0 ，
x1 - x0 x1 + x
2
0 x1 - x
2
0
ì x2 21 y1
a2
+ =1
b2 x2 - x2 2y2 - y2 y1 - y
2
0 b
2
又 í 2 2 ，相减得
1 0 + 1 0 = 0 ，
x y a2 b2 x2 - x2
= - 2 ，
0 + 0 =1 1 0
a
a2 b2
b2 1
所以 kPB ×kQB = - ，②，而 kPQkPB = -2 ，③，a 2
2 1 b2 a2 - c2
由①②③可得 - = - 1， = ，所以
5 2 ÷ a2 2 e
c 2 5
= = ．
è a 5 a 5
2 5
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于 a,b,c的齐次等式．解题方法是设
2
P(x b0 , y0 ), B(x1, y1) ，由对称性得Q, A, 坐标，再得D点坐标，用点差法求得 kPB ×kQB = - 2 ，这样可利用直线a
的斜率得出关系式．
5 x
2 y y
．在平面直角坐标系中，对于曲线C : 2 - 2 =1 a b 0 ，有下面四个结论：a b
①曲线 C 关于 y 轴对称；
②过平面内任意一点 M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线 C 都有且只有一个公共点；
③存在唯一的一组实数 a，b，使得曲线 C 上的点到坐标原点距离的最小值为 1；
④存在无数个点 M，使得过点 M 可以作两条直线，这两条直线与曲线 C 都恰有三个公共点.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①④
【分析】先去绝对值符号，得出圆锥曲线的方程，在分析判断每项即可得出结论.
2 2
【解析】解：当 y 0 C x y时，曲线 ： x2 - 2 = 1 a b 0 为焦点在 轴上的双曲线，a b
2 2
当 y < 0 x y时，曲线C ： + =1 a b 0 为焦点在 x 轴上的椭圆，
a2 b2
所以双曲线和椭圆都关于 y 轴对称，
故①正确；
当点M 在曲线上时，有无数条直线与曲线 C 都有且只有一个公共点，
故②错误；
存在 a,1 , -1,b , 1,b 三组实数使得曲线 C 上的点到坐标原点距离的最小值为 1，
故③错误；
当 y
b
± x时，存在无数个点 M，使得过点 M 可以作两条直线，这两条直线与曲线 C 都恰有三个公共点，
a
故④正确.
故答案为：①④.
【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的图像与性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，还考查了学生分析
解决问题的能力，有一定的难度.
6 x
2 y2 2 2
．已知双曲线 C： 2 － 2 ＝1(a>0，b>0)
x y
与椭圆 ＋ ＝1 的焦点重合，离心率互为倒数，设 F1、F2 分a b 16 12
PF 2
别为双曲线 C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则 1 的最小值为 ．
PF2
【答案】8
【解析】求出椭圆的离心率和焦点，从而得双曲线的离心率，双曲线的实半轴长 a，可得PF2 1，由双曲
PF 2
线的定义得 PF 11＝PF2＋2，这样 就可表示为PF2 的函数，于是可利用基本不等式求得最小值PF2
【解析】设椭圆的长半轴长为 a1，短半轴长为 b1，半焦距为 c，
则 c＝ a2 - b21 1 ＝ 16 -12 ＝2，
c 1
故椭圆的离心率 e1＝ a ＝1 2
，
c 2
从而双曲线的离心率 e = = = 2，可得 a＝1，
a a
根据双曲线的定义有 PF1－PF2＝2a，即 PF1＝PF2＋2，
PF 21 PF2 + 2
2 PF 22 + 4PF2 + 4 4故 ＝ ＝ ＝PF2＋ PF ＋4，PF2 PF PF2 2 2
由双曲线的范围可得 PF2≥c－a＝1，
4 4
根据基本不等式可得 PF2＋ ＋4≥2 PF PF 2 ＋4＝8，2 PF2
4
当且仅当 PF2＝ PF ，2
即 PF2＝2 时取“＝”，
PF 2
所以 1 的最小值为 8.
PF2
故答案为：8．
【点睛】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查双曲线的定义，解题关键是由双曲线定义得 PF1＝PF2＋2，
PF 2
把 1 表示为PF2 的函数．PF2
7．已知圆 A : (x + 2)2 + y2 = 1，圆B : (x - 2)2 + y2 = 4，直线3x + 4y + t = 0上存在点 P ，过点 P 向圆A 引两条
切线PC 和PD，切点是C 和D，再过点 P 向圆 B 引两条切线PE和PF ，切点是E 和F ，若
CPD = EPF ，则实数 t 的取值范围为 .
é 10 , 70- ù【答案】
ê 3 3 ú
【分析】根据题意作出图形，结合图象转化得 2 PA = PB ，从而利用两点距离公式求得点 P 的轨迹方程，
3x + 4y + t = 0 (x 10)2 y2 64进而得到直线 与圆 + + = 有交点，由此得解.3 9
【解析】连接圆心和切点，如图所示，则有 APC = BPF = q ，
易知 AC =1, BF = 2, ACP = BFP
π
= ，
2
PA 1
故 PA sinq = AC =1, PB sinq = BF = 2，\ =PB 2 ，
不妨设P(x, y) ，Q2 PA = PB ，\2 (x + 2)2 + y2 = (x - 2)2 + y2 ，
\ x2 + y2 20+ x + 4 = 0 10 2 2 64，化简得 (x + ) + y =3 9 ，3
10\ 8P 的轨迹为以圆心 - ,0÷， 为半径的圆，
è 3 3
又QP 在直线 4y + 3x + t = 0上，\直线3x + 4y + t = 0与圆 (x
10 64
+ )2 + y2 =
3 9 有交点，
-10 + t 8 10 t 70\ ，故- .
5 3 3 3
10 70
故答案为：- t .
3 3
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将题设条件转化得 2 PA = PB ，从而利用阿氏圆的相关知识可知
点 P 的轨迹方程为圆，进而得解.
ìx = 4t 2
8．已知 F 为抛物线C : í （t 为参数）的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1, l2 ，直线 l1与 C 交于 A，
y = 4t
B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则 | AB | × | DE |的最小值为 ．
【答案】64
【分析】由题意两直线 l1, l2 斜率积为 -1，设出直线方程，联立方程组求弦长，再利用基本不等式求最值.
【解析】因为消参得到 y2 = 4x，所以焦点F (1,0)．
1
由题意知直线 l1, l2 的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为- ，k
1
故直线 l1, l2 的方程分别为 y = k(x -1), y = - (x -1)．k
ìy = k(x -1),
k 2x2 - 2k 2由 í 2 得 + 4 x + k 2 = 0y 4x, ． =
2k2 + 4
易知D 0，设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则 x1 + x2 = 2 , x1x2 =1，k
所以 AB = 1+ k 2 × x1 - x
2
2 = 1+ k × x1 + x
2
2 - 4x1x2
2k 2
2 2
1 k 2 + 4
4 1+ k
= + × 2 ÷ - 4 = ，2
è k k
同理可得 DE = 4 1+ k 2 ，
4 1+ k 2 16 1+ k 2所以 2
2
16 k 4 + 2k 2 +1
AB DE =
k 2
4 1+ k = 2 =k k 2
=16 k 2 1
2 1
+ 2 + 2÷ 16 2 k × 2 + 2÷÷ = 64，è k è k
2 1
当且仅当 k = 2 ，即 k = ±1时，取得等号．k
故答案为：64.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 x1, y1 , x2 , y2 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 x （或 y ）的一元二次方程，注意D的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 x1 + x2 、 x1x2 （或 y1 + y2 、 y1y2）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
x2 y29．已知点 A，B，C 是离心率为 2 的双曲线G : - =1(a 0,b 0)上的三点，直线 AB, AC, BC2 2 的斜率分a b
别是 k1, k2 ,k3 ，点 D，E，F 分别是线段 AB, AC, BC 的中点，O为坐标原点，直线OD,OE,OF 的斜率分别是
1 1 1
k1 ,k2 ,k3 ，若 + + = 3 k + k + k =k1 k k
，则 1 2 3 ．
2 3
【答案】3
b y 2
【分析】由题意首先得 =1，进一步由点差法得 k k = 1
- y2 y - 0 b
1 1 ×
0 = =1，由同理思想即可得解.
a x1 - x2 x0 - 0 a
2
2
【解析】因为双曲线G的离心率为 e c b= = 1+ 2 = 2 ，a a
b
所以 =1，不妨设 A x1, y1 , B x2 , y2 , D x0 , y0 ，a
ì x21 y
2
2 -
1
2 =1 a b x1 + x2 x1 - x y + y y - y因为点 A，B 在G上，所以 í 2 2 ，两式相减，得 2 = 1 2 1 22 2 ，
x2 y2 1 a b 2 - a b2
=
因为点D是 AB 的中点，所以 x1 + x2 = 2x0 ， y1 + y2 = 2y0 ，
y1 + y y - y 2 22 1 2 b y0 y1 - y2 b
所以 = = x1 + x2 x 2
，即
1 - x2 a x0 x1 - x2 a2
，
k k y1 - y2 y - 0 b
2
所以 1 1 = ×
0 = =1 k k =1 k k =1
x1 - x2 x 0 a
2 ，同理 2 2 ，- 3 3
．
0
1 1 1 1 1 1
因为 + + = 3，所以 k1 + k2 + k3 = + + = 3k k k ． 1 2 3 k1 k2 k3
故答案为：3.
2
【点睛】关键点点睛：关键是得到 k k
y - y y - 0 b
1 1 =
1 2 × 0 = 2 =1x x x 0 a ，由此即可顺利得解
.
1 - 2 0 -
10．已知常数 t R ，集合 S
w + 2
= z z -1 3, z C ，T = ì üíz z = i + t, w S ，若 S UT = S ，则 t 的取值范
3
围是 .
【答案】 é 1- 3,1+ 3ù
w + 2 3z - 3t 3z - 3t
【分析】设 z T ，根据 z = i + t ，得到w = - 2，结合w S ，得到 - 2 -1 3，变形得到
3 i i
z - t + i 1，根据几何意义得到两圆内含或内切，得到不等关系，求出答案.
z w + 2 i t w 3z - 3t【解析】设 z T ，则 = + ，解得 = - 2，
3 i
因为w S ，所以 w -1 3
3z - 3t
，即 - 2 -1 3，
i
z - t - i z - t - i z - t - i
化简得到 1，其中 = = z - t + i i i i ，
整理得 z - t + i 1，
所以集合T 表示以 t,1 为圆心，1 为半径的圆及其内部，
而集合S 表示以 1,0 为圆心，3为半径的圆及其内部，
因为 S UT = S ，所以T S ，故两圆内含或内切，
故圆心距小于等于半径之差，即 t -1 2 +1 3-1，解得1- 3 t 1+ 3 ，
即 t 的取值范围是 é 1- 3,1+ 3ù .
故答案为： é 1- 3,1+ 3ù
【点睛】以复数为载体，考查核心内容为轨迹问题，数形结合进行求解，这是复数的模长相关题目的基本
思路和方法.
11．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他
的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足
的余地．他发现“平面内到两个定点 A, B的距离之比为定值l l 1 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆
以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中， A 0,1 、B 0,4 ，则点 P
满足l
1
= 所得 P 点轨迹就是阿氏圆；已知点C -2, 4 ，Q为抛物线 y2 = 8x上的动点，点Q在直线 x = -2上
2
2 1
的射影为 H ，M 为曲线 x + 2 + y2 = 4 上的动点，则 MC + QH + QM 的最小值为 ．则
2
MC + QH + QM 的最小值为 ．
【答案】 17 ； 4 5 - 2 2
1
【分析】（1）先利用阿氏圆的定义将 | MC |2 转化为M 点到另一个定点 D 的距离，然后结合抛物线的定义容
1
易求得 | MC | + | QH | + | QM |2 的最小值；
（2）由（1）知 MC + QH + QM = MC + QF + QM MC + MF ，又当过点 M 的圆的切线与直线 FC 平
行且离直线 FC 近时， MC + MF 取得最小值即可求解.
PA 1 x2P(x, y) + (y -1)
2 1
【解析】解：设 ，由题意 = ，即 = 2 ，整理得 x
2 + y2 = 4．
PB 2 x2 + (y - 4)2
2
因为圆 x + 2 + y2 = 4 可以看作把圆 x2 + y2 = 4向左平移两个单位得到的，那么A 点平移后变为D -2,1 ，
1
所以根据阿氏圆的定义，M 满足 MD = MC ，
2
结合抛物线定义 | QH |=| QF |，
\ 1 MC + QH + | QM = MD + QM + QF FD （当且仅当D，M ，Q，F 四点共线，且Q，M 在D，F
2
之间时取等号），此时 | FD |= (-2 - 2)2 + (1- 0)2 = 17 ，
1
故 | MC | + | QH | + | QM |2 的最小值为 17 ．
MC + QH + QM = MC + QF + QM MC + MF （当且仅当 M，Q，F 三点共线时等号成立），
根据光学的最短光程原理，我们从 C 点发出一束光，想让光再经过 F 点，光所用的时间一定是最短的，由
于介质不变，自然可以把时间最短看作光程最短。
而光的反射性质为法线平分入射光线与反射光线的夹角，并且法线垂直于过这一点的切线。于是我们得到，
当过点 M 的切线与 CMF 的角平分线垂直，即当过点 M 的圆的切线与直线 FC 平行且离直线 FC 近时，
MC + MF 取得最小值，此时切线方程为 y = -x + 2 2 - 2，联立 x + 2 2 + y2 = 4 可得，此时M 2 - 2, 2 ，
2 2
所以 MC + MF 2 2 - 4 + 2 - 0 = 4 5 - 2 2 .
故答案为： 17 ； 4 5 - 2 2 .
1
【点睛】关键点点睛：（1）问解题的关键是根据阿氏圆的定义，得M 满足 MD = MC ；
2
（2）问解题的关键是当过点 M 的圆的切线与直线 FC 平行且离直线 FC 近时， MC + MF 取得最小值.
12．已知点 A 为抛物线 y2 = 2x上一点（点 A 在第一象限），点 F 为抛物线的焦点，准线为 l，线段 AF 的中
垂线交准线 l 于点 D，交 x 轴于点 E（D、E 在 AF 的两侧），四边形 ADFE 为菱形，若点 P、Q 分别在边
uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur
DA、EA 上，DP = l DA，EQ = mEA，若2l + m = ,则FP × FQ 的最小值为 ，2
uuur uuur uuur uuur
tFA 1- FE + tFA - FE t R 的最小值为 ．
4
【答案】 3 21
2
1
【分析】（1）四边形 ADFE 为菱形，由菱形的性质和抛物线的定义求出 AF 的方程 y = 3 x - ÷，再联立
è 2
uuur uuury = 3 x
1
-
3
÷和 y2 = 2x求出 A , 3 ÷，利用坐标把FP × FQ 表示出来，再利用二次函数的性质求最值即可.
è 2 è 2
uuur 1 uuur uuur uuur 2 2 2
（2） tFA - FE 1+ tFA - FE 2＝ t - ÷ + 3t + t - 2 + 3t 表示的是点P t, 3t 1 到点F ,0÷和4 è 2 è 2
N 2,0 的距离之和，先求出 N 2,0 关于直线 y = 3x对称的点 N x0 , y0 ，再由
PF + PN = PF + PN FN 求最小值即可.
【解析】对于第一个空：
因为四边形 ADFE 为菱形，所以 AD = DF , AD / /EF ,又由抛物线的定义知， AD = AF ，
1
所以 AFD = 60o , AFx = 60o
, F ,0
2 ÷
,
è
y = 3 1 所以 AF 的方程为 x - 2 ÷
，
è
ì 1
y = 3 x - ÷ 3 1
由 í è 2 联立得，12x2 - 20x + 3 = 0 ，得 x1 = , x2 = ，
2 2 6 y = 2x
3 1 5 1
由分析知， A , 3 D - , 3 , E ,0 , F ,0 ,
è 2 ÷
，所以
è 2 ÷ ÷ ÷ è 2 è 2
uuur uuur uuur uuur
DA = 2,0 , DF = 1,- 3 , FE = 2,0 , EA = -1, 3 ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurFP = DP - DF = lDA - DF = 2l -1, 3 , FQ = FE + EQ = FE + m EA = 2 - m, 3m ，
5 5 1
又2l + m = , 2l = - m 0,2 ，0 m 1 é所以m ê ,1
ù
ú ,2 2 2
uuur uuur
FP × FQ = 2l -1 2 - m 3m 5 m 1 2 m 3m 1 1+ = - - ÷ - + = m 2 - m + 3 m
é ù
，
è 2 2 ê
,1
2 ú
,
uuur uuur
当m
1
= 时，FP × FQ 取最小值 3.
2
对于第二个空：
uuur uuur uuurFA 1, 3 , FE 2,0 tFA 1 uuur uuur uuur= = , - FE 1= 4 t - , 3t ÷ , tFA - FE = t - 2, 3t2 ,è
uuur 1 uuur uuur uuur 2tFA - FE + tFA - FE =
2 2
t
1
- ÷ + 3t + t - 2 2 + 3t4 è 2
表示的是点P t, 3t 1 到点F ,0 和 N 2,0 的距离之和，
è 2 ÷
P t, 3t 在直线 y = 3x上，设 N 2,0 关于直线 y = 3x对称的点 N x0 , y0 ,
ì y 3
0 = -
x0 - 2 3 ì x0 = -1
由 í 得 í ，所以 N -1, 3 ，
y0 3 x0 + 2 y0 = 3
= 2 2
PF PN PF PN FN 21+ = + = ，当且仅当 N , F , P 三点共线时，等号成立.
2
uuur 1 uuur uuur uuurtFA - FE + tFA - FE 21故 的最小值为 .
4 2
21
故答案为：①3，② .
2
uuur
tFA 1
uuur uuur uuur
FE tFA FE 1 【点睛】关键点点睛：求 - + - 的最小值关键是将问题转化为P t, 3t 到点F4 ,02 ÷和è
N 2,0 的距离之和最小值，转化为将军饮马问题.
二、单选题
uuur uuur uuur
13．已知DABC为等边三角形，动点 P 在以BC 为直径的圆上，若 AP = l AB + m AC ，则l + 2m 的最大值为
（ ）
1 5A B 1 3 C D 2 3． 2 ． + ． ． +3 2 2
【答案】C
【解析】设等边DABC的边长为 2，以边BC 的中点为原点，OA所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，设点
P(cosq ,sinq )，通过向量的坐标运算，将l 、m 用q 表示出来，然后利用辅助角公可求出l + 2m 的最大值
【解析】解：设DABC的边长为 2，不妨以线段BC 的中点O为坐标原点，
建立如下图所示的平面直角坐标系 xOy ，
则点 A(0, 3) 、B(-1,0)、C(1,0)，
以线段BC 直径的圆的方程为 x2 + y2 =1，
设点 P(cosq ,sinq )，
uuur uuur
则 AB = (-1, - 3)， AC = (1,- 3)，
uuur
AP = (cosq ,sinq - 3)，
uuur uuur uuur
由于 AP = l AB + m AC ，
ì -l + m = cosq
则 í ，
- 3l - 3m = sinq - 3
ì 1 3 1
l = - sinq - cosq 2 6 2
解得 í ，
m
1 3
= - sinq 1+ cosq
2 6 2
l + 2m 1 3= - sinq 1- cosq 1 3+ 2 - sinq 1+ cosq 3 3 1所以， ÷ ÷ = - sinq + cosq
3
= - sin q
p
-
è 2 6 2 è 2 6 2
÷ ，
2 2 2 2 è 6
5
因此，l + 2m 的最大值为 ，
2
故选:C.
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，涉及圆的参数方程、辅助角公式，关键在于引入合适的变量来表
示问题涉及的参数．
2
14 x y
2
．已知双曲线 - =1（ a 0，b 0）的左、右焦点分别为F 、F ，圆 x2 +y22 2 1 2 = a
2 + b2 与双曲线在第
a b
一象限和第三象限的交点分别为A ， B ，四边形 AF BF 的周长 p2 1 与面积S 满足 p = 4 2S ，则该双曲线的离
心率为（ ）
A． 3 B． 2 C
6
． D 2 3．
2 3
【答案】C
p
【解析】由双曲线的定义知 AF1 - AF2 = 2a，结合四边形的周长知 AF1 + AF2 = ，得到 AF1 ， AF2 的长2
度，从而得到矩形 AF2 BF1 的面积，再利用 p = 4 2S
2 2
化简整理，借助勾股定理 AF1 + AF2 = F F
2
1 2 得到 a,c
关系，即可求得离心率.
【解析】由双曲线的定义可知 AF1 - AF2 = 2a，
又 OA = OB ， OF1 = OF
p
2 ，可知四边形 AF2 BF1 是平行四边形，所以 AF1 + AF2 = 2
p p
联立解得 AF1 = a + ， AF2 = - a ，4 4
又线段F1F2 为圆的直径，由双曲线的对称性可知四边形 AF2 BF1 为矩形，所以四边形 AF2 BF1 的面积
2
S = AF p1 × AF2 = - a
2 ，
16
p2
p = 4 2S p2 = 32S p2 = 32 - a2
又 ，所以 ，即 ÷，解得 p2 = 32a2 ，
è 16
AF 2 + AF 2 = F F 2 2a2 p
2
由 1 2 1 2 ，得 + = 4c2 ，即3a2 = 2c2
6
，即 e = .
8 2
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于 a,b,c的等量关系，考查了学生的
运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
15 2 2．对于圆 x - a + y - b = r 2 r 0 上任意一点 P x, y ，当m n时， x - 2y + m + x - 2y + n 的值与 x ，
y 无关，有下列结论：
①点 a,b 的轨迹是一个圆； ②点 a,b 的轨迹是一条直线；
③当 m - n = 4 2 5时， r 有最大值 ； ④当 r = 5 ，m =1时， n 11, + ．
5
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
d 5 (| x - 2y + m | | x - 2y + n |【分析】由 = × + ) ，将已知条件看作P(x, y) 到直线 x - 2y + m = 0、 x - 2y + n = 0
5 5
距离之和的 5 倍，
| m - n |
且已知圆在平行线 x - 2y + m = 0、 x - 2y + n = 0之间得 2r ，再结合各项描述分析正误.
5
d 5 (| x - 2y + m | | x - 2y + n |【解析】令 = × + ) ，可看作P(x, y) 到直线 x - 2y + m = 0、 x - 2y + n = 0距离之和
5 5
的 5 倍，
由 x - 2y + m + x - 2y + n m n 的值与 x, y无关，
所以距离之和与 P 在圆上的位置无关，故已知圆在平行线 x - 2y + m = 0、 x - 2y + n = 0之间，
| m - n |
而两线距离为 2r ，
5
| m - n |
当 = 2r 时， a,b 的轨迹是平行于 x - 2y + m = 0、 x - 2y + n = 0直线，①错误；
5
| m - n |
当 2r 时, a,b 的轨迹不是直线,②错误
5
③ m - n = 4 r | m - n | 2 5 2 5时， = ，即有最大值 ，正确；
2 5 5 5
|1- n |
④ r = 5，m =1时 r = 5 ，则 |1- n | 10，故 n - , -9 11, + ，④错误.2 5
所以正确的有③.
故选：A
2 2
16 x y．设双曲线E : 2 - 2 =1 a 0,b 0 的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线 l与E 的右支交于A ， B 两点，a b
且F 为△MAB 的重心，则直线 l斜率的取值范围为（ ）
13
A． , 3
2 13
÷÷ 3, + B． , 3 ÷÷ 3,+
è 3
è 9
, 6 6, 2 13 , 6 6, 2 13 C． - - - - ÷÷ D． - - - -9 3 ÷÷è è
【答案】C
【分析】根据重心性质得出 AB 中点D的坐标，根据直线 l与E 的右支交于 A, B两点可知点D在右支内部，
将D的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线 l的斜率与 a,b,c之间等
式关系，
由M , F , A, B 不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线 l的斜率与 a,b,c之间等式
关系，
即可得斜率的取值范围，解出即可.
uuur uuur
【解析】设D为 AB 的中点，根据重心性质可得MF = 2FD，
因为F c,0 , M 0,3b D 3c 3b ，则 ,-2 2 ÷，è
因为直线 l与E 的右支交于 A, B两点，所以点D在双曲线右支内部，
9c2 9b2 c 13
故有 4 - 4 1，解得 ，
a2 b2 a 3
当直线 l斜率不存在时， AB 的中点D在 x 轴上，
故M , F , D 三点不共线，不符合题意舍，
设直线 l斜率为 kAB ，设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
所以 x1 + x2 = 3c， y1 + y2 = -3b，
ì x 21 y
2
-
1 =1
a2 b2
因为 A, B在双曲线上，所以 í ，
x
2 2
2 y
-
2 =1
a2 b2
x 2 - x 2 21 2 y1 - y
2
两式相减可得： 2 =
2
2 ，a b
x
即 1
- x2 x1 + x2 y= 1 - y2 y1 + y2 2 2 ，a b
3c x1 - x -3b y - y 即有 2 = 1 22 2 成立，a b
即有 k
bc
AB = - 2 ，因为M , F , A, B 不共线，a
k bc即 AB = - k
3b
= - ，即 2 2，即
a2 MF c c 3a e 3
，
13
所以E 的离心率的取值范围为 , 3 ÷÷ 3, + ，
è 3
bc b2
2 2
c2 c - a c2因为 kAB = - = - = -a2 a4 a4
c4 - a2c2 2
= - = - e4 - e2 = - e2 1 14 - ÷ - ，a è 2 4
e 13
因为 , 3 ÷÷ U 3,
13
+ ，即 e2 ,3 ÷ U 3,+ ，
è 3 è 9
1 2 1 52
所以 e
2 -
2 ÷
- ,6÷ U 6,+ ，
è 4 è 81
2
所以 k
1 1 2 13
AB = -
e2 - ÷ - - , - 6 U - 6,- ÷÷ .è 2 4 è 9
故选：C
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率
有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标 A x1, y1 , B x2 , y2 ；
（2）根据中点坐标建立等式： x1 + x2 ， y1 + y2 ；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
y - y
（4）将 x1 + x2 ， y1 + y2 及 k =
1 2
x - x 代入等式中即可得出关系.1 2
三、解答题
2 2
17 C : x y．已知双曲线 2 - 2 = 1(a 0,b 0)的左、右焦点为Fa b 1、
F2 ，虚轴长为 4 2 ，离心率为 2 ，过C 的左焦
点F1作直线 l交C 的左支于 A、B 两点.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若 AF1 = 4 2 ，求 F1AF2 的大小；
(3)若M (-2,0)，试问：是否存在直线 l，使得点M 在以 AB 为直径的圆上？请说明理由.
2 2
【答案】(1) x y- = 1
8 8
(2) arccos
3
4
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据条件列出关于 a,b,c的方程组，由此求解出 a,b的值，则双曲线方程可知；
（2）根据双曲线的定义求解出 AF2 ，在VF1AF2 中利用余弦定理求解出 cos F1AF2 的值，则 F1AF2 的大小可
知；
（3）当 l的斜率不存在时，直接分析即可，当 l的斜率存在时，设出 l的方程并与双曲线方程联立，得到横
uuur uuur
坐标的韦达定理形式，根据MA × MB = 0进行化简计算，从而判断出 l是否存在.
ì2b = 4 2
c ì a = 2 2
【解析】（1）由题意可知： íe = = 2 ，解得 ，
a
í
b = 2 2
a2 + b2 2 = c
x2 y2
所以双曲线C 的方程为： - = 1；
8 8
（2）因为 AF1 = 4 2 ，所以 AF2 = 2a + 4 2 = 8 2 ，且 F1F2 = 2c = 8，
AF 21 + AF
2
2 - F F
2
cos 32 +128 - 64 3所以 F1AF2 =
1 2 = = ，
2 AF1 AF2 2 4 2 8 2 4
3
所以 F1AF2 的大小为 arccos ；4
（3）假设存在 l满足要求，
ìx = -4
ì
l
x = -4
当 的斜率不存在时， l : x = -4，由 í x2 y2 解得 í ，
- =1
8 8
y = ±2 2
uuur uuur
所以MA × MB = -2,2 2 × -2, -2 2 = -4 0，所以MA, MB不垂直，故不满足要求；
当 l的斜率存在时，因为 l b与双曲线有两个交点，所以 k ± ，即 k ±1，
a
设 l : y = k x + 4 ， A x1, y1 , B x2 , y2 ，
ìy = k x + 4 2
联立 í 2 2 可得 1- k x2 -8k 2x - 16k 2 + 8 = 0，
x - y = 8
且Δ = -8k 2 2 - 4 1- k 2 é - 16k 2 + 8 ù 0 ，即 k 2 +1 0，
8k 2 16k 2 + 8
所以 x1 + x2 = 2 , x1x2 = - 2 ，1- k 1- k
uuur uuur
所以MA × MB = x1 + 2, y1 × x2 + 2, y2 = x1 + 2 x2 + 2 + k x1 + 4 k x2 + 4 ，
uuur uuur
所以MA × MB = k 2 +1 x x + 4k 21 2 + 2 x 21 + x2 +16k + 4 ，
uuur uuur 16k 2 4k 2 + 2 8k 2 16k 2 + 4 1- k 2
所以MA × MB = k 2 +1 + 8× - 1- k 2 ÷ + 1- k 2 + 1- k 2è
-16k 4 - 24k 2 -8 + 32k 4 +16k 2 -16k 4 +12k 2 + 4 4k 2 - 4
= 2 = 2 = 4 0，k -1 k -1
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线 l，使得点M 在以 AB 为直径的圆上.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.
uuur uuur
解答本题第三问的关键在于：将“以 AB 为直径的圆过点M ”转化为“ MA × MB = 0 ”，从而转化为坐标之间的运
算.
18．如图，点 P（x 2 2 20，y0）是圆 O：x +y ＝9 上一动点，过点 P 作圆 O 的切线 l 与圆 O1：（x﹣a） +（y﹣4）
2＝100（a＞0）交于 A，B 两点，已知当直线 l 过圆心 O1时，|O1P|＝4．
（1）求 a 的值；
（2）当线段 AB 最短时，求直线 l 的方程；
AP 1
（3）问：满足条件 =BP 3 的点 P 有几个？请说明理由．
【答案】（1）a＝3；（2）3x+4y+15＝0；（3）2 个，理由见解析．
【分析】(1)依题意计算 O1P = OO
2
1 - OP
2 ，可得结果；
(2)解法 1(代数法)：当圆心 O1到直线 l 的距离 d 最大时，线段 AB 最短，再求出 d 的最大值即可得结果；
解法 2(几何法)：当圆心 O1到直线 l 的距离 d 最大时，线段 AB 最短，当且仅当 O1，O，P 三点共线时，d
取得最大值，从而得解；
(3)采用分类讨论，O1，O 在直线 AB 同侧或异侧，假设|AP|＝t，可得 d2+(2t)2＝100，并得 t2＝|MP|2＝
25﹣(d﹣3)2 或 t2＝|MP|2＝25﹣(d+3)2 计算即可判断．
【解析】解：(1)当直线 l 过圆心点 O1时，
O P = OO 2 21 1 - OP = a
2 + 7 = 4，
解得 a＝3(负值舍去)．
(2)解法 1(代数法)：因为 OP 与圆 O 相切，所以直线 l 的方程为 x0x+y0y＝9，
x2且 0 + y
2
0 = 9，
所以圆心 O1到直线 l 的距离
3x0 + 4y0 - 9 3x + 4y - 9d = = 0 0
x2 2 3
，
0 + y0
记 z＝3x0+4y
2 2
0，则直线 3x0+4y0﹣z＝0 与圆 x0 + y0 = 9 有公共点，
所以圆心(0，0)到直线 3x+4y﹣z＝0 的距离
-z
d = 3，所以﹣15 z 152 2 ，3 + 4
所以当 z＝﹣15 时，dmax＝8，此时弦长 AB 最短，
ì x 9ì3x 0 =0 + 4y0 +15＝0 5
由 í x2 2 ，解得 í ， 0 + y0 = 9 y 120 = - 5
所以直线 l 的方程为 3x+4y+15＝0．
解法 2(几何法)：如图，过 O1 作 O1M⊥AB，则 M 为弦 AB 的中点，设 d＝|O1M|，
当|O1M|最长时，弦长|AB|最短，
因为 d |O1P| |OO1|+|OP|＝8，
当且仅当 O1，O，P 三点共线时，取得最大值，
此时 OO1⊥AB，
k 4因为 OO = ，1 3
所以直线 OO1 的方程为 y
4
= x ，
3
ì y 4 = x
由 í 3 ，
2 x0 + y
2
0 = 9
9
解得P - ,
12
- ÷ (P 点在第 3 象限)
è 5 5
所以直线 l 的方程为 3 x+4y+15＝0．
AP 1
(3)因为 =BP 3 ，
所以设|AP|＝t，则|BP|＝3t(t＞0)，
所以|AB|＝4t，
所以 d2+(2t)2＝100 ①，
(i)如图，当 O1，O 在直线 AB 同侧时，
t2＝|MP|2＝25﹣(d﹣3)2②，
由①②得 d＝6 或 d＝2，
当 d＝6 时，直线 AB 可看作是圆 x2+y2＝9 与圆(x﹣3)2+(y﹣4)2＝36 的公切线，
此时两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点 P 有 2 个，
d＝2 时，直线 AB 可看作是圆 x2+y2＝9 与圆(x﹣3)2+(y﹣4)2＝4 的公切线，
此时两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点 P 有 2 个，
(ii)如图，当 O1，O 在直线 AB 异侧时，
t2＝|MP|2＝25﹣(d+3)2，③
由①③可得 d＝﹣6 或 d＝﹣2(舍)，满足条件的 P 点不存在，
综上，满足条件的点 P 共有 4 个．
3x0 + 4y - 9
附：当 d＝6 时 d =
0 = 6
x2 2
，
0 + y0
即|3x0+4y0﹣9|＝18，
ì 3x0 + 4y0 - 9＝18
由 í
x
2
0 + y
2
0 = 9
21 72
解得 P(﹣3，0)或P ,- ，
è 25 25 ÷
3x0 + 4y0 - 9
当 d＝2 时 d = = 2
x2 2
，
0 + y0
即|3x0+4y0﹣9|＝6，
ì 3x0 + 4y0 - 9＝6
由 í ，
x
2
0 + y
2
0 = 9
解得P
9 - 24 6 ,12 +18 6 P 9 + 24 6 ,12 -18 6 P 9 12 ÷÷或 ÷÷ 或 , ÷ ( 舍去 )．
è 25 25 è 25 25 è 5 5
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及其判定，涉及两圆的公切线问题，与圆有关
的最值问题，要注意考虑到各种不同的情况，避免遗漏，又要注意检验取舍，仔细认真计算.
19 E x
2 y2
．已知椭圆 ： 2 + 2 =1（a＞b
3
＞0）的左、右焦点分别为F
a b 1
, F2 ，离心率为 e = ，过左焦点F1作直线
2
l1交椭圆 E 于 A，B 两点，△ABF2 的周长为 8.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若直线 l2：y=kx+m(km<0)与圆 O： x2 + y2 =1相切，且与椭圆 E 交于 M，N 两点， MF2 + NF2 是否存
在最小值？若存在，求出 MF2 + NF2 的最小值和此时直线 l2的方程.
x2
【答案】（1） + y2 =1；（2）最小值为 2， x - 2y - 3 = 0或 x + 2y - 3 = 0 .
4
【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出 a，半焦距 c 即可得解；
(2)由直线 l2与圆 O 相切得m2 = k 2 +1，联立直线 l2与椭圆 E 的方程消去 y，借助韦达定理表示出
MF2 + NF2 ，利用函数思想方法即可作答.
【解析】（1）依题意，结合椭圆定义知△ABF2 的周长为 4a，则有 4a=8，即 a=2，
c 3
又椭圆的离心率为 e = = ，得 c = 3，于是得b2 = a2 - c2 =1，
a 2
x2
所以椭圆 E 的方程为 + y2 =1；
4
| m |
（2）因直线 l2：y=kx+m(km<0)与圆 O： x2 + y2 =1相切，则 =1，即m2 = k 22 +1，k +1
2 2
设M x1, y1 , N x2 , y2 , x x1 2 2 x11 2, x2 2 ，而点 M 在椭圆 E 上，则 + y1 = 1，即 y1 = 1- ，又F2 ( 3,0)，4 4
2
MF (x 3)2 x 3x
2 3 3
2 = 1 - + y
2
1 = (x - 3)
2
1 +1- 1 = 1 - 2 3x1 + 4 =| x1 - 2 |= 2 - x ，4 4 2 2 1
3
同理 NF2 = 2 - x2 ，于是得 MF2 + NF2 = 4
3
- x + x ，
2 2 1 2
ìy = kx + m
由 í x2 消去 y 得： 1+ 4k 2 x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 02 ，显然Δ 0，则 x x 8km1 + 2 = - ，
+ y =1 1+ 4k
2
4
2 2
又 km<0，且m2 = k 2 +1，因此得 x x 8 | km |
8 k k +1
1 + 2 = = ， 1+ 4k 2 4k 2 +1
2 x x 2 1 2 3 2 3(1 1)2 4 4 3
1 1
令 t = 4k +1 1，则 1 + 2 = + - 2 = - - + ，当且仅当 = ，即 t=3 时等号成立，t t t 3 3 3 t 3
于是得 MF2 + NF
3
2 存在最小值，且 MF + NF = 4 - x + x 2， MF2 + NF2 2 1 2 2 的最小值为 2，2
ì 2 ì 2
ìm2 = k 2 +1 k = k = -
km<0 2
2
由 í 2 ，且 ，解得 í 或 .
4k
í
+1 = 3
m
6 6
= - m =
2 2
2 6 2 6
所以所求直线 l2的方程为 y = x - 或 y = - x + ，即 x - 2y - 3 = 0或 x + 2y - 3 = 0 .
2 2 2 2
【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定
直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关
系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
20 x
2 y2
．已知椭圆G F 1,01 : .a2
+ 2 =1(a b 0)的右焦点为 ，短轴长为 2 3b
（1）求椭圆G1 的方程；
（2）设 S 为椭圆G1 的右顶点，过点 F 的直线 l1与G1 交于 M、N 两点（均异于 S），直线MS 、 NS 分别交直
线 x = 4于 U、V 两点，证明：U、V 两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、F 1,0 为焦点的抛物线为G2 ，如图，过点 F 的直线与G2 交于 A、B 两点，点 C
在G2 上，并使得VABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在 F 的右侧，设VAFG 、VCQG
S S
S q 1的面积分别为 1、 2 ，是否存在锐角 ，使得 = 1
3
+ cosq 成立？请说明理由.
S 2 è 2 ÷
÷
x2 y2
【答案】（1） + =1；（2）证明见解析；-9；（3）不存在，理由见解析.
4 3
【分析】（1）由右焦点为F (1,0)，短轴长为 2 3 ，得b = 3 ，且 a2 - b2 =1，解得 a，即可得出答案．
（2）若直线 l1的斜率不存在，则直线 l1 : x =1，进而求出M ， N 点的坐标，写出直线MS 、 NS 的方程，与 x = 4
联立，解得U ，V 的坐标，再计算U 、V 两点的纵坐标之积．若直线 l的斜率存在，则可设M (x1， y1)，
N (x2， y2 )，直线 l : y = k(x -1) ，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得 x1 + x2 ， x1x2 ，写出直线 MS 的方程，
进而可得U 点的纵坐标，同理可得V 点的纵坐标，再计算U 、V 两点的纵坐标之积，即可得出答案．
（3）设 A(t2， 2t)(t 0)，写出直线 AB 方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得 2tyB = -4，进而可得 B
G x 1
2
点坐标，由于重心 在 轴上，推出 (y + y3 A B
+ yC ) = 0 ，即 yc = - 2t ，进而可得C 点，G 点坐标，写出直t
1
S | FG || yA |
线 AC 1 2方程，进而可得Q点坐标，计算 =S 1 ，结合基本不等式，即可得出答案．2 | QG || y |
2 C
【解析】解：（1）依题意，得b = 3 ，且 a2 - b2 =1，
∵a b 0，∴ a = 2，
∴ x
2 y2
椭圆G1 的方程为 + =1 .
4 3
（2）由椭圆G1 的方程可知 S 2,0 .
3 3
若直线的斜率不存在，则直线 l : x =1，∴ M 1, ÷， N 1, -
è 2
，
֏ 2
直线MS 、 NS 的方程分别为3x + 2y - 6 = 0、3x - 2y - 6 = 0，易得U(4,-3)，V (4,3) ，
∴U 、V 两点的纵坐标之积为3 -3 = -9 .
ìy = k x -1
l 2 2 2 2若直线 的斜率存在，则可设直线 l : y = k x -1 ，由 í x2 y2 得 4k + 3 x -8k x + 4k -12 = 0 .
+ =1 4 3
8k2 2
设M x1, y1 ， N x , y x 4k -122 2 ，则 1 + x2 = x x =4k2
， 1 2 ，
+3 4k 2 + 3
y
∵ 1直线MS 的方程为 y = x - 2 y
2y1
x - 2 ，∴点U 的纵坐标 U
=
1 x1 - 2
.
y 2y2同理，点V 的纵坐标 V = x - 2 .2
2y1 2y2 4k x1 -1y y × k x2 -1 所以 U V = × =x1 - 2 x2 - 2 x1 - 2 x2 - 2
2 x1x= 4k × 2
- x1 + x2 +1
x1x2 - 2 x1 + x2 + 4
4k 2 -12 8k 2
4k 2
- 2 +1
= 4k 2 × + 3 4k + 3 = 4k 2 -92 × = -94k .-12 2 8k
2 4k 2
4k 2
- ×
+ 3 4k 2
+ 4
+ 3
综上，U、V 两点的纵坐标之积为定值-9.
（3）不存在.
理由如下：显然，抛物线G2 的方程为 y2 = 4x .
设 A x , y 2A B = t , 2t (t 0)，B xB, y B ，C xC, yC
2
则直线 AB 方程可为 x t -1= y +1，
2t
ìy2 = 4x
2 t 2 -1
由 í t 2x -1
可得 y2 - y - 4 = 0
= y +1 t 2t
故 2tyB = -4，
2 1 2
∴ yB = - ，∴ B
t
,- .
è t 2 t ÷
1
∵重心G 在 x 轴上，∴ y 2A + yB + yC = 0，即 2t - + y
2
C = 0，∴ y3 t C
= - 2t ，
t
2
C 1 2
t , 2t G 2t
4 - 2t 2 + 2
进而 - ÷ - ÷， ,0÷ .
èè t t ÷
2
è 3t
进一步可得直线 AC : y -2t = 2t x - t2 ，∴ Q t 2 -1,0 ，
又Q在焦点F 的右侧，∴ t2 -1 1，即 t 2 2 .
2t 41 - 2t
2 + 2
FG × y -1 × 2tS 2 A 3t
2 4 2
因此 1 = =
2t -t
S 1 2t 4 - 2t 2
=
2 QG × y t 2 1 + 2 2
4
2 C - - × - 2t
t -1
3t 2 t
2 1 2 1 1 3= - - = +
t 2 3- 2 + 2 + 4t - 2 2 t
2 3 2 .- 2 × 2 + 4t - 2
2 3 S 3
当 t - 2 = （注意到 t 22 2 ），即 2t - 2 t =2+ 3时，取等号，即有
1 1+ （※）.
S2 2
S 1
若存在锐角q ，使得 = 1
3 S 3 3
+ 1 S 3÷÷cosq 成立，则 = 1+
1
S 2 S 2 ÷÷
cosq <1+ ，即 <1+ ，
2 è 2 è 2 S2 2
这与（※）矛盾.
S 3
因此，不存在锐角q 1，使得 = 1+S 2 ÷÷
cosq 成立.
2 è
21．已知抛物线 y2 = 4x，顶点为O，过焦点的直线交抛物线于A ， B 两点．
(1)如图 1 所示，已知 AB = 8 |，求线段 AB 中点到 y 轴的距离；
(2)设点 P 是线段 AB 上的动点，顶点O关于点 P 的对称点为C ，求四边形OACB面积的最小值；
(3)如图 2 所示，设D为抛物线上的一点，过D作直线DM ，DN 交抛物线于M ， N 两点，过D作直线DP，
DQ 交抛物线于 P ，Q两点，且DM ^ DN ，DP ^ DQ ，设线段 MN 与线段 PQ的交点为T ，求直线OT 斜率
的取值范围．
【答案】(1)3
(2)4
é 1 1
(3) ê- ,
ù
2 2ú
【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可；
（2）由题意可知四边形OABC 的面积等于 2S△AOB，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理和
2S 1VAOB = 2 OF × y3 - y4 求解即可；2
2
（3）设D点坐标为 a , 2a ，将抛物线方程与直线DM ，DN 联立，利用韦达定理将点M 和点 N 坐标用 a
表示，进而可得到直线MN 的方程，证明直线MN 过定点即可求解.
【解析】（1）因为过焦点的直线交抛物线于A ， B 两点，且 AB = 8，
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
由抛物线的性质可得 x1 + x2 + 2 = AB = 8，
所以 x1 + x2 = 6，
x + x
所以线段 AB 中点的横坐标，即为线段 AB 中点到 y 轴的距离为 1 2 = 3 .
2
（2）由点C 与原点O关于点 P 对称，可知 P 是线段OC 的中点，
所以点O与点C 到直线 l的距离相等，所以四边形OABC 的面积等于 2S△AOB，
ìx = my +1
设直线 l的方程为 x = my +1，联立 í ，消去 x 可得 y2y2
- 4my - 4 = 0，
= 4x
设 A x3, y3 ，B x4 , y4 ，由韦达定理可得 y3 + y4 = 4m ， y3 y4 = -4，
1
所以 2SVAOB = 2 OF × y3 - y4 = (y3 + y4 )
2
-4y3 y4 = 4 m
2 +1，
2
当m = 0时，四边形OABC 的面积取最小值为 4．
2
（3）设D点坐标为 a , 2a ，M 点坐标为 xM , yM ， N 点坐标为 xN , yN ，
由题意可知直线DM 的斜率 k 存在，且不为 0 ，
则直线DM 的方程为 y -2a = k (x-a2 )，
4
与抛物线 y2 = 4x 2联立，消去 x 得 y - y
8a
+ - 4a2 = 0，
k k
4 4
由韦达定理可得 2a + yM = ，解得 y = - 2a ，k M k
1
直线DN 的方程为 y -2a = - (x-a2 )，
k
与抛物线 y2 = 4x联立，消去 x 得 y2 + 4ky -8ka-4a2 = 0 ，
由韦达定理可得 2a + yN = -4k ，解得 yN = -4k - 2a ，
显然直线MN 斜率不为零，
y - yM x- xM 4(x- xM ) 4(x- xM )
当直线MN 斜率存在时，直线MN 的方程为 = = =y ，N - yM xN - x y
2
M N - y
2
M (yN + yM )(yN - yM )
y 4x + y y= N M整理得： yN + y
，
M
y 4将 M = - 2a ， y = -4k - 2a 代入 l 得：k N MN
4x 4+ - 2a
÷ -4k - 2a
y è k
2
kx - 4k - 2a + 2ak + a2k k x - a2 - 4 = 4 = 2 = -2a + 2 ，
- 2a - 4k - 2a 1- ak - k 1- ak - k
k
2 2 2a
所以直线 lMN 过定点 4 + a ,-2a ，即T 点坐标为 4 + a ,-2a ，直线OT 的斜率为 kOT = - ，4 + a2
0 2 2 1> - 4 - = -当 a
4
0时， + a 22 4 a ，当且仅当
= a，即 a = 2时，等号成立，
a × aa
0 2 2 1<
当 a < 0时， 4
= 4
- - a 2
a 2
4- ÷ × -a
，当且仅当- = -a ，即 a = -2 时，等号成立，
a
è a
当 a = 0时， kOT = 0，
当直线MN 的斜率不存在时，设M 点坐标为 t 2 , 2t 2， N 点的坐标为 t ,-2t ，
uuuur uuur
则DM = t 2 - a2 , 2t - 2a DN = t 2， - a2 ,-2t - 2a ，且根据题意 t 2 - a2 0 ，
uuuur uuur
2 2 2所以DM × DN = t - a - 4 t 2 - a2 = 0，解得 t 2 = 4 + a2 ，
2
所以直线MN 的方程为 x = 4+ a2 过点 4 + a ,-2a ，
é 1 1 ù
综上所述，直线OT 斜率的取值范围为 ê- , 2 2ú
.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 A x1, y1 ，B x2 , y2 ；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 x 或 y 的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 x1 + x2 ， x1x2 形式；
（5）代入韦达定理求解.第 2 章 圆锥曲线 单元综合检测（难点）
一、填空题
1．已知动点A 到P 1,3 的距离是到Q 4,0 的距离的 2 倍，记动点A 的轨迹为C ，直线 l： x - ty - 4 = 0 与C
1
交于E ，F 两点，若 S△OQF = S△OQE （点O为坐标原点，S 表示面积），则 t = ．3
| PA |
2 PA
2 + PB 2
．若平面内两定点 A、B 间的距离为 2，动点 P 满足 = 2PB ，则 的最大值为 ．2
2 2
3．存在实数a R 2 使得 cosa
1 1
+ 2 2
2 ÷
+ sin a - cos a + sina - ÷ m，则实数m 的取值范围为 .
è è 2
2 2
4 x y．已知点 P ，Q 2 2 2是椭圆上C : + =1 a b 0 的两点，且线段 PQ恰为 x + y = r r 0
a2 2
的一条直径，
b
uuur 3 uur
点 P 关于 x 轴的对称点为A ，设PD = PA，直线QD 与椭圆C 的另一个交点为 B ，且直线 PQ， PB斜率之
5
1
积为- ，则椭圆C 的离心率 e为 .
2
2 y y
5 x．在平面直角坐标系中，对于曲线C : 2 - 2 =1 a b 0 ，有下面四个结论：a b
①曲线 C 关于 y 轴对称；
②过平面内任意一点 M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线 C 都有且只有一个公共点；
③存在唯一的一组实数 a，b，使得曲线 C 上的点到坐标原点距离的最小值为 1；
④存在无数个点 M，使得过点 M 可以作两条直线，这两条直线与曲线 C 都恰有三个公共点.
其中所有正确结论的序号是 .
2 2 2 2
6 x y x y．已知双曲线 C： 2 － 2 ＝1(a>0，b>0)与椭圆 ＋ ＝1 的焦点重合，离心率互为倒数，设 Fa 1
、F2 分
b 16 12
PF 2
别为双曲线 C 的左、右焦点，P 为右支上任意一点，则 1 的最小值为 ．
PF2
7．已知圆 A : (x + 2)2 + y2 = 1，圆B : (x - 2)2 + y2 = 4，直线3x + 4y + t = 0上存在点 P ，过点 P 向圆A 引两条
切线PC 和PD，切点是C 和D，再过点 P 向圆 B 引两条切线PE和PF ，切点是E 和F ，若
CPD = EPF ，则实数 t 的取值范围为 .
ìx = 4t 2
8．已知 F 为抛物线C : í （t 为参数）的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1, ly = 4t 2
，直线 l1与 C 交于 A，
B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则 | AB | × | DE |的最小值为 ．
x29 A B C : y
2
．已知点 ， ， 是离心率为 2 的双曲线G 2 - =1(a 0,b 0)上的三点，直线 AB, AC, BC 的斜率分a b2
别是 k1, k2 ,k3 ，点 D，E，F 分别是线段 AB, AC, BC 的中点，O为坐标原点，直线OD,OE,OF 的斜率分别是
1 1 1
k1 ,k2 ,k3 ，若 + + = 3，则 k1 + k2 + k =k k k 3 ．1 2 3
w + 2
10．已知常数 t R ，集合 S = z z -1 3, z C ，T = ìz z = i + t, w S üí ，若 S UT = S ，则 t 的取值范
3
围是 .
11．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前 262-190 年)，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家；他
的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网络殆尽，几乎使后人没有插足
的余地．他发现“平面内到两个定点 A, B的距离之比为定值l l 1 的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆
以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．比如在平面直角坐标系中， A 0,1 、B 0,4 ，则点 P
l 1满足 = 所得 P 点轨迹就是阿氏圆；已知点C -2, 4 ，Q为抛物线 y2 = 8x上的动点，点Q在直线 x = -2上
2
1
的射影为 H ，M 为曲线 x + 2 2 + y2 = 4 上的动点，则 MC + QH + QM 的最小值为 ．则
2
MC + QH + QM 的最小值为 ．
12．已知点 A 为抛物线 y2 = 2x上一点（点 A 在第一象限），点 F 为抛物线的焦点，准线为 l，线段 AF 的中
垂线交准线 l 于点 D，交 x 轴于点 E（D、E 在 AF 的两侧），四边形 ADFE 为菱形，若点 P、Q 分别在边
uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur
DA、EA 上，DP = l DA，EQ = mEA，若2l + m = ,则FP × FQ 的最小值为 ，2
uuur uuur uuur uuur
tFA 1- FE + tFA - FE t R 的最小值为 ．
4
二、单选题
uuur uuur uuur
13．已知DABC为等边三角形，动点 P 在以BC 为直径的圆上，若 AP = l AB + m AC ，则l + 2m 的最大值为
（ ）
A 1 B 1 3
5
C 3． 2 ． + ． D． 2 +3 2 2
2 2
14 x y．已知双曲线 2 - 2 =1（ a 0，b 0）的左、右焦点分别为F 、F ，圆 x
2 +y2 = a2 + b21 2 与双曲线在第a b
一象限和第三象限的交点分别为A ， B ，四边形 AF BF 的周长 p2 1 与面积S 满足 p = 4 2S ，则该双曲线的离
心率为（ ）
A． 3 B
6 2 3
． 2 C． D．
2 3
15．对于圆 x - a 2 + y - b 2 = r 2 r 0 上任意一点 P x, y ，当m n时， x - 2y + m + x - 2y + n 的值与 x ，
y 无关，有下列结论：
①点 a,b 的轨迹是一个圆； ②点 a,b 的轨迹是一条直线；
③ m - n = 4 r 2 5当 时， 有最大值 ； ④当 r = 5 ，m =1时， n 11, + ．
5
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2 2
16 x y．设双曲线E : 2 - 2 =1 a 0,b 0 的右焦点为F ，M 0,3b ，若直线 l与E 的右支交于A ， B 两点，a b
且F 为△MAB 的重心，则直线 l斜率的取值范围为（ ）
13 2 13
A． , 3 ÷÷ 3, + B． , 3 ÷÷ 3,+ 3 è è 9
2 13
C． - ,- 6 - 6, - ÷÷ D． - ,- 6 - 6,
2 13
-
9 3 ÷÷è è
三、解答题
2 2
17 x y．已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a 0,b 0)的左、右焦点为F1、F2 ，虚轴长为 4 2 ，离心率为 2 ，过C 的左焦a b
点F1作直线 l交C 的左支于 A、B 两点.
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)若 AF1 = 4 2 ，求 F1AF2 的大小；
(3)若M (-2,0)，试问：是否存在直线 l，使得点M 在以 AB 为直径的圆上？请说明理由.
18．如图，点 P（x0，y0）是圆 O：x2+y2＝9 上一动点，过点 P 作圆 O 的切线 l 与圆 O1：（x﹣a）2+（y﹣4）
2＝100（a＞0）交于 A，B 两点，已知当直线 l 过圆心 O1时，|O1P|＝4．
（1）求 a 的值；
（2）当线段 AB 最短时，求直线 l 的方程；
AP 1
（3）问：满足条件 =BP 3 的点 P 有几个？请说明理由．
x2 y219．已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2 2 2 ，离心率为 e
3
= ，过左焦点F
a b 1
作直线
2
l1交椭圆 E 于 A，B 两点，△ABF2 的周长为 8.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若直线 l2：y=kx+m(km<0)与圆 O： x2 + y2 =1相切，且与椭圆 E 交于 M，N 两点， MF2 + NF2 是否存
在最小值？若存在，求出 MF2 + NF2 的最小值和此时直线 l2的方程.
2 2
20．已知椭圆G1 :
x y
2 + 2 =1(a b 0)的右焦点为F 1,0 ，短轴长为 2 3 .a b
（1）求椭圆G1 的方程；
（2）设 S 为椭圆G1 的右顶点，过点 F 的直线 l1与G1 交于 M、N 两点（均异于 S），直线MS 、 NS 分别交直
线 x = 4于 U、V 两点，证明：U、V 两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；
（3）记以坐标原点为顶点、F 1,0 为焦点的抛物线为G2 ，如图，过点 F 的直线与G2 交于 A、B 两点，点 C
在G2 上，并使得VABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在 F 的右侧，设VAFG 、VCQG
S 3 1
的面积分别为 S1、 S2 ，是否存在锐角q ，使得 =S
1+
2 ÷÷
cosq 成立？请说明理由.
2 è
21．已知抛物线 y2 = 4x，顶点为O，过焦点的直线交抛物线于A ， B 两点．
(1)如图 1 所示，已知 AB = 8 |，求线段 AB 中点到 y 轴的距离；
(2)设点 P 是线段 AB 上的动点，顶点O关于点 P 的对称点为C ，求四边形OACB面积的最小值；
(3)如图 2 所示，设D为抛物线上的一点，过D作直线DM ，DN 交抛物线于M ， N 两点，过D作直线DP，
DQ 交抛物线于 P ，Q两点，且DM ^ DN ，DP ^ DQ ，设线段 MN 与线段 PQ的交点为T ，求直线OT 斜率
的取值范围．
