第 3 章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）
一、填空题
uuur uuur
1．在棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E 满足 A1E = 2EB1 ，点 F 在平面BC1D内，则| A1F + | EF |
的最小值为 .
【答案】6
【分析】以点 D 为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得 A1C ^平面BC1D，记 A1C 与
平面BC1D交于点 H，连接 A1C1，C1O, ， AC ，得到 A1H = 2 HC ，结合点 A1 3,0,3 关于平面BC1D对称的
点为G -1,4,-1 ，进而求得 A1F + EF 的最小值.
uuur uuur uuuur
【解析】以点 D 为原点， DA, DC, DD1 所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系D - xyz ，
如图所示，则 A1 3,0,3 ，E 3,2,3 ，C 0,3,0 ，
因为BD ^ AC ，BD ^ A1A，且 AC A1A = A，则BD ^平面 A1AC ，
又因为 A1C 平面 A1AC ，所以BD ^ A1C ，
同理得BC1 ^ 平面 A1B1C ，因为 A1C 平面 A1B1C ，所以BC1 ^ A1C ，
因为BD I BC1 = B，且BD, BC1 平面BC1D，所以 A1C ^平面BC1D，
记 A1C 与平面BC1D交于点 H，连接 A1C1，C1O ， AC ，且 AC I BD = O ，
A1H AC 2则 = 1 1 = ，可得 A H = 2 HC ，
HC OC 1 1
由得点 A1 3,0,3 关于平面BC1D对称的点为G -1,4,-1 ，
所以 A1F + EF 的最小值为 EG = (3 + 1)2 + (2 - 4)2 + (3 + 1)2 = 6 .
故答案为：6 .
uuur uuur uuur π
2．已知空间向量PA、PB、PC 的模长分别为 2、 2、3，且两两夹角均为 ，点G 为VABC 的重心，则3
uuur
PG = ．
33 1
【答案】 / 33
3 3
uuur uuur uuur uuur
【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出3PG = PA + PB + PC ，再利用空间向量数量积的运
uuur
算性质可求得 PG 的值.
【解析】如下图所示：
uuur uuur uuur r
因为G 为VABC 的重心，则GA + GB + GC = 0 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
可得PA - PG + PB - PG + PC - PG = 0，则3PG = PA + PB + PC ，
uuur2 uuur uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以，9PG = PA + PB + PC = PA + PB + PC + 2 PA × PB + PB × PC + PC × PA
2 uuur= 4 + 4 + 9 + 2 2 cos
π π
+ 2 3cos + 3 2cos π ÷ = 33，故3 3 3 PG
33
= .
è 3
33
故答案为： .
3
3．如图，四面体 ABCD的每条棱长都等于 a，M , N 分别是 AB,CD 上的动点，则MN 的最小值是 ，
uuuur uuur
此时cosáMN , DB = ．
【答案】 2 a 2
2 2
【分析】证明当M , N 分别是 AB,CD 的中点时，MN 是 AB,CD 的公垂线，从而求得MN 的最小值，再利用
空间向量的夹角余弦公式，结合数量积运算法则即可得解.
uuur uuur uuur
【解析】由题意可知， AB, AC, AD 三个向量两两间的夹角为60o ，
当M , N 分别是 AB,CD 的中点，MN 取得最小值，理由如下，
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
因为M , N 分别是 AB,CD 的中点，MN = AN - AM
1
= AC + AD 1- AB，2 2
uuuur uuur é1 uuur uuur 1 uuurù uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur2则MN × AB = ê AC + AD - ABú × AB = AC × AB + AD × AB - AB 2 2 2
1
= a2 cos 60o + a2 cos 60o - a2 = 0，2
所以MN ^ AB ，同理可证MN ^ CD ，
由异面直线公垂线的性质可知，此时MN 取得最小值，
BM 1此时 = AB
1
= a 3，
2 2 BN = BC
3
= a ，
2 2
所以MN 2 3min = BN - BM
2 = a2 1- a2 2= a，
4 4 2
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuuur 2 uuur
又MN = AC + AD - AB ，DB =AB - AD ， MN = a， DB = a ，2 2 2 2
uuuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuurMN × DB = AC + AD - AB ÷ × AB - AD2 2 2 è
1 uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur= AC × AB + AD × AB - AB - AC × AD - AD + AB × AD2
1
= a2 cos 60o + a2 cos 60o - a2 - a2 cos 60o - a2 + a2 cos 60o 1= - a2，
2 2
uuuur uuur uuuur uuur
1
- a2
所以 cosáMN , DB
M
= uuuNur ×uDuuBr = 2 2= - .
MN DB 2 2a a
2
2
故答案为： a 2；- .
2 2
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是找到MN 取得最小值时，M , N 的位置，从而得解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
4．若正三棱锥 A - BCD的底面边长为 6，高为 13 ，动点 P 满足 (DA + CB) ^ (PA + PB + PC + PD)，则
uuur uuur uuur
| PA + PB | +2 | PA |的最小值为 ．
【答案】8
【分析】利用向量中点的性质，进行合理转化，建立空间直角坐标系，找到对称点的坐标，转化为易求的
线段长求解即可.
【解析】
设A 在底面的射影为 H ，则 H 为底面的中心，如图，以 H 为原点建立空间直角坐标系，
由题可知DH = 2 3 ，则 A(0，0，13) ，H (0，0，0) ，D(-2 3，0，0) , B( 3，- 3，0) , C( 3，3，0) ，
uuur uuur uuur uuur
设P(x，y，z)， 故DA = (2 3，0，13)，CB = (0，- 6，0)，DA + CB = (2 3，- 6，13)，
uuur uuur uuur uuur
PA + PB + PC + PD = (-4x，- 4y，13 - 4z)，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Q(DA + CB) ^ (PA + PB + PC + PD) ，\-8 3x + 24y +13 - 4 13z = 0，
3 3 13 uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
设 AB 中点为M ，且M ( ，- ， )，\ PA + PB + 2 PA = 2 PM + 2 PA = 2( PT + PM )，
2 2 2
r
设-8 3x + 24y +13 - 4 13z = 0是平面 a的平面方程，且该平面的一个法向量为 n = (2 3，- 6，13)，作S 为M
与该平面的对称点， S(a，b，c) ，设S ，M 中点为T ，
uuuur a 3- b 3+ c 13- 3 a 3 b 13T + - + + c故 在该平面上， MH ^面 a，故 2 = 2 = 2 ， -8 3 × 2 + 24 × 2 - 4 13 × 2 = 0，
2 3 -6 13 2 2 2
a 3
3
解得 = - ，b = ， c = 0
2 2
3 3 uuur uuuur uuur uuur uur
故 S(- ，，0) ， 2( PT + PM ) = 2( PA + PS ) 2 SA = 8 .
2 2
故答案为：8
【点睛】利用空间向量的中点性质和坐标运算，巧作对称点，将问题简化，运用三角形边的性质求解，属
于难题.
5．如图，两个正方形 ABCD，CDEF 的边长都是 8，且二面角 A - CD - E为60°，M 为对角线 AC 靠近点 A
的四等分点，N 为对角线 DF 的中点，则线段MN = ．
【答案】 4 2
uuuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur
【分析】根据已知得出 ADE = 60° .然后表示可得MN = - DA + DC + DE ，根据空间向量数量积的运算
4 4 2
uuuur2
律，可得MN = 56 - 48cos ADE ，代入求解即可得出答案.
【解析】由题意可知， AD ^ CD ，ED ^ CD，
所以 ADE 为 A - CD - E的平面角，
所以， ADE = 60° .
uuur uuur uuur
因为 AC = DC - DA，
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
所以 AM = AC = DC - DA，
4 4 4
uuuur uuur uuuur uuur 1 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur
所以，MD = AD - AM = AD - DC - DA÷ = - DA - DC .
è 4 4 4 4
uuur uuur uuur uuur 1 uuurDN DF 1
uuur 1 uuur
因为DF = DC + DE ，所以 = = DC + DE .2 2 2
uuuur uuuur uuur 3 uuur 1 uuur 1 uuur
所以，MN = MD + DN = - DA + DC + DE ，
4 4 2
uuuur2 1 uuur uuur uuur 2所以，MN = -3DA + DC + 2DE16
1 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur= 9DA + DC 4DE 1+ -12DA × DE = 9 64 + 64 + 4 64 -12 8 8cos ADE = 56 - 48cos ADE .16 16
cos ADE 1因为 ADE = 60°，所以 = ，
2
uuuur uuuur2
所以MN = 56 - 48cos ADE = 32，MN = MN = 4 2 .
故答案为： 4 2 .
6．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E 为线段 AD 的中点，设平面 A1BC1与平面CC1E 的交线为m ，
则点 A 到直线m 的距离为 .
21 1
【答案】 / 21
3 3
【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；再求出平面 A1BC1与平面CC1E 的法向量及交线m
的方向向量；最后根据点到直线距离的向量计算方法即可求解.
【解析】
以点A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AA1所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
A 0,0,0 A 0,0,1 B 1,0,0 C 1,1,0 C 1,1,1 E 则 ， 1 ， ， ， 1 ， 0,
1 ,0 ，
è 2 ÷
uuur uuuur uuuur uuur 1
所以 A1B = 1,0,-1 ， A1C1 = 1,1,0 ，CC1 = 0,0,1 ，CE =
-1, - ,0
.
è 2 ÷
r
设平面 A1BC1的法向量为 n = x, y, z ，
r uuur
ìn × Auu1
B = 0 ìx - z = 0 r
则 í r uur ，即 í ，令 x =1，得 n = 1,-1,1 .
n × A1C x + y = 01 = 0
设平面CC1E
r
的法向量为 v = x1, y1, z1 ，
r uuuurì v ×CC ì
z1 = 0
uuur1
= 0 r
则 ír ，即 í 1 ，令 y1 = 2，得 v = -1,2,0 .
v ×CE = 0 -x1 - y1 = 0 2
r
设交线m 的方向向量为m = x2 , y2 , z2 ，
vr rì ×m = 0 ì-x
r r 2
+ 2y2 = 0 r
则 í ，即 í y = 1n m 0 x y z 0，令 2 ，得
m = 2,1, -1 .
× = 2 - 2 + 2 =
uuuur
因为 AC1 = 1,1,1 ，点C1 m，
uuuur ur
则 AC1 × m = 2 m
r
， = 22 +12 + -1 2 = 6 ，
m uuuur
uuuur 2
2
A AC AC × m
r 2 21
所以点 到直线 的距离为 11 - r ÷÷ = 3- = .
è m 3 3
【点睛】关键点睛：本题考查点到直线距离的求法.解题关键在于：建立空间直角坐标系，先求出设平面 A1BC1
的法向量及平面CC1E 的法向量，再求出交线m 的方向向量，最后利用点到直线距离的向量计算方法求解.
7．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体
（各面都是全等的正多边形），即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知球 O 是
uuuur uuur
棱长为 2 的正八面体的内切球，MN 为球 O 的一条直径，则PM × PN 的取值范围是 .
é
【答案】 ê0,
4ù
3ú
uuuur uuur uuur 2 2
【分析】利用等体积的方法得到正八面体的内切球半径，然后将PM × PN 转化为 PO - ，最后求范围即可.3
【解析】由题意得O为正方形 ABCD的中心，取CD 中点 H ，连接EH ， AC ，
因为 ABCDEF 为正八面体，所以EO ^平面 ABCD，
AC = 2 2 ，EO = 2 ，EH = 3 ，
设正八面体的内切球半径为 R ，
则VABCDEF = VO- ABE +VO- ABF +VO-BCE +VO-BCF +VO-CDE +VO-CDF +VO- ADE +VO- ADF ,
所以 2
1
2 2 2 = 8 1 1 2 3R R 6，解得 ，3 3 2 = 3
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuurPM × PN = PO + OM × PO + ON
uuur uuuur uuur uuuur= PO + OM × PO - OM
uuur 2 uuuur 2
= PO - OM
uuur 2
= PO 2- ，
3
uuur
由图可知，当点 P 在正八面体的顶点时， PO 最大，此时 PO = 2 ，
uuur 6
当点 P 在切点， PO 最小， PO = ，
3
uuur 2 uuuur uuur
所以 PO
2 é0, 4 ù é 4- ù
3 ê 3 ú
，即PM × PN 0, .
ê 3 ú
é0, 4 ù故答案为:
ê 3 ú
．
【点睛】关键点睛：本题的关键是先利用体积法求出内切球半径为 R ，然后再对向量化简为
uuuur uuur uuur 2 uuur
PM × PN 2= PO - ，最后再根据 PO 的范围即可求出答案.
3
r r r r r r r ur ur 1
8．已知单位空间向量 e1,e2 ,e3满足 e1 ×e2 = 0,e ×e = e
r r r r r 3 2
2 3 1 ×e3 = ．若空间向量 a满足 a ×e2 1 = a ×e2 =
，且对于
2
任意实数 x, y, a
r xer r r r- 1 - ye2 的最小值是 2，则 a - le3 (l R)的最小值是 ．
2
【答案】
2
ur uur ur uur r
【分析】以 e1 ， e2 方向为 x, y轴，垂直于 e1 ， e2 方向为 z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得 a 坐标，由
二次函数求最值即可求得最小值.
ur uur ur uur
【解析】以 e ， e 方向为 x, y1 2 轴，垂直于 e1 ， e2 方向为 z 轴建立空间直角坐标系，则
ur uur
e1 = 1,0,0 ,e2 = 0,1,0 ，
uur ur ur ur
e e e e 1
ur 1 1 ur ur
由 2 × 3 = 1 × 3 = 可设 e3 = ( , , z
1 1
1)，由 e3 是单位空间向量可得2 2 2 e3 = ( , ,
2 ) ，
2 2 2
r ur r uur
a 3 2
r 3 2 3 2
由 ×e1 = a ×e2 = 可设 a = ( , , z2 )，2 2 2
r ur uur
| a - xe - ye | 3 2 3 2= （ - x）2 +（ - y）21 2 + z
2
2 ，2 2
r ur uur r
当 x = y 3 2= ， | a - xe1 - ye2 |的最小值是 2，所以 z2 = ±2
3 2 3 2
，取 a = ( , , 2) ，
2 2 2
r ur
a - le 3 2 l 3 2 l 23 = ( - , - , 2 - l)，2 2 2 2 2
r ur
| a le | (3 2 l- = - )2 (3 2 l 2+ - )2 + (2 - l)23 = l
2 - 5 2l +13 ，
2 2 2 2 2
5 2 r ur
当l = 时， | a - le 23 | l R 最小值为 .2 2
2
故答案为： .
2
9．如图，棱长为 1 的正方体 A1 A2 A3 A4 - A5 A6 A7 A8的八个顶点分别为 A1, A2 ,L, A8 ，记正方体 12 条棱的中点
uuur uuur
分别为 A9 , A10 ,L, A20 ，6 个面的中心为 A21 , A22 ,L, A26 ，正方体的中心为 A27 .记m j = A1 A7 × A1 A j ，
j {1,2， ，27}，其中 A1A7 是正方体的体对角线.则m1 + m2 + + m27 = .
81
【答案】 /40.5
2
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算，可求m1 + m2 + + m27 的值.
【解析】
建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1 0,0,0 ， A2 1,0,0 ， A3 1,1,0 ，
A4 0,1,0 ， A5 0,0,1 ， A6 1,0,1 ， A7 1,1,1 ， A8 0,1,1 ，
uuuur uuuur
设向量 A1Aj = x, y, z ，而 A1A7 = 1,1,1 ，
uuuur uuuur
故m j = A1Aj × A1A7 = x + y + z ，故m1 + m2 + + m27 表示各点的坐标和的和.
现各点的横坐标之和为 X ，纵坐标之和为Y ，竖坐标之和为Z ，
根据对称性可得 X = Y = Z =1 9
1 9 0 9 27 + + = ，
2 2
m 27 81故 1 + m2 + + m27 = 3 = ，2 2
81
故答案为： .
2
【点睛】方法点睛：对于一些较为复杂的计算问题，如果直接算比较麻烦，则可以换一个等价的计算方法，
从而使得问题得以简化.
10．如图，点 P 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 内部运动，点E 在棱 AB 上，且BE = 3AE ，动点 P 满足PB = 2PE, F
为棱C1D1的中点，M 为线段PC 的中点，若 AB = 4, AD = AA1 = 2，则动点M 到平面B1CF 距离的最小值
为 .
【答案】 3 -1/ -1+ 3
【分析】以点A 为原点， AB, AD, AA 所在直线分别为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系，P x, y, z ，由BP = 2PE
可得点 P 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 内部且以A 为球心，2 为半径的球面上运动，动点M 到平面B1CF 距离
1
的最小值为动点 P 到平面B1CF 距离的最小值的 2 ，求解即可.
【解析】以点A 为原点， AB, AD, AA 所在直线分别为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0), E(1,0,0), A 0,0,0 , F 2,2,2 ,C 4,2,0 , B1 4,0,2 ，设P x, y, z ，
(x - 4)2 + y2 + z2
Q BP = 2 PE ,\ = 2，解得 x2 + y2 + z2 = 4，
(x -1)2 + y2 + z2
点 P 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 内部且以A 为球心，2 为半径的球面上运动，
1
因为M 为线段PC 的中点，则动点M 到平面B1CF 距离的最小值即为动点 P 到平面B1CF 距离的最小值的 2 ，
uuur uuur uuur
AF = 2,2,2 ，FC = 2,0, -2 ，B1C = 0,2,-2 ，
uuur uuur uuur uuur
AF × FC = 2 2 - 2 2 = 0， AF × B1C = 2 2 - 2 2 = 0，
uuur uuur uuur uuur
所以 AF ^ FC ， AF ^ B1C ，即 AF ^ FC ， AF ^ B1C ，
又FC B1C = C ，FC, B1C 平面FB1C ，
所以 AF ^平面FB C, AF = 22 + 221 + 22 = 2 3,\| PF |min = AF - 2 = 2 3 - 2，
M 为线段PC 的中点，则动点M 到平面B1CF 距离的最小值为 3 -1.
故答案为： 3 -1
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于求出 P 点的轨迹，由题意可证得 AF ^平面FB1C,则可知动点M 到平
面B1CF
1
距离的最小值即为动点 P 到平面B1CF 距离的最小值的 ，求出 | PF |min = AF - 22 ，即可得解.
r r r r r r r r
11．已知单位向量 i，j，k 两两的夹角均为q （0 q ，且q ），若空间向量 a满足 a = xi + y j + zk ，
2
(x, y, z R) ，则有序实数组 (x, y, z)称为向量 ar在“仿射”坐标系O- xyz（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，
v
记作 a = (x, y, z)q ，有下列命题：
v r
① r
r
已知 a = 13,-2 q ，b = (4,0, 2)q ，则 anb＝０；
r r r
②已知 a = (x, y,0) ，b = (0,0, z) r ，其中 x, y, z > 0，则当且仅当 x = y 时，向量 a,b 的夹角取得最小值；
3 3
r r r r
③已知 a = x1, y1, z1 ，b = xq 2 , y2 , z2 ，则 a + b = x1 + x2 , y3 + y2 , zq 3 + z2 q ；
uuuv uuuv uuuv
④已知OA = 1,0,0 ，OB = (0,1,0) ，OC = (0,0,1) ，则三棱锥O - ABC 的表面积 S = 2 .
3 3 3
其中真命题为 （写出所有真命题的序号）．
【答案】②③
r r
【分析】①利用定义表示 a与b ，并利用空间向量数量积的运算律和定义来进行验证；
uuur r uuur r r r
②作出图形，设OB = b，OA = a，结合图形得出当DAOB 的面积取最小值时 a与b 的夹角最小，从而判断
结论的正误；
③利用“仿射”坐标的定义，结合空间向量加法的运算律来进行验证；
④根据“仿射”坐标的定义判断出三棱锥O - ABC 是棱长为1的正四面体，于此可得出该三棱锥的表面积.
r r
【解析】①由定义可得 a ×b = 1,3, -2 × 4,0,2q =q
r r r r r
i + 3 j - 2k × 4i + 2k
r r
= 4 +12i ×k - 4 =12cosq ，
0 q
r r
∵ q ， ，\a ×b 0，故①错误；2
uuur r uuur r
②如图，设OB = b，OA = a，则点A 在平面 xOy 上，点 B 在 z 轴上，
由图易知当 x = y
r r
时，DAOB 取得最小值，即向量 a与b 的夹角取得最小值，故②正确；③根据“仿射”坐标
v v v v v v v v
的定义可得 a + b = x1, y1, z1 + xq 2 , y2 , z2 )q = x1i + y1 j + z1k + x2i + y2 j + z2k
v v v
= x1 + x2 i + y1 + y2 j + z1 + z2 k = x1 + x2 , y1 + y2 z1 + z2 )q ，故③正确；
④ 1 3由已知可知三棱锥O - ABC 为正四面体，棱长为1，其表面积为 S = 4 = 3 ，即④错误．
2 2
故答案为②③.
【点睛】本题考查空间向量的新定义，在验证各命题时要严格根据题中定义来理解，结合空间向量加减法
以及数量积的运算律来计算，考查推理能力，属于难题.
12．如图，在棱长为 8 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 是棱 AA1上的一个动点，给出下列三个结论：①若
F 为BD 8 61上的动点，则 EF 的最小值为 4 2 ；② D到平面BED1的距离的最大值为 ；③ M 为BC 的中
3
点， P 为空间中一点，且PD与平面 ABCD所成的角为30°，PM 与平面 ABCD所成的角为60°，则 P 在平面
ABCD上射影的轨迹长度为3 5π ，其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
uuur uuur
【分析】对于①：建系，设设E 8,0,8m , m 0,1 , BF = lBD1,l 0,1 ，根据两点间距离公式分析求解；对
于②：利用等体积法求点到面的距离；对于③：根据线面夹角分析可知：DO = 3OM ，建系，利用坐标系
求点的轨迹方程.
【解析】对于①：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D 0,0,0 , B 8,8,0 , D1 0,0,8 ，
uuur uuur
可得BD1 = -8, -8,8 , DB = 8,8,0 ，
uuur uuur
设E 8,0,8m , m 0,1 , BF = lBD1 = -8l, -8l,8l ,l 0,1 ，
uuur uuur uuur
则DF = DB + BF = 8 -8l,8 -8l,8l ，即F 8 -8l,8 -8l,8l ，
2
可得EF = 64l 2 + 8 -8l 2 + 8l -8m 2 = 8 2 l 1- ÷ + l - m
2 1+ ，
è 2 2
ì 1
l - = 0 λ μ 1当 í 2 ，即 = = 时， EF 取到最小值 4 2 ，故①正确；
l - m = 0
2
对于②：设D到平面BED1的距离的最大值为 h ，
1 1 1 h 256由V =D-BED = VB-EDD 可得 h S△BED = 8 8 81 1 ，则 ，3 1 3 2 S△BED1
1
由（1）可知 S△BED1 的最小值为 4 2 8 3 =16 6 ，2
所以D到平面BED
256 8 6
1的距离的最大值为 = ，故②正确；
16 6 3
对于③：设 P 在平面 ABCD上射影为O，连接OP, DO,OM ，
可知：PD与平面 ABCD所成的角为 PDO = 30°，PM 与平面 ABCD所成的角为 PMO = 60°，
PO 3
则 tan PDO = = , tan PMO PO= = 3 ，可得DO = 3OM ，
DO 3 MO
在空间直角坐标系，则D 0,0,0 , M 4,8,0 ，
设O x, y,0 ，则 x2 + y2 = 3 x - 4 2 + y -8 2 ，
x 9
2
2 45
整理得 - ÷ + y - 9 = ，
è 2 4
可知 P 在平面 ABCD 3 5上射影的轨迹为半径为 的圆，
2
2π 3 5所以轨迹长度为 = 3 5π ，故③正确；
2
故答案为：①②③.
【点睛】关键点睛：对于点的距离和轨迹问题，常常建系分析求解.
二、单选题
uuur uuur uuur uuur
13．正四面体 A - BCD的棱长为 4，空间中的动点 P 满足 PB + PC = 2 2 ，则 AP × PD 的取值范围为（ ）
A． é4 - 2 3,4 + 2 3ù B． é 2,3 2ù
C． é4 - 3 2,4 - 2 ù D． -14,2
【答案】D
【分析】分别取 BC，AD 的中点 E，F，由题意可得点 P 的轨迹是以E 为球心，以 2 为半径的球面，又
uuur uuur uuur 2 uuur
AP × PD = 4 - PF ，再求出 PF 的最值即可求解
uuur uuur uuur
【解析】分别取 BC，AD 的中点 E，F，则 PB + PC = 2PE = 2 2 ，
uuur
所以 PE = 2 ，
故点 P 的轨迹是以E 为球心，以 2 为半径的球面，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2AP × PD = - PF + FA × PF + FD = - PF + FA × PF - FA = FA - PF = 4 - PF ，
又ED = DC 2 - CE2 = 16 - 4 = 12 = 2 3, EF = DE2 - DF 2 = 12 - 4 = 8 = 2 2 ，
uuur uuur
所以 PF = EF - 2 = 2 ， PF = EF + 2 = 3 2 ，
min max
uuur uuur
所以 AP × PD 的取值范围为 -14,2 ．
故选：D．
14．已知m ， n为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在的直线与m ， n都
垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
（1）直线 AB 与m 所成的角不可能为30o；
（2）直线 AB 与m 所成角的最大值为90o；
（3）直线 AB 与m 所成的角为60o 时， AB 与 n所成的角为30o .
其中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
【答案】A
【解析】由题意知，a、b、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为 1 的正方体， AC =1，
AB = 2 ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴，则 A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，
以 C 坐标原点，以 CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能可求出结果
【解析】由题意知，m、n、AC 三条直线两两相互垂直，不妨平移到同一个交点 C，放到一个正方形中，画
出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为 1，故|AC| = 1， AB = 2 ，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴则 A
点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，
设 n 所在的直线为 CD，m 所在的直线为 CB，
所以，以 C 为坐标原点，以 CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
r r ur
则 D(1,0,0)，A(0,0,1)，直线 n 的方向单位向量 n = 1,0,0 ， n =1，直线 m 的方向单位向量m = 0,1,0 ，
ur
m =1，设点 B 在运动过程中的坐标为B (cosq ,sinq ,0)，其中q 为B C 与CD 的夹角，q 0,2 ，且
uuuur uuuuur
sin2 q + cos2 q =1，所以 AB 在运动过程中的向量 AB = (cosq ,sinq ,-1)，AB = 2 ，设直线 AB 与m 所成角
a é ù é ù é ù为 ，设直线 AB 与 n所成角为b ，因为线线角的范围为 ê0， ú，所以a ê0， ， b 0， ， 2 2 ú ê 2 ú
uuuur ur
AB ×m (cosq ,sinq ,-1)× (0,1,0)
令 cosa = uuuur ur = ur uuuur
AB × m m × AB
= 2 sinq = cos30o = 3 ，
2 2
3
所以 sinq = >1不成立，①正确；
2
uuuur ur
AB ×m (cosq ,sinq ,-1)× (0,1,0)
由 cosa = uuuur
2
ur = ur uuuur = sinq ，
AB × m m × AB 2
当q = 0时， cosa = 0，a = ，所以②正确；
2
直线 AB 与m 所成的角为60o 时，
uuuur ur
AB ×mcos = uuuur 2ur = sinq =
1 2
3 2 2 ， sinq = ，AB × m 2
1
由 sin2 q cos2 q 1 cos2 q =1-sin2 q = cosq = 2+ = ，得 ， ，2 2
uuuur r
AB ×n (cosq ,sinq ,-1)× (1,0,0)
cos b = uuuur r = r uuuur =
2 cosq = 1 ，
AB × n n × AB 2 2
b = 60o，所以直线 AB 与m 所成的角为60o 时， AB 与 n所成的角不是30o，③错误
故选：A.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理
论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.
15．在正四面体D - ABC （所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱 AB 上，满足 AE = 2EB ，点F 为线段 AC
上的动点.设直线DE 与平面DBF 所成的角为a ，则（ ）
A．存在某个位置，使得DE ^ BF B．存在某个位置，使得 FDB =
4
C．存在某个位置，使得平面DEF ^平面DAC D．存在某个位置，使得a =
6
【答案】C
【分析】设正四面体D - ABC 的底面中心为点O，连接DO ，则 DO ^ 平面 ABC ，以点O为坐标原点，OB、
OD 所在直线分别为 x 、 z 轴建立空间直角坐标系，设正四面体D - ABC 的棱长为 2，然后利用空间向量法
逐一分析求解可得结果.
【解析】如下图所示，设正四面体D - ABC 的底面中心为点O，连接DO ，则 DO ^ 平面 ABC ，
以点O为坐标原点，OB、OD 所在直线分别为 x 、 z 轴建立空间直角坐标系，
设正四面体D - ABC 的棱长为 2，
3 2 3 3
则 A - ,-1,0÷÷、B ,0,0÷÷、C - ,1,0 D 0,0,
2 6 E 3 1
3 3 3 ÷÷
、 ÷÷ 、 , - ,0 ，
è è è è 3 è 3 3
÷÷
F 3
设 - ,l,0÷÷，其中-1 l 1，
è 3
uuur 3 1 2 6 uuur
对于 A 选项，若存在某个位置使得DE ^ BF ，DE = , - , -3 3 3 ÷÷
，BF = - 3,l,0 ，
è
uuur uuur
\DE × BF 1 1= - - l = 0，解得l = -3，不合乎题意，A 选项错误；
3
uuur DF 3 2 6
uuur 2 3 2 6
对于 B 选项，若存在某个位置使得 FDB = ， = - ,l,- ÷÷，DB = ,0,- ，4 è 3 3 è 3 3
÷÷
uuur uuur uuur uuur
cos DF , DB uDuuFr × DuuBur 2 1 2 >= = = = B
DF DB 2 2 2 ，该方程无解， 选项错误；× l + 3 2 l + 3
ur
对于 C 选项，设平面DAC 的一个法向量为m = x1, y1, z1 ，
uuur uuur
DA 3 2 6 3= - ,-1,- ÷÷，DC = - ,1,
2 6
- ÷÷ ，
è 3 3 è 3 3
ì v uuuvm DA 3 2 6 × = - x1 - y1 - z1 = 0 3 3 ur
由 í ，取 z1 = -1，得m =uuuv 2 2,0,-1 ， mv DC 3 x y 2 6 × = - 1 + 1 - z = 0 3 3 1
r
设平面DEF 的一个法向量为 n = x2 , y2 , z2 ，
uuur 3 1 2 6 uuur DE = , - ,
3
- ÷÷ ，DF = - ,l,
2 6
-
3 3 3 3 3 ÷÷
，
è è
ì v uuuvn DE 3 x 1 y 2 6 × = 2 - 3 3 2
- z2 = 03 r
由 í ，取 y2 = 4 6 ，则 n = 2 2 + 6 2l, 4 6,3l -1
uuuv
，
n
v 3× DF = - x2 + l y
2 6
2 - z 3 3 2
= 0
ur r 3
若存在某个位置，使得平面DEF ^平面DAC ，则m × n = 21l + 9 = 0，解得l = - -1,1 ，合乎题意，C 选7
项正确；
r
对于 D 选项，设平面DBF 的一个法向量为u = x3 , y3 , z3 ，
uuur 2 3 2 6 uuur DB ,0, DF 3 ,l, 2 6
= - ÷÷， = - -3 3 ÷÷
，
è è 3 3
ì v uuuv
u × DB
2 3 x 2 6= - z = 0
3 3 3 3 r
由 í ，令 z3 = l ，则u = 2l, 6,luuuv ， uv 3 2 6 × DF = - x3 + l y 3 3 - z3 = 03
r uuur 6
1 r uuur u DE
l +1× 3 2 l +1
若存在某个位置，使得a = ，即
6 sin = = cos u, DE > = r uuur = =
，
6 2 u × DE 23l 2 + 6 2 7 2 7 l + 2
3
整理得5l 2 - 4l +12 = 0，D =16 - 240 0，该方程无解，D 选项错误.
故选：C.
【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.
16 4 3．如图，在菱形 ABCD中， AB = ， BAD = 60°，沿对角线BD将△ABD 折起，使点 A，C 之间的距
3
离为 2 2 ，若 P，Q 分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A．平面 ABD ^平面BCD
B．线段 PQ的最小值为 2
C 14．当 AQ = QC ， 4PD = DB时，点 D 到直线 PQ的距离为
14
D P Q BD 6．当 ， 分别为线段 ，CA的中点时， PQ与 AD 所成角的余弦值为
4
【答案】C
【分析】取 BD的中点O，易知OA ^ BD,OC ^ BD，结合条件及线面垂直的判定定理可得OA ^ 平面 BDC ，
进而有平面 ABD ^平面BDC ，即可判断 A；建立坐标系，利用向量法可判断 BCD.
【解析】取BD的中点O，连接OA,OC ，
∵在菱形 ABCD AB 4 3中， = ， BAD = 60°，
3
∴ OA = OC = 2，又 AC = 2 2 ，
∴ OA2 + OC 2 = AC 2 ，所以OA ^ OC ，
又易知OA ^ BD,OC ^ BD，
因为OA ^ OC ，OA ^ BD，OC I BD = O ，
所以OA ^ 平面BDC ，
因为OA 平面 ABD，
所以平面 ABD ^平面BDC ，故 A 正确；
以O为原点，OB,OC,OA分别为 x, y, z轴建立坐标系，
B 2 3
则 ,0,0÷÷ ,C 0,2,0 , A 0,0,2 , D
2 3
3
- ,0,0
è è 3
÷÷，
当 AQ = QC ， 4PD = DB时，Q 0,1,1 ， P 3 - ,0,03 ÷÷，è
uuur 3 uuur PQ = ,1,1
3
3 ÷÷，
DP = ,0,0÷÷，
è è 3
uuur uuur 1
PQ × DP 21
所以点 D 到直线 PQ 的距离为 d = uuur = 3 =PQ 7 21 ，故 C 错误；
3
uuur uuur
设P a,0,0 ，设CQ = lCA = l 0,-2,2 ，可得Q 0,2 - 2l, 2l ，
1 2PQ = a2 + 2 - 2l 2 + 2l 2 = a2 + 8 l - 2 ÷ + 2 ，è
1
当 a = 0,l = 时， PQ = 2min ，故 B 正确；2
当 P，Q 分别为线段 BD，CA 的中点时，
uuur
P 0,0,0 ，Q 0,1,1
uuur
AD 2 3
， PQ = 0,1,1 ， = - ,0,-23 ÷÷ ，è
设 PQ 与 AD 所成的角为q ，
uuur uuur
PQ × AD
cosq 2 6=
则 uuur uuur = =PQ × AD 16 4 ，2
3
所以 PQ 与 AD 6所成角的余弦值为 ，故 D 正确；
4
故选：C.
三、解答题
17．如图所示的几何体 P - ABCDE 中，VABP和△AEP 均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形， AB ^ AE ，
AB / /CE ， AE / /CD ，CD = CE = 2AB = 4，M 为PD的中点.
（1）求证：CE ^ PE ；
（2）求二面角M - CE - D的大小；
（3）设 N 为线段PE上的动点，使得平面 ABN / / 平面MCE ，求线段 AN 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）45°；（3） 2
【分析】（1）根据题意，得出PA ^ AB ，PA ^ AE ，根据线面垂直的判定定理得出PA ^平面 ABCDE ，则
AB ^ AE ，建立以A 为原点， AB ， AE ， AP 为 x ， y ， z 轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明
CE ^ PE ；
（2）求出平面MEC 的法向量和平面DEC 的一个法向量，利用向量法能求出二面角M - CE - D的大小；
3 [l [0 1]) N (0 2l 2 - 2l) （ ）设 PN = l PE ， ， ，求出 ， ， ，令 AN ^ n ，则 AN gn = 0，解得 N 为 PE的中点，
利用向量法能求出线段 AN 的长．
【解析】解：依题意得，VABP和△AEP 均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形，
则PA ^ AB ，PA ^ AE ，
所以PA ^面 ABCDE ，
又 AB ^ AE ，可以建立以A 为原点，
分别以 AB ， AE ， AP 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得 A 0,0,0 ，B 2,0,0 ，C 4,2,0 ，D 4,6,0 ，E 0,2,0 ，P 0,0,2 ，M 2,3,1 ，
（1）证明：由题意，CE = -4,0,0 ，PE = 0,2,-2 ，
因为CE× PE = 0，所以CE ^ PE .
（2）解：ME = -2, -1, -1 ，MC = 2,-1, -1 ，
设 n = x, y, z 为平面MEC 的法向量，则
uuuv
ìnr × ME -2x - y - z = 0
í r uuuuv
= 0 ì
，即 í ，
n × MC = 0 2x - y - z = 0
不妨令 y =1，可得 n = 0,1, -1 ，
平面DEC 的一个法向量 AP = 0,0,2 ，
n× AP 2
因此有 cos n, AP = = -
n AP 2
，
由图可得二面角M - CE - D为锐二面角，
所以二面角M - CE - D的大小为45° .
（3）解：（方法一）设PN = l PE l 0,1 ， N x, y, z ，
所以 x, y, z - 2 = l 0,2, -2 ，因此 N 0,2l, 2 - 2l ，
令 AN ^ n ，即 AN × n = 0，
1
解得l = ，即 N 为PE的中点，
2
因为 AB / / 平面MCE ， AN / /平面MCE ， AB I AN = A，
所以当 N 为PE的中点时，平面 ABN / / 平面MCE ，
此时即 N 0,1,1 ，
AN = 02 +12 +12 = 2 ，
所以线段 AN 的长为 2 .
（方法二）设PN = l PE l 0,1 ， N x, y, z ，
所以 x, y, z - 2 = l 0,2, -2 ，因此 N 0,2l, 2 - 2l ，
设m = x, y, z 为平面 ABN 的法向量，
r uuuvìm × AB = 0 ì4x = 0
则 í
mr
uuuv ，即 í
× AN = 0 2l y + 2 - 2l z = 0
，
不妨令 y = l -1，可得m = 0,l -1,l ，
因为平面 ABN / / 平面MCE ，所以m/ / n，
1
解得：l = ，
2
此时即 N 0,1,1 ， AN = 02 +12 +12 = 2 ，
所以线段 AN 的长为 2 .
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还涉及空间
中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．
18．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，底面是边长为 2 的等边三角形，CC1 = 2, D, E分别是线段 AC,CC1的
中点，C1在平面 ABC 内的射影为D .
(1)求证： A1C ^平面BDE ；
(2)若点F 为棱 B1C1 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；
(3)若点F 为线段 B1C1 上的动点（不包括端点），求锐二面角F - BD - E 的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2) 3 3
4
1 3
(3) ,2 2 ÷÷è
【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；
法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为 0，可证BD ^ A1C, DE ^ A1C，从而得证；
法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面BDE 的一个法向量，证明其与 A1C 平行，从而得证；
（2）利用空间向量法求点到面的距离；
（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.
【解析】（1）法一：连结 AC1，因为VABC 为等边三角形，D为 AC 中点，\BD ^ AC ，
又C1D ^平面 ABC ，BD 平面 ABC ，\C1D ^ BD
Q AC C1D = D, AC,C1D 平面 AA1C1C
\BD ^ 平面 AA1C1C ，又 A1C 平面 AA1C1C,\BD ^ A1C ，
由题设知四边形 AA1C1C 为菱形，\ A1C ^ AC1，
QD, E分别为 AC,CC1中点，\DE∥ AC1,\ A1C ^ DE ，
又BD DE = D，BD I DE = D, BD, DE 平面BDE,\ A1C ^平面BDE .
法二：由C1D ^平面 ABC ，BD，AC 平面 ABC ，\C1D ^ BD，C1D ^ AC，
uuur uuur uuuur
又VABC 为等边三角形，D为 AC 中点，\BD ^ AC ，则以D为坐标原点，DB, DA, DC1 所在直线为 x, y, z轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，则
D 0,0,0 , B 3,0,0 ,C 0,-1,0 ,C1 0,0, 3 , E 0,
1
- , 3 ÷÷ , B1 3,1 3 , A1 0,2, 3 ,
è 2 2
uuur uuur 1 3 uuur
\DB = 3,0,0 , DE = 0,- , , AC = 0, -3, - 3
è 2 2
÷÷ 1
uuur uuur uuur uuur
QDB·A1C = 0, DE·A1C = 0 \ BD ^ A1C, DE ^ A1C
又BD DE = D，BD I DE = D, BD, DE 平面BDE,\ A1C ^平面BDE .
ur
法三：（同法二建系）设平面BDE 的一个法向量为m = x, y, z
uuur ì
ì r 3x = 0
Q
DB × m = 0
íuuur
r ，即 íDE ×m = 0 1 y 3 - + z = 0
2 2
ur
不妨取 z =1，则 y = 3 ，则m = 0, 3,1
ur
所以平面BDE 的一个法向量为m = 0, 3,1
uuur
Q A1C = uuur0, -3, - 3 AC 3mr uuur，\ 1 = - ，\ A1C / /mr ，\ A1C ^平面BDE
3 1 ur r uuur（2）由（1）坐标法得F , , 3 ÷÷ ，平面BDE 的一个法向量为m = 0, 3,1 （或m = CA1 = 0,3, 3 ）
è 2 2
uuur
QDF 3 , 1= , 3
è 2 2 ÷
÷
r uuur 3
\ F BDE = m × DF
+ 3
点到 到平面 的距离 3 3
mr
= 2 =
2 4
uuuur
（3）C1B1 =
uuur
3,1,0 ,CA1 = 0,3, 3
uuuur uuuur
设F x, y, z ,C1F = lC1B1(0 l 1) ，则 x, y, z - 3 = 3l,l,0 ，
uuur
\ x = 3l, y = l, z = 3,\F 3l,l, 3 ,\DF = 3l,l, 3 ；
r uuur
由（1）知： A1C ^平面BDE,\平面BDE 的一个法向量m = CA1 = 0,3, 3
（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；
nr设平面FBD 的法向量 = a,b,c ，
uuur
ì r DB × n = 3a = 0
则 íuuur r ，令b = 3 ，则 a = 0,c
r
= -l,\n = 0, 3, -l ；
DF × n = 3la + lb + 3c = 0
r r
cos mr r
m × n 3 3 - 3l 3- l
, n 1 (3- l)
2
\ = r r = = = 2 ，m × n 2 3 3+ l 2 2 3 + l 2 2 3 + l
r r 1 t 2 1 1
令3- l = t 2,3 ，则l = 3- t \ cos m, n = =2 12 - 6t + t 2 2 12 6 ；
2 - +1t t
Q1 1 , 1 , 12 6 1
\ - +1 ,1 ,\ cos mr , nr 1 , 3 ，
t 3 2 ÷ t 2 t 3 ÷ ÷è è 2 2 ÷è
1 3
即锐二面角F - BD - E 的余弦值的取值范围为 , ÷÷ .
è 2 2
19．如图，已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 ， AB = 2 ， AA1 =1，直线 BD 与平面 AA1B1B所成角为 30°，AE 垂
直 BD 于 E．
(1)若 F 为棱 A1B1 的动点，试确定 F 的位置，使得 AE∥平面BC1F ，并说明理由；
(2)若 F 为棱 A1B1 的中点，求点 A 到平面BDF 的距离；
(3)若 F 为棱 A1B1 上的动点（除端点 A1 B1外），求二面角F - BD - A的平面角的范围．
【答案】(1)当B1F
2 4
= 或 A1F = 时， AE∥平面BC1F ，理由见解析3 3
(2) 2 5
5
π π
(3) ( , )
4 2
uuur 2 4 uuuur uuur 3 uuuur
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出 AE的坐标，根据B1F = 或 A1F = 得出FC1 的坐标，根据 AE = FC3 3 4 1
得出 AE //FC1，即可说明理由；
（2）方法一：根据等体积法，设点A 到平面BFD 的距离为 h ，三棱锥 A - FBD的体积
V 1 1= × SVABD ×1 = × SVBFD ×h，分别求出 SVABD 和 SVBFD 代入计算即可；方法二：建立空间直角坐标系，利用点3 3
到平面的距离公式计算即可；
ur
（3）建立空间直角坐标系，设BF1 = a ，其中 a (0, 2)，分别求出平面BFD 的法向量 n1 和平面 ABD的法向
uur ur uur ur uur
量 n2 ，得出 cos n1,n2 ，根据 a的取值范围求出 cos n1,n2 的范围，结合图形，即可得出二面角F - BD - A
的平面角的范围．
【解析】（1）当B F
2 A F 41 = 或 1 = 时， AE∥平面BC1F ，理由如下：3 3
由直线 BD 与平面 AA1B1B所成角为 30°，可知 DBA = 30°，
2 3
又因为 AB = 2 ，所以 AD = ，
3
1
又因为 AE ^ BD，所以 AE = AB = 1，
2
过点E 作EG ^ AD，垂足为G ，如图所示，则 EAG = 30°，
GE 1 1所以 = AE = ，
2 2 AG = AE
2 - GE2 3= ，
2
以A 为原点， AB ， AD ， AA1所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
uuur
AE (1 , 3则 = ,0)，
2 2
B F 2
uuuur
当 1 = 时，3 FC1 = (
2 , 2 3 ,0) ，
3 3
uuur 3 uuuur uuur uuuur
因为 AE = FC1 ，所以 AE // FC1 ，即 AE //FC1，4
又因为FC1 平面BC1F ，且 AE 平面BC1F ，
所以 AE // 平面BC1F ．
（2）由（1 AD 2 3）可知， = ， AE =1
3
方法一：
因为点F 是 A1B1 中点，所以B1F = A1F =1，
所以BF = BB2 + B F 2 = 2 DF AD2 A A2 A F 2 301 1 ， = + 1 + 1 = ，BD = 2AD
4 3
= ，
3 3
因为 cos BFD = 0 ，即 BFD = 90°，
S 1 15所以 VBFD = × BF × FD = ，2 3
设点A 到平面BFD 的距离为 h ，三棱锥 A - BFD的体积为V ，
V 1 1= × S 2 3 15因为
3 VABD
×1 = × SVBFD ×h，即3 = h
，
3 3
h 2 5所以 = ，即点 A 到平面BDF 2 5的距离为 ．
5 5
方法二：
按（1）的方法建系，
因为点F 是 A1B1 中点，所以B1F = A1F =1，
uuur uuur
BF = (-1,0,1) BD ( 2, 2 3
uuur
则 ， = - ,0)， AB = (2,0,0)，
3
r
设平面BDF 的一个法向量为 n = (x, y, z) ，
uuur
ì -x + z = 0 BF × n
r ì
= 0
则 íuuur
r ，即 í 2x 2 3
，
BD × n = 0 - + y = 0 3
r
取 x =1，则 n = (1, 3,1) ，
r uuur
n × AB 2 2 5
所以点 A 到平面BDF 的距离为： r = = ．
n 1+ 3 +1 5
（3）设BF1 = a ，其中 a (0, 2)，
按（1）中方法建立空间直角坐标系，
uuur uuur ur
则FB = (a,0,-1) BD ( 2, 2 3， = - ,0)，设平面FBD 的一个法向量为 n = (x, y, z)，
3 1
uuur
ì ax - z = 0 FB n
r
× = 0 ì ur
则 íuuur
r 即 í 2 3 ，取 x =1则 n = (1, 3, a)，
BD × n = 0 -2x + y = 0
1
3
uur uur
设平面 ABD的一个法向量为 n2 ，易得 n2 = (0,0,1) ，
ur uur ur uur
cos n n1 ×n2 a a
2
则 1, n2 = ur uur = = 2 = 1
4
-
n × n 2 a + 4 a2 + 4
，
1 2 a + 4
a (0, 2) 4 1 4 2因为 ，所以1- 2 (0, ) ，所以 1- 2 (0, )，a + 4 2 a + 4 2
ur uur
所以 cos n1,n2 (0,
2 )，
2
由图可知，二面角F - BD - A为锐角，
π π
所以二面角F - BD - A的平面角的范围是 ( , )．
4 2
20．如图①所示，长方形 ABCD中， AD =1， AB = 2 ，点M 是边CD 的中点，将△ADM 沿 AM 翻折到
△PAM ，连接 PB，PC ，得到图②的四棱锥P - ABCM ．
(1)求四棱锥P - ABCM 的体积的最大值；
(2)若棱 PB的中点为 N ，求CN 的长；
(3)设P - AM - D 的大小为q ，若q 0,
π ù
ú ，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．è 2
【答案】(1) 2
4
(2) 5
2
(3) 11
11
【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM ⊥平面 ABCM 时，P 点到平面 ABCM 的距离最大，四棱锥
P - ABCM 1 2的体积取得最大值，求出PG = AM = ，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四
2 2
2
边形 CNQM 1 5为平行四边形，从而得到CN = MQ = ÷ +1
2 = ；（3）作出辅助线，得到∠PGD 为
è 2 2
P - AM - D 的平面角，即 PGD = q ，建立空间直角坐标系，用含q 的关系式表达出平面 PAM 和平面 PBC
9
的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到 cosa = 2 ，结合 t 的取值范围求出余弦值的最小值80t + 60t - 9
【解析】（1）取 AM 的中点 G，连接 PG，
因为 PA=PM，则 PG⊥AM，
当平面PAM ⊥平面 ABCM 时，P 点到平面 ABCM 的距离最大，
四棱锥P - ABCM 的体积取得最大值，
此时 PG⊥ 1 2平面 ABCM ，且PG = AM = ，
2 2
1 3
底面 ABCM 为梯形，面积为 1+ 2 1 = ，
2 2
1 3 2 2
则四棱锥P - ABCM 的体积最大值为 =
3 2 2 4
（2）取 AP 中点 Q，连接 NQ，MQ，
则因为 N 为 PB 中点，所以 NQ 为△PAB 的中位线，
1
所以 NQ∥AB 且 NQ = AB ，
2
因为 M 为 CD 的中点，四边形 ABCD 为矩形，
1
所以 CM∥AB 且CM = AB ，
2
所以 CM∥NQ 且 CM=NQ，
故四边形 CNQM 为平行四边形，
1 2CN = MQ = 5所以 ÷ +1
2 = .
è 2 2
（3）连接 DG，
因为 DA=DM，所以 DG⊥AM，
所以∠PGD 为P - AM - D 的平面角，即 PGD = q ，
过点 D 作 DZ⊥平面 ABCD，以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DZ 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系，
则 A 1,0,0 , M 0,1,0 ,C 0,2,0 ，
过 P 作 PH⊥DG 于点 H，由题意得 PH⊥平面 ABCM，
设P x0 , y0 , z0 ，
因为PG 2 PH 2 sinq ,GH 2= ，所以 = = cosq , DH 2= 1- cosq ，
2 2 2 2
x 2 2 1 2所以 0 = y0 = 1- cosq = 1- cosq ， z0 = sinq2 2 2 2
1
所以P 1- cosq ,
1 1 cosq , 2- sinq
2 2 2 ÷÷
，
è
uuuur uuur
所以 AM = -1,1,0 , PA 1+ cosq cosq -1 2= , ,- sinq2 2 2 ÷÷，è
ur
设平面 PAM 的法向量为 n1 = x1, y1, z1 ，
ì-x1 + y1 = 0
则 í1+ cosq x cosq -1
，
1 + y
2 sinq
1 - z1 = 0 2 2 2
ur
令 z1 = 2 ，则 n1 = tanq , tanq , 2 ，
uur
设平面 PBC 的法向量为 n2 = x2 , y2 , z2 ，
uuur uuur
因为CB 1,0,0 , PC cosq -1 cosq + 3 2= = , ,- sinq2 2 2 ÷÷，è
ìx
2
= 0
则 ícosq -1 x cosq + 3 2 + y - z sinq = 0 2 2 2 2 2 2
uur
令 y2 = 2 sinq ，可得： n2 = 0, 2 sinq ,3 + cosq ，
设两平面夹角为a ，
sin2ur uur q
n ×n 2 + 3 2 + 2 cosq
则 1 2 cosq 3cosq +1cosa = ur uur = =
n1 × n 22 2 tan q + 2 sin2 q + 6cosq +10 11- cos2 q + 6cosq
3 cosq 1+
= 3 3=
2
80 20- cosq
1 20+ ÷ +
cosq
1 80+ ÷ + 2 + -1
è 3 3 è 3 9 9
1
cosq
1
+ ÷ 3 cosq + ÷
è 3 è 3
t 1= q π 0, ù t 3 ,3ù令 cosq 1+ ， è 2
，所以
ú è 4 ú
，
3
所以 cosa
9
= 11
2 ，所以当 t = 3时， cosa 有最小值 ，80t + 60t - 9 11
11
所以平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值为
11
【点睛】求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事
半功倍.
21．我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形 ABCD中，
BAD = 60°，将△ABD 沿BD翻折，使点 A 到点 P 处.E，F，G 分别为BD，PD，BC 的中点，且 FG 是PD
与BC 的公垂线.
(1)证明：三棱锥P - BCD为正四面体；
(2)若点 M，N 分别在PE，BC 上，且MN 为PE与BC 的公垂线.
PM
①求 的值；
ME
1 1 1
②记四面体BEMN 的内切球半径为 r，证明： > + .
2r EM BN
【答案】(1)证明过程见解析
(2)①10，②证明过程见解析
【分析】（1）作出辅助线，证明出线面垂直，得到BC ⊥ PG ，由三线合一得到PB = PC ，进而得到六条边
均相等，证明出结论；
1 uuuur uuur uuur uuur
（2）①设出边长，由余弦定理得到 cos PEC = ，设出PM = lPE, BN = m BC ，表达出
3
uuuur uuur uuur uuur
uuuur uuur uuuur uuurMN = 1- m EB + m EC + l -1 EP，利用MN × EP = MN × BC = 0列出方程，求出l ，得到答案；
②取CD 中点Q，令 MEQ = a ，则E 到平面MBN 的距离为 d = ME sina ，表达出
V 1 1E-MBN ME × BN × MN ，再利用四棱锥内切球半径得到VE-MBN = S × r ，其中 S > MN × ME + BN ，进而得6 3
到不等式，求出答案.
【解析】（1）连接PG, DG ，
因为菱形 ABCD中， BAD = 60°，
所以△BCD和△PBD 为等边三角形，
因为G 是BC 中点，所以DG ⊥ BC ，
因为 FG 是PD与BC 的公垂线，所以 FG ⊥ BC ，
因为DG FG = G，且DG, FG 平面PDG，
所以BC ⊥平面PDG，
因为PG 平面PDG，
所以BC ⊥ PG ，
由三线合一得PB = PC ，
又PD = PB = BD = CD = BC ，所以三棱锥P - BCD为正四面体，
（2）不妨设PB = 2，则PC = 2，PE = EC = 3，
cos PEC PE
2 + EC 2 - PC 2 3+ 3- 4 1
由余弦定理得 = = = ，
2PE × EC 2 3 3 3
uuuur uuur uuur uuur
设PM = lPE, BN = m BC ，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur所以MN = MP + PB + BN = lEP + EB - EP + m EC - EB = 1- m EB + m EC + l -1 EP ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为EB × EC = 0, EB × EP = 0, EC × EP = EC × EP cos PEC =1，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以MN × EP = é 1- m EB + m EC + l -1 EPù × EP
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= 1- m EB × EP + m EC × EP + l -1 EP × EP
= m + 3 l -1 = 0，
故3l + m = 3，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
其中EB × BC = EB
1
× BC cos120° =1 2 3 - ÷ = -1， ，
è 2
EC × BC = EC × BC cos30° = 3 2 = 3
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurEP × BC = CP - CE × BC = CP × BC - CE × BC = 2 2cos120° - 3 2cos150° = -2 + 3 =1，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
MN × BC = é 1- m EB + m EC + l -1 EP ù × BC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= 1- m EB × BC + m EC × BC + l -1 EP × BC
= - 1- m + 3m + l -1 = l + 4m - 2 = 0
ìl 103l + m = 3 =ì 11 PM
即 í =10
l + 4 2
，解得
m = í
，故 ；
m 3= ME
11
②取CD 中点Q，令 MEQ = a ，则E 到平面MBN 的距离为 d = ME sina ，
V 1 1E-MBN = ME × BN × MN sina ME × BN × MN ，6 6
1
设四面体BEMN 的表面积为 S，则VE-MBN = S × r ，3
1
其中 SVMNE = MN × ME, S
1
VMNB = MN × BN ，2 2
1
而 SVBME > MN × ME, S
1
VBNE > MN × BN ，2 2
S = SVMNE + SVMNB + SVBME + SVBNE > MN × ME + MN × BN = MN × ME + BN ，
1 1
所以 ME × BN × MN > MN × ME + BN r ，
6 3
1 1 1
即 > + .
2r ME BN
【点睛】在解决平面图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，
通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发
生变化，解题时应抓住不变量，利用解三角形知识或建立空间直角坐标系进行求解.第 3 章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）
一、填空题
uuur uuur
1．在棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 E 满足 A1E = 2EB1 ，点 F 在平面BC1D内，则| A1F + | EF |
的最小值为 .
uuur uuur uuur π
2．已知空间向量PA、PB、PC 的模长分别为 2、 2、3，且两两夹角均为 ，点G 为VABC 的重心，则3
uuur
PG = ．
3．如图，四面体 ABCD的每条棱长都等于 a，M , N 分别是 AB,CD 上的动点，则MN 的最小值是 ，
uuuur uuur
此时cosáMN , DB = ．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
4．若正三棱锥 A - BCD的底面边长为 6，高为 13 ，动点 P 满足 (DA + CB) ^ (PA + PB + PC + PD)，则
uuur uuur uuur
| PA + PB | +2 | PA |的最小值为 ．
5．如图，两个正方形 ABCD，CDEF 的边长都是 8，且二面角 A - CD - E为60°，M 为对角线 AC 靠近点 A
的四等分点，N 为对角线 DF 的中点，则线段MN = ．
6．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E 为线段 AD 的中点，设平面 A1BC1与平面CC1E 的交线为m ，
则点 A 到直线m 的距离为 .
7．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体
（各面都是全等的正多边形），即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知球 O 是
uuuur uuur
棱长为 2 的正八面体的内切球，MN 为球 O 的一条直径，则PM × PN 的取值范围是 .
r ur ur
8．已知单位空间向量 e1,e
r r r r r r 1 r r r r r 3 2
2 ,e3满足 e1 ×e2 = 0,e2 ×e3 = e1 ×e3 = ．若空间向量 a满足 a ×e1 = a ×e2 = ，且对于2 2
任意实数 x, y, a
r
- xer1 - ye
r r r
2 的最小值是 2，则 a - le3 (l R)的最小值是 ．
9．如图，棱长为 1 的正方体 A1 A2 A3 A4 - A5 A6 A7 A8的八个顶点分别为 A1, A2 ,L, A8 ，记正方体 12 条棱的中点
uuur uuur
分别为 A9 , A10 ,L, A20 ，6 个面的中心为 A21 , A22 ,L, A26 ，正方体的中心为 A27 .记m j = A1 A7 × A1 A j ，
j {1,2， ，27}，其中 A1A7 是正方体的体对角线.则m1 + m2 + + m27 = .
10．如图，点 P 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 内部运动，点E 在棱 AB 上，且BE = 3AE ，动点 P 满足PB = 2PE, F
为棱C1D1的中点，M 为线段PC 的中点，若 AB = 4, AD = AA1 = 2，则动点M 到平面B1CF 距离的最小值
为 .
r r r r r r r
11．已知单位向量 i，j，k 两两的夹角均为q （0 q ，且q ），若空间向量 ar满足 a = xi + y j + zk ，
2
(x, y, z R) ，则有序实数组 (x, y, z) ar称为向量 在“仿射”坐标系O- xyz（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，
v
记作 a = (x, y, z)q ，有下列命题：
v r
①已知 a = 13,-2 b = (4,0, 2) ar
r
q ， q ，则 nb＝０；
r r
②已知 a = (x, y,0) ，b = (0,0, z)
r
，其中 x, y, z > 0，则当且仅当 x = y r时，向量 a,b 的夹角取得最小值；
3 3
r r r r
③已知 a = x1, y1, z1 b =q ， x2 , y2 , z2 ，则 a + b = x1 + x2 , y3 + y2 , zq 3 + z2 q ；
uuuv uuuv uuuv
④已知OA = 1,0,0 ，OB = (0,1,0) ，OC = (0,0,1) ，则三棱锥O - ABC 的表面积 S = 2 .
3 3 3
其中真命题为 （写出所有真命题的序号）．
12．如图，在棱长为 8 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 是棱 AA1上的一个动点，给出下列三个结论：①若
F 为BD 8 61上的动点，则 EF 的最小值为 4 2 ；② D到平面BED1的距离的最大值为 ；③ M 为BC 的中
3
点， P 为空间中一点，且PD与平面 ABCD所成的角为30°，PM 与平面 ABCD所成的角为60°，则 P 在平面
ABCD上射影的轨迹长度为3 5π ，其中所有正确结论的序号是 ．
二、单选题
uuur uuur uuur uuur
13．正四面体 A - BCD的棱长为 4，空间中的动点 P 满足 PB + PC = 2 2 ，则 AP × PD 的取值范围为（ ）
A． é 4 - 2 3,4 + 2 3ù é ù B． 2,3 2
C． é 4 - 3 2,4 - 2 ù D． -14,2
14．已知m ， n为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在的直线与m ， n都
垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
（1）直线 AB 与m 所成的角不可能为30o；
（2）直线 AB 与m 所成角的最大值为90o；
（3）直线 AB 与m 所成的角为60o 时， AB 与 n所成的角为30o .
其中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）
15．在正四面体D - ABC （所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱 AB 上，满足 AE = 2EB ，点F 为线段 AC
上的动点.设直线DE 与平面DBF 所成的角为a ，则（ ）
A．存在某个位置，使得DE ^ BF B．存在某个位置，使得 FDB
=
4
C．存在某个位置，使得平面DEF ^平面DAC D．存在某个位置，使得a =
6
16．如图，在菱形 ABCD AB 4 3中， = ， BAD = 60°，沿对角线BD将△ABD 折起，使点 A，C 之间的距
3
离为 2 2 ，若 P，Q 分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A．平面 ABD ^平面BCD
B．线段 PQ的最小值为 2
C．当 AQ = QC ， 4PD = DB时，点 D 到直线 PQ 14的距离为
14
D．当 P，Q 分别为线段BD，CA的中点时， PQ AD 6与 所成角的余弦值为
4
三、解答题
17．如图所示的几何体 P - ABCDE 中，VABP和△AEP 均为以A 为直角顶点的等腰直角三角形， AB ^ AE ，
AB / /CE ， AE / /CD ，CD = CE = 2AB = 4，M 为PD的中点.
（1）求证：CE ^ PE ；
（2）求二面角M - CE - D的大小；
（3）设 N 为线段PE上的动点，使得平面 ABN / / 平面MCE ，求线段 AN 的长.
18．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，底面是边长为 2 的等边三角形，CC1 = 2, D, E分别是线段 AC,CC1的
中点，C1在平面 ABC 内的射影为D .
(1)求证： A1C ^平面BDE ；
(2)若点F 为棱 B1C1 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；
(3)若点F 为线段 B1C1 上的动点（不包括端点），求锐二面角F - BD - E 的余弦值的取值范围.
19．如图，已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 ， AB = 2 ， AA1 =1，直线 BD 与平面 AA1B1B所成角为 30°，AE 垂
直 BD 于 E．
(1)若 F 为棱 A1B1 的动点，试确定 F 的位置，使得 AE∥平面BC1F ，并说明理由；
(2)若 F 为棱 A1B1 的中点，求点 A 到平面BDF 的距离；
(3)若 F 为棱 A1B1 上的动点（除端点 A1 B1外），求二面角F - BD - A的平面角的范围．
20．如图①所示，长方形 ABCD中， AD =1， AB = 2 ，点M 是边CD 的中点，将△ADM 沿 AM 翻折到
△PAM ，连接 PB，PC ，得到图②的四棱锥P - ABCM ．
(1)求四棱锥P - ABCM 的体积的最大值；
(2)若棱 PB的中点为 N ，求CN 的长；
π
(3)设P - AM - D 的大小为q q
0, ù，若 ú ，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．è 2
21．我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形 ABCD中，
BAD = 60°，将△ABD 沿BD翻折，使点 A 到点 P 处.E，F，G 分别为BD，PD，BC 的中点，且 FG 是PD
与BC 的公垂线.
(1)证明：三棱锥P - BCD为正四面体；
(2)若点 M，N 分别在PE，BC 上，且MN 为PE与BC 的公垂线.
PM
①求 的值；
ME
②记四面体BEMN
1 1 1
的内切球半径为 r，证明： > + .
2r EM BN
