第1章空间向量与立体几何同步练习卷（含解析）-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册

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第1章空间向量与立体几何同步练习卷-高二数学上学期人教A版2019选择性必修第一册
一、单选题
1．已知直线过点，其方向向量是，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系O-xyz中，点，，则（ ）
A．直线AB∥坐标平面xOy B．直线AB⊥坐标平面xOy
C．直线AB∥坐标平面 D．直线AB⊥坐标平面
3．直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ）
A． B．
C．或 D．与的位置关系不能判断
4．如图，平行六面体的各棱长均为，，，则（　　 ）

A． B．
C． D．
5．如图，已知四边形ABCD是菱形，，点E为AB的中点，把沿DE折起，使点A到达点P的位置，且平面平面BCDE，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A． B． C． D．
7．正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知点是所在平面外一点，若，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．在平行六面体中，记，设，下列结论中正确的是（ ）.
A．若点P在直线上，则
B．若点P在直线上，则
C．若点P在平面内，则
D．若点P在平面内，则
11．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是的中点，是棱上的动点，则（ ）

A．
B．存在点，使平面
C．存在点，使直线与所成的角为
D．点到平面与平面的距离和为定值
三、填空题
12．已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为 .
13．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ．
14．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形．平面，且，则平面与平面所成的角的大小为 ．
四、解答题
15．已知三棱锥中，底面BCD为等边三角形，，，点E为CD的中点，点F为BE的中点，若点M、N是空间中的两动点，且，，求.
16．如图，在长方体中，，点分别为棱的中点，求证：平面；
17．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
18．如图，在长方体中，，，.
(1)求证：平面平面.
(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.
19．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点．
(1)用向量，，表示向量；
(2)求异面直线AO与BC所成的角的余弦值；
(3)判定平面ABC与平面的位置关系．
参考答案：
1．B
【分析】利用空间法求点到直线的距离即可得解.
【详解】依题意，知直线的方向向量，，
则，，，
所以点到直线的距离为.
故选：B.
2．C
【分析】根据与法向量的关系判断.
【详解】由已知得，
坐标平面的一个法向量是，
坐标平面的一个法向量是，
易判断与，不平行，
所以直线AB不垂直坐标平面，也不垂直坐标平面，故BD错.
因为，所以直线不平行坐标平面，
故A错
因为 ，
点A、B均不在坐标平面上，所以直线AB与坐标平面平行，故C对.
故选：C
3．C
【分析】由直线的方向向量和平面的法向量的位置关系与直线和平面的位置关系即可得解.
【详解】由题意直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的数量积为，
所以或.
故选：C.
4．B
【分析】分析得出，利用平面向量数量积即可求得的值.
【详解】平行六面体的各棱长均为，，，
，，
，而，
，
.
故选：B.
5．B
【分析】解法一：找到异面直线所成角因为四边形ABCD是菱形，所以，则或其补角就是异面直线PD与BC所成的角，结合已知条件得出相关线段的长度，最后利用余弦定理求解即可；
解法二：用向量法求异面直线夹角的余弦值，分别表示出，，代入公式即可；
解法三：建系，利用空间向量法求异面直线夹角.
【详解】解法一第一步：找到异面直线所成角因为四边形ABCD是菱形，所以，则或其补角就是异面直线PD与BC所成的角．
第二步：结合已知条件得出相关线段的长度
连接AP，易知，．
第三步：利用余弦定理求解
在中，由余弦定理得，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为，
故选：B．
解法二 设，，，则，，两两垂直，且，，则，，则异面直线PD与BC所成角的余弦值为，
故选：B．
解法三 易知ED，EB，EP两两垂直，以E为坐标原点，ED，EB，EP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，得，，故异面直线PD与BC所成角的余弦值为，
故选：B．

6．C
【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论列式计算即得.
【详解】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点，
得，于是，
由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以.
故选：C
7．C
【分析】过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得.
【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，，
设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是，
由，得
，
所以、两点间的距离为.
故选：C

【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键.
8．D
【分析】由所给信息可得平面，与的法向量，后利用向量知识可得直线的方向向量，即可得答案.
【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为.
同理可知，与分别为平面与的一个法向量.
设直线的方向向量为，则，
不妨取，则.设直线与平面所成的角为，
则.
所以.
故选：D.
9．AC
【分析】根据平面向量的定义，平行，垂直，模长的定义可以对每一个选项进行逐一判断，进而得出答案.
【详解】对于：∵，所以正确；
对于：，
∴，所以不垂直，
所以不正确；
对于：，
，
所以正确；
对于：，，
而，
∴不平行于；所以不正确.
故选：.
10．BCD
【分析】根据空间向量的基本定理可判断A，B；结合四点共面的结论可判断C，D.
【详解】对于A，若点P在直线上，则，则，
由于三点共线，故，A错误；
对于B，若点P在直线上，则，而，
结合，得，B正确；
对于C，若点P在平面内，即四点共面，
则由，可知，C正确，
对于D，若点P在平面内，则，
则，
又，则，D正确，
故选：BCD
11．ABD
【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法逐一判断各个选项即可.
【详解】根据已知条件，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴
建立空间直角坐标系，设，则，，，
，，，；
由是棱上的动点，设，，
因为，，所以，
即，故A正确；
当为中点时，是的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面，故B正确；
，，若存在点，
使直线与所成的角为，
则，
化简得，无解，故C错误；
由题意可知：点到平面的距离，
为平面的法向量，所以点到平面的距离为，
所以，故D正确.
故选：ABD
12．0
【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值.
【详解】因为于共线，则，即，
所以，则.
故答案为：.
13．
【分析】由面面垂直的性质定理结合题意可证得，，两两垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别表示出，，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案.
【详解】取的中点，连接，，因为，所以．
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．又，所以，
可得，，两两垂直，所以以为坐标原点，
，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，所以， ，
所以，
又异面直线所成角的取值范围为，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故答案为：.
14．
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面所成的角的大小.
【详解】
因为平面，底面为正方形，，
所以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
则，，
由题知，平面PAD的法向量为，
设平面PBC的法向量为，
则，令，则，
所以，
设平面与平面所成的角为，则，
又，所以，
所以平面与平面所成的角的大小为，
故答案为：.
15．4
【分析】设是正三棱锥的高（是底面正三角形的中心），分别以为轴建立空间直角坐标系，用坐标法求得在球面上，利用球心和数量积运算律可得结论．
【详解】设是正三棱锥的高（是底面正三角形的中心），连接，延长线交于，
则，，，，
显然为中点，作，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，.因为点为的中点，所以，
又点为的中点，所以.设，则由，得，
即，
化简得，所以点在以为球心，以1为半径的球上，同理点也在这个球上，又，
所以为球的直径，所以.
16．证明见解析
【分析】方法一：由已知可得和是等腰直角三角形，则可证得，再由长方体的性质可得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论；方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，通过证明，可得答案；
【详解】方法一：因为是的中点，
所以和是等腰直角三角形，
所以，
所以，
因为平面平面，所以，
又平面，且，
所以平面；
方法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
，
所以，
所以，
所以，，
又平面，且，
所以平面.
17．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明即可得.
【详解】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，且，
所以，即、、三点共线．
18．(1)证明见解析
(2)存在，P为线段的中点
【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行；
（2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解.
【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
则，，，.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则.
取，则，，所以平面的一个法向量为.
因为，即，所以平面平面.
（2）设线段上存在点P使得平面，.
由（1）得，，平面的一个法向量为，
所以.
所以，解得.
所以当P为线段的中点时，平面.
19．(1)
(2)
(3)平面ABC平面
【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算分析求解；
（2）根据空间向量的数量积结合夹角公式运算求解；
（3）根据题意结合空间向量可得，，结合线面垂直、面面垂直的判定定理分析证明.
【详解】（1）由题意可知：点O是的中点，则，
所以
．
（2）设，
则，
．
所以．
又因为，所以，．
所以．
所以异面直线与所成的角的余弦值为．
（3）取的中点，连接，
则．
因为，为的中点，则．
又，即．
且，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
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