人教版九年级上册数学第二十一章一元二次方程综单元试题（含解析）

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人教版九年级上册数学第二十一章 一元二次方程综单元试题
一、单选题（每题3分，共30分）
1．用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
2．关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
3．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值可能为（ ）
A．1 B．0 C．3 D．5
4．如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数相等，则方程的根的情况是（ ）
A．无实根 B．有一个实根 C．有两个相等实根 D．有两个不相等实根
5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．， D．，
6．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．去年月，我国公共充电桩数量由万台增长至万台，设公共充电桩的月平均增长率为，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于x的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．8或10
10．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为 ．
12．已知一元二次方程有实数解，则k的取值范围是 ．
13．关于x的方程的两个实数根分别为，．若 则k的值为 ．
14．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是 ．
15．如图，学校准备修建一个面积为的矩形花园，它的一边靠墙，其余三边利用长的围栏，已知墙长，则围成矩形的长为 ．
16．若方程的根也是方程的根，则 ．
17．若方程的两根互为相反数，则 ，若两根互为倒数，则 ．
18．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是 ．
19．已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
20．我们规定一种新运算“★”，其意义为，已知，则x的值为 ．
三、解答题（共60分）
21．解方程：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
22．已知关于x的一元二次方程
(1)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)证明∶对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．
23．已知关于x的一元二次方程有实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两根，满足，求k的值．
24．如图，利用一面墙（墙的最大可利用长度为25米），用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），中间再用栅栏分隔成两个小矩形，且在如图所示位置留两个1米宽的小门，若所用栅栏的总长度为52米，设栅栏的长为x米，解答下列问题：
(1)______米（用含x的代数式表示）；
(2)若矩形场地面积为240平方米，求栅栏的长．
(3)矩形场地面积能不能等于280平方米，为什么？
25．巩固脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴．某鸡农申请了微型养鸡项目，打算搭建一个如图所示的矩形鸡舍，该鸡舍的长边靠墙，另外三边用钢丝网搭建．该鸡舍的面积为150平方米，且长比宽多5米．
(1)求该鸡舍的长和宽分别是多少米？
(2)该鸡农打算在鸡舍中饲养跑山鸡，根据养殖经验，需购买高度为2.4米的钢丝网，鸡舍内的鸡才不会飞出．若该鸡农购买的这种钢丝网价格为每平方米12.5元，求该鸡农购买钢丝网需要多少元？
26．某商场销售一种成本为20元的商品，市场调研反映：在某个月的第x天（）的销售价格为元，日销售量与x的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)销售该商品第几天时，日销售利润为2250元？
(3)日销售利润能达到2500元吗？说明理由．
27．“端午杨梅挂篮头， 夏至杨梅满山头”．端午期间， 某水果店以每千克 60 元的价格出售杨梅， 每天可卖出 150 千克， 后期因杨梅的大量上市， 水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客， 若已知杨梅售价每千克下降 2 元， 则每天能多售出 6 千克（同一天中售价不变）
(1)设售价每千克下降 元，则每天能售出 千克（用含 的代数式表示）
(2)当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072 元的销售额；
(3)水果店定了 “每天售出杨梅的销售额为 10000 元” 的 “小目标”， 按题目的条件否能达成这个 “小目标”？ 若能达成， 求出达成时的售价； 若不能达成， 请说明理由．
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参考答案：
1．A
【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．方程常数项移到右边，两边加上9变形即可得到结果．
【详解】解：方程移项得：，
配方得：，即,
故选A．
2．A
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程的根的判别式判断即可．熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】整理为一般式为，
，
方程有两个不相等的实数根.
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式，找出关于的一元一次不等式组是解题的关键．根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合四个选项即可得出结论．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
且．
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、正方体展开图等知识，确定的值是解题关键．首先确定的值，然后根据一元二次方程的根的判别式进行求解，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，该正方体的展开图中相对面上的两个数相等，
∴，，，
∴该方程为，
∵，
∴该方程无实数根．
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键．
由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
且．
故选C．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟记一元二次方程的概念是解题的关键．
一元二次方程必须满足两个条件：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：A．不是一元二次方程，故本选项错误．
B．是一元二次方程，故本选项正确．
C．不是一元二次方程，故本选项错误．
D．不是一元二次方程，故本选项错误．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
【详解】解：∵有两个不相等的实数根，
∴
解得
故选：B．
8．A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率的问题，理解题意是解题关键．
根据题意直接列出一元二次方程即可．
【详解】解：设公共充电桩的月平均增长率为，依题意得：
．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形三边的关系，学会分类讨论求出符合的所有情况是解此题的关键.
首先利用因式分解法解二元一次方程，然后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后相加就是三角形的周长．
【详解】解：，
，
解得，，
两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，
等腰三角形的三边为2、2、4或2、4、4，
2+2=4，不能构成三角形，
所以三角形三边为2、4、4，
△ABC的周长为10．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人，
根据题意，得，
故选：C．
11．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，再结合，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为，
∴，，
解得：．
故答案为：
12．且
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据题意得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：一元二次方程有实数解，
且，即，
解得，
的取值范围为且．
故答案为：且．
13．
【分析】本题考查根的判别式，根与系数关系，根据有两个实数根可得，再根据根与系数关系得到，，将化简再代入，即可求解．
【详解】解：的两个实数根，
，
解得：，
由题可得：，，
，即，
将，，代入得，即，
解得，，
，
，
故答案为：．
14．6
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，以及因式分解法解一元二次方程，把代入求出m的值，然后再用因式分解法解一元二次方程即可得出答案．
【详解】解：把代入
得：
解得：，
∴方程为，
即，
∴，，
故它的另一个根是6，
故答案为：6．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设宽为，则长为，然后根据面积为平方米的长方形即可列出方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：设宽为，则长为．
由题意，得，
解得，．
当时，舍去，
当时，．
即：围成矩形的长为．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（其中k为常数）的相应的系数间的关系．
设m是方程的一个根，根据方程解的意义知，m既满足方程，也满足方程，将m代入这两个方程，并整理，得．从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【详解】解：设m是方程的一个根，
则，所以．
由题意，m也是方程的根，
所以，
把代入此式，得，
整理得．
从而可知：方程的两根也是方程的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（（其中k为常数），
所以，，，
所以 ，，，
因此，．
故答案为：
17．
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，由两根互为相反数，可得，由两根互为倒数，可得，再进一步可得答案；
【详解】解：若两根互为相反数，
则，
∴；
若两根互为倒数，
则，
∴，
故答案为：1；．
18．
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，由此可得答案．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，即，
∴，
故答案为：．
19．/0.5
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可．
【详解】解：方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：．
20．0或4/4或0
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，
整理，得：，
∴，
∴；
故答案为：0或4．
21．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可；
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得：，；
（3）解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
解得：，；
（4）解：∵，
∴，
∴，即，
∴或，
解得：，．
22．(1)，方程的另一根为
(2)见解析
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．
（1）设方程的另一根为，根据根与系数的关系得到，，然后解两个方程即可；
（2）计算判别式的值得到，则利用非负数的性质可判断，然后根据判别式的意义可判断对于任意实数，这个一元二次方程都有两个不相等的实数根．
【详解】（1）解：设方程的另一根为，
根据题意得，，
解得，，
即，方程的另一根为；
（2）证明：，
因为对于任意实数，，
所以，
所以对于任意的实数，这个方程有两个不相等的实数根．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用根与系数的关系得到，，再根据得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：有实数根，即有实数根，
，
解得：；
（2）解：有两根，，
，，
，满足，
，
将，代入得：
，
解得：，，
，
．
24．(1)
(2)栏的长为10米
(3)矩形场地面积不能等于280平方米，理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程的应用、列代数式，根据题意，正确列出一元二次方程并正确求解是解答的关键，注意要检验解符合题意．
（1）直接根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答；
（3）根据题意列出一元二次方程并解方程即可解答．
【详解】（1）根据题意，米，
故答案为：；
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：栅栏的长为10米．
（3）依题意得：，
整理得：，
∴方程无实数根
∴矩形场地面积不能等于280平方米．
25．(1)鸡舍的宽为10米，则长为15米；
(2)该鸡农购买钢丝网需要1050元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，有理数的加法和乘法混合运算的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．
（1）设鸡舍的宽为x米，则长为米，根据题意列出一元二次方程求解即可；
（2）根据题意列式求解即可．
【详解】（1）设鸡舍的宽为x米，则长为米，
根据题意得
解得，（舍去）
∴（米）
∴鸡舍的宽为10米，则长为15米；
（2）根据题意得，（元）．
∴该鸡农购买钢丝网需要1050元．
26．(1)
(2)销售该商品第5天或第25天时，日销售利润为2250元
(3)日销售利润不能达到2500元，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．
（1）根据图象，利用待定系数法求解即可；
（2）根据日销售利润等于日销售量乘以单件利润列方程求解即可；
（3）根据日销售利润等于日销售量乘以单件利润列方程，结合一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为，
由图象，将点,代入中，
得，解得
∴y与x的函数解析式为．
（2）解：第x天的日销售利润为．
当日销售利润为2250时，．
整理，得．
解这个方程，得，．
答：销售该商品第5天或第25天时，日销售利润为2250元．
（3）解：日销售利润不能达到2500元．理由如下：
假设日销售利润为2500元，由题意，得
．
整理，得．
此时，故上述方程没有实数根．
答：日销售利润不能达到2500元．
27．(1)
(2)每千克售价为 54 元或 56 元时， 每天能获得 9072 元的销售额
(3)不能达到这个 “小目标”，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论；
（2）设售价每千克下降元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（3）设售价每千克下降元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论．
【详解】（1）由题意可知，每天能售出：千克，即千克，
故答案为：；
（2）设售价每千克下降元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
或，
答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额；
（3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：
设售价每千克下降元，
由题意得：，
整理得：，
，
不能达到这个“小目标”．
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