2023-2024学年贵州省黔东南州黄平县且兰高级中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年贵州省黔东南州黄平县且兰高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.椭圆的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
5.在空间中，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6.函数在处的导数( )
A. B. C. D.
7.“”是“是、的等比中项”的条件
A. 既不充分也不必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 充要
8.已知圆：，则下列说法错误的是( )
A. 点在圆外 B. 直线平分圆
C. 圆的周长为 D. 直线与圆相离
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 事件与相互独立
C. D.
10.设，这两个正态曲线如图所示则( )
A. B.
C. D.
11.下列有关排列数、组合数的等式中成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，且，则 ______．
13.函数，则函数在点处的切线方程为______．
14.已知到直线的距离等于，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从一批笔记本电脑共有台，其中品牌台，品牌台如果从中随机挑选台，
求台电脑中恰好有一台品牌的概率；
求这台电脑中品牌台数的分布列．
16.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点．
求焦点坐标，焦距，短轴长；
若直线的倾斜角为，求的面积．
18.本小题分
在等差数列中，，．
求的通项公式；
若，数列的前项和为，证明．
19.本小题分
如图，直四棱柱的底面是正方形，，，分别为，的中点．
证明：平面；
求二面角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：随机挑选两台的取法共有种，
台电脑种恰有一台品牌电脑的取法有种
台电脑种恰有一台品牌电脑的概率是．
台电脑种品牌的台数为，可能取值为，，．
，
，
．
所以的分布列为：

16.解：定义域为，，
令得，或．
，随的变化情况如下表：
极大值 极小值
由上表知，的单调递增区间是，，单调递减区间是；
由可得在当单调递增，在上单调递减，
又，，，
在区间上，的最大值为，最小值为．
17.解：设长半轴、短半轴、焦距分别为，，，
由已知方程得到，，所以，，由得，
故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；
设，，
由已知得直线的方程为，
与联立方程组得，
则，，
故，
令的面积为，所以．
18.解：设等差数列的公差为，
由，，可得，，
解得，，
所以；
证明：，，
化简得，
．
19.解：证明：取的中点，连接，，
为的中点，，
又面，面，面，
又为的中点，，，
四边形为平行四边，，
又面，面，面，
且，面面，
又面，平面；
分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，，，
设面的法向量为，则，即，令，则，，，
设面的法向量为，则，即，令，则，，，
，，
，
即二面角的正弦值为．

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