国庆长假七年级数学辅导第三讲 有理数的加减法

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第三课时 有理数的加减法
本节主要是
1.经历探索有理数加法法则和运算律的过程，理解有理数的加法法则和运算律，能熟练的进行整式加法运算，并能运用运算律简化运算。鼓励学生借助熟悉的例子解释运算结果，用自己的语言分类、归纳、概括出有理数的加法法则。有理数的加法交换律和结合律。
2.利用有理数的加法交换律和结合律进行有理数的运算，其中加法交换律是两个数相加,交换加数的位置,和不变，即a＋b＝b＋a；加法结合律是三个数相加,先把前两个数相加再和第三个数相加,或先把后两个数相加再和第一个数相加,和不变，即（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
本节主要讲了有理数减法的运算法则，让学生通过实例，理解有理数减法的法则，能熟练的进行整数的减法运算。
3.对有理数的加法，减法两种运算进行了比较，让学生体会到加减混合运算可以统一成加法，以及加法运算可以省略括号及前面加号的形式（即“代数和”的问题），同时由前两节的整数加减运算很自然的过渡到小数、分数的加减运算。
一. 有理数的加减法运算,能进行小数或分数在内的有理数加减混合运算，能根据具体的问题适当的运用运算律简化运算。利用混合运算解决实际问题.
这是本节的重点【典例引路】中例1，【当堂检测】中第4题，【课时作业】中第10，题，【备选题目】中第2题。
二.灵活运用有理数加减法运算的规律。有理数的混合运算. 尤其是在计算过程中，一定要注意符号的选择，这是本节的难点.
【典例引路】中例1，【当堂检测】中第5题，【课时作业】中第21题.
三．易错题目
【课时作业】中第7题，【典例引路】中例2，在计算过程中，一定要注意符号的选择，这是学生最容易出现错误的地方。
点击一:有理数的加法法则
1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加为0;
3.一个数同0相加,仍得这个数.
注意:运用有理数加法法则时,看清两数符号属于哪种情况,再应用哪种法则.
针对性练习:1.填上适当的符号，使下列式子成立：
（1）（______5）+（-15）=-10；（2）（-3）+（______3）=0；
（3）（______）+（______）=-1.
【解析】先判断和的绝对值与两个加数的绝对值的关系，再根据有理数的加法法则选择符号.
【答案】+ + + -
点击二:有理数的加法运算律
加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变;a+b=b+a.
加法结合律:
三个数相加,先把前两个相加,或者先把后两个数相加,和不变. a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)
利用加法交换律、结合律,可以使运算简化.
点击三:有理数的减数法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数.
点击四:有理数的混合运算
统一成加法后,按加法运算来完成.
类型之一:应用创新型
例1、仓库内原存粮食4000千克，一周内存入和取出情况如下(存入为正，单位：千克)：
2000,－1500,－300,600,500,－1600,－200
问第7天末仓库内还存有粮食多少千克？
【解析】本题使用正负数来表示具有相反意义的量——存入和取出。
【解答】2000+(－1500)+(－300)+600+500+(－1600)+(－200)
=2000+600+［(－1500)+(－1600)］+［(－300)+500+(－200)］
=2600+(－3100)
=－500(千克)
4000+(－500)=3500(千克)
答：第7天末仓库内还存有粮食3500千克.
在类型之二:凑整型
例2.计算（-0.5）+（）+（+2.75）+（）.
【解析】在进行三个以上的有理数的加法运算时，可以利用加法的交换律和结合律，把互为相反数或相加得零的数结合起来.
【解答】（-0.5）+（）+（+2.75）+（）
=（）+（）+（）+（）
=-6+6
=0.
【评注】把能凑成整数的两个或多个数结合起来，把同分母的数结合起来，把正数、负数分别结合起来，可以使运算简便、迅速且易于检查.
类型之三: 运算律型
例3、计算（-0.5）+（）+（+2.75）+（）.
【解析】在进行三个以上的有理数的加法运算时，可以利用加法的交换律和结合律，把互为相反数或相加得零的数结合起来.
【解答】（-0.5）+（）+（+2.75）+（）
=（）+（）+（）+（）
=-6+6=0.
【点评】把能凑成整数的两个或多个数结合起来，把同分母的数结合起来，把正数、负数分别结合起来，可以使运算简便、迅速且易于检查.
类型之四:综合应用型
例4．某市冬季的一天，最高气温为6 ℃，最低气温为-11 ℃，这天晚上的天气预报说将有一股冷空气袭击该市，第二天气温将下降10—12 ℃，请你利用以上信息，估计第二天该市的最高气温不会高于多少度 最低气温不会低于多少度 以及最高气温与最低气温的差至少为多少度 .
【解析】计算由某一温度下降若干度后变为多少度，应该进行减法计算.“气温下降10～12度”的含义是至少下降10 ℃，最多下降12 ℃.估计第二天的最高气温，应该用当天的最高气温减10 ℃，而不能减12 ℃，估计最低气温则与此相反.估计第二天最高气温与最低气温的差至少为多少度，应该用下面“式子”进行计算：（当日最高气温-12 ℃）-（当日最低气温-10 ℃）.
【解答】6-10=6+（-10）=-（10-6）=-4,
-11-12=（-11）+（-12）=-（11+12）=-23,
（6-12）-（-11-10）=［6+（-12）］-［-11+（-10）］
=［-（12-6）］-［-（11+10）］
=-6-（-21）=6+21=21-6=15.
答：估计第二天该市最高气温不会高于-4 ℃，最低气温不会低于-23 ℃，第二天最高气温与最低气温的差至少为15 ℃.
1.下列说法中正确的是（ ）
A.在有理数的减法中，被减数一定要大于减数
B.两个负数的差一定是负数
C.正数减去负数差是正数
D.两个正数的差一定是正数
【解析】C 依据有理数的减法法则，逐个分析，选出正确的.
2.我市2006年的最高气温为39 ℃，最低气温为零下7 ℃，则计算2006年温差列式正确的是（ ）
A.（+39）-（-7） B.（+39）+（+7） C.（+39）+（-7） D.（+39）-（+7）
【解析】A 零下用负数表示，温差是最高气温减最低气温，即为（+39）-（-7）
3.冬季的某日,上海最低气温是3℃,北京最低气温是-5℃,这一天上海的最低气温比北京的最低气温高________ ℃.
【解析】这一天上海的最低气温比北京的最低气温高3℃-（-5℃）=8℃.
【答案】8
4.比零小4的数是_______，比3小4的数是_______，比-5小-2的数是_______.
【解析】比什么小就是用它减去小的数得到的差.
【答案】-4 -1 -3
5.计算：
（1）（-13）+（-2）；（2）+（）；（3）+（-0.6）.
【解析】进行有理数加法运算时，根据法则，第一步判断和的符号，第二步求绝对值的和或绝对值的差.遇到分数与小数运算时，一般把小数化成分数.
【解答】（1）（-13）+（-2）=-（13+2）=-15.
（2）+（）=0.
（3）+（-0.6）=+（）=+（）=.
【评注】在做异号两数相加时，第二步求绝对值是把绝对值相减，不要直接把两数相减.
6.计算：
（1）(-3)-(-7)； （2）-10-3； （3）33-(-27)；
（4）0-12； （5）(-11)-0； （6）(-4)-16 .
【解析】按减法法则，把减法转化为加法计算.
【解答】(1)=(-3)+7=4；
（2）-10-3=-10+(-3)=-13；
（3）33-(-27)=33+(+27)=60；
（4）0-12=0+(-12)=-12；
（5）(-11)-0=-11；
（6）(-4)-16=(-4)+(-16)=-20.
7.计算：
(1)23－17－(－7)+(－16)
(2)+(－)－1+
(3)(－26.54)+(－6.4)－18.54+6.4
【解答】(1)原式=23－17+7－16
=23+7－17－16=30－33=－3
(2)原式=(+－1)+(－)=－
(3)原式=(－26.54)－18.54+［(－6.4)+6.4］=(－26.54)－18.54=－45.08
1.下列说法正确的个数为( )
①两个有理数的和为正数时,这两个数都是正数
②两个有理数的和为负数时,这两个数都是负数
③两个有理数的和可能等于其中一个加数
④两个有理数的和可能等于零
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】B 判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法.
2.下列计算错误的是（ ）
A.（）+0.5=-1 B.（-2）+（-2）=4
C.（-1.5）+（）=-4 D.（-71）+0=-71
【解析】B 根据有理数的加法法则分别计算各式，选出符合要求的.
3.A地的海拔高度是-78米,B地比A地高38米,C地又比B地高12米,则B地____________米,C地____________米.
【解析】B地的海拔高度是-78+38=-40米,C地的海拔高度是-78+38+12=-28米.
【答案】-40 -28
4.计算：
(1)(+13)+(-20)； (2)(-3.75)+(+2.76)；
(3)(-)+(-)；(4)(-2)+(+)+(-0.5)+1.
【解析】在有理数加法运算时，应注意包括符号确定和绝对值运算两部分.绝对值计算是小学数学中的计算，而符号又分为同号两数与异号两数两种情况.因此计算时应先确定和的符号，再计算它们的绝对值.
【解答】(1)(+13)+(-20)=-7；
(2)(-3.75)+(+2.76)=0.99；
(3)(-)+(-)=-；
(4)(-2)+(+)+(-0.5)+1=-1.
5.计算：（1）（+）－（－）+；
（2）（－）－－；
（3）（－5）－2+（－）；
（4）－5－（－2.5）+（－）.
【解析】先统一成加法，然后观察一下是否有可以运用加法运算律的.运用运算律可使运算简化.
【解答】（1）原式=++=1.
（2）原式=－--=-+（--）=--1=-1.
（3）原式=－5-2-=-8.
（4）原式=－5+2.5－0.5=－3.
1.有一批钢材标准质量为每捆1 500千克,现抽取5捆样品进行检测,结果如下(单位:千克):
1 502, 1 497,1 512,1 491,1 489.这5捆钢材的总重量是多少 与标准质量相比是多还是少
【解析】求总质量只需将5个数据相加,但数据大,运算较复杂.可将超出标准质量的数用正数表示,不足的用负数表示,求和.若为正则比标准量多,若为负则比标准量少.
【解答】5捆钢材与标准质量的差值如下(单位:千克):
+2,-3,+12,-9,-11.
(+2)+(-3)+(+12)+(-9)+(-11)=-9(千克).
1500×5+(-9)=7491(千克).
答:5捆钢材的总质量是7 491千克,总计比标准质量少9千克.
2.某公路养护小组乘车沿南北方向巡视,从A地出发,晚上到达B地,规定向北为正方向,行驶记录如下(单位:千米):+18,-9,+7,-14,-6,+13,-6.问B地在A地什么位置 若汽车每行驶1千米耗油0.5升,求这天共耗油多少升
【解析】(1)要求B地相对于A地的位置，只要把这7个有理数相加即可；(2)这7个有理数的绝对值的和就是行驶的总路程.
【解答】(1)+18+(-9)+(+7)+(-14)+(-6)+(+13)+(-6)=+3千米，即B地在A地正北3千米.
(2)因为|+18|+|-9|+|+7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|=73千米,所以共耗油73×0.5=37.5升.
课时作业：
A等级
1.若两个有理数的和为正数，那么这两个数（ ）
A.都是正数 B.都是负数
C.至少有一个正数 D.至少有一个负数
2.下列计算错误的是( )
A.(-1)+0.5=-1 B.(-2)+(-2)=4 C.(-1.5)+(-2)=-4 D.(-71)+0=-71
3.填上适当的符号,使下列式子成立:
(1)(_____5)+(-15)=-10；(2)(-3)+(_____3)=0；(3)(_____)+(-3)=-1.
4．计算：
（1）（-13）+（-2）；（2）+（）；（3）+（-0.6）.
5.一个水利勘察队，第一天沿江向上游走千米，第二天又向上游走千米，第三天又向下游走千米，第四天又向下游走千米．试计算：
（1）这个勘察队四天一共行程是多少千米？
（2）第四天末，这个勘察队在出发点的上游还是下游，距离出发点多远？
6.下列交换加数位置变形正确的是（ ）
A.1-4+5-4=1-4+4-5
B.1-2+3-4=2-1+4-3
C.4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7
D.-+--= +--
7.下列各式的计算结果等于4的是（ ）
A.(-)+(-) B.(-)-(-)+2 C.0.125+(-)-(-) D.-|-|+(+)-
8.两个数的和是-13,一个加数为-8,另一个加数是_____________.
9.计算：（1）（－2.4）－0.6－1.8；
（2）（－）－（－）－1；
（3）（－1）－（+3）－（－1）；
（4）（－9）－（+9）－（－18）－9.
10.已知m是6的相反数，n比m的相反数大2，求n比m大多少？
B等级
11.下列运算结果为1的是（ ）
A.|+3|-|+4| B.|（-3）-（-4）|
C.|-3|-|-4| D.|+3|-|-4|
12..甲数减乙数差大于零，则（ ）
A.甲数大于乙数 B.甲数大于零，乙数也大于零
C.甲数小于零，乙数也小于零 D.以上都不对
13. 计算2-（-3）的结果是（ ）
A.-5 B.5 C.-1 D.1
14．若家用电冰箱冷藏室的温度是4 ℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22 ℃，则冷冻室的温度是（ ）
A.-26 ℃ B.-18 ℃ C.26 ℃ D.18 ℃
15.下列说法正确的是（ ）
A.根据加法交换律有3-6-1=-6+1+3 B.1-2可以看成是1加负2
C.（+8）-（-2）+（-3）=8-2-3 D.根据加法结合律有18-7-9=18-（7-9）
16.若两个数绝对值之差为0，则这两个数（ ）
A.相等 B.互为相反数
C.两数均为0 D.相等或互为相反数
17.把(－6)－(－3)+(－2)－(+6)－(－7)写成省略括号的和的形式是_____，读作_____或_____.
18.下面是一个方阵图，每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和均相等.
如果将方阵图中的每个数都加上同一个数，那么方阵中每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和仍然相等，
这样就形成了一个新的方阵图.
根据下图中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成下面的方阵图吗？
19.下表是一个水文站雨季在某条河一周内水位变化情况的记录.其中，水位上升用正数表示，水位下降用负数表示.
星期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
水位变化/米 +0.4 -0.3 -0.4 -0.3 +0.2 +0.2 +0.1
注：①表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量.
②上周日12时的水位高度为2米.
（1）请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了.
（2）用折线图表示本周每天的水位，并根据折线图说明水位在本周内的升降趋势.
20.计算：(1)-+-+-； (2)0-[73+(-219)-(+81)].
C等级
21.给出20个数：89,91,94,88,93,91,89,87,92,86,90,92,88,90,91,86,89,92,95,88.则它们的和是( )
A.1789 B.1799
C.1879 D.1801
22.计算：.
23.一跳蚤在一直线上从O点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O点的距离是________个单位.
24.计算：88＋95＋92＋89＋86＋91＋90＋88＋92＋90＋86＋92＋87＋89＋91＋93＋88＋94＋91＋87．
25.计算： -+-+-
26.计算：(1) 4.75-(-2)+(+10)+(-3)-5；
(2)5.4+11-3.3+3-11-4.7+4.
27.一潜水艇为躲避雷达的追踪，从水下45米处，下潜24米，之后又上升34米，之后又下潜20米.
（1）此时潜水艇的位置在什么地方？
（2）与原来的位置相比，有什么变化？
28.计算：
(1)－14
(2)
29.计算：
(1)23－17－(－7)+(－16)
(2)+(－)－1+
(3)(－26.54)+(－6.4)－18.54+6.4
(4)(－4)－(－5)+(－4)－3
(5)0+1－［(－1)－(－)－(+5)－(－)］+｜－4｜
30.甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2米，又向甲队方向移动了0.5米，相持一会后，又向乙队方向移动了0.4米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队方向移动了0.9米，若规定标志物向某队方向移动2米该队即可获胜，那么现在谁赢了？用算式说明你的判断.
A等级答案
1. C 2.B 3.(1)+ (2)+ (3)+
4.（1）（-13）+（-2）=-（13+2）=-15.
（2）+（）=0.
（3）+（-0.6）=+（）=+（）=.
5.（1）+++=（+）+（+）=11+10=21
（2）++（－）+（－）=．
答：勘察队四天的总行程为21千米，第四天末，这个勘察队在出发点的上游，距离出发点千米．
6.C 7.C
8.-13-(-8)=-4.
9.（1）（－2.4）－0.6－1.8=（－2.4）+（－0.6）+（－1.8）=－4.8.
（2）（-）-（-）-1=（-）+（+）+（-1）=-1.
（3）（－1）－（+3）－（－1）=（－1）+（－3）+（+1）=－2.
（4）（－9）－（+9）－（－18）－9=（－9）+（－9）+（+18）－9=－9.
10.因为m是6的相反数，所以m=－6.
又因为n比m的相反数大2，所以n=（－m）+2=6+2=8.
所以n－m=8－（－6）=14.
B等级答案
11.B 12.A 13. B 14.B
15.B 16.D17.解：(－6)－(－3)+(－2)－(+6)－(－7)=(－6)+(+3)+(－2)+(－6)+(+7)=－6+3－2－6+7读作：－6、+3、－2、－6、+7的和.或者读作：－6加3减2减6加7.
18.【答案】
19.（1）因为(+0.4)+(-0.3)+(-0.4)+(-0.3)+(+0.2)+(+0.2)+(+0.1)
=0.4-0.3-0.4-0.3+0.2+0.2+0.1=-0.1，所以本周末水位下降了.
（2）折线图如图所示：
20. (1)原式=+（-）++（-）++（-）
=［+(-)］+［(-)+］+［+(-)］
=0+(-)+(-)
=-
(2)原式=0-[73+(-219)+(-81)]
=0-[73+(-300)]
=0-(-227)
=0+227
=227.
C等级答案
21.D
22.
=(0-6)+()
=
23.-50.
24.解: 原式＝2（91＋89）＋（87＋93）＋（94＋86）＋3（88＋92）＋（90＋90）＋（87＋91＋86＋95）
＝90×16＋4×90－1
＝1 799．
25.原式=+（-）++（-）++（-）
=［+(-)］+［(-)+］+［+(-)］
=0+(-)+(-)
=-
26. (1)4.75-(-2)+(+10)+(-3)-5
=4+2+10-3-5
=(4-5)+(2-3)+10
=-1-1+10
=8.
(2)5.4+11-3.3+3-11-4.7+4
=(5+3)+(11-11)+(-3.3-4.7)+4
=9-8+4
=5.
27.（1）将潜水艇上升的高度记为正数,下潜的深度记为负数，并将水下45米记为-45米，则潜水艇最后所处的深度是：
-45-24+34-20＝（-45-24-20）+34＝-89+34＝-55（米）.
此时潜水艇在水下55米处.
（2）因为潜水艇原来在水下45米处，-55-（-45）＝-10（米）.
所以，与原来位置相比，此潜水艇下降了10米.
28. (1)－14
=
=(－14－14
=－2－14=－16
(2)
=
=()+(－)
=1+(－)=
29. (1)原式=23－17+7－16
=23+7－17－16=30－33=－3
(2)原式=(+－1)+(－)=－
(3)原式=(－26.54)－18.54+［(－6.4)+6.4］=(－26.54)－18.54=－45.08
(4)原式=(－4)+5+(－4)－3=(－4－4－3)+5
=－12+5=－6
(5)原式=1－［(－1)+－5+］+4
=1－［(－1+)－5］+4
=1－(－5)+4=10
30.向甲队方向移动与向乙队方向移动是一对相反意义的量,若把向甲队方向移动的距离用正数表示,那么向乙队方向移动的距离用负数表示,标志物移动的距离为：-0.2米,+0.5米,-0.4米,+1.3米,0.9米,求出这5个数的和,然后和2米比较即可.
解：甲队获胜,因为-0.2+(+0.5)+(-0.4)+(+1.3)+(+0.9)=+2.1>2,所以甲队获胜.
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