2023-2024学年宁夏银川九中高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年宁夏银川九中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足为虚数单位，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.一个圆台的上、下底面的半径为和，母线为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.如图，是在斜二测画法下的直观图，其中，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
6.在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则( )
A. B. C. D.
7.设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
8.已知平面向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是关于的方程的两根，其中，若为虚数单位，则( )
A. B.
C. D.
10.在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的有( )
A. 若，，，则有两解
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，则为等边三角形
11.如图，三棱锥中，，，两两垂直，，则( )
A.
B. 三棱锥的体积为
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥中的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正三棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为______．
13.已知直线外一点，直线过原点，且平行于向量，则点到直线的距离为______．
14.如图，已知是长方体设是底面的中心，是侧面对角线上的点，且设，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
已知，其中．
若为纯虚数，求的共轭复数；
若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
17.本小题分
某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．
小王获得了以下信息：
教学楼和体育馆之间有一条笔直的步道；
在步道上有一点，测得到教学楼顶的仰角是，到体育馆楼顶的仰角是；
从体育馆楼顶测教学楼顶的仰角是；
教学楼的高度是米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度．
小李获得了以下信息：
体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是米
大屏幕的高度是米
当观众所站的位置到屏幕上下两端，所张的角最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道上观看屏幕效果最佳地点的位置．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，，
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
个有次序的实数，，，所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量设，，则和的内积定义为，且．
直接写出个两两垂直的维信号向量；
证明：不存在个两两垂直的维信号向量；
已知个两两垂直的维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
参考答案
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15.解：已知，
代入正弦定理得，
即，又，则．
由于，则，
的面积为，则，所以．
由已知及余弦定理得，所以，
从而，，
所以的周长为．
16.解：，
则，解得，
，
所以的共轭复数为．
在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
故的取值范围是．
17.解：由题意知，
且可知，
，，
由正弦定理可得，
则体育馆的高度为米；
设，则，，
，
当且仅当时，取到最大值．
18.证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
解：，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又平面，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
为棱的中点，
，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为；
假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，，
由知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是，
，．
19.解：两两垂直的维信号向量可以为：，，，．
证明：假设存在个两两垂直的维信号向量，，，，
因为将这个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，，
因为，所以有个分量为，
设的前个分量中有个，则后个分量中有个，
所以，可得，矛盾，
所以不存在个两两垂直的维信号向量．
证明：任取，，计算内积，将所有这些内积求和得到，
则，
设，，，的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
令，所以，所以．
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