2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年四川省成都市成华区高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则实数等于( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.如图，在正方体中，点，分别为线段和线段的中点，求直线与平面所成角为是( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动现有一半径为米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值与转动时间单位：秒满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米．
A.
B.
C.
D.
8.已知角，满足，，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是( )
A. B. 为纯虚数 C. D.
10.函数的图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线对称
C. 是奇函数
D. 若在上有且仅有两个零点，则实数
11.设点是所在平面内一点，是平面上一个定点，则下列说法正确的有( )
A. 若，则是边上靠近的三等分点
B. 若，且，则直线经过的垂心
C. 若，且，，，则是面积的一半
D. 若平面内一动点满足，且，则动点的轨迹一定通过的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为 ．
13.若时，曲线与的交点个数为 ．
14.已知菱形的边长为，将沿着对角线折起至，连结设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设向量与不共线．
若，，若，，，求实数的值
若，，，求证：，，三点共线．
16.本小题分
设函数．
求函数的单调递增区间
当时，求函数的值域．
17.本小题分
如图，在中，是边的中点，与交于点．
求和的长度；
求．
18.本小题分
如图，正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，
求正四棱锥的表面积
求点到平面的距离
侧棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值若不存在，试说明理由．
19.本小题分
如图，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：．
如图，在三棱锥中，点是点在平面中的投影，，连接，，，，，．
求平面与平面所成的角的正弦值
求三棱锥体积的最大值
当、、时，请在图的基础上，试证明三面角余弦定理．
参考答案
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15.解：由题意，，，
因为，
所以，
解得；
证明：因为，，
所以，有公共点，所以、、三点共线．
16.解：．
由，
得，
则函数的单调递增区间为．
由，
得，
则，
则，
即当时，函数的值域为．

17.解： ， ，在 中， ，
所以 ．
是中线， ，
，
，
．
另解：过作 交 于 ，
是 的中点， 是 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线，
，
．

18.解：因为，，
则，且，
所以，正四棱锥的表面积为
，
解：连接交于点，连接、，如下图所示：
因为四边形是边长为的正方形，则，
故是边长为的等边三角形，因为，则为、的中点，所以，
且，，
因为，则，
由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因为四边形为正方形，则，因为，为的中点，
则，因为，、平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因此点到平面的距离为，
解：在侧棱上存在一点，使平面，满足，
理由如下：取的中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，在中，
因为、分别为、的中点，则，
因为平面，平面，所以平面，
由，则，
因为平面，平面，所以平面，
而，、平面，故面面，
又面，则平面，此时．

19.解：由题意得：因为，，所以；
，
，
因为点是点在面上的投影，所以面，
所以，
当时，的最大值为；
过射线上一点分别在面和面内作交于点，
作交于点，连接，则是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
两式相减得：，
则：，
两边同除以，得．
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