八年级数学下册试题 9.4.5 正方形的性质和判定-苏科版（含详解）

9.4.5 正方形的性质和判定
一、单选题
1．下列四边形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
2．正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角
3．如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形是平行四边形
B．如果，那么四边形是矩形
C．如果平分平分∠BAC，那么四边形 AEDF 是菱形
D．如果AD⊥BC 且 AB＝AC，那么四边形 AEDF 是正方形
4．正方形ABCD所在平面内有一点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P共有（　　）
A．5个 B．7个 C．8个 D．9个
5．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（　　）
A．BC＝CD B．AB＝CD C．∠D＝90° D．AD＝BC
6．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）
A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
7．如图，正方形ABCD中，AE＝AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF＝（ ）
A．45° B．30° C．60° D．55°
8．如图，正方形的面积为256，点F在上，点E在的延长线上，的面积为200，则的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
9．我们知道，四边形具有不稳定性，如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在x轴上，的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，正方形ABCD．延长BC到E，连接AE，若CE＝BC，则∠AEB=_____．
11．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于__度．
12．如图，四边形是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A，D为圆心，以长为半径圆弧，两弧交于点P，连接，：②连接，，则__________．
13．正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF＝900，已知AE＝6，CF＝8，则S△BEF为__________．
14．如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，若过原点的直线将图形分成面积相等的两部分，则直线的函数关系式为______．
15．如图，在正方形ABCD中，，E是AB的中点，P是AD上任意一点，连接PE，PC，若△PEC是等腰三角形，则AP的长可能是______．
16．如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=4，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF，则线段OF长的最小值为_____
三、解答题
17．已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是矩形．
(2)若∠B＝45度，求证:四边形EFGH是正方形．
18．如图，在矩形中，，分别是，的中点，，分别是，的中点．
(1)求证：；
(2)当矩形满足什么条件时，四边形为正方形？请说明理由．
19．如图，在中，是的中点，过点D作且，交于点O，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）当和满足数量关系________时，四边形是正方形．
20．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是延长线上的点，且为等边三角形.
（1）四边形是菱形吗 请说明理由；
（2）若，试说明：四边形是正方形.
21．四边形 ABCD 为正方形，点 E 为线段 AC 上一点，连接 DE，过点 E 作 EF ⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE、EF 为邻边作矩形 DEFG，连接 CG．
(1)如图，求证：矩形 DEFG 是正方形；
(2)若 AB＝，CE＝2，求 CG 的长；
(3)当线段 DE 与正方形 ABCD 的某条边的夹角是 40°时，直接写出∠EFC 的度数．
22．【基础回顾】（1）如图1，是正方形中边上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°后得到，若连接，则△AEE' 的形状为______；
【类比探究】（2）如图2，在（1）的条件下，设与相交于点，在上取点，使，连接，猜想与的数量关系，并给予证明；
【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，，．点在上，求，，之间存在的数量关系．
答案
一、单选题
1．A
【解析】
A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
B、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意．
故选A．
2．C
【解析】
解：A.平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故该选项不符合题意；
B. 菱形和正方形的对角线均互相垂直，故该选不项符合题意；
C. 正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故该选项符合题意；
D.对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，故该选项不符合题意．
故选：C．
3．D
【解析】
由DE∥CA,DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形
故A. B正确；
如果AD平分∠BAC,那么∠EAD=∠FAD,又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形故C正确；
如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形，故D错误.
故选D
4．D
【解析】
具有这样性质的点P共有9个，如图所示，
①两对角线的交点是一个；
②以正方形四个顶点为圆心，以边长为半径画圆，在正方形里面有4个交点，在外部也有4个交点，
则一共是4+4+1=9个；
故选D．
5．A
【解析】
解：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴当BC＝CD时，四边形ABCD是正方形，
其余条件均不能推导得出四边形ABCD是正方形，
故选：A．
6．A
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，∠DBC=45°，
∵BE=AD，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：A．
7．A
【解析】
解：设∠BAE=x°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵AE=AB，
∴AB=AE=AD，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-∠BAE）=90°-x°，∠DAE=90°-x°，
∠AED=∠ADE=（180°-∠DAE）=[180°-（90°-x°）]=45°+x°，
∴∠BEF=180°-∠AEB-∠AED
=180°-（90°-x°）-（45°+x°）=45°．
∴∠BEF=45°．
故选：A．
8．C
【解析】
解：∵∠ECF=90°，∠DCB=90°，
∴∠BCE=∠DCF，
∴，
∴△CDF≌△CBE，故CF=CE．
因为Rt△CEF的面积是200，即
CE CF=200，故CE=20，
正方形ABCD的面积=BC2=256，得BC=16．
根据勾股定理得：BE==12．
故选：C．
9．D
【解析】
解：，
，
，
，，
，
故选：D．
二、填空题
10．22.5°
【解析】
解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝BC，∠ACB＝45°，
∵CE＝BC，
∴AC＝CE，
∴∠AEB＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠AEB＝45°，
∴∠AEB＝22.5°．
故答案为22.5°．
11．65
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°
∴∠ABF=70°
∴在△ABE中，∠AEB=65°
在△ABE与△ADE中
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
12．150゜
【解析】
解：根据作图过程可知：
AD=AP=PD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠DAP=∠ADP=∠APD=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB=AP=DP=DC，
∴∠ABP=∠APB=∠DPC=∠DCP=75°，
∴∠BPC=360°-60°-75°-75°=150°．
故答案为：150°．
13．24
【解析】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，OA=OB，∠ABC=∠AOB=90°，∠BAC=∠CBD=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE=BF=6，
∴BC=BF+FC=6+8=14，
∴AB=BC=14，
∴BE=AB -AE=14-6=8，
∴S△BEF，
故答案为24．
14．
【解析】
解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，过A作AC⊥y轴于C
∵正方形的边长为1，
∴OB=3
∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边分别是4，
∴三角形ABO面积是5，
∴OB AB=5，
∴AB=，
∴OC=，
由此可知直线l经过（3，），
设直线方程为y=kx，
则=3k，
k=，
∴直线l解析式为y=x．
故答案妫：y=x．
15．或或
【解析】
解：如图1，当时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，BC=DC，
∴Rt△BEC≌Rt△DPC ，
∴则，
∵E是AB的中点，
∴
∴；
如图2．当点P与点D重合时，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠A=∠B=90°，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴即PE=CE，△PEC是等腰三角形．
∴；
如图3．当时，设，则，
在直角△PDC中，，
在直角△AEP中，，
则．解得，即．
综上所述，AP的长可能是1或2或．
故答案为：1或2或．
16．．
【解析】
解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝4，
∵正方形ABCD中，AB＝，O是BC边的中点，
∴OC＝，
∴OD＝＝10，
∴OM＝＝，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥，
∴线段OF长的最小值为．
故答案为：．
三、解答题
17．(1)
证明∵四边形ABCD是菱形
∴ADBC，AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
∴∠ABC+∠BAD=180°
∵AF⊥BC ，CH⊥AD
∴∠AFC=∠AHC=90°
∵ADBC
∴ ∠FAH=180°－∠AFC=90°
∴四边形AFCH为矩形，
∴AH=CF
∵AE＝AH，CG＝CF
∴AH＝CF＝AE＝CG，BF=BE=DH=DG
∴△AEH≌△CFG(SAS)，△BEF≌△DGH(SAS)
∴EH=FG，EF=GH
∴四边形EFGH是平行四边形
∵BE＝BF
∴△BEF是等腰三角形
∴∠BEF=∠BFE=（180°－∠ABC）=90°-∠ABC
同理可得∠AEH=∠BAD
∴∠BFE+∠AEH=（∠ABC+∠BAD）=90°
∴∠HEF=180°－（∠BFE+∠AEH）=90°
∴四边形EFGH是矩形．
(2)
证明：如图，连结BD，FH，AC，设BD、AC、FH相交于点O.
∵四边形ABCD是菱形
∴ADBC，AB=BC=CD=AD， AC⊥BD
∴∠ADB=∠CBD，△ABD是等腰三角形，∠BOC==90°
∴∠ABD=∠ADB
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=22.5°
∴∠BCO=180°-∠CBD -∠BOC=67.5°
∵四边形AFCH为矩形
∴OF=OC，∠AFC=90°
∴△FOC是等腰三角形
∴∠OFC=∠BCO=67.5°
∴∠AFH=∠AFC -∠OFC=22.5°
∵BE＝BF
∴△BEF是等腰三角形
∴∠BEF=∠BFE=（180°－∠ABC）=90°-∠ABC=67.5°
∵AF⊥BC
∴∠AFB=90°
∴∠AFE=∠AFB -∠BFE=22.5°
∴∠EFH=∠AFE+∠AFH=45°
∵四边形EFGH是矩形
∴∠FEH=90°
∴∠EHF=180－∠FEH－∠EFH=45°
∴∠EFH=∠EHF
∴EF=EH
∴四边形EFGH是正方形．
18．(1)
∵四边形是矩形
∴，，
∵，分别是，的中点
∴，
∴，且∠ABC=∠CDE=90°，AB=CD，
∴
∴
(2)
当矩形满足时，四边形为正方形
连接
∵四边形是矩形
∴
∵，分别是，的中点
∴，
∵
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∵
∴平行四边形是矩形
∵，
∴
∴矩形是正方形
同理可证，四边形是正方形
∴，，，
∴和为等腰直角三角形
∵，分别是，的中点
∴，，
∴
∴四边形是菱形
∵
∴
∴菱形是正方形
19．（1）证明：，
∴四边形是平行四边形．
．
∵D是的中点，．
．
，∴四边形是平行四边形．
，
，即．
是菱形．
（2）解：，理由如下：
∵∠ACB＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∵∠CBE＝∠ABC，
∴∠DBE＝90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
故答案为：AB＝AC．
20．（1）四边形为菱形，理由：
在平行四边形中,,
是等边三角形.
，
又、、、四点在一条直线上，
.
平行四边形是菱形. （对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
（2）由是等边三角形，，得到，
.
.
，
四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形.（有一个角是90°的菱形是正方形）
21．(1)
证明：如下图所示：
作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝90°，∠PED+∠FEC＝90°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
(2)
如图2：
在Rt△ABC中AC＝AB＝，
∵EC＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴；
(3)
①如图3：
当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4：
当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．
22．解（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，∠D=90°，
∵△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，
∴∠EAE′=∠DAB=90°，E′A=EA，
∴△AEE′为等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
（2）QE=E'P．
证明：∵将△ADE顺时针旋转90°后得到△ABE′，
∴∠D=∠ABE'，DE=BE'，
∵DQ=BP，
∴△DQE≌△BE'P（SAS），
∴QE=E'P．
（3）将△ABP逆时针旋转90°后得到△ACD，连接PD，则△APD是等腰直角三角形，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
由旋转的性质可知∠ABP=∠ACD=45°，BP=CD，
∵∠ACB=45°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，
∴PC2+CD2=PD2，
∵AP2+AD2=PD2=2AP2，
∴PC2+BP2=2AP2．
故答案为：PC2+BP2=2AP2．