2.1.1 倾斜角与斜率 课件（共20张PPT）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

(共20张PPT)
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程；
3. 掌握倾斜角和斜率之间的关系及过两点的直线的斜率公式.
知识点 1：直线的倾斜角
复习引入：点是构成直线的基本元素. 在平面直角坐标系中，可用坐标表示点；那么，如何用坐标表示直线呢？
O
x
y
l
问题 1：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线 l（如右图），如何利用坐标系确定它的位置？
O
x
y
A
B
基本事实：两点确定一条直线；
设A，B为直线上的两点，则 是该直线的方向向量；
两点确定一条直线 一点和一个方向确定一条直线；
结论：一点和一个方向确定一条直线.
问题 2 ：在平面直角坐标系中，经过一点 P 可以作无数条直线 l1，l2，l3，… ，它们组成一个直线束. 观察右图说说这些直线的区别是什么？
O
x
y
α3
α2
α1
规定：平面直角坐标系中，水平直线的方向向右；
区别：各直线相对于 x 轴的倾斜程度不同；
即直线向上的方向与 x 轴的正方向所成的角不同.
l1
l2
l3
l'
P
α'
概念讲解
直线倾斜角的定义：当直线 l 与 x 轴相交时，以 x 轴为基准， x 轴正向与直线 l 向上的方向 之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角；
O
x
y
α3
α2
α1
l1
l2
l3
l'
P
α'
规定：当直线 与 轴平行或重合时，倾斜角为 0°；倾斜角范围：0°≤ α < 180°；
l ：
倾斜角为 0°
小结：直线上的一个定点以及它的倾斜角即可确定平面直角坐标系中一条直线位置.
问题 3 ：在平面直角坐标系中，只需要知道直线上一个定点及它的倾斜角，就可以确定直线吗？
在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等；
因此，可用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.
练一练
C
1.下列各图中 表示直线倾斜角的为 ( 　 )
知识点 2：直线的斜率
问题 1：设直线 l 的倾斜角为 α，回答下列问题：
（1）已知直线 l 经过 O (0，0)， P (，1)，α与点O，P的坐标有什么关系？
α
O
x
y
P (，1)
l
（1）
（1）如图，向量 = (，1)，且直线OP的倾斜角为 α，
由正切函数的定义，有 tan ；
（2）若直线 l 经过P1(–1，1)，P2(，0) ，那么 α 与P1，P2的坐标又有什么关系？
O
x
y
P1 (–1，1)
P2 (，0)
α
α
P
（2）
（2）如图，向量 = (–1–，1–0) = (–1–，1) ；
平移向量 到 ，则点 P 的坐标为(–1–，1)，
且直线OP的倾斜角也是 α，由正切函数的定义，有：
tan ；
（3）若直线 l 经过 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1 ≠ x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？
（3）①
x
α
O
y
P1
P2
P
α
x
α
O
y
P1
P2
P
α
（3）②
x
α
O
y
P2
P1
P
α
x
α
O
y
P2
P1
P
α
思考：观察上述结果，说说你有什么发现？
（3）分情况讨论：
① 当向量 的方向向上时，
② 当向量 的方向向上时，
问题 2：当直线 P1P2 与 x 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
成立；
设 P1 (x1，y)，P2 (x2，y)，x1 ≠ x2，则tan α = = 0；
O
x
y
P2
P1
P2
P1
思考：当直线 P1P2 与 y 轴平行或重合时，式子还成立吗？
不成立；当直线的倾斜角 α = 90°时，x1 = x2，上述式子没有意义.
总结归纳
综上可知：直线 l 的倾斜角 α 与直线 l 上的两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) (x1 ≠ x2) 的坐标有如下关系：
tan α = .
x
α
O
y
P1
P2
P
α
x
α
O
y
P2
P1
P
α
且 P1、P2 两点的位置关系不影响正切值：
tan α = .
概念讲解
斜率的定义：当一条直线的倾斜角 α 的正切值叫做这条直线的斜率；
斜率常用小写字母 k 表示，即：
k = tan α (α ≠ 90°)
知识拓展：
（1）日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度，坡度 = ；
（2）当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.
问题 3：根据斜率的定义，完成下列填空：
图示
倾斜角 (范围) α = 0° 0°< α < 90° α = _____ 90°< α < 180°
斜率 (范围) _________ _________ 不存在 _________
90°
0
(0，+ ∞)
(– ∞，0)
思考：结合上述结果，说说当直线的倾斜角由 0°逐浙增大到 180°时，其斜率如何变化？为什么？
总结归纳
倾斜角和斜率之间的关系：
（1）由正切函数单调性，倾斜角不同的直线，斜率也不同，故可用斜率表示倾斜角不等于90°的直线相对于 x 轴的倾斜程度，进而表示直线的方向；
（2）若直线经过两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) (x1 ≠ x2)，根据 tan α = 和 k = tan α 可得斜率公式： k = .
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于 x 轴的倾斜程度.
例：如图，已知A (3，2)，B (–4，1)，C (0，–1)，求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
O
x
y
A
–2
–1
–4
–3
2
1
3
2
1
3
–1
B
C
典例剖析
由 kAB > 0 及 kCA > 0 可知，直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角；
由 kBC < 0 可知，直线 BC 的倾斜角为钝角.
解：直线 AB 的斜率：
直线 BC 的斜率：
直线 CA 的斜率：
练一练
1. 判断正误，并说出理由.
（1）任一直线都有倾斜角且都存在斜率 （ ）
（2）倾斜角为135°的直线的斜率为1 （ ）
（3）若一条直线的倾斜角为 α ，则它的斜率为k = tan α （ ）
（4）直线斜率的取值范围是(–∞，+∞) （ ）
√
×
×
×
思考：直线的方向向量与斜率之间有什么关系？
x
O
y
P1
P2
若直线 l 经过两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1 ≠ x2，则直线 l 的方向向量 的坐标为：(x2 – x1，y2 – y1)；
结论：若直线 l 的斜率为 k，它的一个方向向量的坐标为 (x，y) 则 .
根据今天所学，回答下列问题：
（1）回顾直线的倾斜角和斜率的定义；
（2）说出过两点的斜率公式；
（3）直线的方向向量与斜率之间有什么关系.