辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

辽宁省葫芦岛市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．定义全集U为整数集，，则( )
A. B. C. D.
2．命题“，”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
3．在等比数列中，公比为q.已知，则是数列单调递减的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A. B. C. D.
5．“城在水上走，水在城中流”是对绥中县九门口水上长城的形象描述，景区坚持绿水青山就是金山银山的发展理念，计划从2024年开始，5年时间改善景区环境，预计第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的倍，第一年的旅游收入为200万元，以后每年旅游收入比上一年增加30万元，则这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为( )
A.230万元 B.234万元 C.245万元 D.260万元
6．若随机变量，且，则( )
A.0.4 B.0.5 C.0.2 D.0.3
7．已知函数，数列满足，，，则( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8．李华准备通过某银行贷款8800元，后通过分期付款的方式还款，银行与李华约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月的还款额都相等，贷款的月利率为，则李华每个月的还款额为( )（精确到0.01元，参考数据）
A.733.21元 B.757.37元 C.760.33元 D.770.66元
二、多项选择题
9．下列函数中最小值为2的是( )
A. B. C. D.
10．为响应校团委发起的“青年大学习”号召，某班组织了有奖知识竞答活动.决赛准备了3道选择题和2道填空题，每位参赛者从5道题中不放回地随机抽取两次，每次抽取1题作答.设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
11．在2024年欧洲杯某小组赛中，共有甲 乙 丙 丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次（积分多者名次靠前，积分同者名次并列），积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜 平 负的概率都为，则在比赛结束时( )
A.四支球队的积分总和可能为15分
B.甲队胜3场且乙队胜1场的概率为
C.可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D.丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
三、填空题
12．已知回归直线方程的样本中心为，则当时，__________.
13．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为__________.
四、双空题
14．一部年代创业剧《乘风踏浪》，让辽宁葫芦岛成为许多人心驰神往的旅游度假目的地.为了更好地了解游客需求，优化自身服务，提高游客满意度，随机对1200位游客进行了满意度调查，结果如下表：
男性 女性 合计
满意 560 540 1100
不满意 40 60 100
合计 600 600 1200
根据列联表中的数据，经计算得到__________（精确到0.001）；依据数据可作出的判断是__________.
附：，.
0.1 0.05 0.01
k 2.706 3.841 6.635
五、解答题
15．设函数.
（1）求曲线的单调区间；
（2）已知在区间上的最大值为13，求a的值.
16．已知数列的前n项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.
（1）证明数列是等差数列，并求其通项公式；
（2）求数列的通项公式及其前n项和；
（3）若数列，证明：数列的前n项和.
17．ChatGPT，是OpenAI研发的一款聊天机器人程序.某科技公司在使用ChatGPT对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，ChatGPT的回答是否正确相互独立.该公司科技人员小张想挑战ChatGPT，小张和ChatGPT各自从给定的9个问题中随机抽取8个作答，已知在这9个问题中，小张能正确作答8个问题，答错1个问题.
（1）求小张能全部回答正确的概率；
（2）求一个问题能被ChatGPT回答正确的概率；
（3）比较小张和ChatGPT答对题数的数学期望.
18．已知函数.
（1）若是的极值点，求a的值；
（2）若函数有两个零点，.
①求实数a的取值范围；
②证明：.
19．甲 乙 丙三人进行一种传球游戏：当球在甲手中时，甲将球保留（也记为一次传球）的概率为，否则甲将球传给乙；当球在乙手中时，乙将球传给甲的概率为，否则乙将球传给丙；当球在丙手中时，丙将球传给甲的概率为，否则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
（1）设传球三次后，球在甲手中的次数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）传n次球后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，设.求证：.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意得或，所以.
故选D
2．答案：D
解析：，的否定是，
故选：D.
3．答案：C
解析：当时，，所以，即是单调递减数列，充分性成立.若是单调递减数列，则，即，所以对都成立，所以，必要性成立.
4．答案：C
解析：根据导函数图象可知，函数在，上单调增，在上单调减，从而可得结论.解：根据导函数图象可知，函数在(上单调增，在上单调减，由此可知函数的图象在，取得极值，并且前者是极大值，后者是极小值，那么可知最有可能的是C，故选C.
5．答案：C
解析：根据题意，设每年投入资金为数列，其前n项和为，
每年旅游收入资金为数列，其前n项和为，易得是首项为80，公比为的等比数列，则(万元)
而是首项为200，公差为30的等差数列，则(万元)，
故这五年的旅游总收入与投入资金总额差额为万元。
故选：C.
6．答案：A
解析：因为随机变量，所以正态分布曲线的对称轴为，所以，所以，故选A.
7．答案：B
解析：本题考查函数的奇偶性、周期性、数列的周期性.由得是奇函数，又，所以是增函数.由得，所以，所以.又，，所以，所以.
8．答案：B
解析：设每一期所还款数为x元，
则每期所还款本金为，，，，，
所以，
所以李华每个月所要还款约757.37元.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对于A，，当且仅当时取等号，故其最小值为2，A符合题意；
对于B，当时，，B不符合题意；
对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，故其最小值为2，C符合题意；
对于D，当时，，D不符合题意.
故选AC.
10．答案：AB
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，由于所以，，故D错误.
故选：ABC.
11．答案：ABC
解析：四支球队共6场比赛，有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.
对于A，四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平，则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，所以四支球队的积分总和可能为15分，故A正确；
对于B，每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故B正确；
对于C，若甲胜乙、丙胜甲、乙胜丙、甲丁平、乙丁平、丙丁平，则甲，乙、丙各得4分，丁得3分，出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况，故C正确；
对于D，丙队在输了一场且其积分仍超过只余三支球队的积分，三队中选一队与丙比赛，丙输，，例如是丙甲，若丙与乙、丁的两场比赛一赢一平，则丙只得4分，这时，甲乙、甲丁两场比赛中甲只能输，否则甲的分数不小于4分，不合题意，在甲输的情况下，乙、丁已有3分，那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意；
若丙全赢（概率是）时，丙得6分，其他3人分数最高为5分，
这时甲乙，甲丁两场比赛中甲不能赢否则甲的分数不小于6分，只有全平或全输，
①若甲一平一输，概率是，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率是；
②若甲两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
③若两场甲都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；
综上概率为，故D错误.
故选：ABC.
12．答案：16
解析：回归直线方程的样本中心为，，解得，即回归直线方程为，当时，.
13．答案：2
解析：由，可得，由，可得，可将看作曲线上任意一点，看作直线上任意一点，则表示点P与点Q之间距离的平方，由，可得，
令，即，
令，则在上恒成立，
则函数在上单调递增，又，
则方程的解为，
则与曲线相切且与直线平行的直线方程为，
可知的最小值为.
故答案为：2.
14．答案：4.364；满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05（或：有的把握认为满意度与性别有关）.
解析：根据题意可得
满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05.
故答案为：4.364；满意度与性别有关联，断犯错误的概率不大于0.05(或：有的把握认为满意度与性别有关).
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）已知的定义域为R，所以
当时，解得，
当时，解得
所以，的单调递增为，
单调递减为.
（2）由（1）可知在上，
在上单调递增，上单调递减，
所以在处取得极大值，也为最大值
所以
解得
16．答案：（1）证明见解析；；
（2）；；
（3）证明见解析
解析：（1）因为数列的前n项和为，且，
当时，；
当时，，
经验证，当时也满足；
所以；
又，
所以是公差为2的等差数列，通项公式为.
（2）由（1）知，于是，
又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项，
所以，，
则，则
所以.
（3）由已知，
于是.
17．答案：（1）；
（2）0.91；
（3）
解析：（1）设小张答对的题数为X，则.
（2）设事件A表示“输入的问题没有语法错误”，事件B表示“一个问题能被ChatGPT正确回答”，由题意知，，
则
（3）设小张答对的题数为X，则X的可能取值是7，8，
且，
则
设ChatGPT答对的题数为Y，则Y服从二项分布，
则，
显然，即.
18．答案：（1）；
（2）①；②证明见解析
解析：（1）
当时即解得
检验：当，在递减；在递增
则是极小值点成立，所以.
（2）由题意得函数的零点即方程的实根
①（i）当时不成立.
（ii）当时
令
的减区间，增区间.
当时..
当时
若有两个零点.即有两个实根，
则a的取值范围
②方法一：
，，，
令，
于是
令，，则
则在单调递减，所以
，
则在单调递减
，
又因为，
又因为在，，，
方法二：
，，
令，
令，
在单调递减，
又因为，所以，
即
，在单调递减
，
又因为，
又因为在单调递增
所以所以
19．答案：（1）分布列见解析；；
（2）；
（3）证明见解析
解析：（1）由题意知，.
，
，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望为
（2）由于传n次球后不在乙手中的概率为，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有的概率传给乙，故有.
变形为.
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
所以数列的通项公式.
（3）由（2）可得，
则，
所以.
又因为，
所以.
综上，