广西壮族自治区南宁市第三中学2023-2024学年高一下学期6月月考测试数学试卷（含解析）

南宁市第三中学2023-2024学年高一下学期6月月考测试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是( )
A. B. C. D.
3．下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是( )
A. B. C. D.
4．已知甲组数据由，，，这n个数据构成，记这组数据的平均数为，方差为；乙组数据由，，，，这数据构成，记这组数据的平均数为，方差为，则( )
A.， B.，
C.， D.，
5．已知复数z满足，且，则( )
A.1 B. C.i D.
6．如图,二面角等于,A,B是棱l上两点,,分别在半平面,内,,,且,则的长等于( )
A.4 B. C. D.
7．如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
8．已知向量，，，若，，三个向量共面，则实数，的取值可能分别为( )
A.，2 B.2，2 C.，1 D.1，5
9．下列命题是真命题的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若正实数a，b满足，则的最小值为4
10．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机拋掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，，事件“”，事件“”，事件“”，则( )
A. B. C.B，C互斥 D.B，C独立
11．已知正方体边长为2,动点M满足,则下列说法正确的是( )
A.当,时,则直线平面
B.当,,时,的最小值为
C.当,时,AM的取值范围为
D.当,且时,则点M的轨迹长度为
三、填空题
12．已知,,且,则________.
13．三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则H为的心________.
四、双空题
14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为________，模型中九个球的表面积之和为________.
五、解答题
15．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)三人中恰有两人合格的概率.
16．函数的一段图象如图所示.
(1)求函数的解析式及单调递增区间；
(2)求函数在上的值域；
(3)若不等式对，上恒成立，求实数m的取值范围.
17．如图，在正三棱柱中，,M,N,P分别是,,的中点.
(1)若点E为矩形内动点，使得面，求线段的最小值;
(2)求证:面.
参考答案
1．答案：C
解析：依题意,,,故,故选C.
2．答案：B
解析：关于平面的对称点为.
故选：B
3．答案：C
解析：对于A：的最小正周期为，对称中心为，故A错误；
对于B：的图象是由将x轴下方部分关于x轴对称上去，x轴上方及x轴部分不变，
所以的最小正周期为，没有对称中心，故B错误；
对于C：，则最小正周期，
且当时，所以函数图象关于点对称，故C正确；
对于D：，最小正周期，故D错误.
故选：C
4．答案：D
解析：由已知可得，
，
，
，
所以ABC错误，D正确.
故选：D.
5．答案：D
解析：设，则由，得，
由，得，即，
所以，化简整理得，得，
所以，得，
所以，
故选：D
6．答案：A
解析：由二面角的平面角的定义知,,
由,,得,,,
,
所以,即.
故选：A.
7．答案：D
解析：
如图，以点D为坐标原点，分别以,,所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.则有,,,,,
依题意，，
,
于是，.
又因平面，平面,则,
又,平面，故平面,
故平面的法向量可取为，
因平面，故，即.
则
，
因，故当时，.
故选：D.
8．答案：AD
解析：因为，，三向量共面，
所以存在实数x,y，使得，
所以，解得，
故当,或,时满足条件.
故选：AD.
9．答案：ACD
解析：对于A，由，得，所以，故A正确；
对于B，要证成立，只需证，即证.
因为，当时，显然，故B不正确；
对于C，因为，所以，
当且仅当，即,时，等号成立，故C正确；
对于D，由，可得，
所以.
由a,b为正实数且，可得，
所以，
当且仅当，即,时等号成立，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：“且”，
事件C的基本事件有；，；，；，，
，，；，，，共个，
所以，故A正确；
“且”“且”，
所以，故B正确；
对于C，当且时，事件B,C同时发生，
所以B,C不互斥，故C错误；
对于D，,，
而“且”，则，
所以，所以B,C独立，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BC
解析：对于A中,由于,时,则,此时M为的中点,
在正方体中,由平面,所以直线AM不会垂直平面,所以A错误;
对于B中,在上取点H,使,在DC上取点K,使,
因为,,,即,可得M点在HK上,
将平面与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内,如图（1）（2）所示,
连接交HK于P,此时B,P,D三点共线,取到最小值即的长,
由于,所以,则,
所以,所以,
即此时的最小值为,所以B正确;
对于C中,当,时,可得点M的轨迹在平面内（包括边界）,
在正方形ABCD中,可得,
因为平面ABCD,平面ABCD,所以,
又因为,且BD,平面,所以平面,
所以,又由,
所以AM的取值范围为,所以C正确;
对于D中,当时,可得点M的轨迹在内（包括边界）,
由于平面ABCD,平面ABCD,可得,
又因为,,平面,故平面,
因为平面,可得,同理可证,
又因为,,平面,所以平面,
设与平面交于点P,由于,
为边长为的正三角形,则点A到平面的距离为,
若,则,即M点落在以P为圆心,为半径的圆上,
此时P点到三边的距离均为,
即M点轨迹是以P为圆心,为半径的圆的一部分,
又由,其轨迹长度为3倍的弧长,所以D错误.
故选:BC.
12．答案：
解析：由可得,解得,.
故答案为:.
13．答案：垂
解析：如图：
首先证明平面PBC.若不然，在平面PAB中，过A作于M，
因为平面平面PBC，平面平面PBC，平面，
所以平面PBC.（AM不同于AP）
在平面PAC中，过A作于N，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面PBC.（AN不同于AP）
这样，过点A有两条不同直线AM，AN垂直于平面PBC，这是不可能的.
所以假设不成立，平面PBC得证.
同理，由三个侧面两两垂直，得平面，平面PAB，
因为平面，平面ABC，所以.①
因为平面，平面PBC，所以.②
由①②及，平面APH，所以平面APH.
又平面APH，所以.
同理可证，，所以H为的垂心.
故答案为：垂
14．答案：/；
解析：设正四面体的棱长为x，高为h，底面圆半径为r，
则，得，又，
所以正四面体的体积为，解得.
如图，取的中点E，连接，，则，，
过点A作底面，垂足在上，且，
所以,，故，
点O为最大球的球心，连接并延长，交于点M，则，
设最大球的半径为R，则，
因为，所以，即，解得，
所以最大球的体积为，且，则，，
设最小球的球心为J，中间球的球心为K，则两球均与直线相切，设切点分别为H,G，
连接,，则,分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为a,b，
则，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，模型中九个球的表面积和为.
故答案为：；
15．答案：(1)；
(2)；
(3)
解析：（1）设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，
且，,,设恰有k人合格的概率为.
则三人都合格的概率：；
（2）三人都不合格的概率：；
（3）三人中恰有两人合格的概率：，
.
16．答案：(1)，单调递增区间为.；
(2)；
(3)
解析：（1）由图象可知，,,
所以,
将图象上点代入函数中得，，
结合图象知,，
所以，，
又因为，
所以，
故.
由，，
解得，，
故函数的单调递增区间为，.
（2）因为，
所以，
当，时，函数最大值为，
当，时，函数最小值为0，
所以，
故函数在区间的值域为.
（3）因为对，，不等式恒成立，
所以，
由（2）知，函数在区间的值域为，
所以，
即能成立，
所以，
又因为，
当且仅当，即时取等号，
所以.
故实数m的取值范围为.
17．答案：(1)；
(2)证明见解析
解析：（1）连接，，，
在正方形中，M，P分别为，的中点，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为面面CPN，
所以面，
在中，因为N，P分别为，的中点，
所以，
因为面，面，
所以面.
因为，面，面，
所以面面.
所以当，面，此时面，
所以当时，最小，
在中，，
所以的最小值为；
（2）在正方形中，，设，则D为中点，
连接、，
因为N、D分别为，的中点，
所以且，
又因为M为中点，且，
所以且，
又因为面，
所以四边形为矩形，
所以,，
又，，面，面，
所以面，
所以面，
又面，
所以，又，面，面，
所以面.