2025高考数学一轮复习-41.1-椭圆的概念及基本性质-专项训练
基 础 巩固练
1.已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是 ( )
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
2.已知椭圆=1的离心率e=,则m的值为( )
A.3 B.
C. D.3或
3.已知P(m,n)是椭圆x2+=1上的一个动点,则m2+n2的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,2]
C.(0,2] D.[2,+∞)
4.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A. B. C.-1 D.
5.(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的方程为+x2=1
B.椭圆C的方程为+y2=1
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周长为4
6.(多选题)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点M在椭圆C上,若,则该椭圆的离心率可能是 ( )
A. B. C. D.
7.(2023徐州月考)椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是 .
8.如图,底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截,其截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长为 cm,离心率为 .
9.如图所示,已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;
(2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.
综 合 提升练
10.椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),点P在C上,|F2P|=2,∠F1F2P=,则C的长轴长为 ( )
A.2 B.2
C.2+ D.2+2
11.已知点F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,M是该椭圆上的一个动点,则||的最小值是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
12.已知点A,B为椭圆E:=1(a>b>0)的长轴端点,P为椭圆E上一点,若直线PA,PB的斜率之积的取值范围为,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
13.古希腊数学家阿基米德早在2 200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图,某种椭圆形镜子按照实际面积定价,每平方米200元,小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.8米且离心率为的椭圆,则小张要买的镜子的价格约为 元.(结果保留整数)
14.(2023宿迁质检)已知椭圆E的中心为O,E上存在两点A,B,满足△OAB是以半焦距为边长的正三角形,则E的离心率为 .
15.如图,椭圆=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,短轴的上端点为B,短轴上的两个三等分点为P,Q,且四边形F1PF2Q为正方形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过点B作此正方形的外接圆的切线,该切线在x轴上的一个截距为-,求此椭圆的方程.
创 新 应用练
16.韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥,具有桩深、塔高、梁重、跨大的特点,它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈,成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁,大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命,韶州大桥的桥塔外形近似椭圆(如图),若桥塔所在平面截桥面为线段AB,且AB过椭圆的下焦点,AB=44米,桥塔最高点P距桥面110米,则此椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案
1.D 2.D 3.B 4.C 5.ACD 6.BCD
7 8.8
9.解 (1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以|OA|=|OF2|,即b=c,所以a=c,即e=
(2)由题意知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y),由=2,得解得x=,y=-将其代入=1,得=1,即=1,解得a2=3.所以b2=a2-c2=3-1=2,所以椭圆的方程为=1.
10.D 11.C 12.A 13.339 14-1或
15.解 (1)由题意知P,设F1(-c,0),因为四边形F1PF2Q为正方形,所以c=,即b=3c,所以b2=9c2,即a2=10c2,所以离心率e=
(2)因为B(0,3c),由几何关系可求得一条切线的斜率为2,
所以切线方程为y=2x+3c,因为在x轴上的截距为-,所以c=1,
故所求椭圆的方程为=1.
16.D(共52张PPT)
2025高考数学一轮复习-41.1-椭圆的概念及基本性质
激 活 思 维
【解析】
【答案】D
【解析】
B
ACD
【解析】
BCD
【解析】
【解析】
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________.这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1) 若________，则集合P为椭圆；
(2) 若________，则集合P为线段；
(3) 若________，则集合P为空集．
椭圆
聚 焦 知 识
焦点
焦距
a＞c
a＝c
a＜c
2．椭圆的标准方程和几何性质
2a
2b
2c
a2＝b2＋c2
第1课时 椭圆的概念及基本性质
(1) 过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则点A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为_____．
椭圆的定义及应用
举 题 说 法
1
4
【解析】
因为椭圆方程为4x2＋y2＝1，所以a＝1.由椭圆的定义可知△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝4.
(2) 如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A的坐标为(2，0)，线段AP的垂直平分线交BP于点Q，则点Q的轨迹方程为_____________．
1
【解析】
连接AQ(图略).因为线段AP的垂直平分线交BP于点Q，所以|AQ|＝|PQ|，所以|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6.
【解析】
因为a＝4，2a＝8，由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a，所以|AF1|＋|BF1|＝4a－(|AF2|＋|BF2|)＝16－|AB|＝11.
11
C
【解析】
(1) 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为________________________．
椭圆的标准方程
2
【解析】
【答案】
2
【解析】
视角1 离心率
椭圆的简单几何性质
3-1
【解析】
【答案】A
【解析】
3-1
【解析】
A
【解析】
B
视角2 与性质有关的范围(最值)问题
【解析】
3-2
C
【解析】
如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|.
3-2
当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0；当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＜0.所以△ABF周长的最大值为20.
D
随 堂练习
D
【解析】
A
【解析】
如图，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大．
【解析】
【答案】A
如图，设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，则四边形AFBF2为平行四边形．
4．若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆
的离心率为______．
【解析】
配套精练
【解析】
C
【解析】
C
【解析】
圆M：x2＋(y－3)2＝1的圆心M(0，3)，半径r＝1.设椭圆的左焦点为F1，如图，
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF|＝2a＝4，则|PF|＝4－|PF1|，所以|PQ|＋|PF|≤|PM|＋r＋4－|PF1|＝5＋|PM|－|PF1|≤5＋|MF1|，当且仅当P，F1，M三点共线时等号成立．
D
【解析】
B
【解析】
BCD
【解析】
【答案】ACD
【解析】
【解析】
由题知△PF1F2是以F1为顶点的等腰三角形，所以|PF1|＝|F1F2|＝2c.因为点P在椭圆C上，根据椭圆的定义可知：|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－2c.
12
【解析】
四、 解答题
10．已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1) 求此椭圆的方程；
【解答】
10．已知椭圆的两焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(2) 若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
【解答】
B组 滚动小练
11．已知函数f(x)＝a ln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝ ( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
B
【解析】
A
【解析】
13．如图所示的几何体是由四棱锥B-AEFC和三棱台EFG-ACD组合而成，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝2，平面EBC与平面ABCD的夹角为45°.
(1) 求证：平面BCE⊥平面CDGF；
【解答】
因为DG⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以DG⊥BC.因为AD∥BC，AD⊥CD，所以BC⊥CD.
由GD∩CD＝D，GD，CD 平面CDGF，BC⊥平面CDGF.由BC 平面BCE，得平面BCE⊥平面CDGF.
13．如图所示的几何体是由四棱锥B-AEFC和三棱台EFG-ACD组合而成，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝2，平面EBC与平面ABCD的夹角为45°.
(2) 求三棱台EFG-ACD的体积．
【解答】
因为DG⊥平面ABCD，AD，CD 平面ABCD，所以DG⊥AD，DG⊥CD.又因为AD⊥CD，所以DG，AD，CD两两互相垂直，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DG所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图．
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