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第22讲 解三角形
第四章
三角函数与解三角形
1．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为 ( )
A．120° B．90°
C．60° D．45°
激 活 思 维
【解析】
A
A
【解析】
3．在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝
__________．
【解析】
【解析】
【解析】
4
1．正弦定理和余弦定理
聚 焦 知 识
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ______________________＝2R a2＝_____________________；
b2＝_____________________；
c2＝_____________________
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C
2R sin A
2R sin B
2R sin C
sin A∶sin B∶sin C
定理 正弦定理 余弦定理
变形形式 ①a＝_________，b＝__________，c＝__________； ②sin A＝______，sin B＝______，sin C＝______(其中R是△ABC外接圆的半径)； ③a∶b∶c＝____________________； ④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝__________；
cos B＝__________；
cos C＝____________
解斜三角形的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
一解
两解
一解
一解
无解
A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b
解的个数 ________ ________ ________ ________ ________
4．解三角形的实际应用
(1) 仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图(1)).
图(1)
(2) 方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图(2)).
图(2)
下方
(3) 方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角，如南偏东30°，北偏西45°等．
(4) 视角：观察物体时，从物体两端引出的光线在人眼球内交叉而成的角．
第1课时 正弦定理与余弦定理
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A).
(1) 求证：2a2＝b2＋c2；
正、余弦定理的直接应用
举 题 说 法
1
【解答】
1
【解答】
【解答】
(2) 求c的值；
【解答】
【解答】
利用正、余弦定理判断三角形的形状
2
【解析】
对于D，因为a cos B＋b cos A＝a，所以sin A cos B＋sin B cos A＝sin A，即sin (A＋B)＝sin A，则sin C＝sin A，又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以△ABC为等腰三角形，故D正确．
【答案】BD
C
【解析】
和三角形面积有关的问题
3
【解答】
【解答】
3
【解答】
【解析】
三角平方差公式
【解析】
新视角
sin2A－sin2B＝sin(A＋B)sin (A－B).
设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3(a2－b2)，且tan C＝3，则角B的大小为______．
4
【答案】
【解析】
随堂练习
1．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若利用正弦定理解△ABC有两解，则x的取值范围是 ( )
B
【解析】
B
【解析】
B
【解析】
4
【解析】
配套精练
C
【解析】
由题意，结合正弦定理可得sin A cos B－sin B cos A＝sin C，即sin A cos B－sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A，整理可得sin B cos A＝0.
2．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＋b cos (A＋C)＝0，则△ABC为 ( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
D
【解析】
由a cos A＋b cos (A＋C)＝0，得a cos A－b cos B＝0，由正弦定理得sin A cos A－sin B cos B＝0，所以sin 2A＝sin 2B.
B
【解析】
4．在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC如图所示，则tan A＝ ( )
A
【解析】
二、 多项选择题
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是( )
【解析】
【答案】ABC
【解析】
【答案】BC
【解析】
【解析】
4
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝80°，a2＝b(b＋c)，则C＝________．
60°
【解析】
由a2＝b(b＋c) a2－b2＝bc sin2A－sin2B＝sinB sin C sin (A＋B)sin (A－B)＝sin B sin C sin (A－B)＝sin B.
【解答】
【解答】
11．在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1) 求sin ∠ABC；
【解答】
11．在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
【解答】
【解析】
【答案】ABD
13．(多选)已知f(x)是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f′(x)，则下列结论正确的是 ( )
A．若f(x)＝f(－x)，则f′(x)＝－f′(－x)
B．若f′(x)＝f′(x＋T)(T≠0)，则f(x)＝f(x＋T)
C．若f(x)的图象关于点(a，b)中心对称，则f′(x)的图象关于直线x＝a轴对称
D．若f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2，f′(x＋2)的图象关于原点对称，则f(－1)＋f′(2)＝1
【解析】
对于A，由f(x)＝f(－x)，根据导数的运算法则，可得f′(x)＝－f′(－x)，所以A正确；
对于B，例如函数f(x)＝x，可得f′(x)＝1，此时满足f′(x)＝f′(x＋T)(T≠0)，但f(x)≠f(x＋T)，所以B错误；
对于C，由f(x)的图象关于点(a，b)中心对称，可得f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，两边同时取导数，可得f′(a＋x)－f′(a－x)＝0，即f′(a＋x)＝f′(a－x)，所以f′(x)的图象关于直线x＝a轴对称，所以C正确；
对于D，由f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2，令x＝0，可得f(－1)＋f(－1)＝2，即f(－1)＝1，又由f′(x＋2)的图象关于原点对称，令x＝0，可得f′(2)＝0，所以f(－1)＋f′(2)＝1，所以D正确．
【答案】ACD
14．已知函数f(x)＝(x＋1)ln (x＋1)－λx，当x≥0时，f(x)≥0，则λ的最大值为_____．
1
【解析】
f(x)的定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ln (x＋1)－λ＋1.由题知f′(x)在[0，＋∞)上单调递增，f′(0)＝－λ＋1.
①当λ≤1时，对于任意的x∈[0，＋∞)，有f′(x)≥f′(0)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对于任意的x∈[0，＋∞)，f(x)≥f(0)＝0，所以λ≤1符合题意；
②当λ＞1时，令f′(x)＞0，得x＞eλ-1－1，令f′(x)＜0，得0≤x＜eλ-1－1，所以f(x)在[0，eλ-1－1)上单调递减，在(eλ-1－1，＋∞)上单调递增，则f(eλ-1－1)＜f(0)＝0，这与当x≥0时，f(x)≥0矛盾，所以λ＞1，舍去．
综上，λ≤1，所以λ的最大值为1.2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【原卷版】
基础巩固练
1. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的大小为（ ）.
A. B. C. D.
2. 在中，若 ，，且的面积为，则外接圆的半径为（ ）.
A. B. C. 2 D. 4
3. （改编）在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ ）.
A. B. C. 2 D.
5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的形状为（ ）.
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
6. （改编）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ ）.
A. B. 或 C. D.
7. （改编）设在中，角，，所对的边分别为，，，若满足,,的不唯一，则实数的取值范围为（ ）.
A. ， B. C. , D. ,
8. 秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示如下：，其中,,是的内角,,的对边.已知在中，，，则面积的最大值为（ ）.
A. B. C. D.
综合提升练
9. （多选题）在中，角，，的对边分别为,,，且满足，则下列结论可能成立的是（ ）.
A. B. C. D.
10. （多选题）在中,角,,所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ）.
A. 若，则为等边三角形
B. 若，则
C. 若，，，则最小内角的度数为
D. 若， ，，则此三角形有两解
11. 在中，角，，的对边分别为，，，满足，，则
12. （双空题）在中，角,,所对的边分别为,,，已知,.
① 的值为
② 若，则的取值范围是
应用情境练
13. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平方千米.
14. 在中，角，，的对边分别为，，.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
；；.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
创新拓展练
15. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则
16. 的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围.
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理-专项训练【解析版】
基础巩固练
1. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则的大小为（ B ）.
A. B. C. D.
[解析]由题意知，，
， .故选.
2. 在中，若 ，，且的面积为，则外接圆的半径为（ C ）.
A. B. C. 2 D. 4
[解析]由题意知，，解得，
由余弦定理得，故.
设 外接圆的半径为，
由正弦定理得，故.故选.
3. （改编）在中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则（ C ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
[解析]由余弦定理得，又， 由正弦定理可得，即，即.
又，，解得（负值舍去）.故选.
4. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（ D ）.
A. B. C. 2 D.
[解析]由，，得，
，则.
由，得，，
.故选.
5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的形状为（ C ）.
A. 直角三角形 B. 等腰非等边三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
[解析]，，.
又，
，.
，，是等边三角形.故选.
6. （改编）已知的内角，，的对边分别为，，，且，，，则（ D ）.
A. B. 或 C. D.
[解析]， 由正弦定理可得.又，.由，可得，,.
，， 由正弦定理可得， 由，可得.故选.
7. （改编）设在中，角，，所对的边分别为，，，若满足,,的不唯一，则实数的取值范围为（ A ）.
A. ， B. C. , D. ,
[解析]由正弦定理，即，得.
因为 不唯一，即 有两解，所以 且，即，
所以，所以，即.故选.
8. 秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示如下：，其中,,是的内角,,的对边.已知在中，，，则面积的最大值为（ B ）.
A. B. C. D.
[解析]，，
，
即，
即，又,且，
，.
，，
则，即，，
，
当 时，.故选.
综合提升练
9. （多选题）在中，角，，的对边分别为,,，且满足，则下列结论可能成立的是（ AD ）.
A. B. C. D.
[解析]因为，
所以，
所以，即，
所以 或 因为 ，所以 或.故选.
10. （多选题）在中,角,,所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ABC ）.
A. 若，则为等边三角形
B. 若，则
C. 若，，，则最小内角的度数为
D. 若， ，，则此三角形有两解
[解析]对于,若，则，即，即，即 是等边三角形，故 正确.
对于,由，可得，
则.因为 ,所以 ，故 正确.
对于,因为，，，所以，所以，所以,因为 ，所以 ，故 正确.
对于，因为, ,，，所以，解得.因为，所以，所以三角形只有一解，故 错误.故选.
11. 在中，角，，的对边分别为，，，满足，，则 .
[解析]，,
由正弦定理得.
，,，
则.
12. （双空题）在中，角,,所对的边分别为,,，已知,.
① 的值为6；
[解析]由，得，
由正弦定理得，即.
② 若，则的取值范围是 .
[解析]由余弦定理，，
结合①得，
所以，
所以，
即.
因为，所以，，
所以，即.
应用情境练
13. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角形的沙田，三边长分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21平方千米.
[解析]设在 中，里，里，里，
所以，所以，故 的面积为（平方千米）.
14. 在中，角，，的对边分别为，，.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
；；.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
[解析]选①②作条件，③为结论:
由②得，而，
所以，即，
根据辅助角公式可得， ，
所以，则，
由①知，代入可得，所以，
由正弦定理得.
选①③作条件，②为结论：
由③得，又由①知，
所以，则，
所以， ，所以，
由，
得，又 ,且,所以，所以，
所以.
选②③作条件，①为结论：
由②得，而，
所以，即，
根据辅助角公式可得，又 ,所以，
由③知，
所以，又 且,所以，所以，
所以,，则，，
即.
创新拓展练
15. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则2.
[解析]由 及正弦定理，可得.因为，所以.因为，所以，又 ,所以.由余弦定理得，即，又，所以.
16. 的内角，，的对边分别为，，.已知.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且的面积为，求的取值范围.
[解析]（1）因为，所以，
所以，
又，所以，
因为，所以.
（2）由（1）可知，，
则.
由 为锐角三角形，得 整理得.
因为，所以.
令，因为函数 在,上单调递减，在 上单调递增，所以,，即,，
故 的取值范围为,.
