2025年高考数学一轮复习-2.1-函数的概念及其表示-专项训练
1.函数y=的定义域是( )
A.[-4,0)∪(0,4]
B.[-4,4]
C.(-∞,-4]∪[4,+∞)
D.[-4,0)∪[4,+∞)
2.已知函数f(x-1)=,则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
3.设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=( )
A.3 B.6 C.9 D.12
4.函数f(x)=满足f(1)+f(a)=2,则a的所有可能取值为( )
A.1或- B.-
C.1 D.1或
5.已知函数f(x)=则f= ( )
A. B. C. D.5
6.已知函数f(x)=则满足f(2x+1)A.(-∞,0] B.(3,+∞)
C.[1,3) D.(0,1)
7.(多选题)下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是( )
A.M=,N={-6,-3,1},f=-6,f(1)=-3,f=1
B.M=N={x|x≥-1},f(x)=2x+1
C.M=N={1,2,3},f(x)=2x-1
D.M=Z,N={-1,1},f(x)=
8.(多选题)已知函数f(x)=若f(f(a))=-,则实数a的值可能为( )
A. B.- C.-1 D.
9.已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f(x)=2x2+4,则f(x)的解析式为 .
10.设函数f(x)=则f(f(1))= ,若f(a)>1,则实数a的取值范围是.
11.已知函数y=f(x-1)的定义域为[1,3],则函数y=f(log3x)的定义域为( )
A.[0,1] B.[1,9] C.[0,2] D.[0,9]
12.若函数f+1,则函数g(x)=f(x)-4x的最小值为( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
13.已知函数f(x)=则不等式f(f(x))<4f(x)+1的解集是( )
A. B.
C.(0,2) D.
14.已知函数f(x)在定义域R上具有单调性,且当x∈(0,+∞)时,均有f(f(x)+2x)=1,则f(-2)的值为( )
A.3 B.1 C.0 D.-1
15.设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为 ;a的最大值为 .
16.已知函数f(x)=
(1)若f(x)的最大值为,则a的一个取值为 .
(2)记函数f(x)的最大值为g(a),则g(a)的值域为 .
参考答案
1.A 2.A 3.C 4.A 5.A 6.B
7.ABD 8.ACD 9.f(x)=x2+x+2
10.-7 (-∞,-2)∪(10,+∞)
11.B 12.D 13.D 14.A
15.0(答案不唯一) 1
16.(1) (2)(共38张PPT)
2.1-函数的概念及其表示
课标要求 考情分析
1.了解构成函数的要素，会求简 单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的 需要选择恰当的方法（如图象 法、列表法、解析法）表示函 数，理解函数图象的作用. 3.了解简单的分段函数，并能简 单应用. 考点考法：高考命题常以基本初等函数
为载体，考查函数的表示法、定义域、
值域.分段函数是高考热点，常以选择
题或填空题的形式出现.
核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑
推理
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.函数的有关概念
（1）函数的概念
（2）函数的表示法
表示函数的常用方法：________、________、________.
[提醒] （1）在函数定义中，集合 不一定是函数的值域，它包含了函数的
值域，即值域是集合 的子集.（2）若两函数的值域与对应关系相同，则两
函数不一定相同，如： 与 .
2.分段函数
若函数在其定义域的______子集上,因对应关系不同而分别用几个____________
来表示,这种函数称为分段函数.
[提醒] 分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义
域的并集,值域是各段值域的并集.
解析法
图象法
列表法
不同
不同的式子
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数 与 是同一个函数.( )
√
（2）若两个函数的定义域与值域都相同,则这两个函数是同一个函数.( )
×
（3）函数 的图象可以是一条封闭的曲线.( )
×
（4）分段函数是由两个或几个函数组成的.( )
×
2.（人A必修第一册 例3 变条件）下列函数中，与函数 是同
一个函数的是( )
A. B. C. D.
3.(2022·高考北京卷)函数 的定义域是_______________.
解析：由题意得 解得 .
√
4.已知函数 若 ,则实数 的值为____.
解析：因为 ,且 ,所以 ,故 .依题知 ,解得 .
1.直线 与函数 的图象至多有1个交点.
2.在函数的定义中，非空数集 ， ， 即为函数的定义域，而函数的值
域为 的子集.
3.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.
【用一用】
1.下列所给图象是函数图象的个数为( )
A. B. C. D.
√
解析：选B.①中，当 时，每一个 的值对应两个不同的 值，不是函数图象；
②中，当 时， 的值有两个，不是函数图象；
③④中，每一个 的值对应唯一的 值，是函数图象.故选B.
2.（多选）下列判断中正确的有( )
A. 与 表示同一函数
B.函数 的图象与直线 的交点最多有1个
C. 与 是同一函数
D.若 ，则
√
√
解析：选BC.对于A，函数 的定义域为 ，函数 的
定义域为 ，两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B，若函数 在 处有定义，则 的图象与直线 的
交点有1个；
若函数 在 处没有定义，则 的图象与直线 没有交点，
故B正确；
对于C，函数 与 的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一函
数，故C正确；
对于D，由题意可得 ，所以 ，故D错误.故选BC.
核心考点 师生共研
02
考点一 函数的定义域（师生共研）
例1.（1）(2023·黑龙江齐齐哈尔模拟)函数 的
定义域是( )
A. B. C. D.
解析：由题意得 ，解得 ，所以函数 的定
义域是 .故选A.
√
（2）(2023·湖南长沙模拟)已知函数 的定义域为 ,则函数
的定义域是( )
A. B.
C. D.
解析：因为函数 的定义域为 ，所以 解得
.
所以函数 的定义域为 .故选C.
√
（1）求给定函数解析式的定义域
①求给定函数解析式的定义域转化为使解析式有意义的不等式（组）求解；
②当函数解析式较复杂，要先确定全部限制条件，依次列出不等式或不等式组，再分别求出每个不等式的解集，最后求出这些集合的交集即为函数的定义域.
（2）
[注意]定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“ ”
连接.
【对点训练】
1.如果函数 的定义域为 ，那么实数 的值为
( )
A. B. C. D.
解析：选D.因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
√
2.函数 的定义域是_________________.
解析：由题意得 即
故函数 的定义域为 .
考点二 函数的解析式（师生共研）
例2.（1）(2023·黑龙江哈尔滨三中月考)已知 ,则 的解
析式为_ ___________________.
解析：令 ,则 ,所以 ,所以
.
（2）已知 是二次函数，若方程 有两个相等实根，且
，则 ____________.
解析：设 ，则 ,所以 ,则 , ,所以 .又 有两个相等实根,所以 ,则 .故 .
（3）已知函数对任意的 都有 ,则 _ ___.
解析：因为 ,①所以 ,②由①②得 .
求函数解析式的四种方法
【对点训练】
1.已知一次函数 满足 ，则 ______.
解析：设 ，则 ，
故 解得 故 ，
2.已知定义在 上的函数 满足 ，若当
时， ,则当 时， _ __________.
解析：因为 ,所以 ,所以 .
考点三 分段函数（多维探究）
[高考考情] 分段函数常作为考查函数知识的载体，因其考查函数知识较全面而成为高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程与不等式，涉及函数的零点、图象及性质等，难度中低档.
角度1 分段函数求值
例3.（1）已知函数 若 ,则实数
____， ____.
解析：由题意得， ，
所以 ,
所以 , .
（2）已知函数 则 __.
解析：由题意得 .
关于分段函数求值问题的解题思路
（1）求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段
的解析式求值，当出现 的形式时，应从内到外依次求值.
（2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
角度2 分段函数与方程、不等式问题
例4.（1）已知函数 若 ，则
( )
A. B. C. D.
√
解析：由题意得函数 在 和 上均为增函数，
因为 ，所以 解得 ，
所以 ，即 ，解得 ，符合题意，
所以 .故选D.
（2）(2023·福建福州模拟)设函数 则满足不
等式 的解集是( )
A. B. C. D.
√
解析：函数 的图象如图所示.
由图可知函数 在 上单调递增，因为 ，所以 等价于 ,故 ，即 ，故选D.
解决分段函数与不等式问题的基本策略
（1）分类讨论：解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值（取值范围）是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可.
（2）数形结合：解决分段函数问题时，通过画出函数的图象，对代数问题进行转化，结合图形直观地分析判断，可以快速准确地解决问题.
【对点训练】
1.设函数 则满足 的 的取值范围是
( )
A. B. C. D.
解析：选D.根据题意作出函数 的图象如图所示，结合图象
知，满足 ,则 或 所以
.故选D.
√
2.已知函数 若 ,则实数 的值为_______.
4或
解析：当 时， ,所以 ;当 时， ,所以 .所以实数 的值为4或 .
3.(2022·高考浙江卷节选)已知函数 则 ____.
解析：由已知得， ， ，所以
.
