1.1.2 空间向量基本定理
分层练习
一、单选题
1．（2023 春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）已知矩形 ABCD, P 为平面 ABCD外一点，且PA ^平
uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
面 ABCD，M , N 分别为PC, PD上的点，PM = 2MC, PN = ND, NM = xAB + y AD + z AP，则 x + y + z =（ ）
2 5
A．-
2
B． C．1 D．
3 3 6
【答案】B
uuuur uuuur uuur uuur
【详解】因为PM = 2MC, PN = ND ，
uuuur uuur uuuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur
所以 NM = NP + PM = DP + PC = AP - AD + AC - AP
2 3 2 2 3 3
1 uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
= - AD + AC - AP = - AD + AB + AD - AP 2= AB 1 1+ AD - AP ，
2 3 6 2 3 3 6 3 6 6
x 2 1故 = , y = , z
1 2
= - ，故 x + y + z = .
3 6 6 3
故选：B
2．（2022 秋·广东揭阳·高二普宁市第二中学校考期中）如图，在三棱锥O - ABC 中，点 G 为底面VABC 的重
心，点 M 是线段OG 上靠近点 G 的三等分点，过点 M 的平面分别交棱OA，OB，OC 于点 D，E，F，若
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 1 1
OD = kOA,OE = mOB,OF = nOC ，则 + + =（ ）k m n
2 2 3 9
A． B． C． D9 3 ．2 2
【答案】D
【详解】由题意可知，
uuuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 uuur 2 1 uuur uuurOM = OG = (OA + AG) = éêOA + (AB + AC)
ù
3 3 3 3 2 ú
2 éuuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur ù 2 uuur 2 uuurOA (OB OA) (OC OA) OA OB 2
uuur
= ê + - + - = + + OC3 3 3 ú 9 9 9
uuuur uuur uuur
因为 D，E，F，M 四点共面，所以存在实数l, m ，使DM = l DE + mDF ，所以
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
OM - OD = l(OE - OD) + m(OF - OD)，所以
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OM = (1- l - m)OD + lOE + mOF = (1- l - m)kOA + lmOB + mnOC ，所以
ì 2
(1- l - m)k =
9
lm 2= 1 1 1 9í ，所以 + + = (1- l - m)
9 l 9 9+ + m = ．
9 k m n 2 2 2 2
2
mn = 9
故选：D
二、多选题
uuur uuur
3．（2022·高二课时练习）（多选）已知A ， B ，C ， D， E 是空间五点，且任何三点不共线.若 AB ， AC ，
uuur uuur uuur uuur
AD 与 AB ， AC ， A E 均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
uuur uuur uuur
A． AB ， AD ， A E 不能构成空间的一个基底
uuur uuur uuur
B． AC ， AD ， A E 不能构成空间的一个基底
uuur uuur uuur
C．BC ，CD，DE 不能构成空间的一个基底
uuur uuur uuur
D． AB ，CD，EA能构成空间的一个基底
【答案】ABC
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】解：因为 AB ， AC ， AD 与 AB ， AC ， A E 均不能构成空间的一个基底，且A ， B ，C ，D，E
是空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点A ， B ，C ，D，E 共面，
所以这五点A ， B ，C ，D，E 中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以 ABC
正确，D 错误.
故选：ABC
4．（2022 秋·山西运城·高二校考阶段练习）已知点 P 为三棱锥O - ABC 的底面 ABC 所在平面内的一点，且
uuur 1 uuur uuur uuurOP = OA + mOB - nOC （m ，n R ），则m ， n的值可能为（ ）2
1 1 1
A．m =1， n = - B．m = ， n =1 C．m = - ， n = -1 D．m
3
= ， n =1
2 2 2 2
【答案】CD
【详解】因为点 P 为三棱锥O - ABC 的底面 ABC 所在平面内的一点，
所以由平面向量基本定理可知：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP = y AC + z AB AO + OP = y(AO + OC) + z(AO + OB)，
uuur uuur uuur uuur
化简得：OP = (1- y - z)OA + yOC + zOB，显然有1- y - z + y + z =1，
uuur 1 uuur uuur uuur 1 1
而OP = OA + mOB - nOC ，所以有 + m - n =1 m - n = ，
2 2 2
1 3
当m =1， n = - 时，m - n = ，所以选项 A 不可能；
2 2
m 1 1当 = ， n =1时，m - n = - ，所以选项 B 不可能；
2 2
当m
1
= - ， n = -1时，m - n 1= 2 ，所以选项 C 可能；2
3 1
当m = ， n =1时，m - n = 2 ，所以选项 D 可能，2
故选：CD
三、填空题
uuur r uuur r
5．（2022 春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考开学考试）如图，在三棱锥O - ABC 中，OA = a，OB = b，
uuur r r r r uuuur
OC = c，点 M 在OA上，且OM = 2MA， N 为 BC 中点， a,b,c 构成空间的一个基底，将MN 用基底表示，
uuuur
MN =__________.
uuuur 1 r 1 r 2 r
【答案】MN = b + c - a
2 2 3
uuur r uuur r uuur r
【详解】由题意，OA = a，OB = b，OC = c，
uuuur uuur uuuur
连接ON ，根据向量的线性运算法则，可得MN = ON - OM ，
uuur 1 uuur uuur r r
因为 N 为BC 中点，ON = (OB
1
+ OC) = (b + c)，
2 2
uuuur 2 uuur 2 r
又由点M 在OA上，且OM = 2MA，可得OM = OA = a，
3 3
uuuur uuur uuuur 1 r r r
所以MN = ON
1 2
- OM = b + c - a .
2 2 3
6．（2022 秋·江苏徐州·高二校考期中）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD是边长为1的正方形，
且 A1AD = A1AB = 60
o
， AA1 = 2，则线段 AC1的长为 _____．
【答案】 10
uuuur2 uuur uuur uuuur 2 uuur uuur uuur 2【详解】Q AC1 = AB + BC + CC1 = AB + AD + AA1
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB + AD + AA1 + 2AB × AD + 2AB × AA1 + 2AD × AA1 =1+1+ 4 + 0 + 2 1 2cos 60
o + 2 1 2cos 60o =10，
uuuur
\ AC1 = 10 ，即线段 AC1的长为 10 .
故答案为： 10 .
7．（2021 秋·高二课时练习）如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB、 AC ，M 是边OA的中点，G
uuur uuur uuur uuuur
是DABC的重心，则用基向量OA，OB ，OC 表示向量MG 的表达式为___________.
uuuur
MG 1
uuur 1 uuur uuur
【答案】 = - OA + OB
1
+ OC
6 3 3
【详解】如图所示，连 AG 延长交 BC 于E ，
uuur uuur uuur
MG = MA + AG
1 uuur 2 uuur
= OA + AE
2 3
1 uuurOA 2 1
uuur uuur
= + × AB + AC
2 3 2
1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur= OA + OB - OA + OC - OA2 3 3
1 uuurOA 1
uuur 1 uuur
= - + OB + OC
6 3 3
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
故答案为：MG = - OA + OB + OC .
6 3 3
8．（2022 秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知四棱锥P- ABCD的底面是平行四边形，侧棱 PB、PC 、PD
uuur
PE 2
uuur uuur uuur uuur uuur
上分别有一点E 、F 、G ，且满足 = PB， PG
1
= PD ，PF = lPC ，若A 、E 、F 、G 四点共面，则3 2
实数l = __________．
2
【答案】 / 0.4
5
m uuur uuur uuur【详解】因为A 、E 、F 、G 四点共面，则存在 、 n R 使得 AF = mAE +nAG，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以，PF - PA = m PE - PA + n PG - PA ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以，PF = mPE + nPG + 1- m - n PA = 1- m - n PA 2 1+ mPB + nPD，
3 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AD = BC ，即PD - PA = PC - PB，所以，PC = -PA + PB + PD，
uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
因为PF = lPC ，即 1- m - n PA + mPB + nPD = -lPA + lPB + lPD，3 2
ì
1- m - n = -l
2 7 2
所以， í m = l ，可得1- l = -l ，解得l= .
3 2 5
1
n = l 2
2
故答案为： .
5
四、解答题
9．（2021·高二课时练习）如图所示，已知四面体 ABCD 的棱长为 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的
uuur uuur uuur
中点，设 AB = a ， AC = b ， AD = c ，{ a ， b ， c }为空间向量的一个基底，计算:
uuur uuur
（1）EF · BA；
uuur
（2）| EG |.
1 2
【答案】（1） ；（2） .
4 2
1
【详解】（1）由题意得| a |=| b |=| c |=1， a · b = a · c = b · c = 2 ，
uuur uuur uuur 1 1 uuur∵ EF = AF - A E = 2 c - 2 a ，BA =-
a ，
uuur uuur 1 1 1∴ 1
1
EF · BA = c - a ·(- )=- + = .
è 2 2 ÷ a 4 2 4
uuur uuur uuur
（2）∵ EG = -
1 1
AG A E = 2 ( b + c )- 2 a ，
uuur
∴ 2 = 1
1 1 2 1 1 1
EG b+ c - a ÷ = a 2+
b 2+
c 2+
1
2 b ·
- 1 1 1
è 2 2 2 4 4 4 c 2 b
· a - 2 a · c = 2 ，
uuur
∴| EG |=
2 .
2
10．（2022·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长都为 2，E 是 AB 的中点，F 在OC 上，
uuur uuur
且OF = 2FC .
uuur uuur uuur uuur
（1）用{OA,OB,OC}表示EF ；
uuur uuur
（2）求向量OE 与向量BF 所成角的余弦值.
uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 5 21
【答案】（1）EF = - OA - OB + OC ；（2） .
2 2 3 - 42
uuur uuur
【详解】（1）因为 E 是 AB 的中点，F 在OC 上，且OF = 2FC ，
uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur
所以OE = (OA + OB),OF = OC ，
2 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
于是EF = OF
2
- OE = OC 1- (OA + OB) 1= - OA 1 2- OB + OC .
3 2 2 2 3
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
（2 1 OE (OA OB), BF OF OB 2 ×OC - OB）由（ ）得 = + = - = ，
2 3
uuur 1 uuur uuur 1 1
因此 |OE |= |OA + OB |= 4 + 4 + 2 2 2 = 3 ，
2 2 2
uuur 2 uuur uuur| BF |= OC - OB 4 4
3 = 4 + 4 - 2 2
1 2 7
= ，
9 3 2 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又因为OE × BF
1
= (OA + OB) 2× OC - OB
5= - ，
2 è 3 ÷ 3
uuur uuur 5
uuur uuur -
所以向量OE 与向量BF 所成角的余弦值为= u
OuuEr × BuuFur 5 21= 3 = -
|OE || BF | 2 7 42 .3
3
一、单选题
r r r
1．（2023 春·高二课时练习）若 a,b ,c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
r r r r r
A． a + c, a,a
r cr- B ar, ar r． + b , 2a + b
r
C ar, ar b ,cr r
r r r r r
． + D． a + b ,a + b + c,c
【答案】C
r r r
【详解】由题可知 a,b ,c 不共面，
r 1
对于 A 选项，因为 a = ar cr+ 1 r+ a - cr r r，所以 a + c, ar,ar cr- 三个向量共面；
2 2
r r r r r r r
对于 B r r r选项，因为 2a + b = a + a + b ，所以 a, a + b , 2a + b 三个向量共面；
r r r r r r对于 C 选项，假设存在实数 x, y使得 c = xa + y a + b = x + y a + yb ，
r r r r r r r r r r
则 a,b,c共面，与 a,b ,c 不共面矛盾，因此 a, a + b ,c 不共面；
r r r r r r r
对于 D 选项， a + b + c
r
= a + b + c ，所以 ar + b ,ar + b + cr,cr 共面.
故选：C．
2．（2023 秋·辽宁锦州·高二统考期末）如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA上靠近 O 的三等分点，N，P
uuur uuur r uuur uuur
分别是BC ，MN 的中点，设OA = ar OB = b OC cr， ， = ，则OP =（ ）
1 ar 1
r
b 1 cr ar 1
r
b 1 crA． + + B． + +
6 4 4 3 4
1 ar 1
r 1 r r
C． + b + c
1 ar 1 b 1D． + + c
r
4 4 4 3 4 4
【答案】A
uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r uuuur 1 uuur 1 r
【详解】在四面体OABC 中，N 是BC 的中点，则ON = (OB + OC) = b + c，又OM = OA = a ，
2 2 2 3 3
uuur 1 uuuur uuur r
而 P 是MN 的中点，所以OP
1
= (OM + ON ) = ar 1 b 1 r+ + c .
2 6 4 4
故选：A
3．（2022 秋·河南·高二河南省实验中学校考阶段练习）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， M ， N ，
uuuuv 3 uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
H 分别在棱BB1，BC ，BA上，且满足BM = BB BN
1
1 ， = BC ，BH
1
= BA，O是平面B1HN ，平面4 2 2
uuuv uuuv uuuv uuuuv
ACM 与平面B1BDD1的一个公共点，设BO = xBH + yBN + zBM ，则 x + y + 3z = （ ）
10 12 14 16
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【详解】
如图，Q为 AC 与BD交点， P 为BQ中点，O为MQ 与B1P 的交点.过 P 作PT 平行MQ 交BB1于T .
如图,则T 为 BM 中点，所以MT
1 BM 1 3 1 3= = BB1 = 4MB
3
1 = MB .2 2 4 2 4 2 1
uuur 2 uuur
所以B1O = OP ，3
uuur 3 uuur 2 uuur 3 4 uuuurBO BB BP BM 2 1
uuur uuur 4 uuuur 1 uuur 1 uuur
因此 = 1 + = × + × (BH + BN ) = BM + BH + BN ，5 5 5 3 5 2 5 5 5
uuur uuur
z 4 1 1 14因为BO = xBH + yBN + zBM ，所以 = , x = , y = ,\ x + y + 3z = .
5 5 5 5
故选：C
4．（2023 秋·广东·高二统考期末）在三棱柱 ABC - A1B1C 中，M，N 分别为 A1C1，B1B 的中点，若
uuuur uuur uuur uuur
MN = xAB + y AC + z AA1 则 x, y, z = （ ）
1, 1 1 1 1A． - , - ÷ B． 1, , -
2 2 2 2 ÷è è
C． -1,
1 , 1 ÷ D． -1,
1 , 1-
è 2 2 è 2 2 ÷
【答案】A
uuuur uuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur
【详解】MN = MA1 + A1A + AB + BN = - AC - AA1 + AB + AA2 2 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB 1- AC 1- AA 1 11 = xAB + y AC + z AA1 ，故 x =1, y = - , z = - .2 2 2 2
x, y, z = 1 1 1, - ,- ÷，
è 2 2
故选：A
uuur r uuur r uuur r
5．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）已知空间四边形OABC 中，OA = a，OB = b ，OC = c，
uuuur
点M 在BC 上，且MB = 2MC ， N 为OA中点，则MN 等于（ ）
1 r 2 ra b 1
r 1 r 2 r 1 r
A． - + c B． a - b - c
2 3 3 2 3 3
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r 2 r
C．- a - b + c D． a - b - c
2 3 2 2 3 3
【答案】D
uuuur 1 uuur
【详解】解：因为点M 在BC 上，且MB = 2MC ，所以MC = BC ，
3
uuuur uuuur uuur uuur
所以MN = MC + CO + ON
1 uuur uuur 1 uuur
= BC - OC + OA
3 2
1 uuur uuur uuur uuur= OC - OB - OC 1+ OA3 2
1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur
= OC - OB - OC + OA
3 3 2
2 uuur 1 uuur 1 uuur
= - OC - OB + OA
3 3 2
2 r r r
= - c 1 b 1- + a
3 3 2
故选：D.
二、多选题
6．（2022 秋·山东济宁·高二济宁一中校考期末）给出下列命题，其中是假命题的是（ ）
uuur uuur uuur uuur r
A．若 A，B，C，D 是空间中的任意四点，则有 AB + BC + CD + DA = 0
r r
B． a
r
- b ar b r r= + 是 a，b 共线的充要条件
uuur uuur
C．若 AB ，CD共线，则 AB//CD
uuur uuur uuur uuur
D．对空间中的任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若OP = xOA + yOB + zOC(x, y, z R)，则 P，A，B，C
四点共面
【答案】BCD
【详解】解：由向量的加法运算，显然 A 是真命题；
ar
r r r r r r r r r
若 ，b 共线，则 a + b = a + b （同向）或 a - b = a + b （反向），故 B 是假命题；
uuur uuur
若 AB ，CD共线，则直线 AB，CD 平行或重合，故 C 是假命题；
只有当 x + y + z =1时，P，A，B，C 四点才共面，故 D 是假命题．
故选：BCD．
7．（2023 春·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
r r r r r
A．若 a = 1,2 ，b = 1, -1 ，且 a与 a + λb 的夹角为锐角，则l 的取值范围是 - ,5
uuur uuur uuur uuur
B．若A ， B ，C 不共线，且OP = 2OA - 4OB + 3OC ，则 P ，A ， B 、C 四点共面
r r r r r r
C．对同一平面内给定的三个向量 a，b ， c，一定存在唯一的一对实数l ，m ，使得 a = lb + mc .
uuur uuur
D．VABC 中，若 AB × BC < 0 ，则VABC 一定是钝角三角形.
【答案】ACD
r r r r r r r r ì5 - l > 0
【详解】对于 A，依题意， a + λb = (1+ λ, 2 - λ)， a × (a + lb) > 0且 a与 a + λb 不同向共线，求得 í ，
l 0
解得：l < 5且l 0，A 错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 B，由OP = 2OA - 4OB + 3OC ，则OP - OC = 2(OA - OC) - 4(OB - OC)，即CP = 2CA - 4CB，
uuur uuur uuur
于是得CP,CA,CB 共面，且公共起点 C，而A ， B ，C 不共线， P ，A ， B ，C 四点共面，B 正确；
r r r r r r
对于 C，同一平面内不共线的非零向量 a，b ， c，才存在唯一的一对实数l ，m ，使得 a = lb + mc ，否则
不成立，C 错误；
uuur uuur uuur uuur
对于 D，在VABC 中， AB × BC < 0 ，则 | AB || BC | cos(p - ABC) < 0，于是得 ABC 是锐角，不能确定VABC
是钝角三角形，D 错误.
故选：ACD
三、填空题
uuur uuur
8．（2022·高二课时练习）正四面体 ABCD 的棱长为 2，点 E，F，G 分别是棱 AB，AD，DC 的中点，则GE ×GF
的值为___．
【答案】1
uuur r uuur r uuur r r r r r r r
【详解】在正四面体 ABCD 中，令 AB = a, AD = b, AC = c，显然， áa,b = áb,c = ác, a = 60o ，
r r r
| a |=| b |=| c |= 2，如图：
uuur 1 uuur 1 r
因点 E，F，G 分别是棱 AB，AD，DC 的中点，则GF = - AC = - c，
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r
GE = GD + DA + AE 1= CD - AD 1 1+ AB = (AD - AC) - AD 1+ AB 1 a 1 1= - b - c ，
2 2 2 2 2 2 2
uuur uuur 1 r 1 r 1 r 1 r 1 r r r r r2
于是得GE ×GF = ( a - b - c)
1
× (- c) = (-a ×c + b ×c + c ) = (-2 2cos 60o + 2 2cos 60o + 22 ) =1，
2 2 2 2 4 4
uuur uuur
所以GE ×GF 的值为 1.
故答案为：1
9．（2022·高二课时练习）给出下列命题：
r r r r r r r r r r
①已知 a ^ b，则 a × (b + c) + c × (b - a) = b ×c；
uuur uuuur uuur
② A, B, M , N 为空间四点，若BA，BM，BN 不构成空间的一个基底，那么 A, B, M , N 共面；
r r r r
③已知 a ^ b，则 a,b与任何向量都不构成空间的一个基底；
r r r r
④若 a,b共线，则 a,b所在直线或者平行或者重合．
正确的结论为_________________．
【答案】①②④
r r r r
【详解】对于①中，由 a ^ b，可得 a ×b = 0 ，
r r r r r r r r r r r r r r r r r r
又由 a × (b + c) + c × (b - a) = a ×b + a ×c + b ×c - a ×c = 0 + b ×c = b ×c ，所以①正确；
uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur
对于②中，由BA，BM，BN 不构成空间的一个基底，可得BA, BM , BN 这 3 个向量共面，
所以 A, B, M , N 四点共面，所以②正确．
r r r r r r
对于③中，若向量 c与向量 a,b这 3 个向量不共面，则 a,b,c 构成空间的一个基底，
所以③不正确．
r r r r
对于④中，根据向量共线的定义，由 a,b共线，则 a,b所在直线或者平行或者重合，
所以④正确．
综上，①②④正确，③不正确．
故答案为：①②④．
四、解答题
11．（2021 秋·高二课时练习）如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB, AC ，M , N 分别是对边OA, BC
uuur uuur uuur uuur
的中点，点G 在线段MN 上，且MG = 2GN ，用基底向量OA,OB,OC 表示向量OG .
uuur 1 uuur 1 uuur uuur
【答案】OG = OA + OB
1
+ OC
6 3 3
uuur uuuur uuuur 1 uuur 2 uuuur 1 uuur 2 uuur uuuur 1 uuur 2 uuur uuur 1 uuurOG = OM + MG = OA + MN = OA + ON - OM = OA + OB + BN - OA 【详解】 2 3 2 3 2 3 ÷è 2
1 uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur= OA + OB + BC - OA÷ = OA + OB + OC
1
- OB 1- OA 1 OA 1= + OB 1+ OC .
2 3 è 2 2 2 3 è 2 2 2 ÷ 6 3 3
12．（2020·高二课时练习）直三棱柱 ABC - A1B1C1 的各棱长都为 2，E 、F 分别是 AB 、 A1C1的中点，求 EF
的长.
【答案】 5
uuur r uuur r uuur r r r r
【详解】如下图所示，设 AB = a ， AC = b ， AA1 = c，则 a = b = c = 2，
r r r r p r r r r
由题意可得 a ×b = a × b cos = 2， ，
3 a ×c = b ×c = 0
又QE 、F 分别为 AB 、 A1C1的中点，
uuur uuur uuur uuuur 1 r r r r r r
\EF = EA + AA1 + A1F = - a c
1 b 1 a 1+ + = - + b + c，
2 2 2 2
uuur 2 1 r 1 r r 1 r 2 1 r2 r2 1 r r r r r r
所以， EF = - a + b + c ÷ = a + b + c - a ×b - a ×c + b ×c = 5，
è 2 2 4 4 2
因此， EF = 5 .
一、单选题
uuur r uuur r
1．（2021·高二课时练习）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，M 为 A1C1的中点，若 AB = a ， AA1 = c，
uuur r uuuur
BC = b，则下列向量与BM 相等的是（ ）．
1 r 1 r r r r r
A．- a + b c
1 a 1+ B． + b + c
2 2 2 2
1 r r r r r r
C．- a
1 b c 1 1- + D． a - b + c
2 2 2 2
【答案】A
【详解】由于 M 是 A1C1的中点，
uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur
所以BM = AM - AB = AA1 + A1M - AB
uuur uuur 1 uuuur uuur uuur uuur
= AA1 - AB + A1C1 = AA1 - AB
1
+ AC
2 2
uuur uuur
= AA1 - AB
1
+ uuur uuur uuur 1 uuur uuurAB + BC = AA1 - AB 1+ BC2 2 2
1 r 1 r r
= - a + b + c．
2 2
故选：A
2．（2023 秋·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形
uuur uuur
且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥 P- ABCD是阳马， PA ^平面 ABCD，且 EC = 2PE ，
uuur r uuur r uuur r uuur若 AB = a ， AC = b ， AP = c ，则DE =（ ）
1 ar 2
r 2 r 1 r 2 r 2 r
A． - b + c B． a + b + c
3 3 3 3 3 3
r 2 r 2 r
C． a - b + c
r r 2
D． a + b
2
- cr
3 3 3 3
【答案】C
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuurAE AP PE AP PC AP (AC AP) 2
uuur 1 uuur
【详解】 = + = + = + - = AP + AC ，
3 3 3 3
uuur uuur uuur uuur
AD = BC = AC - AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
所以DE = AE - AD = AB
2
- AC 2+ AP = ar 2 b 2 cr- + ．
3 3 3 3
故选：C
3．（2022·高二课时练习）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD是边长为 1 的正方形，且
A1AD = A1AB = 60°， AA1 = 2，则线段 AC1的长为（ ）
A． 6 B． 10 C． 11 D． 2 3
【答案】B
uuuur2 uuur uuur uuuur 2 uuur uuur uuur 2【详解】解： AC1 = AB + BC + CC1 = AB + AD + AA1 ，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AB + AD + AA1 + 2AB × AD + 2AB × AA1 + 2AD × AA1 ，
=1+1+ 4 + 2 1 2 cos 60o + 2 1 2 cos 60o ，
=10，
所以 AC1 = 10 ，
故选：B
4．（2022 秋·河南·高二校联考期末）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1AB = A1AD = DAB = 60°，且
AB = AD = AA1 = 2, AC1交平面 A1BD 于点 M，则 C1M = （ ）
A． 6 B． 2 2 C
4 6
．3 2 D．
3
【答案】D
【详解】根据题意，连接 AC, BD 交于点 H，连接 A1H 与 AC1交于点 O，如图，
AO AH 1
在平行六面体中，△OAH∽△OC1A1 ，则 = = AO
1
= OC
OC AC 2 2 1，1 1 1
根据平面的基本性质易知点 M 与点 O 重合，故
uuuur 2 uuuur uuuur2 4 uuur uuur uuur 2MC1 = AC1, MC1 = AB + AD + AA13 9
4 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur= AB + AD + AA + 2AB × AD + 2AD × AA + 2AA9 1 1 1 × AB
4 (4 32= 3 + 4 3) = ．
9 3
∴ C M 4 61 = 3
故选：D．
ur uur ur
5．（2023 秋·云南大理·高二统考期末）若 e1,e2 ,e3 是空间的一个基底，且向量
uuur ur uur ur uuur ur uur ur uuur uur uur uuurOA = e1 + e2 + e3 ,OB = e1 - 2e2 + 2e3 ,OC = ke1 + 3e2 + 2e3 不能构成空间的一个基底，则 k = （ ）
8 5 1 9
A． B． C．- D．
3 2 4 4
【答案】D
uuur ur uur ur uuur ur uur ur uuur ur uur ur
【详解】因为向量OA = e1 + e2 + e3 ，OB = e1 - 2e2 + 2e3 ，OC = ke1 + 3e2 + 2e3 不能构成空间的一个基底，
uuur uuur uuur y uuur uuur uuur所以OA、OB 、OC 共面，故存在实数 x 、 使得OC = xOA + yOB，
ur uur ur ur uur ur ur uur ur ur uur ur
即 ke1 + 3e2 + 2e3 = x e1 + e2 + e3 + y e1 - 2e2 + 2e3 = x + y e1 + x - 2y e2 + x + 2y e3 ，
ì 5
x = 2
ur uur ur
ìk = x + y
因为 e1,e2 ,e3 是空间的一个基底，则 íx - 2y 3 1= ，解得 íy = - .
4
x + 2y = 2
k
9
=
4
故选：D.
uuur
PE 2
uuur uuur 1 uuur
6．（2023 春·江苏淮安·高一统考期末）在正四棱锥P- ABCD中，若 = PB，PF = PC ，平面 AEF 与
3 3
棱PD交于点G ，则四棱锥P - AEFG与四棱锥P- ABCD的体积比为（ ）
7 8 7 4
A． B． C． D．
46 45 45 45
【答案】B
【详解】如图所示，
uuur uuur
设PG = lPD ，由A 、E 、F 、G 四点共面，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
设 AF = xAE + y AG，则 AP + PF = x(AP + PE) + y(AP + PG)，
uuur 1 uuur uuur uuur uuur 2x uuur uuur uuur uuur uuur
即 AP + (AB + AD - AP) = xAP + (AB - AP) + y AP + y l AD - l AP3 3 ，
2 x uuury l y AP 1 2x- - + +
uuur 1 uuur r
得 3 3 ÷
- ÷ AB + - l y ÷ AD = 0
è è 3 3
，
è 3
ì2 y x - - + l y = 0
3 3
uuur uuur uuur 1 2x uuur uuur
又 AP ， AB ， AD 不共面，则 í - = 0 ，解得：l=
2 2
，即 PG = PD ，
3 3 5 5
1
- l y = 0 3
h PF
设 h1 ， h2 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB
1
的距离，则 =h2 PC
，
VP- AEF VF -PAE SVPAE × h1 SVPAE PF PA × PE PF PE PF 2
所以 = = = × = × = × =VP- ABC V
，
C -PAB SVPAB × h2 SVPAB PC PA × PB PC PB PC 9
V 1
VP- AEF 1=
P- ABC = V2 P- ABCD
，V ，P- ABCD 9
VP- AGF VF -PAG PA × PG PF PG PF 2= = × = × = 1
VP- AGF 1
同理，V V PA × PD PC PD PC 15 ，V
=
P- ADC = V2 P- ABCD ， ，P- ADC C -PAD VP- ABCD 15
VP- AEFG VP- AGF +VP- AEF 1 1 8= = + =
VP- ABCD VP- ABCD 9 15 45
8
则四棱锥P - AEFG与四棱锥P- ABCD的体积比为 .
45
故选：B
二、多选题
7．（2023 春·高二课时练习）下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的是（ ）
uuuur uuur uuur uuur
A．OM = 3OA - OB - OC
uuuur 1 uuurOM OA 1
uuur uuur
B． = + OB
1
+ OC
5 3 2
uuur uuur uuur r
C．MA + MB + MC = 0
uuuur uuur uuur uuur r
D．OM + OA + OB + OC = 0
【答案】AC
uuuur uuur uuur uuur
【详解】空间向量共面定理，OM = xOA + yOB + zOC ，若A ， B ，C 不共线，且A ， B ，C ，M 共面，则
其充要条件是 x + y + z =1；
对于 A，因为3-1-1 =1，所以可以得出A ， B ，C ，M 四点共面；
1 1 1 31
对于 B，因为 + + = 15 3 2 30 ，所以不能得出A ， B ，C ，M 四点共面；
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
对于 C，MA = -MB - MC ，则MA，MB ，MC 为共面向量，所以M 与A , B ，C 一定共面；
uuuur uuur uuur uuur r uuuur uuur uuur uuur
对于 D，因为OM + OA + OB + OC = 0，所以OM = -OA - OB - OC ，因为-1-1-1 = -3 1，所以不能得出
A ， B ，C ，M 四点共面．
故选：AC．
r r r
8．（2022 秋·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）已知不共面的三个向量 a,b,c
p
都是单位向量，且夹角都是 ，则下列结论正确的是（ ）
3
A． r r r r ra, a - b,b + c 不是空间的一组基底
r r r r r r r r rB． 3a + 7b + 4c, 2a + 3b + c,-a + b + 2c 不是空间的一组基底
r r r
C．向量 a - b - c的模是 2
r r r r 3p
D．向量 a - b - c和b 的夹角为 4
【答案】BD
r r r r r r r r r r r r r
【详解】假设 a, a - b,b + c共面，则 a = x(a - b) + y(b + c) = xa + (y - x)b + yc，
ìx =1
所以 íy - x = 0，方程组无解，所以假设不成立，
y = 0
r r r r r r r r r r
所以空间向量 a, a - b,b + c不共面，所以 a, a - b,b + c 是空间的一组基底，A 错误；
r r r r r r r r r r r r r r r r r r
假设3a + 7b + 4c, 2a + 3b + c,-a + b + 2c 共面，则3a + 7b + 4c = x 2a + 3b + c + y -a + b + 2c ，
即3 = 2x - y,7 = 3x + y, 4 = x + 2y ，解得 x = 2, y =1，
所以三个向量共面，不是空间的一组基底，B 正确；
r r r r r r r r r 1
由题意，得 a = b = c =1, a ×b = a ×c = b ×c = ，
2
r r r r r r r 2 r2 r2 r r r r r r
所以 a - b - c = (a - b - c)2 = a + b + c - 2a ×b - 2a ×c + 2b ×c = 2 ，C 错误；
r r r r r r r2 r r r r r ra - b - c ×b = a ×b - b - b ×c = -1，设向量 a - b - c和b 的夹角为q ，
r r r ra - b - c ×b
则 cosq r r r r
-1 2
= = = - ，又q 0,p 3p，所以q = D .
a - b - c × b 2 1 2 4
， 正确
故选：BD.
三、填空题
9．（2021·高二课时练习）在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是矩形，O为矩形 ABCD外接圆的圆心.若
uuur uuur uuur uuur
OP = xAB + y AD + z AP ，则 x + y - z = ___________.
【答案】-2
【详解】如图，由题意可得
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP = AP - AO 1 1= AP - (AB + AD) = - AB 1- AD + AP = xAB + y AD + z AP ，
2 2 2
x 1 y 1则 = - ， = - ， z =1，故 x + y + z = -2 .
2 2
故答案为：-2
uuuur
OM 1
uuur
OA 1
uuur 1 uuur
10．（2023秋·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有 = + OB + OC ，
3 3 3
则 A，B，C，M 四点__________（填“共面”或“不共面”）．
【答案】共面
uuuur uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】 AM = OM - OA = OA
1
+ OB 1+ OC - OA 1 OB 1 2= + OC - OA
3 3 3 3 3 3
1 uuurOB 1
uuur
= - OA + 1
uuur
OC 1
uuur
OA 1
uuur 1 uuur
÷ - ÷ = AB + AC ，
è 3 3 è 3 3 3 3
因为 A，B，C 三点不共线
uuur uuur
则 AB, AC 不共线，
uuuur uuur uuur
则 AM , AB, AC 共面
则 A，B，C，M 四点共面.
故答案为：共面.
11．（2023 春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，以顶点A 为端
uuuur uuur
点的三条棱长都为 1，且两两夹角为60o ，求BD1 × AC 的值是__________．
【答案】1
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】由题意得BD1 = BA + AD + DD1 = AD - AB + AA1 ， AC = AB + AD ，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur
则BD1 × AC = (AD - AB + AA1) × (AB + AD) = AD - AB + AA1 × AB + AA1 × AD
=1-1+1 1 cos60o +1 1 cos60o =1 ,
故答案为：1.
v v v
12．（2021 秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）下列四个命题：（1）已知向量 a,b,c是空间的一组基底，
av
v v
则向量 + b ,av - b ,cv 也是空间的一组基底；（2） 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，若点G 在DA1BD 内，且
uuuv uuuv uuuv uuuuv
AG = xAD + y AB + zCC ，则 x + y + z1 的值为 1；（3） 圆 (x - 3)
2 + (y - 3)2 = 9上到直线3x + 4y -11 = 0的距离等
于 1 的点有 2 个；（4）方程 (x2 + y2 - 2) x - 3 = 0 表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.
【答案】(1)(2)(4)
v r r r v v
【详解】（1 v v v v v）已知向量 a,b ,c 是空间的一组基底，即向量 a,b,c不共面，则 a+b，a - b ,c 也不共面，所以向
v v v v v
量 a+b，a - b ,c 是空间的一个基底，正确；（2）
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
2AO = AB + AD,OG = mOA1, OA1 = OA + AA1 ，\ AG = AO+OG = AO + mOA1 = AO + m OA+AA1
uuuv uuuv 1- m uuuv 1- m uuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuuv
= 1- m AO + mAA1 = AB + AD + mCC2 2 1 ，Q AG = xAD + y AB + zCC1,
x y z 1- m +1- m\ + + = + m =1，正确；（3）由圆的方程，得到圆心A 坐标为 3,3 ，半径为3，则圆心 3,3
2 2
到直线3x + 4y -11 = 0
3 3+ 4 3 -11
的距离为 d = = 2， \圆上的点到直线3x + 4y -11 = 0的距离为1的点
5
有3 2 2 2 2个，错误；（4）由题意 x + y - 2 x - 3 = 0可化为 x - 3 = 0 或 x + y - 2 = 0 x - 3 0 ，
Q x2 + y2 - 2 = 0 x - 3 0 不成立，\ x - 3 = 0,\ 2 2方程 x + y - 2 x - 3 = 0 表示的曲线是一条直线，正确，
故答案为(1)(2)(4).
四、解答题
13．（2022·上海·高二专题练习）正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它
有 4 个面，6 条棱，4 个顶点．正四面体 ABCD 中，E，F 分别是棱 AD、BC 中点．求：
（1）AF 与 CE 所成角的余弦值；
（2）CE 与底面 BCD 所成角的正弦值．
2 2
【答案】（1） ；（2） .3 3
【详解】（1）不妨设正四面体的边长为 2，
uuur r uuur r uuur r r r r
设CB = a,CD = b,CA = c ， a,b,c两两成60o 角，
uuur uuur uuur r 1 r
则 AF = AC + CF = -c + a，
2
uuur 1 uuur uuur 1 r rCE 1= (CA + CD) = c + b，
2 2 2
设 AF ,CE 所成角为q ，
uuur uuur 1 r2 1 r r 1 r r 1 r r
AF ×CE - c - b ×c + a ×c + a ×b
所以 cosq = uuur uuur 2 2 4 4
-2 2
= r r r = =AF × CE c 1 a 1 c 1
r ，
- + × + b 3 × 3 3
2 2 2
（2）
连接DF ，由F 为BC 中点，则BC ^ AF , BC ^ DF ，
所以BC ^平面 AFD，所以平面 AFD ^平面BCD，
作 AO ^ DF 于O，则 AO ^平面BCD，
由对称性O为△BCD的中心，
2 3
由棱长为 2，所以DF = 3 ，OD = ，
3
AO = 22 - (2 3 )2 2 6= ，
3 3
FH ^ DF H E EH 6作 于 ，由 为中点， = ，
3
6
连接CH ， sin ECH 3 2= = ，
3 3
CE 与底面 BCD 2所成角的正弦值为 .
31.1.2 空间向量基本定理
分层练习
一、单选题
1．（2023 春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）已知矩形 ABCD, P 为平面 ABCD外一点，且PA ^平
uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
面 ABCD，M , N 分别为PC, PD上的点，PM = 2MC, PN = ND, NM = xAB + y AD + z AP，则 x + y + z =（ ）
2 2 5
A．- B． C．1 D．
3 3 6
2．（2022 秋·广东揭阳·高二普宁市第二中学校考期中）如图，在三棱锥O - ABC 中，点 G 为底面VABC 的重
心，点 M 是线段OG 上靠近点 G 的三等分点，过点 M 的平面分别交棱OA，OB，OC 于点 D，E，F，若
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 1 1
OD = kOA,OE = mOB,OF = nOC ，则 + + =（ ）k m n
2 2 3 9
A． B C D9 ． 3 ． ．2 2
二、多选题
uuur uuur
3．（2022·高二课时练习）（多选）已知A ， B ，C ， D， E 是空间五点，且任何三点不共线.若 AB ， AC ，
uuur uuur uuur uuur
AD 与 AB ， AC ， A E 均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
uuur uuur uuur
A． AB ， AD ， A E 不能构成空间的一个基底
uuur uuur uuur
B． AC ， AD ， A E 不能构成空间的一个基底
uuur uuur uuur
C．BC ，CD，DE 不能构成空间的一个基底
uuur uuur uuur
D． AB ，CD，EA能构成空间的一个基底
4．（2022 秋·山西运城·高二校考阶段练习）已知点 P 为三棱锥O - ABC 的底面 ABC 所在平面内的一点，且
uuur 1 uuur uuur uuurOP = OA + mOB - nOC （m ，n R ），则m ， n的值可能为（ ）2
1 1 1 3
A．m =1， n = - B．m = ， n =1 C．m = - ， n = -1 D．m = ， n =1
2 2 2 2
三、填空题
uuur r uuur r
5．（2022 春·广东茂名·高二信宜市第二中学校考开学考试）如图，在三棱锥O - ABC 中，OA = a，OB = b，
uuur r r r r uuuur
OC = c，点 M 在OA上，且OM = 2MA， N 为 BC 中点， a,b,c 构成空间的一个基底，将MN 用基底表示，
uuuur
MN =__________.
6．（2022 秋·江苏徐州·高二校考期中）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD是边长为1的正方形，
且 A1AD = A
o
1AB = 60 ， AA1 = 2，则线段 AC1的长为 _____．
7．（2021 秋·高二课时练习）如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB、 AC ，M 是边OA的中点，G
uuur uuur uuur uuuur
是DABC的重心，则用基向量OA，OB ，OC 表示向量MG 的表达式为___________.
8．（2022 秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知四棱锥P- ABCD的底面是平行四边形，侧棱 PB、PC 、PD
uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
上分别有一点E 、F 、G ，且满足PE = PB， PG = PD ，PF = lPC ，若A 、E 、F 、G 四点共面，则3 2
实数l = __________．
四、解答题
9．（2021·高二课时练习）如图所示，已知四面体 ABCD 的棱长为 1，点 E，F，G 分别是 AB，AD，CD 的
uuur uuur uuur
中点，设 AB =
= = { a ， AC b ， AD c ， a ， b ， c }为空间向量的一个基底，计算:
uuur uuur
（1）EF · BA；
uuur
（2）| EG |.
10．（2022·高二课时练习）如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长都为 2，E 是 AB 的中点，F 在OC 上，
uuur uuur
且OF = 2FC .
uuur uuur uuur uuur
（1）用{OA,OB,OC}表示EF ；
uuur uuur
（2）求向量OE 与向量BF 所成角的余弦值.
一、单选题
r r r
1．（2023 春·高二课时练习）若 a,b ,c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
r r r r
A a + c, a,a
r cr- B ar, ar b , 2ar
r
． ． + + b
C ar
r
, ar b ,cr r
r r
． + D． a + b ,ar + b + cr,cr
2．（2023 秋·辽宁锦州·高二统考期末）如图，在四面体OABC 中，M 是棱OA上靠近 O 的三等分点，N，P
uuur uuur r uuur uuur
分别是BC ，MN 的中点，设OA ar= OB = b OC cr， ， = ，则OP =（ ）
1 ar 1
r 1 r r 1 r
A． + b + c B． a + b
1
+ cr
6 4 4 3 4
1 r 1 ra + b 1+ cr 1 ar 1
r
b 1 rC． D． + + c
4 4 4 3 4 4
3．（2022 秋·河南·高二河南省实验中学校考阶段练习）在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， M ， N ，
uuuuv 3 uuuv uuuv 1 uuuv uuuv uuuv
H 分别在棱BB BM BB BN BC BH
1
1，BC ，BA上，且满足 = 1 ， = ， = BA，O是平面B1HN ，平面4 2 2
uuuv uuuv uuuv uuuuv
ACM 与平面B1BDD1的一个公共点，设BO = xBH + yBN + zBM ，则 x + y + 3z = （ ）
10 12 14 16
A． B． C． D．
5 5 5 5
4．（2023 秋·广东·高二统考期末）在三棱柱 ABC - A1B1C 中，M，N 分别为 A1C1，B1B 的中点，若
uuuur uuur uuur uuur
MN = xAB + y AC + z AA1 则 x, y, z = （ ）
1, 1A． - ,
1 1 1
-
2 2 ÷
B． 1, , -
è è 2 2 ÷
1 1 1 1
C． -1, , ÷ D． -1, , -
è 2 2 è 2 2 ÷
uuur r uuur r uuur r
5．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）已知空间四边形OABC 中，OA = a，OB = b ，OC = c，
uuuur
点M 在BC 上，且MB = 2MC ， N 为OA中点，则MN 等于（ ）
1 r 2 r 1 r 1 r 2 r 1 r
A． a - b + c B． a - b - c
2 3 3 2 3 3
1 r 1 r ra b 1 c 1
r 1 ra b 2
r
C．- - + D． - - c
2 3 2 2 3 3
二、多选题
6．（2022 秋·山东济宁·高二济宁一中校考期末）给出下列命题，其中是假命题的是（ ）
uuur uuur uuur uuur r
A．若 A，B，C，D 是空间中的任意四点，则有 AB + BC + CD + DA = 0
r r r
B． a - b = a
r
+ b ar
r
是 ，b 共线的充要条件
uuur uuur
C．若 AB ，CD共线，则 AB//CD
uuur uuur uuur uuur
D．对空间中的任意一点 O 与不共线的三点 A，B，C，若OP = xOA + yOB + zOC(x, y, z R)，则 P，A，B，C
四点共面
7．（2023 春·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）下列说法不正确的是（ ）
r r r r r
A．若 a = 1,2 ，b = 1, -1 ，且 a与 a + λb 的夹角为锐角，则l 的取值范围是 - ,5
uuur uuur uuur uuur
B．若A ， B ，C 不共线，且OP = 2OA - 4OB + 3OC ，则 P ，A ， B 、C 四点共面
r r r
C．对同一平面内给定的三个向量 a，b ， c，一定存在唯一的一对实数l ，
r r r
，使得 a = lb + c .
uuur uuur
D．VABC 中，若 AB × BC < 0 ，则VABC 一定是钝角三角形.
三、填空题
uuur uuur
8．（2022·高二课时练习）正四面体 ABCD 的棱长为 2，点 E，F，G 分别是棱 AB，AD，DC 的中点，则GE ×GF
的值为___．
9．（2022·高二课时练习）给出下列命题：
r r r r r r r r r r
①已知 a ^ b，则 a × (b + c) + c × (b - a) = b ×c；
uuur uuuur uuur
② A, B, M , N 为空间四点，若BA，BM，BN 不构成空间的一个基底，那么 A, B, M , N 共面；
r r r r
③已知 a ^ b，则 a,b与任何向量都不构成空间的一个基底；
r r r r
④若 a,b共线，则 a,b所在直线或者平行或者重合．
正确的结论为_________________．
四、解答题
11．（2021 秋·高二课时练习）如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB, AC ，M , N 分别是对边OA, BC
uuur uuur uuur uuur
的中点，点G 在线段MN 上，且MG = 2GN ，用基底向量OA,OB,OC 表示向量OG .
12．（2020·高二课时练习）直三棱柱 ABC - A1B1C1 的各棱长都为 2，E 、F 分别是 AB 、 A1C1的中点，求 EF
的长.
一、单选题
uuur r uuur r
1．（2021·高二课时练习）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，M 为 A1C1的中点，若 AB = a ， AA1 = c，
uuur r uuuur
BC = b，则下列向量与BM 相等的是（ ）．
1 ra 1
r r
b c 1
r
a 1
r r
A．- + + B． + b + c
2 2 2 2
1 r 1 r r 1 r 1 r r
C．- a - b + c D． a - b + c
2 2 2 2
2．（2023 秋·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形
uuur uuur
且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥 P- ABCD是阳马， PA ^平面 ABCD，且 EC = 2PE ，
uuur r uuur r uuur r uuur若 AB = a ， AC = b ， AP = c ，则DE =（ ）
1 r 2 r 2 r 1 r 2 r 2 r
A． a - b + c B． a + b + c
3 3 3 3 3 3
r r
C． a
r 2 b 2 cr ar 2 b 2 cr- + D． + -
3 3 3 3
3．（2022·高二课时练习）如图，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD是边长为 1 的正方形，且
A1AD = A1AB = 60°， AA1 = 2，则线段 AC1的长为（ ）
A． 6 B． 10 C． 11 D． 2 3
4．（2022 秋·河南·高二校联考期末）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1AB = A1AD = DAB = 60°，且
AB = AD = AA1 = 2, AC1交平面 A1BD 于点 M，则 C1M = （ ）
A． 6 B 4 6． 2 2 C．3 2 D．
3
ur uur ur
5．（2023 秋·云南大理·高二统考期末）若 e1,e2 ,e3 是空间的一个基底，且向量
uuur ur uur ur uuur ur uur ur uuur uur uur uuurOA = e1 + e2 + e3 ,OB = e1 - 2e2 + 2e3 ,OC = ke1 + 3e2 + 2e3 不能构成空间的一个基底，则 k = （ ）
8 5 1 9
A． B． C．- D．
3 2 4 4
uuur 2 uuur uuur 1 uuur
6．（2023 春·江苏淮安·高一统考期末）在正四棱锥P- ABCD中，若PE = PB，PF = PC ，平面 AEF 与
3 3
棱PD交于点G ，则四棱锥P - AEFG与四棱锥P- ABCD的体积比为（ ）
7 8 7 4
A． B． C． D．
46 45 45 45
二、多选题
7．（2023 春·高二课时练习）下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的是（ ）
uuuur uuur uuur uuur
A．OM = 3OA - OB - OC
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
B．OM = OA + OB + OC
5 3 2
uuur uuur uuur r
C．MA + MB + MC = 0
uuuur uuur uuur uuur r
D．OM + OA + OB + OC = 0
r r r
8．（2022 秋·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）已知不共面的三个向量 a,b,c
p
都是单位向量，且夹角都是 ，则下列结论正确的是（ ）
3
r r r r rA． a, a - b,b + c 不是空间的一组基底
r r r r r r r r rB． 3a + 7b + 4c, 2a + 3b + c,-a + b + 2c 不是空间的一组基底
r r r
C．向量 a - b - c的模是 2
r r r r 3p
D．向量 a - b - c和b 的夹角为 4
三、填空题
9．（2021·高二课时练习）在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是矩形，O为矩形 ABCD外接圆的圆心.若
uuur uuur uuur uuur
OP = xAB + y AD + z AP ，则 x + y - z = ___________.
uuuur 1 uuur 1 uuur uuur
10．（2023秋·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有OM = OA
1
+ OB + OC ，
3 3 3
则 A，B，C，M 四点__________（填“共面”或“不共面”）．
11．（2023 春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，以顶点A 为端
uuuur uuur
点的三条棱长都为 1，且两两夹角为60o ，求BD1 × AC 的值是__________．
v v v
12．（2021 秋·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）下列四个命题：（1）已知向量 a,b,c是空间的一组基底，
v v v
则向量 a + b ,av - b ,cv 也是空间的一组基底；（2） 在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，若点G 在DA1BD 内，且
uuuv uuuv uuuv uuuuv
AG = xAD + y AB + zCC ，则 x + y + z1 的值为 1；（3） 圆 (x - 3)
2 + (y - 3)2 = 9上到直线3x + 4y -11 = 0的距离等
于 1 的点有 2 个；（4）方程 (x2 + y2 - 2) x - 3 = 0 表示的曲线是一条直线.其中正确命题的序号是________.
四、解答题
13．（2022·上海·高二专题练习）正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它
有 4 个面，6 条棱，4 个顶点．正四面体 ABCD 中，E，F 分别是棱 AD、BC 中点．求：
（1）AF 与 CE 所成角的余弦值；
（2）CE 与底面 BCD 所成角的正弦值．
