1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
分层练习
一、单选题
r r r r
1．（2021·高二课时练习）已知直线 l1和 l2不重合， d1, d2分别是 l1, l2 的方向向量，则 d1 = d2 是 l1//l2的
（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．（2023 春·高二课时练习）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， PQ与直线 A1D和 AC 都垂直，则直线 PQ与BD1
的关系是（ ）
A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交
r r
3．（2021·高二课时练习）设 l1的一个方向向量 a = 1,3, -2 ， l2的一个方向向量b = -4,3, m ，若 l1 ^ l2，则 m
等于（ ）．
5
A．1 B 1． C． 2 D．32
4．（2021·高二课时练习）已知在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点E 为棱 AA1的中点，则直线DE 与体对角线BD1
所成角的余弦值为（ ）
A 15 B 3 C 2 5． ． ． D．0
15 3 5
二、多选题
5．（2023 秋·高一单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
6．（2021·高二课时练习）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知 A -1，2，3 ， B 0，- 2，4 ，C 2，1，2 ，若存在一
点 P ，使得 CP ^ 平面OAB ，则 P 点坐标可能为（ ）
A． -12，- 3，0 B． 7，2，- 4 C． 6，3，5 D． -5，-1，1
三、填空题
r r r r
7．（2020·高二课时练习）已知两条空间直线 a,b的夹角为 60°， a,b分别为直线 a,b的方向向量，则 áa,b =
_______.
uuur uuur
8．（2021·高二课时练习）已知点 A(3,5, 4), B(3,0, 4), BC = 2OA（O为坐标原点），则点C 的坐标为
__________.
v v v
9 v v．（2021 秋·江西鹰潭·高二统考期末）已知非零向量 n、b 及平面a，向量 n 是平面a 的一个法向量,则 n ×b = 0
v
是“向量b 所在直线在平面a 内”的____________条件.
四、解答题
10．（2018·高二课时练习）如图所示，在长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2，AA1＝1 的长方体 ABCD--A1B1C1D1
的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为 5 的所有向量．
uuuv
(3)试写出与 AB 相等的所有向量．
一、单选题
r r
1．（2023 春·高二课时练习）若直线 l1和 l2的方向向量分别是 a = 1, -1,2 ，b = -2,2, -4 ， 则（ ）
A．l1∥l2 B．l1与 l2相交
C．l1与 l2重合 D．l1∥l2或 l1与 l2重合
2．（2022 秋·高二单元测试）如图，矩形 ADFE，矩形 CDFG，正方形 ABCD 两两垂直，且 AB = 2 ，若线段 DE
上存在点 P 使得GP ^ BP，则边 CG 长度的最小值为 ( )
A．4 B． 4 3 C．2 D． 2 3
3．（2022秋·全国·高二专题练习）已知三棱锥 A - BCD中， AB ^ AD ， AB ^ AC ， AC ^ AD， AB = AC = AD ，
E，F 分别为棱CD ， AB 的中点，则直线 EF 与 AC 所成角的余弦值为（ ）
A 1 B 2． 2 ． C
3 D 3． ．
3 3 2
4．（2023 春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面 ABC 为等边三角形，D为弧 AB
的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线 AB 和DE 所成角的余弦值为（ ）
2
A B 2
1
． ． C 2． D3 ．3 4 4
二、填空题
5．（2023 春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150°，则 l1与 l2
所成的角为______.
r r
6．（2021 秋·高二课时练习）若向量 a = x, 2,1 ,b = 1, y,3 都是直线 l的方向向量，则 x + y = _____.
三、解答题
7．（2022·高二课时练习）已知点 A(-2,3,0), B(1,3,2)，P 为线段 AB 上一点，且 AP : PB = 2 : 3，求点 P 的坐
标.
8．（2021·高二课时练习）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AD = AA1 =1， AB = 2 ，在棱 AB 上是否存
在一点E ，使得异面直线 AD1 与 EC 所成角为60o ？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．
9．（2021·高二课时练习）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形， AB = 3，
BC = 5 ．
（1）求直线 A1B 与直线 AC1所成角的余弦值．
BD
（2）求证：在线段BC1上存在点 D，使得 AD ^ A1B．并求 BC 的值．1
一、单选题
1．（2022·高二课时练习）已知一直线经过点 A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向
量的为（ ）
r r r r
A． a = 1,1,1 B． a = 1, -1,1 C． a = -3,3,3 D． a = 1,1, -1
2．（2021·高二单元测试）下列命题正确的有（ ）．
r
①直线的方向向量是唯一的；②经过点P x0, y 0 且与向量 d = (u,v)平行的直线 l的点方向式方程为
x - x0 y - y= 0
u v ；
③直线 y =10的一个方向向量是（1，0）．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．（2023 春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 CC1
uuur uuur
=λ D E A F 3 2的中点， AF AD ，若异面直线 1 和 1 所成角的余弦值为 ，则异面直线 A1F 与 BE 所成角 θ 的余10
弦值为（ ）
A 2 2 7 2 7 2．- B． C． D．-
10 10 10 10
二、多选题
4．（2023·高二单元测试）如图所示，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1C1 B1D1 = O1，以顶点 A 为端点的
三条棱长都为 1，且 BAD = DAA1 = BAA1 = 60°，则下列结论正确的是（ ）
A． BD1 = 2 B．CO1 // 平面BDA1
uuuur uuuur 3
C． DO1 × B1C = - D．BD1 ^ A1C4 1
三、填空题
5．（2022·高二课时练习）在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，顶点 S 在底面的投影为
底面的中心，侧棱长为 6 ，点 E 为 SB 的中点，则异面直线 AE，SD 所成角的余弦值为______．
6．（2022 秋·北京大兴·高三统考期末）在正方体 ABCD- A B C D 中，O为正方形 A B C D 的中心.动点 P 沿
着线段CO从点C 向点O移动，有下列四个结论：
①存在点 P ，使得PA = PB
②三棱锥 A - BDP的体积保持不变；
③△PA B 的面积越来越小；
④线段 A B上存在点Q，使得PQ ^ A B，且PQ ^ OC .
其中所有正确结论的序号是______.
四、解答题
uuur
7．（2021·高二课时练习）在平行六面体 ABCD - A1B1C1D
uuur r uuur r r
1 中， AB = a ， AD = b ， AA1 = c ，O 是BD1与B1D的
交点．以 r ra,b ,cr 为空间的一个基底，求直线 OA 的一个方向向量．
8．（2022·高二课时练习）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD 为矩形，PA ^平面 ABCD， AP = 3，
AD = 5， AB = 4 ，求下列异面直线所成角的余弦值：
(1)PB 与 CD；
(2)PC 与 AD；
(3)PC 与 BD．1.2.1 空间中的点、直线与空间向量
分层练习
一、单选题
r r r r
1．（2021·高二课时练习）已知直线 l1和 l2不重合， d1, d2分别是 l1, l2 的方向向量，则 d1 = d2 是 l1//l2的
（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【详解】因为直线 l1和 l2不重合，
r r r r
所以 d1 = d2 可以推出 l1//l2，而 l1//l2只能推出 d1 与 d2 共线，不一定相等，
r r
所以 d1 = d2 是 l1//l2的充分非必要条件.
故选：A.
2．（2023 春·高二课时练习）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， PQ与直线 A1D和 AC 都垂直，则直线 PQ与BD1
的关系是（ ）
A．异面 B．平行 C．垂直不相交 D．垂直且相交
【答案】B
【详解】设正方体的棱长为 1.
以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线
分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，
uuuur uuur
则DA1 = (1,0,1), AC = (-1,1,0) .
uuur ìa + c = 0 uuur
设PQ = (a,b,c)，则 í
-a + b = 0
，取PQ = (1,1, -1) .
uuuur uuur
QBD1 = (0,0,1) - (1,1,0) = (-1,-1,1) = -PQ，
uuur uuuur
\PQ / /BD1,\PQ / /BD1 .
故选：B
r r
3．（2021·高二课时练习）设 l1的一个方向向量 a = 1,3, -2 ， l2的一个方向向量b = -4,3, m ，若 l1 ^ l2，则 m
等于（ ）．
5
A 1 B C 1． ． ． 2 D．32
【答案】B
r r
【详解】因为 l1 ^ l2，所以 a ×b = 0 ，
即1 -4 + 3 3+ -2 m = 0 ，
5
所以 2m = 9 - 4 = 5，即m = ．
2
故选：B.
4．（2021·高二课时练习）已知在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点E 为棱 AA1的中点，则直线DE 与体对角线BD1
所成角的余弦值为（ ）
A 15 3 2 5． B． C． D．0
15 3 5
【答案】A
【详解】以点D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
不妨设正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1，
则D 0,0,0 ，B 1,1,0 ，D1 0,0,1 E
， 1,0,
1
，
è 2 ÷
uuur 1 uuuur
则DE = 1,0, ÷ ，BD = -1, -1,1 ，
è 2 1
1
uuur uuuur uuur uuuur -1+
则 cos DE, BD u
DuuEr × BuuD1 = uu1r 2
15
= = - ，
DE × BD1 5 15 3
4
所以直线DE 与体对角线BD 151所成角的余弦值为 .
15
故选：A.
二、多选题
5．（2023 秋·高一单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
【答案】AC
【详解】对于 A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以 A 正确，B 错误；
对于 C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C 正确；
对于 D，直线的方向向量有无数个，所以 D 错误.
故选：AC
6．（2021·高二课时练习）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知 A -1，2，3 ， B 0，- 2，4 ，C 2，1，2 ，若存在一
点 P ，使得 CP ^ 平面OAB ，则 P 点坐标可能为（ ）
A． -12，- 3，0 B． 7，2，- 4 C． 6，3，5 D． -5，-1，1
【答案】AD
【详解】设P x, y, z ，则CP = x - 2, y -1, z - 2 ，OA = -1,2,3 ，OB = 0, -2,4 ，
若CP ^ 平面OAB ，则CP ^ OA，CP ^ OB，
所以
uuuv uuuv
ìCP ×OA = 2 - x + 2y - 2 + 3z - 6 = 0 ì-x + 2y + 3z - 6 = 0
íuuuv uuuv ，即 ，
CP ×OB = -2 y -1 + 4 z - 2 = 0
í
-2y + 4z - 6 = 0
将 -12，- 3，0 代入满足方程组，所以选项 A 正确；
将 7，2，- 4 代入不满足方程组，所以选项 B 不正确；
将 6，3，5 代入不满足方程组，所以选项 C 不正确；
将 -5，-1，1 代入满足方程组，所以选项 D 正确；
故选：AD.
三、填空题
r r r r
7．（2020·高二课时练习）已知两条空间直线 a,b的夹角为 60°， a,b分别为直线 a,b的方向向量，则 áa,b =
_______.
【答案】60o 或120o
r r
【详解】因为两条空间直线 a,b的夹角为 60°，且 a,b分别为直线 a,b的方向向量，
v v
所以na,bn= 60° 或 120°.
故答案为：60o 或120o
uuur uuur
8．（2021·高二课时练习）已知点 A(3,5, 4), B(3,0, 4), BC = 2OA（O为坐标原点），则点C 的坐标为
__________.
【答案】 (9,10,12)
【详解】设点C 的坐标为 (x, y, z)，
uuur uuur
QBC = (x - 3, y, z - 4),OA = (3,5, 4),
\(x - 3, y, z - 4) = (6,10,8) ,
ìx - 3 = 6, ìx = 9,
\ íy =10,
，解得 íy =10,
z - 4 = 8. z =12,
∴点C 的坐标为 (9,10,12) .
故答案为： (9,10,12)
v v v
9．（2021 秋·江西鹰潭· v v高二统考期末）已知非零向量 n、b 及平面a，向量 n 是平面a 的一个法向量,则 n ×b = 0
v
是“向量b 所在直线在平面a 内”的____________条件.
【答案】必要不充分
r r
【详解】解：若向量 n是平面a 的法向量，则 n ^ a ，
r r r r
若 ngb = 0，则b / /a ，则向量b 所在直线平行于平面a 或在平面a 内，即充分性不成立，
r r
若向量b 所在直线平行于平面a 或在平面a 内，则b / /a ，
r
Q向量 n是平面a 的法向量，
\ rn ^ a ，
r r r r
则 n ^ b ，即 ngb = 0，即必要性成立，
r r r
则 ngb = 0是向量b 所在直线平行于平面a 或在平面a 内的必要条件，
故答案为：必要不充分
四、解答题
10．（2018·高二课时练习）如图所示，在长、宽、高分别为 AB＝3，AD＝2，AA1＝1 的长方体 ABCD -A1B1C1D1
的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为 5 的所有向量．
uuuv
(3)试写出与 AB 相等的所有向量．
【答案】（1）8；（2）见解析；（3）见解析
uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur
【详解】(1)由于长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的 AA1 ， A1A， BB1 ， B1B ，CC1 ，C1C ， DD1 ，
uuuur
D1D ，这 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个．
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为 5 ，故模为 5 的向量有 AD1 ，D1A， A1D，DA1 ，BC1 ，
uuur uuur uuur
C1B，B1C ，CB1 共 8 个．
uuur uuuur uuur uuuur
(3)与向量 AB 相等的所有向量(除它自身之外)共有 A1B1 ，DC ，及D1C1 3 个．
一、单选题
r r
1．（2023 春·高二课时练习）若直线 l1和 l2的方向向量分别是 a = 1, -1,2 ，b = -2,2, -4 ， 则（ ）
A．l1∥l2 B．l1与 l2相交
C．l1与 l2重合 D．l1∥l2或 l1与 l2重合
【答案】D
r r
【详解】因为 a = 1, -1,2 ，b = -2,2, -4 ，
r r
所以b = - 2 a ，
所以 l1与 l2平行或重合.
故选：D.
2．（2022 秋·高二单元测试）如图，矩形 ADFE，矩形 CDFG，正方形 ABCD 两两垂直，且 AB = 2 ，若线段
DE 上存在点 P 使得GP ^ BP，则边 CG 长度的最小值为 ( )
A．4 B． 4 3 C．2 D． 2 3
【答案】D
【详解】以 DA，DC，DF 为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：
设CG = a，P
x z ax
（x，0，z），则 = ,即 z = .
2 a 2
又B（2，2，0），G（0，2，a），
uuur
BP x 2, 2, ax
uuur
所以 = - - ÷ ,GP
x, 2, ax= - - a
.
è 2 ÷ è 2
uuur uuur
PB × PG = x x 2 4 ax- + + ax - a
÷ = 0 .2 è 2
显然 x 0且 x 2 .
2 16
所以 a = - 4 .
2x - x2
因为 x 0,2 2，所以 2x - x 0,1 .
所以当 2x - x2 = 1， a2 取得最小值 12.
所以 a的最小值为 2 3 .
故选 D.
3．（2022 秋·全国·高二专题练习）已知三棱锥 A - BCD中， AB ^ AD ， AB ^ AC ， AC ^ AD，
AB = AC = AD ，E，F 分别为棱CD ， AB 的中点，则直线 EF 与 AC 所成角的余弦值为（ ）
A 1． 2 B
2 3 3
． C． D．
3 3 2
【答案】C
【详解】如图所示：
设 AB = AC = AD = 2 .因为 AB ， AC ， AD 两两相互垂直，所以以 A 为坐标原点，分别以 AB ， AC ， AD 所
在直线为 x 轴 y 轴 z 轴，建立空间直角坐标系.
则 A 0,0,0 ，C 0,2,0 ，E 0,1,1 ，F 1,0,0 ，∴ AC = 0,2,0 ，EF = 1, -1, -1 ，
∴ cos AC, EF
-2 3
< > = = .
2 3 3
故选：C.
4．（2023 春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面 ABC 为等边三角形，D为弧 AB
的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线 AB 和DE 所成角的余弦值为（ ）
1
A 2 2 2． 3 B． C． D．3 4 4
【答案】C
【详解】解法一：
如图 1，取 AC 中点F ，连接EF , DF ，O为 AB 的中点，连接OD,CO,OE,OF ，
易知CO ^底面OAB ，
因为CO 平面 ABC ，所以平面 ABC ^ 底面OAB .
又平面 ABC 底面OAB = AB ，DO ^ AB ，
所以 DO ^ 平面 ABC .
因为EO 平面 ABC ，所以DO ^ OE .
同理可得，DO ^ OF .
设底面半径为 r ， EF = r ，DE = DF = DO2 + OE2 = 2r .
因为 E, F 分别为CB,CA 的中点，所以EF / / AB，
则在VDEF 中， DEF 或其补角等于异面直线 AB 和DE 所成的角.
2
cos DEF DE + EF
2 - DF 2 2 +1- 2 2
所以 = = = .
2DE × EF 2 2 ×1 4
解法二：
如图 2，O为 AB 的中点，连接OD,CO ，
易知CO ^底面OAB ，
因为CO 平面 ABC ，所以平面 ABC ^ 底面OAB .
又平面 ABC 底面OAB = AB ，DO ^ AB ，
所以 DO ^ 平面 ABC .
以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 AB = 2 ，
则 A 0, -1,0 ，B 0,1,0 1，D 1,0,0 ，E 0, ,
3
÷÷，
è 2 2
uuur uuur
所以 AB = 1 30,2,0 ，DE = -1, ,2 2 ÷÷，è
uuur uuur
AB × DE 2
记所求角为q ，则 cosq = uuur uuur = .
AB × DE 4
故选：C.
二、填空题
5．（2023 春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）若异面直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角为 150°，则 l1与 l2
所成的角为______.
【答案】30o
【详解】设 l1与 l2两条异面直线所成的角为q ，则0o < q 90o ，
因为 l1与 l2这两条异面直线所成的角等于直线 l1的方向向量与 l2的方向向量的夹角或夹角的补角，
所以q =180o -150o = 30o，所以异面直线 l 与 l 所成的角等于30o1 2 ，
故答案为：30o .
r r
6．（2021 秋·高二课时练习）若向量 a = x, 2,1 ,b = 1, y,3 都是直线 l的方向向量，则 x + y = _____.
19
【答案】
3
r r
【详解】根据题意可知 a//b ，
r r
故存在唯一实数l ，使 a = lb，即 x, 2,1 = l 1, y,3 ，
ì
x = l l
1
=
ì
3
则 í2 = l y ，解得 íy = 6 ，
1 = 3l x 1=
3
19
所以 x + y = .
3
19
故答案为： .
3
三、解答题
7．（2022·高二课时练习）已知点 A(-2,3,0), B(1,3,2)，P 为线段 AB 上一点，且 AP : PB = 2 : 3，求点 P 的坐
标.
4
【答案】P(- ,3,
4)
5 5
【详解】解：设 P 点坐标为P(x, y, z)
uuur uuur
则 AP = (x + 2, y - 3, z)，PB = (1- x,3- y, 2 - z)
QP为线段 AB 上一点，且 AP : PB = 2 : 3
uuur 2 uuur
\ AP = PB
3
\(x + 2, y 3, z) 2- = (1- x,3 - y, 2 - z)
3
ì
x + 2
2
= (1- x) ì 4
3
x = -
5
\
2
íy - 3 = (3 - y) ，解得： íy = 3
3
4
z
2
= (2 - z) z =
3 5
4 4
故 P 点坐标为 (- ,3, )
5 5
8．（2021·高二课时练习）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AD = AA1 =1， AB = 2 ，在棱 AB 上是否存
在一点E ，使得异面直线 AD1 与 EC 所成角为60o ？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，点E 在棱 AB 的中点处，理由见解析.
【详解】解：存在点E 使得异面直线 AD1 与 EC 所成角为60o ，理由如下：
uuur uuur uuuur
以D为原点，DA、DC 、 DD1 的方向分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，
设E 1, t,0 0 t 2 ，则 A 1,0,0 、D 0,0,0 、D1 0,0,1 、C 0,2,0 ，
uuuur uuur
D1A = 1,0, -1 ，CE = 1, t - 2,0 ，
uuuur uuur
uuuur uuur D1A ×CE
则 cos < D1A,CE > = uuuur uuur
1
= = cos 60o 1= ，
D1A × CE 2 1+ t - 2 2 2
因为0 t 2，解得 t =1，
所以，当点E 为棱 AB 的中点时，异面直线 AD1 与 EC 所成角为60o .
9．（2021·高二课时练习）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形， AB = 3，
BC = 5 ．
（1）求直线 A1B 与直线 AC1所成角的余弦值．
BD
（2）求证：在线段BC1上存在点 D，使得 AD ^ A1B．并求 BC 的值．1
1 2 2
9
【答案】（ ） ；（2） .
5 25
【详解】（1）由题意，AA1=4，BC=5，AB=3，AC=4，所以BC 2 = AB2 + AC 2 ，所以 AB⊥AC，
又 AA1 ^ 平面 ABC，以 A 为坐标原点， AC, AB, AA 所在方向分别为 x, y, z轴正方向建立空间直角坐标系，1
如图：
则 A 0,0,0 , B 0,3,0 , A1 0,0,4 ,C1 4,0,4
，所以 A1B = 0,3, -4 ,C A = -4,0,-4 ，1
所以 | cos < A1B,C1A >|=|
A1B×C1A | 16 2 2 = = ，
| A B || C A | 5 4 2 51 1
即 A1B, AC
2 2
1所成角的余弦值为 .
5
（2）设 D x, y, z 是直线 BC1上一点，且 BD = l BC 0 l 1 ，由（1），1 BD = x, y - 3, z , BC1 = 4,-3,4 ，
ì x = 4l
所以 x, y - 3, z = l 4,-3,4 íy = 3- 3l ，
z = 4l
所以 AD = 4l,3- 3l, 4l ，
由 AD ^ A1B AD× A1B = 3 3 - 3l - 4 4l = 9 - 25l = 0 l
9
= ,
25
BD 9
所以在线段 BC1上存在点 D，使得 AD ^ A1B，此时 =BC .1 25
一、单选题
1．（2022·高二课时练习）已知一直线经过点 A（2，3，2），B（－1，0，5），下列向量中是该直线的方向向
量的为（ ）
r r r r
A． a = 1,1,1 B． a = 1, -1,1 C． a = -3,3,3 D． a = 1,1, -1
【答案】D
uuur uuur
【详解】由题知 AB = (-3,-3,3)，则与向量 AB 共线的非零向量均为该直线的方向向量．D 选项中的向量
r uuur
a = 1,1, -1 与 AB 线，所以是直线 AB 的方向向量．
故选：D．
2．（2021·高二单元测试）下列命题正确的有（ ）．
r
①直线的方向向量是唯一的；②经过点P x0, y 0 且与向量 d = (u,v)平行的直线 l的点方向式方程为
x - x0 y - y= 0
u v ；③直线
y =10的一个方向向量是（1，0）．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】B
【详解】对于①中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以①不正确；
r
对于②中，只有等u 0,v 0 时，经过点P x0, y 0 且与向量 d = (u,v)平行的直线 l的点方向式方程为
x - x0 y - y= 0
u v ，所以②不正确；
对于③中，直线 y =10的斜率为 0，所以直线 y =10的一个方向向量可以是 (1,0)，所以③是正确的.
故选：B.
3．（2023 春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 是棱 CC1
uuur uuur
的中点， AF =λ
3 2
AD ，若异面直线 D1E 和 A1F 所成角的余弦值为 ，则异面直线 A1F 与 BE 所成角 θ 的余
10
弦值为（ ）
A 2 2 7 2 7 2．- B． C． D．-
10 10 10 10
【答案】B
【详解】如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体的棱长为 2，则 A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）.
uuuur
所以D1E = (0, 2, -1)，
uuuur uuur uuur uuur uuur
又 A1F = A1A + AF = A1A + l AD = (0,0, -2) + l(-2,0,0) = (-2l,0,-2)
uuuur uuuur uuuur uuuur
cos A F , D E uAu1uFur·Duu1uEur 2 3 2所以 1 1 = = =
1 1
，整理得到9l 2 = 1，解得l = （舍去- ）,
|A1F ||D1E| 2 l 2 +1 5 10 3 3
uuur uuuur 2
所以BE = (-2,0,1)， A1F = (- ,0, -2) ,3
4
uuur uuuur - 2
所以 cos BE, A1F
2
= 3 = -
4 10 ，故 cos θ=
2
，
5 + 4 10
9
故选：B.
二、多选题
4．（2023·高二单元测试）如图所示，平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1C1 B1D1 = O1，以顶点 A 为端点的
三条棱长都为 1，且 BAD = DAA1 = BAA1 = 60°，则下列结论正确的是（ ）
A． BD1 = 2 B．CO1 // 平面BDA1
uuuur uuuur 3
C． DO1 × B1C = - D．BD1 ^ A1C4 1
【答案】ABC
uuur uuur r uuur
【详解】设 AB ar= , AD r= b , AA1 = c ，如图，
r r r r r r r r r
则 a = b = c =1， áa,b = áa,c = ác,b = 60o ，
r r r r r r 1
故 a ×b = b ×c = a ×c = ，
2
uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur r r r
对于 A，BD1 = AD1 - AB = AD + AA1 - AB = b + c - a ，
uuuur r r r r r r r
\| BD 2 2 2 r2 r r r r1 |= (-a + b + c) = a + b + c - 2a ×b + 2b ×c - 2a ×c
= 1+1+1-1+1-1 = 2 ，A 正确；
对于 B，连接 AC, BD ，设 AC I BD = O ，连接 A1O,CO1，
则由平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 可知， A1O1 / /OC , A1O1 = OC ，
∴四边形 A1O1CO是平行四边形，
所以 A1O / /O1C ，∵CO1 平面BDA1， A1O 平面BDA1，
∴CO1 / / 平面BDA1，故 B 正确﹔
uuuur uuuur uuuur uuur 1 uuur r 1 r r uuur r
对于 C，DO1 = DD1 + D1O1 = AA1 + DB = c + (a - b), B C b c
r
= - ，
2 2 1
uuuur uuur
DO B C écr 1 r
r ù r
故 1 × 1 = ê + (a - b)ú × (b - c
r)
2
r
b cr 1 r
r 1 r r 1 r r 1 r r
= × + a ×b - b 2 - c 2 - a ×c + b ×c
2 2 2 2
1 1 1 1
= + - -1
1 1 1 1 3
- + = - ，C 正确；
2 2 2 2 2 2 2 2 4
uuuur uuur uuuur r r r uuuur uuur uuur uuur r
对于 D，BD1 = BB1 + B1D1 = -a + b + c, A1C1 = AC = AB + BC a
r
= + b ，
uuuur uuuur r r r r r r r r r r r r r r r
故BD1 × A1C1 = (-a + b + c) × (a + b) = -a
2 + a ×b + a ×c - a ×b + b 2 + b ×c
1 1 1 1 1= - + + - +1+ =1 0
2 2 2 2
故BD1, A1C1不垂直，故 D 错误，
故选：ABC．
三、填空题
5．（2022·高二课时练习）在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，顶点 S 在底面的投影为
底面的中心，侧棱长为 6 ，点 E 为 SB 的中点，则异面直线 AE，SD 所成角的余弦值为______．
21
【答案】
7
【详解】由题意，方形 ABCD 边长为 2，则OC = 2，OS = SC 2 - OC 2 = 2，以正方形 ABCD 的中心 O 为
原点，平行于 AB 的直线为 x 轴，平行于 AD 的直线为 y 轴，OS 为 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系
O- xyz 1 1 3 1 ， 于是 A -1, -1,0 ，B 1, -1,0 ， S 0,0, 2 ，D -1,1,0 ，E ,- ,1÷，所以 AE = , ,1 ，
è 2 2 2 2 ÷ è
SD = -1,1,-2 .设异面直线 AE，SD 所成角为q ，所以 cosq = cos < AE, SD > =
3 1
- + - 2
2 2 21= ．故异面直线 AE，SD 21所成角的余弦值为 ．
9 1 7
+ +1 × 1+1+ 4 7
4 4
21
故答案为： .
7
6．（2022 秋·北京大兴·高三统考期末）在正方体 ABCD- A B C D 中，O为正方形 A B C D 的中心.动点 P 沿
着线段CO从点C 向点O移动，有下列四个结论：
①存在点 P ，使得PA = PB
②三棱锥 A - BDP的体积保持不变；
③△PA B 的面积越来越小；
④线段 A B上存在点Q，使得PQ ^ A B，且PQ ^ OC .
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①②③
【详解】如图，建立以 A 为原点的空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则 A 0, 0, 0 ，B 2, 0, 0 ，A 0, 0, 2 ，C 2, 2, 0 ，O 1, 1, 2 .
uuur uuur
AC = 2, 2, 0 ，CO = -1, -1, 2
uuur uuur
设CP = λCO = -λ, -λ, 2λ ，其中l 0,1 .
uuur uuur uuur
则 AP = AC + CP = 2 - λ, 2 - λ, 2λ ，
即P 2 - λ, 2 - λ, 2λ .
对于①，假设存在点 P，因PA = PB，
2 2则 2 2 - λ + 4 λ - 1 = λ2 + 2 - λ 2 + 4λ2
6λ2 - 16λ + 12 = 6λ2 - 4λ + 4 2 λ = ，
3
uuur 2 uuur
即当CP = CO 时，PA = PB，故①正确；
3
对于②，取 BD 中点为 E，连接 A O，A E，EC .因O为正方形 A B C D 的中心，
则 A O P EC ，且 A O = EC ，故四边形 A ECO 为平行四边形，得 A E P CO .
又CO 平面 A BD ， A E 平面 A BD ，则CO平行于平面 A BD ，
即点 P
1
到平面 A BD 的距离 d 为定值.又VA - BDP = VP - A DB = S × d3 VA DB
三棱锥 A - BDP的体积保持不变.故②正确.
1 uuur uuur
对于③，设 A BP = θ ，则 SVPA B = BA BP sinq ，注意到：2
uuur uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2uuur uuur BA × BP - BA × BP
si n θ = 1 - cos2 BA , BP = 1 - u
BuuAr × BuuPur ÷ = uuur uuur
BA × BP ÷÷ BA × BP
è
1 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2
则 SVPA B = BA × BP - BA × BP2 .
uuur uuur
又BA = -2, 0, 2 ，BP = -λ, 2 - λ, 2λ ，
1 2
则 S = 8 6l 2VPA B - 4l + 4 - 36l 2 = 3 4 8 l - ÷ + ，2 è 3 3
2
因 f λ = 3 λ 4 8 - ÷ + 在 0,1 上递减，故当动点 P 沿着线段CO从点C 向点O移动过程中，△PA B 的面
è 3 3
积越来越小.故③正确.
uuur uuur
对于④，假设存在满足题意的点 Q，设BQ = μBA = -2μ, 0, 2μ ，其中m 0,1 .
uuur uuur uuur
则 AQ = AB + BQ = 2 - 2μ, 0, 2μ ，
uuur
即Q 2 - 2μ, 0, 2μ ，又P 2 - λ, 2 - λ, 2λ ，则PQ = λ - 2μ, λ - 2, 2μ - 2λ .
uuur uuur
因PQ ^ A B，且PQ ^ OC ， A B = 2, 0, -2 ，OC = 1, 1, -2 ，
uuur uuur
ìPQ × A B = 2l - 4m + 4l - 4m = 0
ìl 4=
则 íuuur uuur
í 3 ，
PQ ×OC = l - 2m + l - 2 + 4l - 4m = 0 m =1
l 4因 = > 1，与l 0,1 矛盾，故不存在相应点 Q.故④错误.
3
故答案为：①②③
四、解答题
uuur
7．（2021·高二课时练习）在平行六面体 ABCD - A B C D
uuur r uuur r r
1 1 1 1 中， AB = a ， AD = b ， AA1 = c ，O 是BD1与B1D的
交点．以 r ra,b ,cr 为空间的一个基底，求直线 OA 的一个方向向量．
1 r 1 r 1 r
【答案】- a - b - c
2 2 2
uuur r uuur r uuur r uuur uuur uuur uuuur uuur【详解】解：因为 AB = a ， AD = b ， AA1 = c ，如图OA = OB + BA
1
= D1B + BA2
1 uuuur uuur uuur uuur= D2 1A1 + A1A + AB + BA
uuuur uuur r uuur uuur r
因为D1A1 = -AD = -b， A1A = -AA1 = -c，
uuur 1 r r r r 1 r 1 r 1 r所以OA = -b - c + a - a = - a - b - c2 2 2 2
1 r 1 r 1 r
所以直线OA的一个方向向量为- a - b - c
2 2 2
8．（2022·高二课时练习）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD 为矩形，PA ^平面 ABCD， AP = 3，
AD = 5， AB = 4 ，求下列异面直线所成角的余弦值：
(1)PB 与 CD；
(2)PC 与 AD；
(3)PC 与 BD．
4
【答案】(1)
5
(2) 2
2
(3) 9 82
410
【详解】(1)
由题意知， AB ， AD ，PA为两两垂直的三条直线，
如图，以 A 为坐标原点，分别以 AB ， AD ，PA所在直线为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
A(0,0,0) ， B(4,0,0)，C(4,5,0)，D(0,5,0)，P(0,0,3)
uuur uuur p ù
则PB = (4,0, -3)，CD = (-4,0,0)，且异面直线的夹角范围为： 0,
è 2 ú
uuur uuur
uuur uuur PB ×CD
\cos PB,CD 16 4= uuur uuur = =
| PB | × | CD | 42 + (-3)2 × (-4)2 5
4
所以异面直线 PB 与 CD 所成角的余弦值为
5
(2)
uuur uuur p ù
AD = (0,5,0)，PC = (4,5, -3) ，且异面直线的夹角范围为： 0,
è 2 ú
uuur uuur
uuur uuur AD × PC
\cos AD, PC = uuur uuur 25 2= =
| AD | × | PC | 5 5 2 2
2
所以异面直线 AD 与 PC 所成角的余弦值为
2
(3)
uuur uuur p ù
PC = (4,5, -3) ，BD = (-4,5,0)，且异面直线的夹角范围为： 0,
è 2 ú
uuur uuur
uuur uuur PC × BD
cos PC, BD uuur uuur -16 + 25 9 82\ = = =
| PC | × | BD | 5 2 41 410
所以异面直线 PC 与 BD 9 82所成角的余弦值为
410
