1.2.2 空间中的平面与空间向量
分层练习
一、单选题
r
1．（2022 秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知 n = (2,a + b,a - b)是直线 l 的方向向量，
ur
m = (1, 2,3)是平面a 的法向量.若 l ^ a ，则实数 a，b 的值是（ ）
A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-1
【答案】D
r ur r ur
【详解】依题意， n / /m，而 n = (2,a + b,a - b)，m = (1, 2,3)，
a + b a - b 2 ìa + b = 4
于是 = = ，即 í ，解得 a = 5,b = -1a b 6 ，2 3 1 - =
所以 a = 5,b = -1.
故选：D
2．（2022·高二课时练习）已知平面a 内有两点M 1, -1,2 ， N a,3,3 ，平面a 的一个法向量为
r
n = 6, -3,6 ，则a = （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
uuuur
【详解】解：因为M 1, -1,2 ， N a,3,3 ，所以MN = a -1,4,1 ，
r r uuur
因为平面a 的一个法向量为 n = 6, -3,6 ，所以 n ^ MN ，
r uuuur
则 n × MN = 6 a -1 - 3 4 + 6 = 0，解得 a = 2，
故选：C.
r ur r
3．（2022 春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐 101 中学校考期末）已知 e为直线 l的方向向量，m ， n是平面a ，
b 的法向量（a ，b 是不同平面），那么下列说法正确的个数有（ ）
r ur ur r ur r r ur
① e × m = 0 l //a ② m ^ n a ^ b ③ m//n a //b ④ e//m l //a
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
r ur r
【详解】解：因为 e为直线 l的方向向量，m ， n是平面a ，b 的法向量（a ，b 是不同平面），
r ur r ur
若 e × m = 0 ，则 e ^ m，由于不确定直线 l是否在平面a 内，当直线 l不在平面a 内，则 l / /a ，故①错误；
ur r
若m ^ n，则a ^ b ，故②正确；
ur r
若m//n ，则a //b ，故③正确；
r ur r
若 e//m，即 e也是平面a 的法向量，所以 l ^ a ，故④错误；
故选：B
4．（2021 秋·高二课时练习）如图，F 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 CD 的中点．E 是BB1上一点，若
D1F ^ DE ，则有
A．B1E = EB B．B1E = 2EB
C．B1E
1
= EB D．E 与 B 重合
2
【答案】A
【详解】由题意，分别以 DA，DC，DD1 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
设正方形的边长为 2，则 D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，
uuuuv uuuv
设 E(2，2，z)，D1F ＝(0，1，－2)，DE ＝(2，2，z)，
uuuuv uuuv
QD1F × DE = 0 2 +1 2 - 2z = 0，∴ z =1，
∴ B1E = EB ，故选 A.
二、多选题
5．（2022 秋·广东湛江·高二校考阶段练习）已知点 A 0,0,0 ，B 0,0,1 ，C 1,1,0 在平面a 内，则下列向量
为a 的法向量的是（ ）．
nrA． = 1,1,0 nrB． = 1, -1,0
r
C． n = -1,1,0 rD． n = -1, -1,0
【答案】BC
uuur uuur
【详解】由题得： AB = 0,0,1 ， AC = 1,1,0 ，
r
设平面a 的法向量为 n = x, y, z ，
uuur
ìAB ×n
r
= z = 0 ìx = -y
则有 íuuur r í
AC ×n = x + y = 0 z = 0
，
故平面a 的一个法向量可以为 1, -1,0 ， -1,1,0 .
故选：BC．
6．（2023 秋·江西宜春·高二统考期末）已知空间中三点 A 0,1,0 , B 2,2,0 ,C -1,3,1 ，则下列结论正确的有
（ ）
uuur uuur uuur
A． AB ^ AC B．与 AB 共线的单位向量是 1,1,0
uuur uuur
C 55． AB 与BC 夹角的余弦值是 D．平面 ABC 的一个法向量是 1,-2,5
11
【答案】AD
uuur uuur uuur
【详解】由题意可得 AB = 2,1,0 ， AC = -1,2,1 ，BC = -3,1,1 ，
uuur uuur uuur uuur
选项 A： AB × AC = -2 + 2 + 0 = 0，故 AB ^ AC ，正确；
uuur
选项 B： 1,1,0 不是单位向量，且 1,1,0 与 AB = 2,1,0 不共线，错误；
uuur uuur uuur uuur
cos AB, BC uAuBur ×uBuCur -6 +1+ 0 55选项 C： = = = -AB BC 5 11 11 ，错误；
ur ur uuur ur uuur
选项 D：设m = 1, -2,5 ，则m × AB = 2 - 2 + 0 = 0，m × AC = -1- 4 + 5 = 0，
ur uuur ur uuur
所以m ^ AB ，m ^ AC ，又 AB AC = A，所以平面 ABC 的一个法向量是 1,-2,5 ，正确；
故选：AD
三、填空题
uuur uuur uuuur
7．（2022·高二课时练习）在直三棱柱 ABC - A B C
uuur
1 1 1 中，给出向量：① AB ；② AA1 ；③ B1B ；④ A1C1 ．可
以作为平面 ABC 的法向量的是_______．（选填序号）
【答案】②③
【详解】解：由于直三棱柱的侧棱与底面垂直，
uuur uuur
所以平面 ABC 的法向量可以为 AA1，B1B ．
故答案为：②③．
8．（2023 秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体 ABCD- A B C D 中， AA = 2AB = 2AD = 2，以点D为坐标
原点，以 DA, DC, DD 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，设对角面 ACD 所在法向量为 (x, y, z)，
则 x : y : z = __________．
【答案】 2 : 2 :1
【详解】由题意得 A 1,0,0 ，C 0,1,0 ，D 0,0,2 ，
uuur uuuur
AC = -1,1,0 ， AD = -1,0,2 ，
uuur
r r ì AC ×n = 0 ì -x + y = 0
因为平面 ACD 的法向量为 n = x, y, z ，则 íuuuur ，即 í ，
AD n
r
× = 0 -x + 2z = 0
取 x = 2k k 0 ，则 y = 2k, z = k ，故 x : y : z = 2 : 2 :1
故答案为： 2 : 2 :1
四、解答题
ur uur
9．（2022·高二课时练习）设 n1,n2 分别是空间中两个不重合的平面a , b 的法向量，分别根据下列条件判断平
面a , b 的位置关系.
ur uur
（1） n1 = -2,1,2 ,n2 = 6,-3,-6 ；
ur uur
（2） n1 = 1,2,3 , n2 = 3,6,9 .
【答案】（1）a / /b ；（2）a / /b .
ur uur ur uur
【详解】（1）因为-3n1 = n2 ，所以 n1 / /n2 ，则a / /b ；
ur uur ur uur
（2）因为3n1 = n2 ，所以 n1 / /n2 ，则a / /b ；
一、单选题
ur 2
1．（2020 秋·安徽淮南·高二淮南第一中学校考阶段练习）已知平面a 的一个法向量m = , -1,23 ÷
，平面b 的
è
r
一个法向量 n = (-3,2,2)，则平面a 与平面b 的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定
【答案】B
ur r
m n 2
ur r
【详解】因为 × = (-3) + (-1) 2 + 2 2 = 0，所以m ^ n，所以平面a 与平面b 垂直．3
故选：B．
2．（2022 春·安徽蚌埠·高二安徽省蚌埠第三中学校考开学考试）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外
uuur uuur uuur
一点，如果 AB = 2,-1, -4 ， AD = 4,2,0 ， AP = -1, 2, -2 ．给出下列结论，其中正确的是（ ）
uuur
A．BD = -2, -3, - 4 B．AP⊥AD
uuur
C．AP⊥AB D． AP 是平面 ABCD 的一个法向量
【答案】B
uuur uuur uuur
【详解】解：由题意，因为 AB = 2,-1, -4 ， AD = 4,2,0 ， AP = -1, 2, -2 ，
uuur uuur uuur
所以BD = AD - AB = 2,3,4 ，故选项 A 错误；
uuur uuur
因为 AP × AD = -1, 2, -2 × 4, 2,0 = -1 4 + 2 2 + -2 0 = 0，所以 AP⊥AD，故选项 B 正确；
uuur uuur uuur
因为 AP × AB = -1, 2, -2 × 2, -1, -4 = -1 2 + 2 -1 + -2 -4 = 4 0，所以 AP 与 AB 不垂直， AP 不是
平面 ABCD 的一个法向量，故选项 C、D 错误；
故选：B.
r
3．（2023 春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考阶段练习）直线 l的方向向量为u = 1, -2,1 ，平面a 的
r
法向量为 n = -2,4,k k R ，若 l∥a ，则 k = （ ）
A．-2 B．2 C．6 D．10
【答案】D
r r
【详解】因为 l∥a ，直线 l的方向向量为u = 1, -2,1 ，平面a 的法向量为 n = -2,4,k k R ，
r r r r
所以u ^ n，即u ×n = 0，1 -2 + -2 4 + k = 0，
解得 k =10，
故选：D.
4．（2023 秋·湖南娄底·高二湖南省新化县第一中学校考期末）如图， PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方
形，E，F 分别为 PD，PB 的中点，点 G 在线段 AP 上，AC 与 BD 交于点 O，PA = AB = 2，若OG∥平面
EFC ，则 AG = （ ）
A 1
3 2
． 2 B． C． D3 ．14
【答案】C
【详解】
uuur uuur uuur
如图所示，以A 为坐标原点， AB, AD, AP 的方向分别为 x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得 P(0,0, 2), B(2,0,0) , D(0, 2,0),C(2, 2,0),O(1,1,0) ，
则F (1,0,1), E(0,1,1) ,
uuur uuur
所以FC = (1, 2,-1), FE = (-1,1,0) ，
r
设平面 EFC 的法向量为 n = (x, y, z)，
r uuur
ìn × FC = 0 ìx + 2y - z = 0 ìy = x
则 í r uuur í ，解得 í ， 令 x =1，则 y =1, z = 3，
n × FE = 0 -x + y = 0 z = 3x
r
所以平面 EFC 的一个法向量为 n = (1,1,3) .
uuur
因为OG// 平面 EFC nr，则 ×OG = 0，
uuur
设G(0,0,a) ，则OG = (-1, -1,a) ，所以-1-1+ 3a = 0，
2 G 0,0, 2解得 a
2= ，所以
3 3 ÷
，即 AG = .
è 3
故选：C
5．（2023 春·高二课时练习）给出以下命题，其中正确的是（ ）
ur uur
A．平面a、b 的法向量分别为n1 = (0,1,3),n2 = (1,0,2)，则a ∥b
r r
B．直线 l 的方向向量为 a = (0,1, -1)，平面a 的法向量为 n = (1, -1, -1) ，则 l ^ a
r r 1
C．直线 l 的方向向量为 a = (1, -1,2)，直线 m 的方向向量为b = 2,1, - 2 ÷，则
l 与 m 垂直
è
r
D．平面a 经过三个点 A(1,0,-1), B(0,-1,0),C(-1,2,0)，向量 n = (1,u, t)是平面a 的法向量，则u + t =1
【答案】C
l=0
ur uur ì ur uur
【详解】对于 A，若 n1 = ln2 (l 0)，则 (0,1,3) = l(1,0, 2)
，所以 í1=0 ，此方程组无解，所以 n1 与 n2 不共线，
3=2l
所以a、b 不平行，所以 A 错误，
r r r r
对于 B，因为 a × n = 0 1+1 (-1) + (-1) (-1) = 0，所以 a ^ n ，所以 l a 或 l ∥a ，所以 B 错误，
r r 1 r r
对于 C，因为 a ×b =1 2 + (-1) 1+ 2 - 2 ÷
= 0，所以 a ^ b，所以 l 与 m 垂直，所以 C 正确，
è
uuur uuur r
对于 D，由 A(1,0,-1), B(0,-1,0),C(-1,2,0)，得 AB = (-1, -1,1), BC =（-1，3,0)，因为向量 n = (1,u, t)是平面a 的
r uuur
ìn × AB=- 1- u+t=0 1 4 5
法向量，所以 í r uuur ，得u = , t = ，所以u + t = ，所以 D 错误，
n × BC=- 1+3u=0 3 3 3
故选：C
二、多选题
6．（2022 秋·河北石家庄·高二石家庄市第二十一中学校考阶段练习）关于空间向量，下列说法正确的是
（ ）
r r
A．直线 l的方向向量为 a = 0, -1, -1 ，平面a 的法向量为b = 0,1,1 ，则 l / /a
r r
B．直线 l的方向向量为 a = -1, -1,2 ，直线m 的方向向量b = 2,
1
-1, ÷，则 l ^ m
è 2
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
C．若对空间内任意一点O，都有OP = OA + OB + OC ，则 P，A，B，C 四点共面
2 3 6
r r
D．平面a ，b 1的法向量分别为 a = -1,1,2 ，b = 1,0, a ^ b
è 2 ÷
，则
【答案】BCD
r r r
【详解】A. 因为直线 l的方向向量为 a = 0, -1, -1 ，平面a 的法向量为，且 a ×b = -2 0，所以 l,a 不平行，
故错误；
r r 1 r r
B. 因为直线 l的方向向量为 a = -1, -1,2 ，直线m 的方向向量b = 2, -1, ÷，且 a ×b = 0 ，所以 l ^ m ，故正
è 2
确；
uuur
OP 1
uuur uuur
OA 1 OB 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C. 因为 = + + OC ，即6OP = 3OA + 2OB + OC ，即OP - OC = 3 OA - OP + 2 OB - OP ，2 3 6
uuur uuur uuur
所以CP = 3PA + 2PB ，所以 P，A，B，C 四点共面，故正确；
r r 1 r r
D. 因为平面a ，b 的法向量分别为 a = -1,1,2 b = 1,0, ， 2 ÷，且 a ×b = 0 ，所以a ^ b ，故正确；è
故选：BCD
三、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AD = AA1 =1， AB = 2 ，点E 在棱 AB
上移动．平面 ACD1一个法向量为__________.
1 1
【答案】 1, ,1÷（答案不唯一，与 1, ,1÷共线的非零向量均可）
è 2 è 2
【详解】以D为坐标原点，分别以DA, DC, DD1所在直线为 x y z 轴，建立如图的坐标系，
则D 0,0,0 , A1 1,0,1 , D1 0,0,1 , A 1,0,0 ，C 0,2,0 ，
设平面 ACD
r
1的法向量为 n = x, y, z ，
uuuur uuur
则 AD1 = -1,0,1 , AC = -1,2,0 ，
r uuuur r uuur ì-x + z = 0
由 n × AD1 = 0, n × AC = 0 ，得 í
-x
，
+ 2y = 0
r
令 x =1得 n =
1,
1 ,1 ÷
è 2
故答案为： 1
1
, ,1
2 ֏
8．（2021·高二课时练习）已知 u 是平面a 的一个法向量， a 是直线 l的一个方向向量，若 u = 3,1,2 ，
a = -2,2,2 ，则 l与a 的位置关系是________．
【答案】 l a 或 l / /a / l / /a 或 l a
【详解】解：已知 u 是平面a 的一个法向量， a 是直线 l的一个方向向量，
且 u = 3,1,2 ， a = -2,2,2 ，
\u× a = 3,1,2 × -2,2,2 = 3 -2 +1 2 + 2 2 = 0 ，
所以 u ^ a ，则直线 l在平面a 内或直线 l与平面a 平行，
所以 l a 或 l / /a .
故答案为： l a 或 l / /a .
四、解答题
9．（2022·全国·高二假期作业）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，O为 AC 的中点，点 P 在棱BB1上．若
uuur 1 uuurBP = PB1 ，证明：D1O 与平面PAC 不垂直2
【答案】证明见解析
【详解】证明：以点A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AA1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直
角坐标系：
uuur uuur
设正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，则 A 0,0,0 、O 1,1,0 、C 2,2,0 、D1 0,2,2 ，由BP
1
= PB1 得 P2
uuuur uuur uuuur uuur
点的坐标为 2,0,
2 2 2
3 ÷
，D
è 1
O = 1, -1, -2 ， AP = 2,0, ÷ ，因为D1O × AP = 0，所以D1O 与 AP 不垂直，所è 3 3
以D1O 与平面PAC 不垂直．
一、单选题
r r r
1．（2022·高二课时练习）已知 v为直线 l 的方向向量， n1 、 n2 分别为平面a 、b 的法向量（a 、b 不重
nr P nr合），那么下列说法中：① 1 2 a P b n
r r r
；② 1 ^ n2 a ^ b ；③ v P n
r
1 l P a
r r
；④ v ^ n1 l ^ a .
其中正确的有（ ）.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
r r
【详解】① n1 P n2 a P b ，判断正确；
nr r② 1 ^ n2 a ^ b ，判断正确；
vr③ P n
r
1 l ^ a ，判断错误；
vr nr④ ^ 1 l //a 或 l a ，判断错误.
故选：B
uuur uuur uuur uuur uuur
2．（2022·高二课时练习）已知 AB = 1,5,-2 ，BC = 3,1, z ，BP = x -1, y,-3 ，若 AB ^ BC ，且BP ^ 平面
uuur
ABC ，则BP =（ ）
20 , 15 40 15A． - ,-3
÷ B． ,- , 3
33 ,15- , -3 33 15 ÷ C．7 7 7 7 7 7 ÷
D． ,- , -37 7 ÷è è è è
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】Q AB = 1,5,-2 ，BC = 3,1, z ， AB ^ BC ，则 AB × BC = 8 - 2z = 0 ，解得 z = 4 ，
uuur
\BC = 3,1,4 ，
QBP ^平面 ABC ， AB 、BC 平面 ABC ，所以，BP ^ AB，BP ^ BC ，
uuuv uuuv ì 40
ìBP AB x =uuuv × uuuv = x + 5y + 5 = 0
7 uuur 33 15
则 í ，解得 í ，因此，BP = ,- ,-3÷ .
BP × BC = 3x + y -15 = 0 y 15= - è 7 7
7
故选：D.
3．（2021·全国·高三专题练习）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， P ，Q，M ， N ， H ， R 是各条棱的
中点.
①直线 AD1 //平面MNP ；② HD1 ^ CQ ；③ P ，Q， H ， R 四点共面；④ A1C1 ^ 平面 AB1D1 .
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：因为M ， N 分别为 A1B1 ，C1D1中点，所以MN //A1D1 ，
又因为MN 平面 ADD1A1， A1D1 平面 ADD1A1，所以平面MN // 平面 ADD1A1，同理可得 NP// 平面 ADD1A1，
又因为MN NP = N ，所以平面MNP//平面 ADD1A1，
又因为 AD1 / 平面MNP ，所以 AD1 //平面MNP ，①正确；
设棱长为 2，如图建立平面直角坐标系，
所以 D1(0，0， 2) ，H (2，0，1) ，C(0，2， 0) ，Q(1，0， 0) ，
uuuur uuur uuuur uuur
用向量法HD1 = -2,0,1 ，CQ = 1,-2,0 ，则HD1·CQ = -2 + 0 + 0 0，②错误；
连接 AC ，因为 H ， R 分别是 AA1，CC1 中点，所以HR//AC ，
又因为Q， P 分别为 AD ，DC 中点，所以QP//AC ，
所以PQ//HR ，故 P ，Q， H ， R 四点共面，③正确；
A(2，0， 0) ， B1(2，2， 2) ， D1(0，0， 2) ， A1(2，0， 2) ，C1(0 ，2， 2) ，
uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
所以 AB1 = (0，2， 2) ， AD1 = (-2，0， 2) ， A1C1 = (-2，2， 0) ， A1C1·AB1 0， AD1·A1C1 0，所以直线 A1C1
不垂直于平面 AB1D1，④不正确；
所以正确的是①③，
故选：B.
二、多选题
4．（2022·高二课时练习）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点O在线段 AC 上移动，M 为棱BB1的中点，
则下列结论中正确的有（ ）
A．D1O / / 平面 A1BC1
B． D1OM 的大小可以为90o
C．直线D1O 与直线BB1恒为异面直线
uuuuur uuur uuuur uuur
D．存在实数l ，使得 D1M - lC1B - 1- l D
3
1C = AB 成立2
【答案】ABD
【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D - xyz,如图所示，设正方体的棱长为 2，
设O x, 2 - x,0 ,0 x 2, D1 0,0,2 , B 2,2,0 , B1 2,2,2 ,
uuuur uuuur
所以OD1 = -x, x - 2,2 , DB1 = 2,2,2 .又DB1 ^平面 A1BC1,所以平面
uuuur uuuur uuuur
A1BC1的法向量为DB1 = 2,2,2 .因为OD1 × DB1 = 0,
所以OD1 ^ DB1,所以D1O / / 平面 A1BC1,故A 正确 ;
对于 B，当O为 AC 的中点时 ,O 1,1,0 , M 2,2,1 , A 2,0,0 ,C 0,2,0 ,
uuuur uuuv uuuuv
所以OD1 = -1, -1,2 , AC = -2,2,0 , AM = 0,2,1 ,
uuuur uuuv uuuur uuuv uuuur uuuuv
OD1 × AC = 0,OD1 × AC = 0,OD1 × AM = 0, 所以OD1 ^ AC,OD1 ^ AM
所以OD1 ^平面MAC,所以 D1OM 的大小可以为90o，故 B 正确；
对于C ,当O为线段 AC 的中点时，直线D1O 与BB1共面，故C 不正确
uuuur uuuur uuuur
对于D, A,O,C 三点共线 D1O = m D1A + (1- m)D1C
uuuuur uuur uuuur uuuuur uuuur uuuur uuur
D1M - mC1B - (1- m)D1C = D1M - D1O = OM …
3 AB , 故D正确.2
故选:ABD.
5．（2022·高二单元测试）如图，已知在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 3， AD = 4， AA1 = 5，点E 为CC1
上的一个动点，平面BED1与棱 AA1交于点F ，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥B1 - BED1F 的体积为 20
B．存在唯一的点E ，使截面四边形BED1F 的周长取得最小值 2 74
C．当点E 为CC1 的中点时，在直线 AD 上存在点G ，使得CG = 73
D．存在唯一一点E ，使得B1D ^平面BED1，且CE = 3
【答案】ABC
【详解】长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 3， AD = 4， AA1 = 5，
对于 A，VB1 -BED1F = VE-BB D +V1 1 F -BB1D1 ，
QCC1 //BB1，CC1 平面 BB1D1 ，BB1 平面 BB1D1 ，故CC1 // 平面 BB1D1 ，
所以E 到平面 BB1D1 的距离等于C1到平面BB1的距离，设点C1到平面BB1的距离为d ，
过点C1在平面 A1B1C1D1内作C1P ^ B1D1，如图 1 所示，
QBB1 ^平面 A1B1C1D1，C1P 平面 A1B1C1D1，则C1P ^ BB1 ，
B C ×C D 4 3 12
QBB1 I B1D1 = B1，\C P ^
1 1 1 1
1 平面 BB1D1 ，且C1P = = =B D 5 5 ，1 1
V 1 S C P 1 1 12故 E-BB D = △BB D × 1 = 5 5 =10，同理可得VF -BB D =10，1 1 3 1 1 3 2 5 1 1
所以VB1 -BED1F = VE-BB D +VF -BB D = 201 1 1 1 ，A 对；
对于 B 选项，因为平面 AA1D1D// 平面BB1C1C ，平面BED1 I平面 AA1D1D = D1F ，
平面BED1 I平面BB1C1C = BE ，所以， BE //D1F ，同理可得BF //D1E ，
故四边形BED1F 为平行四边形，则四边形BED1F 的周长为 2 BE + D1E ，
将长方体的侧面D1DCC1 和B1BCC1沿棱CC1 展开到同一平面内，如图 2 所示，
则D1E + EB 的最小值为展开面中D1B的长度，此时E 点为D1B与CC1 的交点，
BD1 = 3 + 4
2 + 52 = 74 ，
所以四边形BED1F 的周长的最小值为 2 74 ，B 对；
对于C ，Q AD ^ CD ，即CD ^ DG ，所以，CG = CD2 + DG2 = 32 + DG2 = 73，
解得DG = 8，C 对；
对于 D 选项，以点D为坐标原点，DA、DC 、DD1所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如图 1 所示的空间直
角坐标系D - xyz ，
则D 0,0,0 、B1 4,3,5 、B 4,3,0 、D1 0,0,5 ，
uuuur uuuur uuur
设E 0,3, z ，则DB1 = 4,3,5 ，BD1 = -4, -3,5 ，BE = -4,0, z ，
uuuuv uuuuv
ìB1D × BD1 = -16 - 9 + 25 = 0 16
因为 BD1 ^平面BED1，则 íuuuuv uuuv ，解得 z =
16
，即CE = ，D 错.
B1D × BE = -16 + 5z = 0 5 5
故选：ABC.
三、填空题
6．（2021·高一课时练习）如图，点 E 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 DD1的中点，点 M 在线段 BD1上运动，
则下列结论正确的有__________．
①直线 AD 与直线C1M 始终是异面直线
②存在点M ，使得B1M ^ AE
③四面体EMAC 的体积为定值
④当D1M = 2MB时，平面EAC ^平面MAC
【答案】②③④.
【详解】
对于①：连接 AC1交BD1于点O，当点M 在O点时直线 AD 与直线C1M 相交，故①不正确，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为 2，则D 0,0,0 ， D1 0,0,2 ，
A 2,0,0 ，C 0,2,0 ，E 0,0,1 ，B 2,2,0 ，B1 2,2,2 ，
uuur
对于②： AE = -2,0,1 ，假设存在点M ，使得B1M ^ AE ，
uuuur uuur uuuur
B1M = B1B + lBD1 = 0,0, -2 + l -2,-2,2 = -2l,-2l, 2l - 2 ，l 0,1 ，
uuur uuuur 1
所以 AE × B1M = 4l + 2l - 2 = 0，解得l = ，所以当D1M = 2MB时B1M ^ AE ，3
故②正确；
对于③：连接 AC 、BD交于点O1，因为点 E 是棱DD1的中点，此时EO1 //BD1，故线段BD1到平面 AEC 的距
离为定值，所以四面体EMAC 的体积为定值，故③正确；
4 4 2 uuur uuur
对于④：当D1M = 2MB时，M , , ÷， AE = -2,0,1 ， AC = -2,2,0 ，设平面 AEC 的法向量为
è 3 3 3
ur v uuuv ì m × AE = -2x
ur
m = x 1
+ z1 = 0
1, y1, z1 ，由 í v uuuv 令 z1 = 2，可得 xm × AC = -2x + 2y = 0 1
=1， y1 =1，可得m = 1,1,2 ，设平面MAC 的
1 1
ìnv
uuuv
r uuur × AC = -2x2 + 2y2 = 0
法向量为 n = 2 4x2 , y2 , z2 ，MA =
, - ,
2
- ÷，由 í uuuv3 3 3 nv MA 2 x 4 y 2
解得: y2 = 0，令 x2 =1可得
è × = - 3 2 3 2
- z = 0
3 2
r ur r ur r
z2 = 2，所以 n = (1,1,-1)，因为m × n =1 1+1 1-1 2 = 0，m ^ n
所以平面EAC ^平面MAC ，故④正确；
故答案为：②③④.
四、解答题
1
7．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，在正三棱锥 S - ABC 中，E 是高 SO 上一点， AO = SA = 2，直线 AE
2
2
与底面所成角的正切值为 .
2
（1）求证： AE ^ 平面EBC ；
（2）求三棱锥E - ABC 外接球的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）9 2p .
【详解】（1）证明：延长 AO 交BC 于点D.
因为 SO ^ 平面 ABC ，所以 EAO即为直线EA与底面 ABC 所成的角，
从而 tan EAO 2 EO 2= ，所以 = .
2 AO 2
因为 AO = 2，则OE = 2 ， SA = 4， AB = SO = 2 3 .
以点O为坐标原点，与CB平行的直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OS 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐
标系O- xyz，
则O 0,0,0 、 A 0, -2,0 、B 3,1,0 、C - 3,1,0 、E 0,0, 2 ，
uuur uuur uuur所以BC = -2 3,0,0 ，BE = - 3, -1,2 ， AE = 0,2, 2 ，
r
设平面EBC 的法向量为 n = x, y, z ，
uuuv
ìnv × BC = 0 ì-2 3x = 0 r
由 í v uuuv 得 í ，取 z =1，则 y = 2 ， x = 0，即 n = 0, 2,1 ，
n × BE = 0 - 3x - y + 2z = 0
uuur r uuur r
所以 AE = 2n，即 AE //n，所以 AE ^ 平面EBC ；
（2）由题意知三棱锥E - ABC 为正三棱锥，设其外接球的球心为O 0,0, t ，
2
由O A = O E ，得 t + 4 = t - 2 2 2，解得 t = - ，
2
32 3 2 4 3 2
所以外接球的半径 r = 2 - - ÷÷ = ，所以外接球的体积V = p ÷ = 9 2p .
è 2 2 3 2 ÷è
8．（2021·全国·高三专题练习）在四棱锥P- ABCD中，平面 ABCD ^平面PCD，底面 ABCD为直角梯形，
AB / /CD ， AD ^ DC ，且 AB =1， AD = DC = DP = 2， PDC = 120° .
（1）求证： AD ^ 平面PCD；
BF
（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ^平面PAC ？如果存在，求 的值；如果不存在，说明理由；
BC
（3）若M 是棱PA的中点， N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析；（3）详见解析.
【详解】（1）因为平面 ABCD ^平面PCD，平面 ABCD 平面PCD = CD，
又 AD ^ DC ， AD 平面 ABCD，
所以 AD ^ 平面PCD .
（2）以 D 为原点，以 DA，DC 为 x，y 轴，建立如图所示空间直角坐标系：
则P 0, -1, 3 ,C 0,2,0 , A 2,0,0 , B 2,1,0 ，
BF uuur uuur
设 = l ，则 ，
BC BF = l BC
uuur uuur uuur uuur
PB = 2,2,- 3 , BC = -2,1,0 , PA = 2,1, - 3 , PC = 0,3,- 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuurPD = 0,1, - 3 , PF = PB + BF = PB + lBC = 2 - 2l, 2 + l,- 3 ，
ur
设平面平面PAC 的一个法向量为m = x, y, z ，
uuur
ìPA
r
× m = 0 ì 2x + y - 3z = 0
则 íuuur
PC mr
，即 í ，
× = 0 3y - 3z = 0
ur
令 z = 3 ，则 y =1, x =1，所以 m = 1,1, 3 ，
r
设平面平面PDF 的一个法向量为 n = x, y, z ，
uuur
ìPD r × n = 0 ìy - 3z = 0
则 íuuur r ，即 í ，
PF × n = 0 2 - 2l x + 2 + l y - 3z = 0
y 3, x 3 + 3l
r 3+ 3l= = 令 z = 3 ，则 ，所以 n = ,3, 3 .2l - 2 è 2l - 2 ÷
若使得平面PDF ^平面PAC ，
ur r 3+ 3l
则m × n = 0，即 + 6 = 0，2l - 2
3
解得l = ，
5
所以线段BC 上存在点F ，使得PDF ^平面PAC .
（3）假设存在点 N， N 在线段BC 上，使得MN / /PC ，
如图所示：
连接 AC，取其中点 G，在△PAC 中，
因为 M，G 都是边的中点，
所以 MG / /PC ，
因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行，
所以 MG 与 MN 重合，
所以点 N 在线段 AC 上，
所以 N 是 AC，BC 的交点 C，即 MN 就是 MC，而 MC 与 PC 相交，矛盾，
所以假设错误，问题得证.1.2.2 空间中的平面与空间向量
分层练习
一、单选题
r
1．（2022 秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知 n = (2,a + b,a - b)是直线 l 的方向向量，
ur
m = (1, 2,3)是平面a 的法向量.若 l ^ a ，则实数 a，b 的值是（ ）
A．a=1，b=7 B．a=5，b=1 C．a=-5，b=1 D．a=5，b=-1
2．（2022·高二课时练习）已知平面a 内有两点M 1, -1,2 ， N a,3,3 ，平面a 的一个法向量为
r
n = 6, -3,6 ，则a = （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
r ur r
3．（2022 春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐 101 中学校考期末）已知 e为直线 l的方向向量，m ， n是平面a ，
b 的法向量（a ，b 是不同平面），那么下列说法正确的个数有（ ）
r ur ur r ur r r ur
① e × m = 0 l //a ② m ^ n a ^ b ③ m//n a //b ④ e//m l //a
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．（2021 秋·高二课时练习）如图，F 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 CD 的中点．E 是BB1上一点，若
D1F ^ DE ，则有
A．B1E = EB B．B1E = 2EB
B E 1C． 1 = EB D．E 与 B 重合2
二、多选题
5．（2022 秋·广东湛江·高二校考阶段练习）已知点 A 0,0,0 ，B 0,0,1 ，C 1,1,0 在平面a 内，则下列向量
为a 的法向量的是（ ）．
nrA． = 1,1,0 nrB． = 1, -1,0
nr 1,1,0 nrC． = - D． = -1, -1,0
6．（2023 秋·江西宜春·高二统考期末）已知空间中三点 A 0,1,0 , B 2,2,0 ,C -1,3,1 ，则下列结论正确的有
（ ）
uuur uuur uuur
A． AB ^ AC B．与 AB 共线的单位向量是 1,1,0
uuur uuur
C 55． AB 与BC 夹角的余弦值是 D．平面 ABC 的一个法向量是 1,-2,5
11
三、填空题
uuur uuur uuur uuuur
7．（2022·高二课时练习）在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，给出向量：① AB ；② AA1 ；③ B1B ；④ A1C1 ．可
以作为平面 ABC 的法向量的是_______．（选填序号）
8．（2023 秋·陕西宝鸡·高二统考期末）在长方体 ABCD- A B C D 中， AA = 2AB = 2AD = 2，以点D为坐标
原点，以 DA, DC, DD 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，设对角面 ACD 所在法向量为 (x, y, z)，
则 x : y : z = __________．
四、解答题
ur uur
9．（2022·高二课时练习）设 n1,n2 分别是空间中两个不重合的平面a , b 的法向量，分别根据下列条件判断平
面a , b 的位置关系.
ur uur
（1） n1 = -2,1,2 ,n2 = 6,-3,-6 ；
ur uur
（2） n1 = 1,2,3 , n2 = 3,6,9 .
一、单选题
ur 2
1．（2020 秋·安徽淮南·高二淮南第一中学校考阶段练习）已知平面a 的一个法向量m = , -1,2÷ ，平面b 的
è 3
r
一个法向量 n = (-3,2,2)，则平面a 与平面b 的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不确定
2．（2022 春·安徽蚌埠·高二安徽省蚌埠第三中学校考开学考试）已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外
uuur uuur uuur
一点，如果 AB = 2,-1, -4 ， AD = 4,2,0 ， AP = -1, 2, -2 ．给出下列结论，其中正确的是（ ）
uuur
A．BD = -2, -3, - 4 B．AP⊥AD
uuur
C．AP⊥AB D． AP 是平面 ABCD 的一个法向量
r
3．（2023 春·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考阶段练习）直线 l的方向向量为u = 1, -2,1 ，平面a 的
r
法向量为 n = -2,4,k k R ，若 l∥a ，则 k = （ ）
A．-2 B．2 C．6 D．10
4．（2023 秋·湖南娄底·高二湖南省新化县第一中学校考期末）如图， PA ^平面 ABCD，底面 ABCD 是正方
形，E，F 分别为 PD，PB 的中点，点 G 在线段 AP 上，AC 与 BD 交于点 O，PA = AB = 2，若OG∥平面
EFC ，则 AG = （ ）
1 3 2A． 2 B． C． D3 ．14
5．（2023 春·高二课时练习）给出以下命题，其中正确的是（ ）
ur uur
A．平面a、b 的法向量分别为n1 = (0,1,3),n2 = (1,0,2)，则a ∥b
r r
B．直线 l 的方向向量为 a = (0,1, -1)，平面a 的法向量为 n = (1, -1, -1) ，则 l ^ a
r r 1
l C．直线 的方向向量为 a = (1, -1,2)，直线 m 的方向向量为b = 2,1, - 2 ÷，则
l 与 m 垂直
è
r
D．平面a 经过三个点 A(1,0,-1), B(0,-1,0),C(-1,2,0)，向量 n = (1,u, t)是平面a 的法向量，则u + t =1
二、多选题
6．（2022 秋·河北石家庄·高二石家庄市第二十一中学校考阶段练习）关于空间向量，下列说法正确的是
（ ）
r r
A．直线 l的方向向量为 a = 0, -1, -1 ，平面a 的法向量为b = 0,1,1 ，则 l / /a
r r 1
B．直线 l的方向向量为 a = -1, -1,2 ，直线m 的方向向量b = 2, -1,
÷，则 l ^ m
è 2
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
C．若对空间内任意一点O，都有OP = OA + OB + OC ，则 P，A，B，C 四点共面
2 3 6
r r
D．平面a b ， 的法向量分别为 a = -1,1,2 ，b = 1,0,
1
2 ÷，则
a ^ b
è
三、填空题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AD = AA1 =1， AB = 2 ，点E 在棱 AB
上移动．平面 ACD1一个法向量为__________.
8．（2021· 高二课时练习）已知 u 是平面a 的一个法向量， a 是直线 l的一个方向向量，若 u = 3,1,2 ，
a = -2,2,2 ，则 l与a 的位置关系是________．
四、解答题
9．（2022·全国·高二假期作业）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，O为 AC 的中点，点 P 在棱BB1上．若
uuur 1 uuurBP = PB1 ，证明：D1O 与平面PAC 不垂直2
一、单选题
r r r
1．（2022·高二课时练习）已知 v为直线 l 的方向向量， n1 、 n2 分别为平面a 、b 的法向量（a 、b 不重
r r r r
合），那么下列说法中：① n1 P n2 a P b ；② n1 ^ n2 a ^ b v
r P nr；③ 1 l P a v
r r
；④ ^ n1 l ^ a .
其中正确的有（ ）.
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
uuur uuur uuur uuur uuur
2．（2022·高二课时练习）已知 AB = 1,5,-2 ，BC = 3,1, z ，BP = x -1, y,-3 ，若 AB ^ BC ，且BP ^ 平面
uuur
ABC ，则BP =（ ）
20 15 40 15 33 15 33 15
A． ,- ,-3÷ B． ,- ,-3÷ C． , , -3÷ D． ,- , -3
è 7 7 è 7 7 è 7 7 è 7 7 ÷
3．（2021·全国·高三专题练习）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， P ，Q，M ， N ， H ， R 是各条棱的
中点.
①直线 AD1 //平面MNP ；② HD1 ^ CQ ；③ P ，Q， H ， R 四点共面；④ A1C1 ^ 平面 AB1D1 .
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
4．（2022·高二课时练习）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点O在线段 AC 上移动，M 为棱BB1的中点，
则下列结论中正确的有（ ）
A．D1O / / 平面 A1BC1
B． D1OM 的大小可以为90o
C．直线D1O 与直线BB1恒为异面直线
uuuuur uuur uuuur uuur
D 3．存在实数l ，使得 D1M - lC1B - 1- l D1C = AB 成立2
5．（2022·高二单元测试）如图，已知在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 3， AD = 4， AA1 = 5，点E 为CC1
上的一个动点，平面BED1与棱 AA1交于点F ，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥B1 - BED1F 的体积为 20
B．存在唯一的点E ，使截面四边形BED1F 的周长取得最小值 2 74
C．当点E 为CC1 的中点时，在直线 AD 上存在点G ，使得CG = 73
D．存在唯一一点E ，使得B1D ^平面BED1，且CE = 3
三、填空题
6．（2021·高一课时练习）如图，点 E 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱 DD1的中点，点 M 在线段 BD1上运动，
则下列结论正确的有__________．
①直线 AD 与直线C1M 始终是异面直线
②存在点M ，使得B1M ^ AE
③四面体EMAC 的体积为定值
④当D1M = 2MB时，平面EAC ^平面MAC
四、解答题
1
7．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，在正三棱锥 S - ABC 中，E 是高 SO 上一点， AO = SA = 2，直线 AE
2
2
与底面所成角的正切值为 .
2
（1）求证： AE ^ 平面EBC ；
（2）求三棱锥E - ABC 外接球的体积.
8．（2021·全国·高三专题练习）在四棱锥P- ABCD中，平面 ABCD ^平面PCD，底面 ABCD为直角梯形，
AB / /CD ， AD ^ DC ，且 AB =1， AD = DC = DP = 2， PDC = 120° .
（1）求证： AD ^ 平面PCD；
BF
（2）线段BC 上是否存在点F ，使得PDF ^平面PAC ？如果存在，求 的值；如果不存在，说明理由；
BC
（3）若M 是棱PA的中点， N 为线段BC 上任意一点，求证：MN 与PC 一定不平行.
